丁吉文
數(shù)學教學中,數(shù)學概念及其性質教學占有重要地位,是數(shù)學單元知識教學的基礎與起點。現(xiàn)在這部分教學通常采用設計情境法,這也是數(shù)學課程標準倡導的。情境分為問題情境、模型情境、案例情境三種。本文主要就模型情境展開論述,并把它與問題情境進行比較,說明它們各自優(yōu)勢與必要性。
模型情境教學,就是進行新概念及其性質教學時借助已知模型,關注它們的聯(lián)系和應用,創(chuàng)設跨領域的場景,用模型的屬性抽象成新概念屬性的教學方式1。模型情境與問題情境不同,問題情境是通過還原知識發(fā)生場景,設置問題鏈引導學生學習。
一、模型情境教學
模型情境教學操作流程:
具體操作(以向量的學習為例):
第一步,引出新概念,給出定義,分析強調定義的構成要素,讓學生先找感覺,有感性認識。認識效果不必在意,能為進入下一環(huán)節(jié)提供聯(lián)想條件就可以了。向量學習伊始,給出并刻意強調向量定義包含兩個要素,大小和方向。大部分學生對有大小與方向的量不陌生,他們有知識儲備有能力聯(lián)想,描繪出向量的幾何模型。
第二步,導出模型,建立新舊知識聯(lián)系,確立模型。學生已對新概念有了感性認識,啟發(fā)學生,在學習過的知識中,有沒有相關類似知識,如果有,能聯(lián)系嗎。這一環(huán)節(jié)中,教師啟發(fā)是必須而且及時的。當學生聯(lián)想正確,迅速建立它們關系,確立新概念的數(shù)學模型。向量教學,第一步中,學生自然在知識庫中檢索出,物理中速度,位移等量也是有大小與方向的量,它們是向量嗎,它們性質向量是否也具有。教師給出肯定答案時,確立物理中的速度為向量的模型。
第三步,數(shù)學模型與新概念進行知識同化。分析新概念與數(shù)學模型,揭示它們本質屬性與聯(lián)系,指出它們根本上是相同或者相關的,有相同或者相關性質,分析新知識只需知道舊知識這個模型就可以了。列出模型的有關系性質。向量教學中,速度本質上講也是向量,是向量的一種具體形式,而向量是對速度等物理量的一種抽象,所以速度的有關知識可以移植到向量中去。速度的合成,速度的分解等。
第四步,舊知識遷移,把新概念納入到既有知識體系中去,成為學生知識庫的一部分。分析了數(shù)學模型有關系屬性,通過遷移得到新概念的屬性,最后學生會發(fā)現(xiàn),新也是舊,核心知識沒變,只是包裝變了,研究對象變了。新概念是舊知識在另外一個領域的呈現(xiàn),是舊知的拓展與延伸,新還是舊。這樣學生的數(shù)學認知結構就擴大了,認知內容豐富了,容量大了。向量學習中,速度也是向量,之前研究的是向量一個個具體對象,現(xiàn)在把它們當成整體來研究了,是知識的拓展不是知識的創(chuàng)新。
二、模型情境的分類與案例
模型情境教學,關鍵是數(shù)學模型,首先是要有,然后是用。模型情境中的模型可分為知識內容模型與研究方法模型兩大類
1.知識內容類模型
數(shù)學單元中,知識本質相同,即知識體系中核心知識一樣,只不過研究的問題指向與對象不同,就有了不同知識表象和不同名字,我們權且把它們稱知識列。在這個知識列中,如果學習了其中一個,學習其它時,就可以學習過的作模型應用模型情境教學。高中數(shù)學,可以稱為知識列的很多,下面做一個小節(jié)。
二分系列。一個整體,一分為二,合二為一就又成為一個整體。其來源應該是數(shù)學加法原理中的分類原理,體現(xiàn)了中國傳統(tǒng)文化中的二元思想。一分為二數(shù)學中頗多出現(xiàn),高中最先應用是集合關系中的集合互補,把全集分成兩部分,對應兩個集合就是互為補集。在學習概率時,對立事件也體現(xiàn)一分為二思想,整體分成兩個事件,這兩個事件為對立事件。證明中的反證法,結論判定有兩種結果,對與錯,命題學習中的求命題的否定,都是二分原理具體體現(xiàn)。學習了補集后,完全可以以它為模型,用模型情境來學習其它知識,因為本質上講,它們是相同的。
向量與復數(shù)(這里向量特指平面向量)。向量與復數(shù)是兩個數(shù)學概念,給學生感覺它們是不同,它們也的確不盡相同,它們研究不同對象過程中,生出不同分支,但就本質而言,它們都是研究二維數(shù)的,主干一樣。數(shù)的發(fā)展,首先是一維的實數(shù),然后是二維的復數(shù),復數(shù)自然是復數(shù),二維向量本質上也是復數(shù),是復數(shù)的幾何形式。編排中向量在前,學習復數(shù)時就可以向量做為模型。
指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)。指數(shù)與對數(shù)本質相同ab=N與logaN=b,它們反映三個量a 、b 、N關系沒變,變的只是形式,在學習了指數(shù)函數(shù)時,就可心指數(shù)函數(shù)作模型來研究對數(shù)函數(shù),特別是其中的a,為什么要分成01兩種情況。
這一類數(shù)學模型很多。需要我們老師研究教學,深刻把握教材,我們老師研究到位了,才能在上課時熟練應用。
2.研究方法類模型
大部分人說數(shù)學難學,抽象復雜,難得要領,但也有人說數(shù)學不難,研究數(shù)學方法就那幾種,舉一反三就可以了,不似語文英語要記那么多字詞。后面這種人悟到了數(shù)學精髓,學數(shù)學,內容上打破知識壁壘,求其本質,學習方法上講復制,相近相同,特點相近的知識,可以用同樣的方法研究。
例如,學習過指數(shù)函數(shù)后,接著是對數(shù)函數(shù),完全可以指數(shù)函數(shù)為模型研究對數(shù)函數(shù),上面講過它們之間數(shù)學內容上的模型,現(xiàn)在講的是研究方法模型。指數(shù)函數(shù)研究方法是做圖,研究圖形特點,得到函數(shù)的性質,在研究圖形時,包括函數(shù)定義域、值域、函數(shù)單調性、奇偶性,是否過特殊點,在學習對數(shù)函數(shù)時,如法炮制就可以了。學習所有函數(shù)性質時,都是如此,包括冪函數(shù),三角函數(shù)等。
數(shù)列學習中,講完等差數(shù)列后,再講等比數(shù)列時,研究方法同樣是復制等差數(shù)列就可以了。先是定義,然后是數(shù)列的通項公式,最后是前N項和,中間穿插數(shù)列的性質。
立體幾何學習時,研究方法更加如此,線面平行學習后,其研究方法與過程就可做為模型,來研究其它關系,線面垂直、面面平行、面面垂直。方法都是,先定義,然后判定,然后性質。
我們教師重視數(shù)學知識教學,也要重視數(shù)學研究方法教學,授人以魚不如授人以漁,學生需要金子,更需要那根點石成金的手指,唯有學生學會能用研究方法,學生才算是學過數(shù)學的人,他們不是知識的搬運工,而是知識的建設者。
三、模型情境原則
模型情境在數(shù)學概念與性質教學中的作用已經顯而易見,它是培養(yǎng)學生能力,提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要保證。提高學生素養(yǎng)不是口號,要能調動學生,讓學生主動研究,把提高學生素養(yǎng)落實到具體教學中去。在調動學生上模型情境起到了發(fā)動機作用,學生發(fā)動起來了,主動而不是被動參與,余下事情就容易做了。但模型情境也不是任何時候都可以用,要遵守以下原則。
(1)學生主體性原則。數(shù)學模型情境教學中,學生是教學過程中的主體,任務的完成主要是靠學生的分析、聯(lián)想、類比、遷移來完成的,老師不可越俎代庖,教程中大包大攬,教師只是起到必要及時的引導作用。核心素養(yǎng)下,要求我們老師人僅重視教,還要重視如何學,引導學生會學數(shù)學,養(yǎng)成良好的學習習慣,要努力激發(fā)學生的學習興趣,促使更多學生熱愛數(shù)學2。
(2)內容適用性原則。上面分析過,它在學生知識來源上,是知識的傳承,不是知識的創(chuàng)造,所以在用之前,先清楚是否有模型,沒有就不能生搬硬套,亂點鴛鴦譜,還是要問題情境發(fā)揮作用。講指數(shù)函數(shù)時,其概念就找不到其數(shù)學模型,反正我沒找到。
(3)適度性原則。用數(shù)學模型情境進行數(shù)學概念及性質教學時,能解決一部分問題,不是全部,用數(shù)學模型要適度。數(shù)學模型溝通的是新舊知識關系,新知識是舊知識的發(fā)展,不是簡單重復,它們在解決不同問題過程中衍生出不同的知識體系,不能把它們等同起來,哪怕它們知識本質是相同的。復數(shù)與向量都是研究二維數(shù)字,但它們后來的研究方法不同,我們用模型只是解決它們在概念與運算這些性質上,不可盲目擴大。
(4)方式方法發(fā)展性原則。用數(shù)學模型情境時,同一個模型,要隨著知識面的擴展與程度加深而有所以變化,不可一個模型一成不變用下去,要適度增加一些內容,讓模型變得豐富,更實用。指數(shù)函數(shù)模型用來研究對數(shù)函數(shù)非常好,但到了三角函數(shù)時,要增加函數(shù)周期性,三角函數(shù)有周期性,指數(shù)函數(shù)沒有。學習指數(shù)函數(shù)時,還沒接觸函數(shù)的周期性。
模型情境教學要求教師對教材有深刻的認識與理解,唯有如此,才能數(shù)學知識之間自如縱橫聯(lián)系,互為模型實施教學。正如廚師煮菜,技術有了,還要有食材,沒有食材,廚師煮不出菜,教師沒研究透徹知識間本質關系,也用不好模型情境教學法。所以我們要堅持研究教學與教材,把數(shù)學知識融會貫通。這樣,我們才可以把這個工作做得更好,課堂更有效。
責任編輯 徐國堅