經(jīng)歷建模過(guò)程 感悟模型思想

鄭圣發(fā)

（福建省福州市鼓樓區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校）

基于小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求，小學(xué)的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)應(yīng)從實(shí)際生活原型或現(xiàn)實(shí)背景出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)歷觀察、操作、比較、分析、概括等思維活動(dòng)，嘗試用代數(shù)式、關(guān)系式等數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)符號(hào)表征數(shù)學(xué)模型，再運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解釋和解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題，初步形成模型思想，幫助學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。

一、激活生活經(jīng)驗(yàn)，整體感知數(shù)學(xué)模型

教學(xué)要選取學(xué)生熟悉的生活素材，創(chuàng)設(shè)具有現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)情境，激活學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生抽象形成數(shù)學(xué)問(wèn)題，多維度驅(qū)動(dòng)數(shù)學(xué)思考，促進(jìn)學(xué)生整體感知數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)數(shù)學(xué)建模搭建拾級(jí)而上的階梯。如在教學(xué)“植樹(shù)問(wèn)題”這節(jié)課時(shí)，有如下片斷——

師：知道這節(jié)課我們要研究什么嗎？

生：植樹(shù)問(wèn)題。

師：看到這個(gè)課題你想到了什么？植樹(shù)問(wèn)題是不是植樹(shù)的問(wèn)題？認(rèn)為植樹(shù)問(wèn)題就是植樹(shù)的問(wèn)題的請(qǐng)舉手，認(rèn)為植樹(shù)問(wèn)題不是植樹(shù)的問(wèn)題的請(qǐng)舉手，還有兩次都沒(méi)舉手的同學(xué)，是不是不太確定？

師：到底植樹(shù)問(wèn)題是不是植樹(shù)的問(wèn)題呢？隨著我們的探究，相信同學(xué)們會(huì)有更全面、更深刻的認(rèn)識(shí)。

開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，直奔主題的教學(xué)導(dǎo)入，看似簡(jiǎn)單實(shí)則富有辯證意味的“植樹(shù)問(wèn)題是不是植樹(shù)的問(wèn)題”的問(wèn)題，引發(fā)了學(xué)生的思辨活動(dòng)。不僅把學(xué)生的注意力快速聚焦到了學(xué)習(xí)活動(dòng)中，還營(yíng)造了輕松愉悅的課堂氛圍，讓學(xué)生自由表達(dá)對(duì)“植樹(shù)問(wèn)題”的理解，培養(yǎng)了學(xué)生的思辨能力。

師：學(xué)校為了美化校園，向全校師生發(fā)出了一個(gè)方案征集啟事，我們來(lái)看一看。

方案征集啟事

學(xué)校為了美化校園，決定對(duì)校園東側(cè)進(jìn)一步綠化，誠(chéng)邀同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)植樹(shù)方案（要求附后），擇優(yōu)采用。

××學(xué)校后勤處

××年×月×日

要求：請(qǐng)?jiān)谛@東側(cè)全長(zhǎng)300米的小路一邊，每隔5米種一棵柳樹(shù)，設(shè)計(jì)一份植樹(shù)方案。

師：從這份要求上，你能獲得哪些數(shù)學(xué)信息？

生：小路的全長(zhǎng)300米，在路的一邊植樹(shù)，每隔5米種一棵。

師：每隔5米種一棵什么意思呢？請(qǐng)用你喜歡的方法說(shuō)明你的理解。

師：你準(zhǔn)備如何設(shè)計(jì)植樹(shù)的方案呢？先獨(dú)立思考，想一想、畫(huà)一畫(huà)，再跟你小組的同學(xué)議一議，看看能否設(shè)計(jì)出不同的方案。

師：請(qǐng)小組派出代表展示設(shè)計(jì)方案。

方案1：兩端都種；方案2：頭種尾不種；

方案3：尾種頭不種；方案4：兩端都不種。

師：比較上面的四個(gè)方案，你還有什么補(bǔ)充的？

生：頭種尾不種和尾種頭不種，可以看作只種一端。

基于現(xiàn)實(shí)背景的方案征集活動(dòng)，喚醒了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生直面數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)，思考方案中可能有幾種情形，每種情形如何表征，這些情形可以分為幾種不同類(lèi)型等。有的學(xué)生想到一種，有的想到兩種或更多，在小組討論和集體評(píng)議中形成了兩端都種、只種一端、兩端都不種三種不同情形的共識(shí)。讓學(xué)生自主根據(jù)問(wèn)題可能的類(lèi)型分門(mén)別類(lèi)地思考并解決了問(wèn)題，從整體入手，結(jié)構(gòu)化感知植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，為后續(xù)數(shù)學(xué)建模夯實(shí)基礎(chǔ)。

二、聚焦“種子”模型，數(shù)形結(jié)合初建模型

如果把棵數(shù)看作點(diǎn)的個(gè)數(shù)，間隔數(shù)看作線段的條數(shù)，植樹(shù)問(wèn)題的三種不同情形，本質(zhì)上都可以抽象成“點(diǎn)與段”的對(duì)應(yīng)關(guān)系：只種一端時(shí)，點(diǎn)與段一一對(duì)應(yīng)；兩端都種時(shí)點(diǎn)比段多1；兩端都不種時(shí)點(diǎn)比段少1。一一對(duì)應(yīng)思想學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中已有多次的感悟，只種一端的情形，點(diǎn)與段正好一一對(duì)應(yīng)，無(wú)疑為“種子”模型，抓住主干，著力構(gòu)建。如在教學(xué)“植樹(shù)問(wèn)題”這節(jié)課時(shí)，有如下片斷——

師：這三種方案分別要準(zhǔn)備多少棵樹(shù)苗呢？我們先重點(diǎn)研究只種一端的情形。

師：全長(zhǎng)300米的小路一邊，按照每隔5米種一棵柳樹(shù)，只種一端，一共要多少棵樹(shù)苗？大膽地猜一猜。

生：60棵，61棵，62棵，59棵。

師：有不同的猜測(cè)，說(shuō)明有不同的理解，那么到底是多少棵呢？可以用什么方法來(lái)驗(yàn)證？

生：畫(huà)圖，我們用一條線段表示300米的小路，每隔5米栽一棵，每隔5米栽一棵，照這樣一棵一棵栽下去，很麻煩。

師：那怎么辦呢？

生：從300米中選擇一小段來(lái)研究，看看有沒(méi)有規(guī)律。

師：是的，從簡(jiǎn)單情形入手尋找規(guī)律來(lái)解決問(wèn)題，就把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單了。請(qǐng)自由選擇一小段進(jìn)行研究吧。

師：觀察比較我們研究出的結(jié)果，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：雖然小路的長(zhǎng)度不一樣，種樹(shù)的棵數(shù)也不相同，但是每次種數(shù)的棵樹(shù)和間隔數(shù)相同。

師：通過(guò)這些數(shù)據(jù)能確定得出的結(jié)論是正確的嗎？是不是要舉出更多的例子？你能解釋為什么棵數(shù)剛好等于間隔數(shù)嗎?

生：不用舉更多的例子也能說(shuō)明只種一端時(shí)棵數(shù)和間隔數(shù)肯定相等。請(qǐng)看這個(gè)圖，一棵樹(shù)一個(gè)間隔，一棵樹(shù)一個(gè)間隔，如此下去，剛好一一對(duì)應(yīng)，最后還是一棵樹(shù)一個(gè)間隔，所以只種一端時(shí)，棵數(shù)和間隔數(shù)是相等的。

師：一棵樹(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔，像這樣數(shù)的方法在數(shù)學(xué)上叫作一一對(duì)應(yīng)。你們能用“一一對(duì)應(yīng)”的方法向你的同桌說(shuō)一說(shuō)嗎？

師：我們用一一對(duì)應(yīng)的方法數(shù)出30米的小路一共栽了6棵樹(shù)。你能用算式把想法表示出來(lái)嗎？

生：30÷5=6（棵），30米長(zhǎng)的小路，每5米種一棵，一共有6個(gè)間隔，只種一端，一個(gè)間隔對(duì)應(yīng)一棵樹(shù)，6個(gè)間隔就是種6棵樹(shù)。

師：結(jié)合線段圖想一想，在只種一端的情況下，棵數(shù)與間隔數(shù)之間有什么關(guān)系？

生：在只種一端的情況下，棵數(shù)等于間隔數(shù)。

以“只種一端”作為切入點(diǎn)，避免了“棵數(shù)”與“間隔數(shù)”不一致的干擾，學(xué)生的思維自然聚焦到“點(diǎn)與段”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系上，這樣就順應(yīng)了學(xué)生已有的思維經(jīng)驗(yàn)，使他們借助數(shù)形結(jié)合建立起了“棵數(shù)＝間隔數(shù)”的數(shù)學(xué)模型。

三、應(yīng)用數(shù)學(xué)推理，類(lèi)推完善數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)思維的本質(zhì)是推理，推理應(yīng)貫徹于教學(xué)的始終?？梢岳谩胺N子”模型的生長(zhǎng)力，類(lèi)推出另外兩個(gè)模型，以完善數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、觸類(lèi)旁通的能力。如在教學(xué)“植樹(shù)問(wèn)題”這節(jié)課時(shí)，有如下片斷——

師：通過(guò)前面的研究，我們知道了只栽一端時(shí)棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系可以用關(guān)系式“棵數(shù)=間隔數(shù)”表示。想一想，另外的兩種情況，棵數(shù)和間隔數(shù)之間有什么關(guān)系呢？

生：兩端都種，棵數(shù)=間隔數(shù)+1；兩端都不種，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

師：能說(shuō)說(shuō)你是怎么想的嗎？

生：兩端都種時(shí)，一棵樹(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)間隔，如此下去，最后一棵樹(shù)沒(méi)有間隔可以對(duì)應(yīng)了，這樣就多了一棵樹(shù)。所以兩端都種，棵樹(shù)=間隔數(shù)+1。

生：兩端都不種時(shí)，一個(gè)間隔對(duì)應(yīng)一棵樹(shù)，如此下去，最后一個(gè)間隔沒(méi)有樹(shù)可以對(duì)應(yīng)了，這樣就多了一個(gè)間隔。所以兩端都不種，棵數(shù)=間隔數(shù)-1。

以只種一端“棵數(shù)=間隔數(shù)”為“種子”模型，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)推構(gòu)建兩端都種，棵數(shù)比間隔數(shù)多1，兩端都不種，棵數(shù)比間隔數(shù)少1，自然地生長(zhǎng)出了“棵數(shù)=間隔數(shù)+1”和“棵數(shù)=間隔數(shù)-1”兩種模型。這樣就從整體架構(gòu)入手，打破了教材分散安排的三種模型逐一學(xué)習(xí)的形式，以結(jié)構(gòu)化的思想建構(gòu)了植樹(shù)模型，有利于學(xué)生更深刻地理解植樹(shù)問(wèn)題的本質(zhì)。

四、回歸實(shí)際生活，解釋?xiě)?yīng)用數(shù)學(xué)模型

建立數(shù)學(xué)模型不是最終目的，學(xué)會(huì)解釋、應(yīng)用模型才是真正目的。因此，教學(xué)中要重視設(shè)計(jì)與相應(yīng)模型同構(gòu)的問(wèn)題情境，讓學(xué)生嘗試應(yīng)用模型分析和解決實(shí)際生活問(wèn)題，以促進(jìn)同一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的模型融通。如在教學(xué)“植樹(shù)問(wèn)題”這節(jié)課時(shí)，我先出示了兩道例題：

1．學(xué)校兩座教學(xué)樓之間的距離是40米，如果每隔5米種一棵樹(shù)，一共要種多少棵樹(shù)？

2．馬拉松比賽全程約42千米，平均每3千米設(shè)置一處飲水點(diǎn)（起點(diǎn)不設(shè)，終點(diǎn)設(shè)）。全程一共有多少處這樣的服務(wù)點(diǎn)？

接下來(lái)的教學(xué)中，有如下片段——

師：第2題還是植樹(shù)的問(wèn)題嗎？怎么解決？

生：可以看作植樹(shù)問(wèn)題，用兩端都不種的植樹(shù)問(wèn)題關(guān)系式就能解答。

師：請(qǐng)問(wèn)你眼中的樹(shù)是指什么？

生：飲水點(diǎn)可以看作樹(shù)，兩個(gè)飲水點(diǎn)之間是一個(gè)間隔。

師：今天學(xué)的是“植樹(shù)問(wèn)題”，做完這道題，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我感覺(jué)植樹(shù)問(wèn)題不一定只和植樹(shù)有關(guān)。

師：看來(lái)，植樹(shù)問(wèn)題并不只是植樹(shù)的問(wèn)題，生活中還有很多問(wèn)題和植樹(shù)問(wèn)題相似，請(qǐng)大家找找下面圖片中的“樹(shù)”分別在哪里？

（課件逐一呈現(xiàn)：盧溝橋的獅子，地鐵運(yùn)營(yíng)?？柯肪€圖，男生襯衣的紐扣，一條打了結(jié)的繩子。）

生：橋上的獅子可以看作“樹(shù)”；地鐵站可以看作“樹(shù)”；襯衣的紐扣可以看作“樹(shù)”；繩子上的結(jié)可以看作“樹(shù)”。

師：你們都有一雙慧眼，現(xiàn)在請(qǐng)聽(tīng)播放鬧鐘敲鐘的聲音，你還能找到“樹(shù)”嗎？

生：每一個(gè)鐘聲都可以看作“樹(shù)”。

然后，我又出示了第三道例題：

3．植樹(shù)節(jié)到了，學(xué)校計(jì)劃組織五年級(jí)4個(gè)班的同學(xué)參加植樹(shù)活動(dòng)，每個(gè)班分到50棵樹(shù)苗，買(mǎi)樹(shù)苗共用了5000元，請(qǐng)問(wèn)每棵樹(shù)苗多少元？

師：做完這道題，你又有什么發(fā)現(xiàn)？

生：這道題其實(shí)不是今天學(xué)的植樹(shù)問(wèn)題，雖然跟植樹(shù)有關(guān)，但數(shù)量關(guān)系不同。

師：看來(lái)有關(guān)植樹(shù)的問(wèn)題不一定就是植樹(shù)問(wèn)題。

通過(guò)設(shè)置富有啟發(fā)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)植樹(shù)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的理解和感悟。第1題是植樹(shù)模型在實(shí)際生活中的直接應(yīng)用，起到了鞏固新知的作用；第2題雖然沒(méi)有講植樹(shù)，但與植樹(shù)問(wèn)題有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以抽象成點(diǎn)與段之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立“點(diǎn)與段”的數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生的變通能力。通過(guò)生動(dòng)的畫(huà)面重現(xiàn)，從真實(shí)的樹(shù)到虛擬的樹(shù)，從看得見(jiàn)的樹(shù)到看不見(jiàn)的樹(shù)，把植樹(shù)問(wèn)題拓展到相應(yīng)的一類(lèi)問(wèn)題，讓學(xué)生深刻領(lǐng)會(huì)“植樹(shù)問(wèn)題不只是植樹(shù)的問(wèn)題”，培養(yǎng)了學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象揭示本質(zhì)的洞察能力，使他們體會(huì)到了模型思想的應(yīng)用價(jià)值。第3題，意在讓學(xué)生體會(huì)“并非有關(guān)植樹(shù)的問(wèn)題都是植樹(shù)問(wèn)題”，注重引導(dǎo)學(xué)生感悟并判斷：數(shù)學(xué)問(wèn)題的模型，不是看內(nèi)容情境，而是看數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。