混流泵葉輪的三維反問題設(shè)計(jì)多目標(biāo)優(yōu)化

王夢成，袁建平，李彥軍，鄭云浩

(江蘇大學(xué) 國家水泵及系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

混流泵具有內(nèi)部流動(dòng)復(fù)雜，設(shè)計(jì)參數(shù)眾多且設(shè)計(jì)參數(shù)相互關(guān)聯(lián)等特點(diǎn)，對混流泵的設(shè)計(jì)及優(yōu)化造成了極大困擾。傳統(tǒng)的混流泵葉輪設(shè)計(jì)通過改變?nèi)~片角分布來修改葉片形狀，最終結(jié)果的好壞依賴于設(shè)計(jì)人員的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)[1]，是經(jīng)驗(yàn)與試錯(cuò)法相結(jié)合的產(chǎn)物。然而這種方法沒有為如何修改葉片形狀從而提高葉片性能提供有效的建議[2]，從根本上限制了設(shè)計(jì)人員去探索更大的設(shè)計(jì)空間的可能性。設(shè)計(jì)人員只能在已有的、過程得到驗(yàn)證的、較小的范圍內(nèi)對葉片性能進(jìn)行改進(jìn)。

近年來，各種優(yōu)化策略被廣泛應(yīng)用于旋轉(zhuǎn)機(jī)械的設(shè)計(jì)中[3-8]，其優(yōu)點(diǎn)在于節(jié)省人工，最終優(yōu)化結(jié)果依賴于優(yōu)化系統(tǒng)而非個(gè)人經(jīng)驗(yàn)。裴吉[9]和王文杰等[10]基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和改進(jìn)后粒子群算法對離心泵的葉輪和導(dǎo)葉分別進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，成功的擴(kuò)大了離心泵的高效區(qū)。孟凡等[11]以單向軸流泵為基礎(chǔ)，結(jié)合拉丁超立方抽樣、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型和非支配遺傳算法，在不降低正向性能的前提下，成功的提高了其反向性能，使其滿足雙向運(yùn)行要求。雖然上述優(yōu)化取得了令人滿意的結(jié)果，然而計(jì)算量大，計(jì)算資源消耗多成為其致命缺點(diǎn)，降低了其在工業(yè)系統(tǒng)中的應(yīng)用價(jià)值。這主要與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)中葉片形狀由幾何參數(shù)描述且各參數(shù)互相制約有關(guān)?；谝陨峡紤]，本研究采用反問題設(shè)計(jì)法對葉片進(jìn)行參數(shù)化造型[12-17]。反問題設(shè)計(jì)是1種可以從給定的葉片載荷分布逆向迭代計(jì)算出葉片形狀的設(shè)計(jì)方法。其優(yōu)點(diǎn)是可以使用較少的設(shè)計(jì)參數(shù)來描述葉片復(fù)雜的空間形狀；缺點(diǎn)是只能在設(shè)計(jì)點(diǎn)處取得較好的結(jié)果，而在偏離設(shè)計(jì)點(diǎn)處，效率下降較快，即高效區(qū)較窄。

本文提出了1種設(shè)計(jì)方法，以三維反問題設(shè)計(jì)方法為基礎(chǔ)，結(jié)合拉丁超立方抽樣法、克里金模型和非支配遺傳算法，以葉片載荷分布為設(shè)計(jì)參數(shù)，以0.7Qdes和1.1Qdes處效率為目標(biāo)參數(shù)，以1.0Qdes處效率和揚(yáng)程為約束條件，構(gòu)建了一個(gè)多參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化系統(tǒng)，對導(dǎo)葉式混流泵進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化以提高泵段效率，擴(kuò)寬高效區(qū)范圍。

1 優(yōu)化方法

1.1 反問題設(shè)計(jì)方法

在三維反問題設(shè)計(jì)方法中，流場的計(jì)算和葉片形狀的計(jì)算是迭代進(jìn)行的。本文采用ZANGENE[18]提出的三維反問題設(shè)計(jì)方法，假定來流定常、無旋、無粘且不可壓縮。葉片由無限薄渦片代替，其強(qiáng)度由周向平均角動(dòng)量表示：

(1)

式中：r為半徑；B為葉片數(shù)；Vθ為切向速度；θ為角度。

葉間通道處壓力分布由周向平均角動(dòng)量沿流線方向的偏導(dǎo)數(shù)確定：

(2)

由周向平均角動(dòng)量沿流線方向確定葉輪揚(yáng)程為：

(3)

式中：Ht為葉輪理論揚(yáng)程；ω為轉(zhuǎn)速；un為牽連速度；uun為絕對速度在周向的分量；Γn為環(huán)量；下標(biāo)1、2分別表示葉輪進(jìn)口邊與出口邊。

在反問題設(shè)計(jì)的迭代求解過程中，流場中流速分布的求解為正命題求解，流體的運(yùn)動(dòng)分為周向平均運(yùn)動(dòng)及周期脈動(dòng)速度2部分；葉片形狀的計(jì)算過程為反命題求解，葉片表面滿足速度無滑移及不可穿透條件；葉片的阻塞效應(yīng)由連續(xù)性方程中的葉片厚度參數(shù)確定。在三維反問題設(shè)計(jì)中，可固定的設(shè)計(jì)參數(shù)為：1)葉片軸面投影圖；2)葉片厚度；3)葉片數(shù)；4)流量；5)轉(zhuǎn)速;6)輪轂及輪緣處環(huán)量分布(揚(yáng)程)。

1.2 多目標(biāo)多參數(shù)優(yōu)化法

多參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化的發(fā)展離不開算法、幾何參數(shù)化和性能評估這3方面的發(fā)展和影響。

對于旋轉(zhuǎn)機(jī)械而言，因其復(fù)雜的空間形狀，幾何參數(shù)化成為其最大的挑戰(zhàn)。為克服該缺陷，本研究使用參數(shù)較少的葉片載荷對其進(jìn)行參數(shù)化。載荷分布由圖1所示的“三段式”曲線控制，該曲線由2段拋物線及1段直線構(gòu)成。相比于其他載荷分布形式，三段式分布具有控制簡單、參數(shù)數(shù)量合理、可實(shí)現(xiàn)的載荷分布形式較多的優(yōu)點(diǎn)。

圖1 葉片載荷分布Fig.1 Blade loading

圖中LE控制葉片的預(yù)加載，與葉片進(jìn)口沖角有關(guān)；NC為中間直線的起點(diǎn)；ND為中間直線的終點(diǎn)；K為中間直線的斜率，當(dāng)其為正值時(shí)，表示前加載，當(dāng)其為負(fù)值時(shí)，表示后加載。圖中豎線為確認(rèn)交點(diǎn)位置而設(shè)置的輔助線；為滿足龍格-庫塔條件，在葉片出口邊處載荷分布均為零。因此，單條流線的載荷分布由上述4個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)共同完成。研究表明，通過給定輪轂與輪緣處載荷分布，其他位置載荷由線性插值確定的方法可有效控制葉片上的載荷分布。因此，葉片的參數(shù)化由8個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)共同完成。

衡量水力機(jī)械性能優(yōu)劣的指標(biāo)較多，本文選取0.7Qdes和1.1Qdes處效率作為優(yōu)化目標(biāo)，以期優(yōu)化出的混流泵具有較高的泵段效率及較寬的高效區(qū)。效率為：

(4)

式中：Q為流量；Pout和Pin分別為進(jìn)口與出口總壓；M為泵軸上的力矩；ω為葉輪旋轉(zhuǎn)角速度。

由于本次優(yōu)化涉及多個(gè)目標(biāo)函數(shù)，故其最優(yōu)解與單目標(biāo)函數(shù)的求解存在較大差別。在多目標(biāo)求解過程中，目標(biāo)互相沖突，難以尋找到對所有的目標(biāo)函數(shù)均為最優(yōu)解的方案。大量的尋優(yōu)研究工作表明，NSGA-Ⅱ(非支配排序遺傳算法)在多目標(biāo)、非連續(xù)、非線性的優(yōu)化問題中具有良好的適用性。在NSGA-Ⅱ中，交叉和變異被用來確保最終解為全局最優(yōu)解，擁擠距離和非支配排序被用來減少計(jì)算的復(fù)雜性和提升策略的精英性，各目標(biāo)函數(shù)被單獨(dú)求解，最終解集以帕累托前沿呈現(xiàn)，設(shè)計(jì)者可根據(jù)需要進(jìn)行折中選擇[19-20]。

在本研究中，實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)由拉丁超立方抽樣算法完成，其可以在多元參數(shù)空間進(jìn)行近似隨機(jī)抽樣。在樣本空間內(nèi)，使用反問題設(shè)計(jì)對樣本點(diǎn)逐一建立幾何模型，采用CFX計(jì)算各個(gè)設(shè)計(jì)方案下的混流泵效率，評估葉輪性能，再利用克里金插值法構(gòu)建目標(biāo)參數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間的近似模型，最終輔以NSGA-Ⅱ在構(gòu)建的近似模型上進(jìn)行全局尋優(yōu)。NSGA-Ⅱ的人口數(shù)和代數(shù)均設(shè)置為100，交叉率與突變率分別設(shè)置為0.9和0.088，因此，共計(jì)生成了10 000中不同配置的葉輪。優(yōu)化流程如圖2所示。

圖2 基于反問題設(shè)計(jì)的優(yōu)化流程Fig.2 Optimization process based on inverse design method

2 數(shù)值模擬準(zhǔn)確性驗(yàn)證

在本研究中，計(jì)算域的建立與網(wǎng)格劃分分別由Cero和ICEM完成，性能評估由商業(yè)軟件CFX完成。以設(shè)計(jì)點(diǎn)處原始模型泵段效率及揚(yáng)程作為網(wǎng)格無關(guān)性驗(yàn)證標(biāo)準(zhǔn)，計(jì)算結(jié)果如表1所示。綜合考慮計(jì)算成本與計(jì)算準(zhǔn)確性，最終確定整體計(jì)算域網(wǎng)格數(shù)為450萬。

表1 網(wǎng)格無關(guān)性檢查Table 1 Mesh independence check

湍流模型選用SST模型，其可跳過壁面函數(shù)，較好的模擬粘性底層流動(dòng)；葉輪與固定部件間交界面選用凍結(jié)轉(zhuǎn)子模型進(jìn)行數(shù)據(jù)傳輸，固定部件與固定部件間交界面選用普通連接；進(jìn)口條件采用質(zhì)量流量；出口條件采用開發(fā)性邊界，允許回流存在，使其與實(shí)際條件相符合。

以比轉(zhuǎn)速為530的模型泵作為計(jì)算對象，該泵葉輪直徑為320 mm，葉片數(shù)為4，轉(zhuǎn)速為1 450 r/min；導(dǎo)葉的葉片數(shù)為7；進(jìn)水段采用直管，長度為5倍葉輪直徑；出水段采用彎管，彎管半徑為1.5倍葉輪直徑。最終計(jì)算模型如圖3所示。

圖3 混流泵泵段計(jì)算域Fig.3 Calculation domain of mixed flow pump

以泵段揚(yáng)程和效率作為對比標(biāo)準(zhǔn)，模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對比如圖4所示。

圖4 原始模型模擬值與試驗(yàn)值對比Fig.4 Comparison of original model between simulated and experimental performance

從圖4可以看出，當(dāng)流量處于泵段可靠運(yùn)行范圍內(nèi)時(shí)(0.6Qdes～1.3Qdes)，試驗(yàn)揚(yáng)程與模擬揚(yáng)程基本一致；試驗(yàn)效率略小于模擬效率，2者差值最大處不超過2.5%，且變化趨勢基本一致。與文獻(xiàn)[21]的研究結(jié)論相一致，在數(shù)值模擬中，未考慮機(jī)械損失、容積損失以及壁面粗糙度。

對比結(jié)果表明，計(jì)算域的建立及網(wǎng)格剖分，湍流模型的選擇及邊界條件的設(shè)置均符合計(jì)算要求。

3 葉輪的多目標(biāo)多參數(shù)優(yōu)化

3.1 優(yōu)化過程

基準(zhǔn)葉輪選用比轉(zhuǎn)速為530的模型泵葉輪，優(yōu)化對象為葉片的載荷分布，力求在不改變軸面投影圖、葉片數(shù)、葉片厚度分布、轉(zhuǎn)速、揚(yáng)程、設(shè)計(jì)流量點(diǎn)等前提下，使其具有更高的效率及較寬的高效區(qū)。基準(zhǔn)葉輪軸面投影圖及葉片外形如圖5所示。

圖5 基準(zhǔn)葉輪軸面投影圖及葉輪外形Fig.5 Reference impeller meridional shape and impeller shape

由1.2節(jié)可知，設(shè)計(jì)參數(shù)總數(shù)為8個(gè)，因此，在本研究中使用拉丁超立方抽樣總計(jì)生成了70個(gè)不同配置的樣本點(diǎn)。當(dāng)設(shè)計(jì)變量與樣本空間數(shù)固定時(shí)，參數(shù)范圍對構(gòu)建的近似模型精度具有較大影響，各參數(shù)適當(dāng)?shù)姆秶鸀椋?0.1

樣本空間確定后，對樣本空間內(nèi)各參數(shù)組使用反問題設(shè)計(jì)法逐一構(gòu)建葉輪，計(jì)算每個(gè)葉輪3個(gè)工況點(diǎn)，分別為0.7Qdes、1.0Qdes和1.1Qdes，共計(jì)210(3×70)組。其中1.0Qdes處的計(jì)算結(jié)果將作為設(shè)計(jì)點(diǎn)處效率和揚(yáng)程不降低的約束條件，0.7Qdes和1.1Qdes處的計(jì)算結(jié)果將作為目標(biāo)參數(shù)與對應(yīng)的設(shè)計(jì)變量構(gòu)建近似模型。

不同的設(shè)計(jì)參數(shù)對于目標(biāo)函數(shù)的影響程度各不相同，因此，對各參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，結(jié)果如表2所示。表中下標(biāo)h和s分別表示輪轂和輪緣：

表2 敏感性分析Table 2 Sensitivity analysis

由表2可知，設(shè)計(jì)變量對0.7Qdes和1.1Qdes處效率具有互斥性，不存在某一參數(shù)對兩者均具有正效應(yīng)或負(fù)效應(yīng)。其中葉片進(jìn)口邊輪緣處初始值LEs對0.7Qdes和1.1Qdes處效率值的影響最大，且與0.7Qdes處效率負(fù)相關(guān)，與1.1Qdes處效率正相關(guān)；Kh對0.7Qdes處效率影響最小；NCh和NDs對1.1Qdes處效率影響最小。

在ADT優(yōu)化求解器中，各近似模型的誤差由交叉驗(yàn)證確定。在本研究中，樣本點(diǎn)數(shù)為70，因此，每個(gè)優(yōu)化目標(biāo)的近似模型均由這70個(gè)樣本點(diǎn)及其對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值所構(gòu)建。在優(yōu)化模型構(gòu)建完成后，使用每一組數(shù)據(jù)對其進(jìn)行準(zhǔn)確性驗(yàn)證，重復(fù)該過程70次，得到各模型誤差值，結(jié)果如表3所示。由表3可知，各優(yōu)化目標(biāo)所對應(yīng)的近似模型的誤差均較小，滿足計(jì)算精度要求。

表3 誤差分析結(jié)果Table 3 Error analysis result

在目標(biāo)參數(shù)與設(shè)計(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系建立后，由于為多目標(biāo)優(yōu)化問題，故使用NSGA-Ⅱ?qū)?gòu)建的近似模型進(jìn)行全局尋優(yōu)，并構(gòu)建帕累托前沿。圖中0.7Qdes和1.1Qdes處均具備較高效率的設(shè)計(jì)點(diǎn)以黑線標(biāo)出，結(jié)果如圖6所示。

圖6 帕累托前沿Fig.6 Pareto front

為使優(yōu)化后模型在0.7Qdes和1.1Qdes處的泵段效率均高于原始模型，最終設(shè)計(jì)方案定為：LEh=0.08；NCh=0.376；NDh=0.684；Kh=1；LEs=-0.1；NCs=0.286；NDs=0.597；Ks=0.851。載荷分布如圖7所示。

圖7 最終葉片載荷分布Fig.7 Final Blade loading distribution

3.2 優(yōu)化結(jié)果與分析

優(yōu)化后最終設(shè)計(jì)的葉輪外形及網(wǎng)格剖分結(jié)果如圖8所示。

圖9為最終設(shè)計(jì)與基準(zhǔn)設(shè)計(jì)泵段外特性模擬值對比圖，計(jì)算設(shè)置及網(wǎng)格剖分與前文保持一致。由圖9可知，相較于原始模型，經(jīng)多參數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化后的葉輪在外形沒有改變的前提下，泵段性能提升明顯。相比于過往研究中基于反問題設(shè)計(jì)的單目標(biāo)優(yōu)化，在本研究中，通過多目標(biāo)優(yōu)化后，泵段效率在較大的流量范圍內(nèi)均有提高，且設(shè)計(jì)點(diǎn)處泵段揚(yáng)程基本不變，滿足約束條件，這無疑是一個(gè)巨大的進(jìn)步。

圖8 優(yōu)化設(shè)計(jì)葉輪外形及網(wǎng)格剖分Fig.8 The impeller shape and meshing of optimized impeller

圖9 優(yōu)化設(shè)計(jì)與基準(zhǔn)設(shè)計(jì)模擬值對比Fig.9 Comparison of performance between optimized and reference design

通過分析可知在相同流量下，泵段效率的改變一般由以下2部分組成：1)葉輪效率的變化；2)除葉輪外，其他部件損失的改變。對本優(yōu)化作類似分析，并且將其他部件損失聚焦于導(dǎo)葉處，結(jié)果如表4所示。由表4可知，針對葉輪的優(yōu)化在大流量區(qū)取得了較好的成果，而在小流量區(qū)提升較小，甚至比原有葉輪效率更低。但優(yōu)化后的葉輪出水更為光滑均勻，減小了后續(xù)段的混合損失，從而使得總泵段效率得到提升。

表4 泵段效率分析Table 4 Efficiency analysis of pump section

以設(shè)計(jì)點(diǎn)(1.0Qdes)為例，最終設(shè)計(jì)相對于基準(zhǔn)設(shè)計(jì)泵段效率提升為4.17%。以翼展50%跨度處周向展開圖及軸面圖做內(nèi)流場分析，結(jié)果如圖10所示。在葉輪處，基準(zhǔn)設(shè)計(jì)與最終設(shè)計(jì)葉輪內(nèi)部流場分布都較為均勻合理，無明顯流動(dòng)分離現(xiàn)象發(fā)生。然而在基準(zhǔn)設(shè)計(jì)的導(dǎo)葉入口處出現(xiàn)了明顯的低速區(qū)，并伴隨著較為明顯的流動(dòng)分離現(xiàn)象，方向由輪緣指向輪轂，如圖10(a)所示；在導(dǎo)葉出口處的葉片背面出現(xiàn)了較大范圍的低速區(qū)，該區(qū)域的流體與高速區(qū)流體相互作用將形成漩渦區(qū)，從而增加了流動(dòng)損失，如圖10(c)所示。以上不利流動(dòng)在優(yōu)化后的設(shè)計(jì)中均得以削弱或消除，如圖10(b)和(d)所示。

圖10 基準(zhǔn)設(shè)計(jì)域最終設(shè)計(jì)流場對比Fig.10 Comparison of flow field between optimized and reference design

葉輪出口處質(zhì)量平均軸向速度分布如圖11所示，橫坐標(biāo)中0表示輪轂，1表示輪緣。從圖中可以看出基準(zhǔn)葉輪從輪轂到輪緣軸向速度逐漸增大，優(yōu)化設(shè)計(jì)與之相反，這表明基準(zhǔn)葉輪輪緣處做工能力大于輪轂，優(yōu)化后輪轂處做工能力大于輪緣。由于輪轂半徑小于輪緣半徑，因此，當(dāng)流體經(jīng)過葉輪時(shí)，輪轂處摩擦損失大于輪緣處，輪緣處流體碰撞引起的混合損失大于輪轂處。在小流量區(qū)，摩擦損失占據(jù)主導(dǎo)地位，故當(dāng)輪緣處做工能力大于輪轂處時(shí)，葉輪擁有較高的效率；在大流量區(qū)，混合損失占據(jù)主導(dǎo)地位，故當(dāng)輪轂處做工能力大于輪緣處時(shí)，葉輪擁有較高的效率，這與圖9與表4的結(jié)果對比相一致。

圖11 葉輪出口處優(yōu)化設(shè)計(jì)與基準(zhǔn)設(shè)計(jì)軸向速度對比Fig.11 Comparison of impeller exit axial speed between optimized and reference design

4 結(jié)論

1)以三維反問題設(shè)計(jì)方法為基礎(chǔ)，結(jié)合拉丁超立方抽樣算法、克里金算法及非支配排序遺傳算法，可以構(gòu)建起有效的混流泵多目標(biāo)優(yōu)化系統(tǒng)。相較于單目標(biāo)優(yōu)化，其可以有效的處理多個(gè)互相沖突的優(yōu)化目標(biāo)。

2)相較于初始模型，優(yōu)化后泵段效率在較大流量范圍內(nèi)均有明顯提升。分析各部件效率變化原因可知，在實(shí)際應(yīng)用中，優(yōu)化后葉輪對整體泵裝置效率的提升將更為明顯，因?yàn)楸枚吻昂髮⑦B接更長的管段或更為復(fù)雜的流道。

3)由基線模型和優(yōu)化模型效率對比分析可知，葉輪已相當(dāng)完善，提升空間較小。然而，導(dǎo)葉或葉輪與導(dǎo)葉的耦合優(yōu)化還具有較大的研究價(jià)值。此外，在泵站工程中，由于進(jìn)出水流道較為復(fù)雜，考慮他們與泵段的相互作用，對其整體進(jìn)行優(yōu)化將會成為下一階段的研究重點(diǎn)。