四邊簡(jiǎn)支含多孔材料雙層板隔聲特性?

陳 亮 沈 敏

0 引言

由于采用單一的材料進(jìn)行噪聲控制效果并不理想，研究人員對(duì)多種材料進(jìn)行組合設(shè)計(jì)復(fù)合板結(jié)構(gòu)，提高板結(jié)構(gòu)隔聲特性[1?2]。在兩層平板中間填充多孔吸聲材料，在飛機(jī)艙室結(jié)構(gòu)中非常普遍。深入探索雙層板結(jié)構(gòu)聲振耦合系統(tǒng)的物理本質(zhì)，可以更好地指導(dǎo)高速機(jī)車、艦船、飛機(jī)、航天飛行器等的聲學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)[3]。

目前，針對(duì)復(fù)合板結(jié)構(gòu)隔聲特性已有許多相關(guān)的研究，總體可分為無限大板和有限大板結(jié)構(gòu)兩類。對(duì)于無限大含多孔材料復(fù)合板結(jié)構(gòu)聲振耦合特性，Bolton 等[4]建立了多孔材料與面板的耦合邊界條件，理論研究了在雙層板中夾層為多孔彈性材料的隔聲特性。Liu[5]在Bolton等研究的基礎(chǔ)上，研究了含多孔材料的無限大三層板結(jié)構(gòu)的隔聲特性。Zhou等[6]考慮了外流場(chǎng)對(duì)傳聲損失的影響。陳衛(wèi)松等[7]通過傳遞矩陣法研究了芯層為多孔材料的三層復(fù)合板結(jié)構(gòu)隔聲特性。Lee 等[8]將板中間的多孔材料作為等效流體，簡(jiǎn)化了理論模型，計(jì)算了雙層板結(jié)構(gòu)隔聲量(Sound transmission loss,STL)。Yablonik[9]基于聲傳遞理論計(jì)算雙層鋁板中含有多孔材料的復(fù)合板STL，使用Johnson-Champoux-Allard 等效模型分析聲波在多孔材料中的傳播。

實(shí)際工程中大多為有限大復(fù)合板結(jié)構(gòu)，應(yīng)當(dāng)考慮邊界條件對(duì)結(jié)構(gòu)聲振特性的影響。Carneal 等[10]提出用結(jié)構(gòu)模態(tài)疊加法表示聲場(chǎng)的分布，理論計(jì)算了四邊簡(jiǎn)支雙層板的STL，并與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了其理論結(jié)果的正確性。Xin[11?12]等分別研究了簡(jiǎn)支和固支支撐下中間為空氣芯層雙層板結(jié)構(gòu)的隔聲特性，并討論了相關(guān)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)隔聲特性的影響。Liu 等[13]研究了四邊固支邊界條件下，含多孔材料復(fù)合雙層板結(jié)構(gòu)隔聲特性。

然而，對(duì)于其他邊界條件下，含多孔材料和空氣層的復(fù)合雙層板結(jié)構(gòu)隔聲特性的分析尚未見到報(bào)道，對(duì)于其他邊界條件下復(fù)合板結(jié)構(gòu)隔聲特性研究尚不充分。因此，本文旨在研究四邊簡(jiǎn)支邊界條件下，中間芯層為多孔材料和空氣層的復(fù)合雙層板結(jié)構(gòu)的隔聲特性。首先基于流體飽和多孔彈性介質(zhì)的聲傳播理論(Biot)計(jì)算聲波在多孔介質(zhì)中的傳播波數(shù)；繼而采用四邊簡(jiǎn)支邊界條件下板結(jié)構(gòu)的模態(tài)函數(shù)，利用模態(tài)疊加法和伽遼金(Galerkin)法推導(dǎo)復(fù)合板結(jié)構(gòu)隔聲系數(shù)理論模型，并數(shù)值求解復(fù)合板結(jié)構(gòu)STL。將理論模型得到的四邊簡(jiǎn)支復(fù)合板STL與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證理論模型的正確性。最后，詳細(xì)討論四邊簡(jiǎn)支邊界條件、板結(jié)構(gòu)尺寸和多孔材料主要參數(shù)對(duì)隔聲特性的影響。

1 雙層板內(nèi)襯多孔彈性材料聲學(xué)模型

1.1 四邊簡(jiǎn)支雙層復(fù)合板聲學(xué)模型

雙層板由兩個(gè)各向同性、均質(zhì)的薄鋁板作為面板，中間芯層是彈性多孔材料疊加空氣層組成。兩個(gè)鋁板四邊為簡(jiǎn)支邊界條件，固定在無限大的剛性聲障上。平面簡(jiǎn)諧波以俯仰角?和方位角θ斜入射到上層面板，如圖1所示。上面板的振動(dòng)通過彈性多孔介質(zhì)與空氣層作用向下傳遞，引起下面板振動(dòng)并向外輻射聲波。假設(shè)由無限大剛性聲障隔開的入射聲場(chǎng)和透射聲場(chǎng)是半無限大的，具有相同的空氣密度ρ0、聲速c0。結(jié)構(gòu)的尺寸如下：上板和下板具有相同的長(zhǎng)寬a和b，上下板的厚度分別是h1和h2，芯層材料總厚度為H。

圖1 四邊簡(jiǎn)支內(nèi)襯彈性多孔材料雙層板結(jié)構(gòu)Fig.1 A simply supported double-wall sandwich panel lined with poroelastic materials

雙層板中間內(nèi)襯彈性多孔芯層材料或者空氣層可以組合成不同的結(jié)構(gòu)，如圖2所示。圖2中顯示的結(jié)構(gòu)AA是指兩塊面板中間只有空氣層；結(jié)構(gòu)BB指的是兩塊面板都與多孔材料芯層直接綁定在一起；結(jié)構(gòu)BU是第一塊板與多孔材料固定，第二塊板與多孔材料分離，通過空氣層耦合；結(jié)構(gòu)UU是兩塊面板均與多孔材料分離，通過空氣層進(jìn)行耦合。

圖2 雙層復(fù)合板不同結(jié)構(gòu)Fig.2 Different configurations of the double-wall sandwich panel

1.2 聲波在多孔彈性材料中傳播

在給定的入射方向(?,θ)下，平面波入射到上面板，進(jìn)入多孔彈性介質(zhì)傳播，波數(shù)分量為

其中，空氣中入射的平面波波數(shù)k0=ω/c0。

根據(jù)Biot 的理論[14?15]，聲波在均勻且各向同性的流體飽和多孔彈性介質(zhì)中傳播時(shí)，以快縱波、慢縱波和剪切波3 種形式傳播。由于接下來的分析中只討論了聲波垂直入射的情況，所以剪切波的影響可以忽視。k1、k2分別為快縱波、慢縱波的波數(shù)，具體表達(dá)式可參考Biot[14?15]。

利用固相-流體相的體積應(yīng)變可以推導(dǎo)出位移分量的表達(dá)式，固相和流體相中位移在z方向分量表示為

固相和流體相在z方向的應(yīng)力為

其中：k21,2z=k21,2-(k2x+k2y)為波數(shù)在z方向的分量，εs1、εf1、εs2、εf2為與材料參數(shù)相關(guān)的系數(shù)，可參考文獻(xiàn)[13]。將在多孔材料固相和流體相中的位移分量usz和ufz、應(yīng)力σsz和σfz代入復(fù)合板結(jié)構(gòu)中多孔材料與面板或者空氣層不同耦合界面邊界條件求解未知常數(shù)C1～C4。

1.3 耦合邊界條件

邊界條件取決于板和多孔材料的耦合關(guān)系，如圖3所示。假定面板是各向同性的均勻板，板的厚度對(duì)比板的橫向尺寸足夠薄，根據(jù)Kirchhoff-Love 板理論，面內(nèi)變形以及剪切應(yīng)力可以忽略。

圖3 不同耦合情況Fig.3 Different coupling methods

板與多孔材料直接耦合如圖3(a)所示，必須滿足3 個(gè)邊界條件：一個(gè)法相應(yīng)力條件和兩個(gè)法相位移條件：

多孔材料通過空氣層與板耦合如圖3(b)所示，在多孔材料表面有3 個(gè)邊界條件：兩個(gè)法向應(yīng)力條件和一個(gè)法向速度條件：

在兩層彈性板的表面有兩個(gè)邊界條件：兩個(gè)法向速度條件：

2 復(fù)合板BB布局聲振模型

本節(jié)詳細(xì)推導(dǎo)了BB結(jié)構(gòu)的聲振問題，由于BU結(jié)構(gòu)、UU 結(jié)構(gòu)推導(dǎo)與BB 結(jié)構(gòu)推導(dǎo)相似，本文將不再贅述。因?yàn)槭菑椥远嗫撞牧现苯优c面板連接，所以芯層的厚度就是彈性多孔材料的厚度。

2.1 板的彎曲振動(dòng)

用W1和W2分別表示上板和下板的橫向位移。在諧波激勵(lì)下，上下板的橫向變形可以用模態(tài)分解形式表達(dá)為

對(duì)于BB 結(jié)構(gòu)，當(dāng)兩塊板都直接與多孔材料固定，上下板的彎曲運(yùn)動(dòng)表達(dá)式為

其中，雙調(diào)和算子?4= (?2/?x2+?2/?y2)2；板的面密度mi=ρphi(i= 1,2)，ρp為板的密度；彎曲剛度，Ep為板的楊氏模量，ηp為板的損失因數(shù)，νp為板的泊松比。

2.2 加權(quán)余量法

基于權(quán)函數(shù)的加權(quán)余量法，微分方程的解是形函數(shù)的線性組合，在整個(gè)域內(nèi)，權(quán)函數(shù)與微分方程的乘積的積分可以設(shè)為0，權(quán)函數(shù)取形函數(shù)?mn。對(duì)式(9)和式(10)運(yùn)用加權(quán)余量法可得

通過求解積分方程(11)和積分方程(12)，可以得

到

其中，矩陣(13)中的元素分別為

方程(11)和方程(12)中只有α1,mn和α2,mn是未知的，m、n取值是無限多的，但是這類方程可用截?cái)喾椒▉磉M(jìn)行數(shù)值求解：1 ≤m,n≤M，其中最大整數(shù)M取值需要同時(shí)保證精度高而且計(jì)算量小。M2×M2的矩陣??1和??2具體值在附錄A中給出。通過求解方程(13)可以計(jì)算出模態(tài)系數(shù)αi,mn(i=1,2)，從而能求解出板位移W1和W2。

2.3 復(fù)合板結(jié)構(gòu)入射聲功率傳輸損失

入射聲場(chǎng)中的聲速度勢(shì)由一個(gè)入射波與一個(gè)反射波組成，其幅值分別為I和R，聲速度勢(shì)可表示為

假設(shè)入射波是單位振幅，即I= 1，同時(shí)假設(shè)聲波透射場(chǎng)是半無限大且消聲終止，因此在這個(gè)聲場(chǎng)中就只有一個(gè)振幅為T的透射波，其聲速度勢(shì)可以表示為

將聲波入射速度勢(shì)帶入面板和多孔材料以及空氣層耦合的邊界條件可以分別求出反射系數(shù)R和透射系數(shù)T的表達(dá)式，通過加權(quán)余量法求解上板和下板的位移，可以得到反射系數(shù)R和透射系數(shù)T的具體數(shù)值。

聲功率定義為其中，質(zhì)點(diǎn)速度與聲壓p的關(guān)系為v=p/ρ0c0，上標(biāo)“*”表示共軛復(fù)數(shù)。

聲波的隔聲系數(shù)為輻射聲功率與入射聲功率的比值：

STL定義為：

3 結(jié)果與討論

本節(jié)討論四邊簡(jiǎn)支約束雙層復(fù)合板隔聲特性?？紤]到聲波垂直入射時(shí)，對(duì)于四邊簡(jiǎn)支邊界條件，可以忽略剪切波的影響，因此，本文僅考慮聲波垂直入射下的情況。上下層面板都是鋁板，具體參數(shù)如表1所示。中間芯層是聚氨酯泡沫多孔材料，詳細(xì)參數(shù)如表2所示。復(fù)合板結(jié)構(gòu)可形成4 種不同布局，除特殊聲明外，不同布局的芯層材料厚度分布如表3所示?？諝饷芏圈?= 1.12 kg/m3， 聲速c0= 343 m/s，比熱比γ= 1.4，普朗特常數(shù)Pr=0.71。除特別聲明，板尺寸為0.3 m×0.3 m。

表1 鋁板性能參數(shù)Table 1 Property parameters of the aluminium plates

表2 彈性多孔材料性能參數(shù)Table 2 Property parameters of the poroelastic material

表3 AA、BB、BU、UU 結(jié)構(gòu)各層厚度Table 3 Layers’ thickness of the AA, BB,BU, UU configurations

3.1 數(shù)值結(jié)果收斂性檢驗(yàn)

由于理論結(jié)果是以級(jí)數(shù)形式出現(xiàn)的，需選取足夠的項(xiàng)數(shù)保證收斂。通常認(rèn)為一旦一定項(xiàng)數(shù)的級(jí)數(shù)求和結(jié)果在給定的頻率下收斂，則該項(xiàng)數(shù)的級(jí)數(shù)求和結(jié)果在此頻率以下都能收斂[13]。在本次工作中頻率10 kHz 用作檢驗(yàn)收斂性的最高頻率，如圖4所示。從圖4中可以看出，求解2M2×2M2的矩陣需要級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)為25，總共1250項(xiàng)結(jié)果能收斂。

圖4 在10 kHz 垂直入射聲波激勵(lì)下，UU 結(jié)構(gòu)傳聲損失級(jí)數(shù)解收斂性檢驗(yàn)Fig.4 Convergence of double Fourier series solution for STL of UU configuration under the excitation of a normally incident sound at 10 kHz

3.2 模型可行性分析

若將UU 結(jié)構(gòu)中多孔材料厚度設(shè)置為0 或者穿孔率設(shè)置為1，則UU 結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化成為AA 結(jié)構(gòu)，即“ 板+空氣+板”。鋁板尺寸為a= 0.38 m,b= 0.3 m，厚度為h1=h2= 1.6 mm，空氣層厚度為H= 48 mm。通過前文推導(dǎo)的理論模型計(jì)算得到四邊簡(jiǎn)支AA結(jié)構(gòu)的STL，如圖5所示。

圖5中顯示了本文理論模型計(jì)算得到的STL、Carneal等[10]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果、Xin等[12]的理論模型計(jì)算得到的AA 結(jié)構(gòu)STL。從圖5中可以看到，本文理論模型得到的STL 與Xin 等的理論模型得到的結(jié)果、Carneal 等的實(shí)驗(yàn)結(jié)果都取得了較好的一致性。因?yàn)镃arneal 等的實(shí)驗(yàn)是在固支邊界條件下進(jìn)行的，所以將理論中簡(jiǎn)支邊界條件下板的剛度增加了倍來仿真四邊固支的邊界條件。為保持一致性，本文做同樣處理。

圖5 聲波垂直入射下傳聲損失的理論與實(shí)驗(yàn)對(duì)比Fig.5 Comparison of STL between the current study and experiment under normal incidence

3.3 簡(jiǎn)支邊界條件和固支邊界條件對(duì)復(fù)合板結(jié)構(gòu)STL的影響

圖6對(duì)比了簡(jiǎn)支邊界條件和固支邊界條件下，復(fù)合板4 種布局AA、BB、BU、UU 在垂直入射下的STL 曲線。AA 結(jié)構(gòu)在第一個(gè)板-空氣-板共振頻率以后有很多峰值與谷值，這是由氣腔里面的駐波共振引起的，但在BB、BU、UU 結(jié)構(gòu)里面這種現(xiàn)象就減弱了，這是因?yàn)槎嗫撞牧险宫F(xiàn)了強(qiáng)烈的阻尼效應(yīng)。一直到3000 Hz，AA、BU、UU 結(jié)構(gòu)的STL 在許多頻段都相似。但在3000 Hz 以后，BU 與UU 結(jié)構(gòu)的STL 開始優(yōu)于AA 結(jié)構(gòu)由于阻尼的影響。在低頻段STL 主要受邊界條件與板的尺寸影響，所以差別不大?？v觀整個(gè)頻段，就總體隔聲性能來看，UU 結(jié)構(gòu)隔聲性能最優(yōu)。

從圖6中還可以看出，簡(jiǎn)支邊界條件不僅對(duì)AA、BB、BU 和UU 結(jié)構(gòu)在低頻范圍內(nèi)的STL 有影響，對(duì)于中頻和高頻的STL 都有明顯的影響，但是當(dāng)頻率超過3000 Hz 后，固支和簡(jiǎn)支邊界條件下STL基本一致。簡(jiǎn)支邊界條件下，4種布局板結(jié)構(gòu)第一個(gè)“吻合頻率”都更靠近低頻50 Hz，對(duì)比固支邊界條件，第一個(gè)吻合頻率更靠近100 Hz。對(duì)于AA結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)支邊界條件隔聲曲線中“谷值”明顯減少，增加多孔材料后BB、BU、UU 布局復(fù)合板結(jié)構(gòu)隔聲曲線中出現(xiàn)的“波谷”都比固支邊界條件下的要少。在小于80 Hz 頻率范圍內(nèi)，固支邊界條件復(fù)合板結(jié)構(gòu)STL 優(yōu)于簡(jiǎn)支邊界條件，但是當(dāng)頻率超過80 Hz后，在不同的頻率范圍內(nèi)，簡(jiǎn)支復(fù)合板結(jié)構(gòu)STL 大于固支邊界復(fù)合板STL。

圖6 垂直入射下簡(jiǎn)支邊界條件和固支邊界條件4種布局復(fù)合板結(jié)構(gòu)STLFig.6 Comparison of STL among various panel configurations with simply supported and clamped boundary conditions under normal incidence

3.4 板尺寸的影響

圖7中分別顯示了在垂直入射下AA、BB、BU、UU四種結(jié)構(gòu)不同尺寸(0.2 m×0.2 m、0.3 m×0.3 m、0.5 m×0.5 m 和無限大)的STL。從圖7中可以看出，由于板尺寸與低頻聲波的波長(zhǎng)相比不能被看成無限大，所以除了低頻以外，大尺寸的板的STL 都能很好地近似無限大板的STL。并且，隨著板的尺寸的增加，無限大板與有限大板的傳聲損失差別逐漸變小。

從圖7中還可以看出在第一個(gè)隔聲低谷后，由于有限大板的復(fù)雜結(jié)構(gòu)模態(tài)行為，出現(xiàn)了許多峰值和低谷，并且無限大尺寸還提供了一個(gè)STL 漸進(jìn)極大值。同時(shí)在第一個(gè)隔聲低谷前，可以看到結(jié)構(gòu)的STL對(duì)面板的尺寸和簡(jiǎn)支邊界條件很敏感。盡管面板尺寸變化很小，結(jié)構(gòu)的STL 仍變化顯著，并且在板尺寸為0.5 m×0.5 m時(shí)，隔聲曲線就已經(jīng)接近無限大板了。

圖7 AA、BB、BU、UU 結(jié)構(gòu)不同尺寸在垂直入射下傳聲損失的比較Fig.7 Comparison of STL among various panel dimensions under normal incidence for AA, BB,BU and UU configurations

3.5 多孔材料厚度的變化對(duì)STL的影響

圖8給出了四邊簡(jiǎn)支AA、BB、BU 和UU 結(jié)構(gòu)在垂直入射下不同厚度的多孔材料層的隔聲曲線。計(jì)算過程中，板結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，多孔材料參數(shù)如表2所示，3 種布局板結(jié)構(gòu)尺寸都為a=b=0.4 m，BU 結(jié)構(gòu)中空氣層厚度為5 mm，UU結(jié)構(gòu)中空氣層厚度分別為3 mm。從圖8中可以看出，在頻率小于200 Hz 時(shí)，改變兩層面板中間空氣層和多孔材料厚度對(duì)STL 的影響并不明顯；在低頻段，板的尺寸和邊界條件的影響占主要因素。當(dāng)頻率超過200 Hz，隨著兩層板中間多孔材料厚度的增加，復(fù)合板結(jié)構(gòu)第2 個(gè)“吻合頻率”逐漸向低頻移動(dòng)，3 種結(jié)構(gòu)的STL 在不同的頻率范圍內(nèi)都有明顯的增加，BB 結(jié)構(gòu)當(dāng)頻率超過1 kHz 后，STL 明顯增大；BU 結(jié)構(gòu)，在200～1000 Hz 范圍內(nèi)，STL 隨著多孔材料芯層厚度增加而增加，但是第4 個(gè)“吻合頻率”隨著厚度的增加向低頻方向移動(dòng)，BU 結(jié)構(gòu)高頻段STL 反而會(huì)減小。4 種布局中UU 結(jié)構(gòu)，第3 個(gè)“吻合頻率”隨著厚度的增加向低頻方向移動(dòng)，當(dāng)頻率超過200 Hz，UU 結(jié)構(gòu)隔聲性能在較寬的頻率范圍內(nèi)都能達(dá)到最優(yōu)。

圖8 多孔材料厚度對(duì)AA、BB、BU、UU 四種布局復(fù)合結(jié)構(gòu)STL 的影響Fig.8 The effect of poroelastic foam thicknesses among AA, BB, BU, UU configuration under normal incidence

4 結(jié)論

本文討論了垂直入射下四邊簡(jiǎn)支含多孔材料和空氣層分層復(fù)合板的隔聲特性，分析了四邊簡(jiǎn)支邊界條件、板的有限尺寸、多孔材料芯層厚度對(duì)隔聲特性的影響，通過數(shù)值結(jié)果檢驗(yàn)了理論模型的收斂性，并與前人的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，理論分析結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有較好的一致性。

研究結(jié)果表明，四邊簡(jiǎn)支邊界條件與板的有限尺寸對(duì)STL 的影響主要在板-空氣-板共振的低頻段，同時(shí)，相比無限大板結(jié)構(gòu)，隨著板的尺寸減小，低頻的STL 顯著提高。在AA、BB、BU、UU 四種結(jié)構(gòu)的隔聲曲線中，UU 結(jié)構(gòu)的隔聲性能是整個(gè)頻段上最優(yōu)的。增加雙層板結(jié)構(gòu)中間多孔材料的厚度，4種布局的復(fù)合板結(jié)構(gòu)STL 在較寬的頻率范圍內(nèi)都有明顯的增加，但是隨著多孔材料的增加，復(fù)合板結(jié)構(gòu)在高頻段STL 會(huì)降低。因此，對(duì)于四邊簡(jiǎn)支復(fù)合板隔聲性能的聲學(xué)設(shè)計(jì)，需要優(yōu)化設(shè)計(jì)多孔材料的厚度，在較寬頻段內(nèi)獲得更高的STL。

附錄A

矩陣表達(dá)式如下：

常量fmn(kx,ky)表達(dá)如下：