基于變形特征值及特征狀態(tài)參數(shù)的金屬材料高溫變形本構(gòu)方程

(天津鋼管集團(tuán)股份有限公司技術(shù)中心，天津 300301)

0 引 言

金屬熱變形流變應(yīng)力是金屬材料塑性加工工藝優(yōu)化及機(jī)械設(shè)計(jì)與研究的重要參數(shù)之一，其大小受到變形程度、變形溫度、應(yīng)變速率、合金化學(xué)成分與晶粒尺寸等因素的影響，也是變形體內(nèi)部顯微組織演變的綜合反映。然而到目前為止，流變應(yīng)力仍無理論解析式，只能通過諸如拉伸法、扭轉(zhuǎn)法和壓縮法等試驗(yàn)方法來求得，且一般以曲線的形式給出，不能直接應(yīng)用于熱軋、拉拔、擠壓等實(shí)際生產(chǎn)過程中變形抗力的計(jì)算。為此，很多學(xué)者建立了不同材料的流變應(yīng)力本構(gòu)方程及不同類型的流變應(yīng)力本構(gòu)模型。目前，金屬材料的高溫流變應(yīng)力本構(gòu)方程大致可分為3類：一是基于試驗(yàn)結(jié)果，利用某種數(shù)學(xué)函數(shù)建立的經(jīng)驗(yàn)方程，例如Voce方程[1]、Misaka方程[2]、Sah方程[3]、Johnson-Cook方程[4]等；二是基于物理理論(如位錯理論)建立的唯象方程，例如Bergstrom方程l[5]、Estrin-Mecking方程[6]、Zerilli-Armstrong方程[7]、Follansbee-Kocks方程[8]、Preston-Tonks-Wallace方程[9]；三是分段描述動態(tài)回復(fù)和動態(tài)再結(jié)晶的兩階段方程，即以經(jīng)驗(yàn)方程或唯象方程模型構(gòu)建動態(tài)回復(fù)階段的本構(gòu)方程，再將描述由動態(tài)再結(jié)晶引起加工軟化過程的Avrami方程合并到所構(gòu)建的本構(gòu)方程中，形成一個能夠描述動態(tài)再結(jié)晶階段的方程，例如Sellars-Tegart-Garofalo方程[10]、Laasraoui-Jonas方程[11]等[12-18]。

經(jīng)驗(yàn)方程的優(yōu)點(diǎn)是數(shù)學(xué)形式簡單，能夠描述金屬材料熱塑性變形時從動態(tài)回復(fù)階段到動態(tài)再結(jié)晶階段的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，采用回歸法容易求解方程中的常數(shù)；其主要缺點(diǎn)是不能反映動態(tài)再結(jié)晶對流變應(yīng)力的影響。唯象方程以位錯應(yīng)變理論為基礎(chǔ)，構(gòu)建的模型能夠精確描述金屬材料應(yīng)變硬化和動態(tài)回復(fù)階段的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，但亦不能反映動態(tài)再結(jié)晶對流變應(yīng)力的影響。兩階段方程是目前金屬材料熱加工過程中構(gòu)建的主要高溫變形本構(gòu)方程，能夠描述高溫變形過程中出現(xiàn)的動態(tài)再結(jié)晶現(xiàn)象，并且具有較好的流變應(yīng)力預(yù)測精度，但是該類方程將應(yīng)力-應(yīng)變曲線分段描述，不方便實(shí)際熱加工過程中流變應(yīng)力的預(yù)測計(jì)算。并且，該類方程材料常數(shù)的確定十分復(fù)雜，導(dǎo)致計(jì)算所得應(yīng)力-應(yīng)變曲線與試驗(yàn)曲線存在較大的誤差。作者在分析商業(yè)純鋁、無氧銅及超低碳鋼的高溫應(yīng)力-應(yīng)變曲線的基礎(chǔ)上，采用變形特征值及特征狀態(tài)參數(shù)，構(gòu)建了一個新的可以連續(xù)描述金屬材料高溫變形應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的唯象本構(gòu)方程，包括高溫變形過程方程和特征參數(shù)方程，并通過商業(yè)純鋁、無氧銅、超低碳鋼的高溫壓縮試驗(yàn)，對該本構(gòu)方程的計(jì)算準(zhǔn)確度進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 本構(gòu)方程模型

金屬材料在高溫塑性變形時，在低應(yīng)變速率下會發(fā)生動態(tài)再結(jié)晶，其應(yīng)力-應(yīng)變曲線上會出現(xiàn)峰值應(yīng)力等特征值點(diǎn)。據(jù)此，作者構(gòu)建了兩種本構(gòu)方程：一是根據(jù)應(yīng)力-應(yīng)變曲線上的特征值構(gòu)建高溫變形的過程本構(gòu)方程；二是構(gòu)建特征值的狀態(tài)方程，如LM參數(shù)狀態(tài)方程、Z參數(shù)狀態(tài)方程[10]、erf參數(shù)狀態(tài)方程(文獻(xiàn)[9]中方程的改進(jìn))、MTS參數(shù)狀態(tài)方程[8]。

構(gòu)建的高溫變形過程本構(gòu)方程為

(1)

式中：σ為應(yīng)力；σss為動態(tài)再結(jié)晶穩(wěn)態(tài)應(yīng)力；ε為應(yīng)變；εr為松弛應(yīng)變；C為常數(shù)，取1；σp為動態(tài)再結(jié)晶峰值應(yīng)力；εp為峰值應(yīng)變。

當(dāng)不發(fā)生動態(tài)再結(jié)晶時，飽和應(yīng)力σss(e)=σss=σp。

(1) 材料高溫變形過程中溫度與應(yīng)變速率的關(guān)系通過LM參數(shù)L可表示為

(2)

則各特征值σss，σp，εp，εr可表示為

σss/μ=σss,max-(σss,min-σss,max)×

(3)

σp/μ=σp,max-(σp,min-σp,max)×

(4)

εp=εp,max-(εp,min-εp,max)×

(5)

εr=εr,max-(εr,min-εr,max)×

(6)

式中：σp,max，σp,min，mp，σss,max，σss,min，mss，εp,max，εp,min，np，εr,max，εr,min，nr均為材料常數(shù)；μ為剪切彈性模量。

(2) 材料高溫變形過程中溫度與應(yīng)變速率的關(guān)系通過Z參數(shù)可表示為

(7)

式中：Q為熱變形表觀激活能；R為氣體常數(shù)。

則各特征值σss，σp，εp，εr可表示為

(8)

(9)

εp=BpZCp

(10)

εr=BrZCr

(11)

式中：αss，Ass，mss，αp，Ap，mp，Bp，Cp，Br，Cr均為材料常數(shù)。

(3) 材料高溫變形過程中溫度與應(yīng)變速率的關(guān)系通過erf參數(shù)Ferf可表示為

(12)

式中：g為材料常數(shù)；Tm為熔點(diǎn)溫度。

則各特征值σss，σp，εp，εr可表示為

σss/μ=Dss0+Dss1Ferf

(13)

σp/μ=Dp0+Dp1Ferf

(14)

εp=Ep0+Ep1Ferf

(15)

εr=Er0+Er1Ferf

(16)

式中：Dss0，Dss1，Dp0，Dp1，Ep0，Ep1，Er0，Er1均為材料常數(shù)。

(4) 材料高溫變形過程中溫度與應(yīng)變速率的關(guān)系通過MTS參數(shù)Ss可表示為

(17)

式中：K為玻爾茲曼常數(shù)；b為柏氏矢量。

則各特征值σss，σp，εp，εr可表示為

σss=exp(Fss0+Fss1Ss)

(18)

σp=exp(Fp0+Fp1Ss)

(19)

εp=exp(Gp0+Gp1Ss)

(20)

εr=exp(Gr0+Gr1Ss)

(21)

式中：Fp0，F(xiàn)p1，F(xiàn)ss0，F(xiàn)ss1，Gp0，Gp1，Gr0，Gr1均為材料常數(shù)。

2 高溫變形流變應(yīng)力計(jì)算及結(jié)果

2.1 材料參數(shù)計(jì)算步驟及結(jié)果

試驗(yàn)材料為商業(yè)純鋁、無氧銅、超低碳鋼。在試驗(yàn)材料高溫試驗(yàn)結(jié)果的基礎(chǔ)上分別進(jìn)行流變應(yīng)力計(jì)算。其中，商業(yè)純鋁高溫壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[19]，無氧銅高溫壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[20-22]，超低碳鋼高溫平面壓縮變形試驗(yàn)數(shù)據(jù)來自文獻(xiàn)[23]。

由文獻(xiàn)[24]可知，鋁的剪切彈性模量為

(22)

銅的剪切彈性模量為

(23)

鋼的剪切彈性模量為

(24)

首先采用式(1)擬合應(yīng)力-應(yīng)變曲線，獲得特征值(σss,σp,εp,εr)，然后采用式(2)～(6)、式(7)～(11)、式(12)～(16)、式(17)～(21)分別擬合LM參數(shù)方程、Z參數(shù)方程、erf參數(shù)方程、MTS參數(shù)方程，確定各參數(shù)方程中的各材料常數(shù),結(jié)果見表1～表4。

表1 不同材料LM參數(shù)方程的材料常數(shù)Table 1 Material constants of LM parameter equation for different materials

表2 不同材料Z參數(shù)方程的材料常數(shù)Table 2 Material constants of Z parameter equation for different materials

表3 不同材料erf參數(shù)方程的材料常數(shù)Table 3 Material constants of erf parameter equation for different materials

表4 不同材料MTS參數(shù)方程的材料常數(shù)Table 4 Material constants of MTS parameter equation for different materials

2.2 高溫變形流變應(yīng)力計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果

將不同材料參數(shù)代入對應(yīng)的參數(shù)方程，再代入式(1),即得到不同參數(shù)方程計(jì)算得到的不同材料的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線，如圖1～圖3所示。不同參數(shù)方程計(jì)算得到的峰值應(yīng)力及實(shí)測峰值應(yīng)力見圖4。從圖1～圖4可以看出：由Z參數(shù)方程、LM參數(shù)方程、erf參數(shù)方程、MTS參數(shù)方程計(jì)算得到的商業(yè)純鋁和超低碳鋼的真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果一致，計(jì)算所得峰值應(yīng)力與試驗(yàn)值的相對誤差全部處于±10%范圍內(nèi)；而計(jì)算得到的無氧銅在某些變形條件(例如溫度500 ℃、應(yīng)變速率3 s-1；溫度600 ℃、應(yīng)變速率3 s-1；溫度800 ℃、應(yīng)變速率30 s-1；溫度900 ℃、應(yīng)變速率100 s-1)下的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果存在較大差距，計(jì)算所得峰值應(yīng)力與試驗(yàn)值的相對誤差約為15%。由于熱壓縮變形試驗(yàn)存在一定誤差，并且熱塑性變形的復(fù)雜性造成所建模型難以完全精確地描述所有變形條件下的流變應(yīng)力行為，因此計(jì)算曲線與試驗(yàn)曲線存在不一致處。

圖1 不同溫度和應(yīng)變速率下商業(yè)純鋁真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線的試驗(yàn)結(jié)果及不同特征參數(shù)計(jì)算結(jié)果Fig.1 Test results and calculation with different characteristic parameters of true stress-true strain curves of commercial pure aluminum at different temperatures and strain rates

3 結(jié) 論

(1) 基于變形特征值(σss，σp，εp，εr)及特征狀態(tài)參數(shù)(LM,Z,erf,MTS參數(shù))，建立了一個描述金屬材料高溫變形的本構(gòu)方程，該方程包括高溫變形過程方程和特征參數(shù)方程；通過在材料的應(yīng)力-應(yīng)變曲線上獲取特征點(diǎn)，采用參數(shù)方程簡單擬合即可得出本構(gòu)方程中材料常數(shù)與溫度、應(yīng)變速率的關(guān)系。

(2) 通過該本構(gòu)方程計(jì)算得到的純鋁和超低碳鋼的高溫真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線與試驗(yàn)結(jié)果吻合性較好，其峰值應(yīng)力計(jì)算值與試驗(yàn)值的相對誤差均小于10%，但無氧銅的達(dá)到了15%，模擬計(jì)算精度略低；該本構(gòu)方程可用于預(yù)測純鋁和超低碳鋼在熱加工變形條件下的流變應(yīng)力。

圖2 不同溫度和應(yīng)變速率下無氧銅真應(yīng)力-真應(yīng)變曲線的試驗(yàn)結(jié)果及不同特征參數(shù)計(jì)算結(jié)果Fig.2 Test results and calculation with different characteristic parameters of true stress-true strain curves of oxygen free copper at different temperatures and strain rates

圖4 不同試驗(yàn)材料峰值應(yīng)力的實(shí)測值與不同特征參數(shù)計(jì)算值的對比Fig.4 Comparison of test values and calculated values with different characteristic parameters of peak stresses of different test materials: (a) commercial pure aluminum; (b) oxygen free copper and (c) ultra-low carbon steel