應(yīng)變片位置對(duì)動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子求解的影響

鄒廣平，諶赫

(哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

動(dòng)態(tài)斷裂韌性測(cè)試方法大致可以分為經(jīng)驗(yàn)公式法、應(yīng)變片法和光學(xué)方法，3種方法各有優(yōu)劣。早期動(dòng)態(tài)斷裂實(shí)驗(yàn)研究的思路是將宏觀量(加載點(diǎn)位移、載荷等)與微觀量(動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子)建立起聯(lián)系。對(duì)于不同構(gòu)型的試樣，提出了相對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)公式[1-2]，但經(jīng)驗(yàn)公式法的局限性日益突出。隨著光學(xué)測(cè)量技術(shù)的發(fā)展，裂紋尖端應(yīng)變場(chǎng)可以通過(guò)光學(xué)測(cè)量手段測(cè)得，典型的測(cè)量手段有光彈法[3]、焦散線法[4]、數(shù)字圖像相關(guān)法[5]、相干梯度敏感干涉法[6]等。結(jié)合高速攝影技術(shù)，裂紋擴(kuò)展過(guò)程也可以被觀察到[7]。目前各種光學(xué)方法在材料斷裂領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。應(yīng)變片法是將應(yīng)變片粘貼在裂紋尖端附近，通過(guò)應(yīng)變片信號(hào)計(jì)算應(yīng)力強(qiáng)度因子。由于應(yīng)變片可以直接得到裂紋尖端的信息，一般認(rèn)為該方法較為準(zhǔn)確，可以用來(lái)標(biāo)定其他方法[8]。應(yīng)變片法相對(duì)于光學(xué)方法成本更低，但在高溫或低溫等特殊條件下不適用。Dally等[9]最早采用應(yīng)變片法對(duì)材料準(zhǔn)靜態(tài)與動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子進(jìn)行了測(cè)定，采用單應(yīng)變片測(cè)量I型應(yīng)力強(qiáng)度因子，給出了應(yīng)變片粘貼角度滿足一定條件時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子與應(yīng)變片信號(hào)之間的關(guān)系。Rittel[10]將應(yīng)變片法應(yīng)用于Ⅱ型問(wèn)題，采用雙應(yīng)變片，通過(guò)不同方向的應(yīng)變來(lái)求解應(yīng)力強(qiáng)度因子。目前雖然有學(xué)者討論了應(yīng)變片的角度[11]、位置[12]如何影響起裂時(shí)間測(cè)定，但應(yīng)變片位置對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子測(cè)定精度的影響僅有定性分析，尚未細(xì)致討論[13-14]。文獻(xiàn)[10]提出的雙應(yīng)變片法的計(jì)算誤差取決于系數(shù)矩陣條件數(shù)。

本文分析應(yīng)變片位置對(duì)系數(shù)矩陣條件數(shù)的影響，指出條件數(shù)最小的位置，同時(shí)采用數(shù)值模擬方法分析了不同條件數(shù)的情況下隨機(jī)誤差對(duì)動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算解的影響，給出合適的應(yīng)變片粘貼位置。

1 應(yīng)變片法計(jì)算動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子

如圖1所示的坐標(biāo)系中，應(yīng)變可以表示為[10]：

(1)

式中：下標(biāo)i、j為應(yīng)變分量方向，取值范圍為1、2；下標(biāo)k為應(yīng)變片的編號(hào)，圖1中應(yīng)變片1測(cè)量ε11，應(yīng)變片2測(cè)量ε22。

圖1 裂尖局部坐標(biāo)系Fig.1 Local coordinate system at crack tip

應(yīng)變分量與應(yīng)力強(qiáng)度因子為：

(2)

式中系數(shù)矩陣為F，反解式(2)即可解出每一時(shí)刻的應(yīng)力強(qiáng)度因子：

F=K-1ε

(3)

平面應(yīng)力狀態(tài)下，式(2)中的gij(θ)表達(dá)式分別為：

(4)

式中:E為楊氏模量;ν為泊松比，將E替換為E/(1-ν2);ν替換為ν/(1-ν)即可得到平面應(yīng)變狀態(tài)下的表達(dá)式。

2 系數(shù)矩陣條件數(shù)的變化規(guī)律

由矩陣?yán)碚摽芍?，?3)解的精度取決于矩陣F-1的條件數(shù)。矩陣條件數(shù)的定義為：

cond(F)=‖F(xiàn)‖2·‖F(xiàn)-1‖2

(5)

式中為‖F(xiàn)‖2矩陣F的2-范數(shù)，顯然，矩陣F-1的條件數(shù)等于F的條件數(shù)。當(dāng)系數(shù)矩陣病態(tài)，即條件數(shù)很大時(shí)，應(yīng)變分量的微小變化可能引起應(yīng)力強(qiáng)度因子解的極大誤差。因此討論系數(shù)矩陣條件數(shù)的變化規(guī)律是十分必要的。

系數(shù)矩陣條件數(shù)的表達(dá)式十分復(fù)雜，其值取決于應(yīng)變片的粘貼位置。為簡(jiǎn)便，本文從以下2種特殊情況分析：

1)2個(gè)應(yīng)變片中心點(diǎn)連線與裂尖共線，即θ1=θ2=θ，r1/r2=a(a≠1)時(shí)，矩陣的行列式為：

(6)

可見(jiàn)系數(shù)矩陣F接近奇異，這種情況是高度病態(tài)的，因此這種情況應(yīng)當(dāng)排除；

2)2個(gè)應(yīng)變片中心點(diǎn)到裂尖的距離相等，即r1=r2，此時(shí)條件數(shù)與θ1和θ2有關(guān)。對(duì)于如圖2所示的網(wǎng)格，θ1和θ2的取值范圍是±168.75°，間隔11.25°。取r1=r2=5 mm，E=68.5 GPa，ν=0.33，采用Matlab編程計(jì)算系數(shù)矩陣的條件數(shù)。限于篇幅，本文列出±90°范圍內(nèi)系數(shù)矩陣條件數(shù)的值，計(jì)算結(jié)果分別如表1、2所示?？梢钥闯觯禂?shù)矩陣條件數(shù)在θ1與θ2分別取±90°時(shí)取得極小值1，而當(dāng)θ1=0°，θ2=±90°時(shí)，系數(shù)矩陣條件數(shù)取得極大值565.7。將表1中大于10的數(shù)據(jù)用方括號(hào)表示，大于2的數(shù)據(jù)用圓括號(hào)表示，可見(jiàn)多數(shù)情況下系數(shù)矩陣條件數(shù)不大于2，但在極大值附近梯度很大。

推廣到一般情況，即θ1與θ2的值確定，但r1≠r2的情形。設(shè)r1

(7)

圖2 裂紋尖端網(wǎng)格劃分Fig.2 Mesh of specimen near crack tip

圖3為文獻(xiàn)[10]中應(yīng)變片的粘貼位置，應(yīng)變片的坐標(biāo)為：r1=2.65 mm，θ1=1.4°；r2=3.77 mm，θ2=-74.7°。代入式(2)可以計(jì)算出系數(shù)矩陣的條件數(shù)為26.57，可見(jiàn)此時(shí)系數(shù)矩陣較為病態(tài)?？紤]到測(cè)量誤差，實(shí)際貼片位置的系數(shù)矩陣條件數(shù)值可能更大，因此按文獻(xiàn)[10]的位置貼片是不合適的。

圖3 文獻(xiàn)[10]的貼片位置Fig.3 Location of strain gauges in ref.[10]

表1 系數(shù)矩陣條件數(shù)與角度的關(guān)系(第1部分)Table 1 Condition number of coefficient matrix under different angles (part 1)

表2 系數(shù)矩陣條件數(shù)與角度的關(guān)系(第2部分)Table 2 Condition number of coefficient matrix under different angles (part 2)

續(xù)表2

3 應(yīng)變片法誤差分析

應(yīng)變片的原理是通過(guò)電信號(hào)求解應(yīng)變，而電路中不可避免存在噪聲干擾，帶來(lái)隨機(jī)誤差。本文討論條件數(shù)不同的情況下，隨機(jī)誤差對(duì)應(yīng)力強(qiáng)度因子求解的影響。本文基于分離式Hopkinson拉桿實(shí)驗(yàn)裝置，提出1種改進(jìn)的緊湊拉伸試樣(modified compact tension shear,MCTS)用于Ⅱ型及復(fù)合型動(dòng)態(tài)斷裂加載測(cè)試[15]。本文采用ABAQUS軟件對(duì)MCTS試樣受到Ⅱ型加載的問(wèn)題進(jìn)行有限元分析，根據(jù)定義，采用應(yīng)力外推法[16]計(jì)算出動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子值。MCTS試樣有限元模型如圖4所示，入射桿端部施加的應(yīng)力波形為參考文獻(xiàn)[17]中實(shí)測(cè)波形。

圖4 MCTS試樣有限元模型Fig.4 Finite element model of MCTS specimen

為了便于討論，本文中將數(shù)值模擬直接求得的解稱為數(shù)值解，通過(guò)理論公式推導(dǎo)出的結(jié)果稱為計(jì)算解。采用應(yīng)力外推法求得MCTS試樣動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子數(shù)值解，如圖5所示。將應(yīng)力強(qiáng)度因子值代入式(2)即可求得一點(diǎn)應(yīng)變的計(jì)算解。在此基礎(chǔ)上附加隨機(jī)誤差后，代入式(3)反解出應(yīng)力強(qiáng)度因子，并與其數(shù)值解進(jìn)行對(duì)比。

圖5 MCTS試樣動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子Fig.5 Dynamic SIF of MCTS specimen

圖6顯示了隨機(jī)誤差幅值為應(yīng)變最大值的5%時(shí)，應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算解與數(shù)值解的差異。圖6(a)、(b)分別選取系數(shù)矩陣條件數(shù)取極小值1與極大值565.7的情況。由圖可見(jiàn)，當(dāng)條件數(shù)取極大值時(shí)，5%的隨機(jī)誤差就足以使動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的解面目全非。

圖6 5%隨機(jī)誤差下動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子解Fig.6 Dynamic SIF solution under 5% random error

當(dāng)條件數(shù)取極小值時(shí)，動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子解的誤差很小。增大隨機(jī)誤差的數(shù)量級(jí)，幅值為應(yīng)變最大值的25%時(shí)，求解結(jié)果如圖7所示。作為對(duì)比，系數(shù)矩陣條件數(shù)取在相同數(shù)量級(jí)，分別為1、5.9?？梢?jiàn)動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算誤差與條件數(shù)的數(shù)量級(jí)有關(guān)。當(dāng)條件數(shù)位于同一數(shù)量級(jí)時(shí)，同樣幅值隨機(jī)誤差作用下解的計(jì)算誤差也在同一數(shù)量級(jí)。

圖7 25%隨機(jī)誤差下動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子解Fig.7 Dynamic SIF solution under 25% random error

4 改進(jìn)的緊湊拉抻試樣動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子解

選取不同應(yīng)變片位置計(jì)算動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子。節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)如表5所示。將動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子數(shù)值解代入式2可以求得每一節(jié)點(diǎn)的應(yīng)變分量的計(jì)算解。應(yīng)變分量計(jì)算解與數(shù)值解的對(duì)比如圖8、9所示。

表5 節(jié)點(diǎn)編號(hào)與坐標(biāo)Table 5 Number and coordinate of nodes

圖8 第1組節(jié)點(diǎn)應(yīng)變對(duì)比Fig.8 Strain comparison of node group 1

圖9 第2組節(jié)點(diǎn)應(yīng)變對(duì)比Fig.9 Strain comparison of node group 2

可以看出，第1組節(jié)點(diǎn)條件數(shù)取得極小值，但應(yīng)變計(jì)算解與數(shù)值解誤差較大；第2組節(jié)點(diǎn)條件數(shù)更大，應(yīng)變計(jì)算解與數(shù)值解誤差較小。節(jié)點(diǎn)應(yīng)變的最大絕對(duì)誤差與最大相對(duì)誤差如表6所示。應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算解與數(shù)值解對(duì)比見(jiàn)圖10、11。解的誤差見(jiàn)表7。

表6 節(jié)點(diǎn)應(yīng)變誤差Table 6 Error of nodal strain

圖10 第1組節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子解Fig.10 Solution of DSIF of node group 1

圖11 第2組節(jié)點(diǎn)動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子解Fig.11 Solution of DSIF of node group 2

表7 動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子誤差Table 7 Error of DSIF solution

二者比較可以看出，雖然在±90°方向上系數(shù)矩陣條件數(shù)取得極小值，但應(yīng)變計(jì)算解與數(shù)值解的誤差較大；而在-45°方向附近應(yīng)變計(jì)算解與數(shù)值解的誤差較小，故后者精度更高。由此可見(jiàn)，要提高動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子解的精度不僅需要考慮系數(shù)矩陣條件數(shù)，還需要考慮應(yīng)變計(jì)算解與數(shù)值解的誤差。

5 結(jié)論

1)應(yīng)變片法求解動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的過(guò)程中，系數(shù)矩陣條件數(shù)取決于應(yīng)變片位置。大部分位置滿足條件數(shù)小于2，而某些特定位置下條件數(shù)可能超過(guò)500，粘貼應(yīng)變片時(shí)需要避開(kāi)這些位置。

2)隨機(jī)誤差作用下，動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子解計(jì)算誤差與隨機(jī)誤差之比的數(shù)量級(jí)與系數(shù)矩陣條件數(shù)的數(shù)量級(jí)相同。系數(shù)矩陣條件數(shù)大于500時(shí)，5%隨機(jī)誤差即可對(duì)動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子的解產(chǎn)生巨大影響；而條件數(shù)小于10時(shí)，條件數(shù)的影響并不顯著。

3)動(dòng)態(tài)載荷作用下，試樣裂紋尖端應(yīng)變場(chǎng)是數(shù)值解與式(2)在θ=-45°或θ=±90°方向能夠較好地符合。在這些方向上粘貼應(yīng)變片能得到精度較高的解。