基于變形特征值及特征狀態(tài)參數(shù)的金屬材料高溫變形本構(gòu)方程

(天津鋼管集團股份有限公司技術(shù)中心，天津 300301)

0 引 言

金屬熱變形流變應(yīng)力是金屬材料塑性加工工藝優(yōu)化及機械設(shè)計與研究的重要參數(shù)之一，其大小受到變形程度、變形溫度、應(yīng)變速率、合金化學(xué)成分與晶粒尺寸等因素的影響，也是變形體內(nèi)部顯微組織演變的綜合反映。然而到目前為止，流變應(yīng)力仍無理論解析式，只能通過諸如拉伸法、扭轉(zhuǎn)法和壓縮法等試驗方法來求得，且一般以曲線的形式給出，不能直接應(yīng)用于熱軋、拉拔、擠壓等實際生產(chǎn)過程中變形抗力的計算。為此，很多學(xué)者建立了不同材料的流變應(yīng)力本構(gòu)方程及不同類型的流變應(yīng)力本構(gòu)模型。目前，金屬材料的高溫流變應(yīng)力本構(gòu)方程大致可分為3類：一是基于試驗結(jié)果，利用某種數(shù)學(xué)函數(shù)建立的經(jīng)驗方程，例如Voce方程[1]、Misaka方程[2]、Sah方程[3]、Johnson-Cook方程[4]等；二是基于物理理論(如位錯理論)建立的唯象方程，例如Bergstrom方程l[5]、Estrin-Mecking方程[6]、Zerilli-Armstrong方程[7]、Follansbee-Kocks方程[8]、Preston-Tonks-Wallace方程[9]；三是分段描述動態(tài)回復(fù)和動態(tài)再結(jié)晶的兩階段方程，即以經(jīng)驗方程或唯象方程模型構(gòu)建動態(tài)回復(fù)階段的本構(gòu)方程，再將描述由動態(tài)再結(jié)晶引起加工軟化過程的Avrami方程合并到所構(gòu)建的本構(gòu)方程中，形成一個能夠描述動態(tài)再結(jié)晶階段的方程，例如Sellars-Tegart-Garofalo方程[10]、Laasraoui-Jonas方程[11]等[12-18]。

經(jīng)驗方程的優(yōu)點是數(shù)學(xué)形式簡單，能夠描述金屬材料熱塑性變形時從動態(tài)回復(fù)階段到動態(tài)再結(jié)晶階段的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，采用回歸法容易求解方程中的常數(shù)；其主要缺點是不能反映動態(tài)再結(jié)晶對流變應(yīng)力的影響。唯象方程以位錯應(yīng)變理論為基礎(chǔ)，構(gòu)建的模型能夠精確描述金屬材料應(yīng)變硬化和動態(tài)回復(fù)階段的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，但亦不能反映動態(tài)再結(jié)晶對流變應(yīng)力的影響。兩階段方程是目前金屬材料熱加工過程中構(gòu)建的主要高溫變形本構(gòu)方程，能夠描述高溫變形過程中出現(xiàn)的動態(tài)再結(jié)晶現(xiàn)象，并且具有較好的流變應(yīng)力預(yù)測精度，但是該類方程將應(yīng)力-應(yīng)變曲線分段描述，不方便實際熱加工過程中流變應(yīng)力的預(yù)測計算。并且，該類方程材料常數(shù)的確定十分復(fù)雜，導(dǎo)致計算所得應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗曲線存在較大的誤差。作者在分析商業(yè)純鋁、無氧銅及超低碳鋼的高溫應(yīng)力-應(yīng)變曲線的基礎(chǔ)上，采用變形特征值及特征狀態(tài)參數(shù)，構(gòu)建了一個新的可以連續(xù)描述金屬材料高溫變形應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的唯象本構(gòu)方程，包括高溫變形過程方程和特征參數(shù)方程，并通過商業(yè)純鋁、無氧銅、超低碳鋼的高溫壓縮試驗，對該本構(gòu)方程的計算準確度進行了驗證。

1 本構(gòu)方程模型

金屬材料在高溫塑性變形時，在低應(yīng)變速率下會發(fā)生動態(tài)再結(jié)晶，其應(yīng)力-應(yīng)變曲線上會出現(xiàn)峰值應(yīng)力等特征值點。據(jù)此，作者構(gòu)建了兩種本構(gòu)方程：一是根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變曲線上的特征值構(gòu)建高溫變形的過程本構(gòu)方程；二是構(gòu)建特征值的狀態(tài)方程，如LM參數(shù)狀態(tài)方程、Z參數(shù)狀態(tài)方程[10]、erf參數(shù)狀態(tài)方程(文獻[9]中方程的改進)、MTS參數(shù)狀態(tài)方程[8]。

構(gòu)建的高溫變形過程本構(gòu)方程為

(1)

式中：σ為應(yīng)力；σss為動態(tài)再結(jié)晶穩(wěn)態(tài)應(yīng)力；ε為應(yīng)變；εr為松弛應(yīng)變；C為常數(shù)，取1；σp為動態(tài)再結(jié)晶峰值應(yīng)力；εp為峰值應(yīng)變。

當(dāng)不發(fā)生動態(tài)再結(jié)晶時，飽和應(yīng)力σss(e)=σss=σp。

(1) 材料高溫變形過程中溫度與應(yīng)變速率的關(guān)系通過LM參數(shù)L可表示為

(2)

則各特征值σss，σp，εp，εr可表示為

σss/μ=σss,max-(σss,min-σss,max)×

(3)

σp/μ=σp,max-(σp,min-σp,max)×

(4)

εp=εp,max-(εp,min-εp,max)×

(5)

εr=εr,max-(εr,min-εr,max)×

(6)

式中：σp,max，σp,min，mp，σss,max，σss,min，mss，εp,max，εp,min，np，εr,max，εr,min，nr均為材料常數(shù)；μ為剪切彈性模量。

(2) 材料高溫變形過程中溫度與應(yīng)變速率的關(guān)系通過Z參數(shù)可表示為

(7)

式中：Q為熱變形表觀激活能；R為氣體常數(shù)。

則各特征值σss，σp，εp，εr可表示為

(8)

(9)

εp=BpZCp

(10)

εr=BrZCr

(11)

式中：αss，Ass，mss，αp，Ap，mp，Bp，Cp，Br，Cr均為材料常數(shù)。

(3) 材料高溫變形過程中溫度與應(yīng)變速率的關(guān)系通過erf參數(shù)Ferf可表示為

(12)

式中：g為材料常數(shù)；Tm為熔點溫度。

則各特征值σss，σp，εp，εr可表示為

σss/μ=Dss0+Dss1Ferf

(13)

σp/μ=Dp0+Dp1Ferf

(14)

εp=Ep0+Ep1Ferf

(15)

εr=Er0+Er1Ferf

(16)

式中：Dss0，Dss1，Dp0，Dp1，Ep0，Ep1，Er0，Er1均為材料常數(shù)。

(4) 材料高溫變形過程中溫度與應(yīng)變速率的關(guān)系通過MTS參數(shù)Ss可表示為

(17)

式中：K為玻爾茲曼常數(shù)；b為柏氏矢量。

則各特征值σss，σp，εp，εr可表示為

σss=exp(Fss0+Fss1Ss)

(18)

σp=exp(Fp0+Fp1Ss)

(19)

εp=exp(Gp0+Gp1Ss)

(20)

εr=exp(Gr0+Gr1Ss)

(21)

式中：Fp0，F(xiàn)p1，F(xiàn)ss0，F(xiàn)ss1，Gp0，Gp1，Gr0，Gr1均為材料常數(shù)。

2 高溫變形流變應(yīng)力計算及結(jié)果

2.1 材料參數(shù)計算步驟及結(jié)果

試驗材料為商業(yè)純鋁、無氧銅、超低碳鋼。在試驗材料高溫試驗結(jié)果的基礎(chǔ)上分別進行流變應(yīng)力計算。其中，商業(yè)純鋁高溫壓縮試驗數(shù)據(jù)來自文獻[19]，無氧銅高溫壓縮試驗數(shù)據(jù)來自文獻[20-22]，超低碳鋼高溫平面壓縮變形試驗數(shù)據(jù)來自文獻[23]。

由文獻[24]可知，鋁的剪切彈性模量為

(22)

銅的剪切彈性模量為

(23)

鋼的剪切彈性模量為

(24)

首先采用式(1)擬合應(yīng)力-應(yīng)變曲線，獲得特征值(σss,σp,εp,εr)，然后采用式(2)～(6)、式(7)～(11)、式(12)～(16)、式(17)～(21)分別擬合LM參數(shù)方程、Z參數(shù)方程、erf參數(shù)方程、MTS參數(shù)方程，確定各參數(shù)方程中的各材料常數(shù),結(jié)果見表1～表4。

表1 不同材料LM參數(shù)方程的材料常數(shù)Table 1 Material constants of LM parameter equation for different materials

表2 不同材料Z參數(shù)方程的材料常數(shù)Table 2 Material constants of Z parameter equation for different materials

表3 不同材料erf參數(shù)方程的材料常數(shù)Table 3 Material constants of erf parameter equation for different materials

表4 不同材料MTS參數(shù)方程的材料常數(shù)Table 4 Material constants of MTS parameter equation for different materials

2.2 高溫變形流變應(yīng)力計算與試驗結(jié)果

將不同材料參數(shù)代入對應(yīng)的參數(shù)方程，再代入式(1),即得到不同參數(shù)方程計算得到的不同材料的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線，如圖1～圖3所示。不同參數(shù)方程計算得到的峰值應(yīng)力及實測峰值應(yīng)力見圖4。從圖1～圖4可以看出：由Z參數(shù)方程、LM參數(shù)方程、erf參數(shù)方程、MTS參數(shù)方程計算得到的商業(yè)純鋁和超低碳鋼的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線與試驗結(jié)果一致，計算所得峰值應(yīng)力與試驗值的相對誤差全部處于±10%范圍內(nèi)；而計算得到的無氧銅在某些變形條件(例如溫度500 ℃、應(yīng)變速率3 s-1；溫度600 ℃、應(yīng)變速率3 s-1；溫度800 ℃、應(yīng)變速率30 s-1；溫度900 ℃、應(yīng)變速率100 s-1)下的計算結(jié)果與試驗結(jié)果存在較大差距，計算所得峰值應(yīng)力與試驗值的相對誤差約為15%。由于熱壓縮變形試驗存在一定誤差，并且熱塑性變形的復(fù)雜性造成所建模型難以完全精確地描述所有變形條件下的流變應(yīng)力行為，因此計算曲線與試驗曲線存在不一致處。

圖1 不同溫度和應(yīng)變速率下商業(yè)純鋁真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線的試驗結(jié)果及不同特征參數(shù)計算結(jié)果Fig.1 Test results and calculation with different characteristic parameters of true stress-true strain curves of commercial pure aluminum at different temperatures and strain rates

3 結(jié) 論

(1) 基于變形特征值(σss，σp，εp，εr)及特征狀態(tài)參數(shù)(LM,Z,erf,MTS參數(shù))，建立了一個描述金屬材料高溫變形的本構(gòu)方程，該方程包括高溫變形過程方程和特征參數(shù)方程；通過在材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線上獲取特征點，采用參數(shù)方程簡單擬合即可得出本構(gòu)方程中材料常數(shù)與溫度、應(yīng)變速率的關(guān)系。

(2) 通過該本構(gòu)方程計算得到的純鋁和超低碳鋼的高溫真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線與試驗結(jié)果吻合性較好，其峰值應(yīng)力計算值與試驗值的相對誤差均小于10%，但無氧銅的達到了15%，模擬計算精度略低；該本構(gòu)方程可用于預(yù)測純鋁和超低碳鋼在熱加工變形條件下的流變應(yīng)力。

圖2 不同溫度和應(yīng)變速率下無氧銅真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線的試驗結(jié)果及不同特征參數(shù)計算結(jié)果Fig.2 Test results and calculation with different characteristic parameters of true stress-true strain curves of oxygen free copper at different temperatures and strain rates

圖4 不同試驗材料峰值應(yīng)力的實測值與不同特征參數(shù)計算值的對比Fig.4 Comparison of test values and calculated values with different characteristic parameters of peak stresses of different test materials: (a) commercial pure aluminum; (b) oxygen free copper and (c) ultra-low carbon steel