怎一個(gè)“新”字了得

劉族剛

隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)地不斷深入，高考對考生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識的要求也逐年提高. 近年的高考試題都會推出一些構(gòu)思精巧、情境別致、背景新穎且具有一定深度和導(dǎo)向清晰的創(chuàng)新試題，使得試卷富有時(shí)代氣息而精彩紛呈與亮點(diǎn)頻出. 本文采擷近三年高考全國卷與2015高考湖北卷數(shù)學(xué)情景題并予以分類賞析，旨在探索命題規(guī)律，揭示解題方法，達(dá)到科學(xué)備考、高效備考的目的.

創(chuàng)新題型之鮮明的立意

1. 考查基礎(chǔ)知識的靈活應(yīng)用

2015年新課標(biāo)Ⅰ卷遵循了考查基礎(chǔ)知識為主體的原則，尤其是考試說明中的大部分知識點(diǎn). 選擇題、填空題考查了復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、簡易邏輯、概率、解析幾何、向量、框圖、二項(xiàng)式定理（理科）、線性規(guī)劃等知識點(diǎn)，大部分屬于常規(guī)題型和中等難度，是在高三平時(shí)訓(xùn)練中常見的類型.有些試題考查了基礎(chǔ)知識的靈活應(yīng)用.

如2015年新課標(biāo)Ⅰ卷第16題：在平面四邊形[ABCD]中，[∠A=∠B=∠C][=75°，][BC=2]，則[AB]的取值范圍是 .

答案 [（6-2，6+2）]

賞析 命題者試圖引導(dǎo)我們將解三角形的原理推廣運(yùn)用到四邊形中.

再如2013年新課標(biāo)Ⅱ卷第7題：一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系[O-xyz]中的坐標(biāo)分別是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以[zox]平面為投影面，則得到的正視圖可以為（ ）

[A B C D]

答案 A

賞析 本題考查空間點(diǎn)的坐標(biāo)與三視圖，讓我們在數(shù)形結(jié)合中領(lǐng)悟空間想象.所有這些，要求我們打破常規(guī)思路，獨(dú)立思考，積極探究，才能達(dá)到目的.

2. 立意于能力，數(shù)學(xué)方法與思想貫穿考卷

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，在考查知識的同時(shí)考查思想與方法是高考的必然. 2015年新課標(biāo)Ⅰ卷第1題，利用復(fù)數(shù)相等，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題；第8題由三角函數(shù)圖象寫解析式，是數(shù)形結(jié)合形數(shù)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；第13題函數(shù)[f（x）=xln（x+a+x2）]為偶函數(shù)，可考慮特殊化思想，由[f（-1）=f（1）]求解；第18題將立體幾何的垂直關(guān)系、夾角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題；第21題第二問，是一個(gè)含參問題的分類討論思想等. 對思想方法的考查，在以后的高考試題中必將繼續(xù)受到重視.

3. 立意于應(yīng)用考查，注重邏輯推理能力

考基礎(chǔ)、考能力是高考永恒不變的主題，而邏輯思維能力首當(dāng)其沖.

如2015年新課標(biāo)Ⅰ卷第9題算法循環(huán)到哪一步為止，進(jìn)行的是什么運(yùn)算；第10題[（x2+x+y）5]的展開式中，[x5y2]的系數(shù)問題等，無不蘊(yùn)含數(shù)學(xué)邏輯推理.

再如2014年新課標(biāo)Ⅰ卷第14題：甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過[A，B，C]三個(gè)城市時(shí)，

甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過[B]城市；

乙說：我沒去過[C]城市；

丙說：我們?nèi)巳ミ^同一個(gè)城市.

由此可判斷乙去過的城市為 .

答案 A城市

賞析 本題是集合的交集、補(bǔ)集運(yùn)算在實(shí)際生活中的應(yīng)用，或借助于邏輯聯(lián)結(jié)詞的“且、或、非”的含義求解.

邏輯思維能力是數(shù)學(xué)能力的核心，高考對邏輯思維的考查提出了三個(gè)方面的要求：會對問題或資料進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括；會用演繹、歸納和類比進(jìn)行推理；能準(zhǔn)確、清晰有條理地進(jìn)行表述.同一個(gè)問題一般有多個(gè)解決方法與路徑，使用哪一個(gè)，往往體現(xiàn)我們的思維水平的高低.

創(chuàng)新題型之新穎的情境

問題情境是實(shí)現(xiàn)立意的材料介質(zhì)，問題是情境的焦點(diǎn)，情境因問題而存在，新穎的情境是創(chuàng)新高考試題的共同特點(diǎn). 解答這類問題，靠解題套路、猜題押題、題海戰(zhàn)術(shù)等是難以達(dá)到好的效果的.

1. “新定義”型題

此類型是通過定義某新概念、新運(yùn)算、新規(guī)則或新性質(zhì)，從而達(dá)到完成某種推理證明或指定要求的問題. 這類問題可以考查同學(xué)們在新情景下解決問題的遷移能力，近幾年的高考命題中比較常見.

如2015年湖北卷：定義“陽馬”——底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐；“鱉臑”——四個(gè)面都為直角三角形的四面體. 2015年新課標(biāo)Ⅰ卷第21題：[minm，n]表示[m，n]中的最小值等. 解決問題的基本思路是理解定義、緊扣定義、恰當(dāng)類比和合理遷移.

2. 數(shù)學(xué)實(shí)踐情境

新課程標(biāo)準(zhǔn)要求同學(xué)們獲取知識不僅限于被動接受、機(jī)械記憶與練習(xí)模仿，更應(yīng)該自主探究與動手實(shí)踐. 這一點(diǎn)在高考試題中得到了體現(xiàn).

2015年湖北卷：一種作圖工具如圖所示. [O]是滑槽[AB]的中點(diǎn)，短桿[ON]可繞[O]轉(zhuǎn)動，長桿[MN]通過[N]處鉸鏈與[ON]連接，[MN]上的栓子[D]可沿滑槽[AB]滑動，且[DN=ON=1]，[MN=3]. 當(dāng)栓子[D]在滑槽AB內(nèi)作往復(fù)運(yùn)動時(shí)，帶動N繞[O]轉(zhuǎn)動一周（[D]不動時(shí)，[N]也不動），[M]處的筆尖畫出的曲線記為[C]. 以[O]為原點(diǎn)，[AB]所在的直線為[x]軸建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系.

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)動直線[l]與兩定直線[l1：x-2y=0]和[l2：x+2y=0]分別交于[P， Q]兩點(diǎn). 若直線[l]總與曲線[C]有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，試探究：[△OPQ]的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由.

答案 （1）曲線[C]的方程為[x216+y24=1.]

（2）[SΔOPQ]的最小值為8.

賞析 本題給出橢圓的方法帶有“數(shù)學(xué)實(shí)踐”與“實(shí)習(xí)作業(yè)”特點(diǎn)，第一問的切入看似“高大上”，如若去除背景，實(shí)際上就是下面這個(gè)問題：[N]是單位圓[O：x2+y2=1]上的動點(diǎn)，[D]在[x]軸上且[|DN|=|ON|=1]，若[DM=2ND]，求[M]的軌跡方程（下略），很容易想到采用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法或參數(shù)方程法求解.

創(chuàng)新題型之深刻的背景

1. 數(shù)學(xué)文化背景

無論是今年全國卷還是近幾年湖北卷，一個(gè)明顯的亮點(diǎn)就是在基礎(chǔ)試題中滲透中國數(shù)學(xué)文化.我國數(shù)學(xué)文化歷史悠久，在高考試卷中選取了體現(xiàn)中國古代優(yōu)秀數(shù)學(xué)文化，并與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)合緊密的素材編擬試題，是自然而然的事.

如2015年全國課標(biāo)Ⅱ卷第8題，其設(shè)計(jì)思路來源于《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”等.

再如2015高考湖北卷第2題，我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（ ）

A. 134石 B. 169石

C. 338石 D. 1365石

答案 B

賞析 這些試題都不是滲透中國古代數(shù)學(xué)文化的良好載體，在以后的高考命題中應(yīng)該會一直持續(xù)下去.

2. 生活實(shí)踐背景

數(shù)學(xué)源于生活與實(shí)踐，數(shù)學(xué)知識是解決實(shí)際問題的有力工具，數(shù)學(xué)也是培養(yǎng)理性思維的重要學(xué)科，對創(chuàng)新應(yīng)用意識的形成和發(fā)展具有重要作用.試卷中有很多涉及應(yīng)用背景的試題，貼近生活實(shí)際，讓考生深深感受到“生活就是數(shù)學(xué)”、“數(shù)學(xué)就在身邊”.

例如2015年新課標(biāo)Ⅰ卷：某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)[x]對年銷售量[y]和年利潤[z]的影響問題，本題要求考生根據(jù)試題所給的散點(diǎn)圖，自主選擇回歸方程類型，對企業(yè)投入產(chǎn)品的宣傳費(fèi)用進(jìn)行預(yù)測.

又如2015年新課標(biāo)Ⅱ卷：我國二氧化硫年排放量柱形圖問題、第18題用戶對其產(chǎn)品的滿意度隨機(jī)調(diào)查問題（略）.

再如2014年全國卷：4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率（ ）

A. [18] B. [38] C. [58] D. [78]

答案 D

賞析 這些試題都重視現(xiàn)實(shí)生活中的熱點(diǎn)問題，緊密結(jié)合社會實(shí)際和現(xiàn)實(shí)生活，考查我們運(yùn)用數(shù)學(xué)工具和思想方法分析、解決問題的能力，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的重要作用和應(yīng)用價(jià)值，體現(xiàn)了高考改革中加強(qiáng)實(shí)踐性、應(yīng)用性的要求.

3. 高等數(shù)學(xué)背景

高等數(shù)學(xué)的一些基本思想、基本概念為設(shè)計(jì)高考試題提供了廣闊而又深刻的背景，其基本思想和方法是考查同學(xué)們進(jìn)一步學(xué)習(xí)潛能的良好素材，加之命題小組成員中有一部分來自高校教師，因而有高等數(shù)學(xué)背景的試題走進(jìn)考卷是一件再正常不過的事了.

如2015年高考湖北卷理科第6題的“符號函數(shù)”、理科第10題的“高斯函數(shù)”等，就是高等數(shù)學(xué)知識向初等數(shù)學(xué)的下移.

4. 數(shù)學(xué)教材背景

教材是教師教學(xué)內(nèi)容與我們學(xué)習(xí)內(nèi)容的根本. 為充分發(fā)揮了教材的示范作用，高考試題“源于教材、高于教材”是有目共睹的事實(shí)（有人統(tǒng)計(jì)2014年湖北文、理卷達(dá)到90分之多，新課標(biāo)卷也有不少）.

如2014年新課標(biāo)卷：設(shè)函數(shù)[f（x）=aexlnx+bex-1x]，曲線[y=f（x）]在點(diǎn)[（1，f（1））]處的切線為[y=e（x-1）+2].

（1）求[a，b]；

（2）證明：[f（x）>1].

答案 （1）[a=1，b=2] （2）略

賞析 作為壓軸題第一問考查基礎(chǔ)的切線問題；第二問則是典型的不含參數(shù)的不等式恒成立問題的證明，利用左邊的最小值大于等于右邊的最大值，不失為一個(gè)有效的方法（注意不等價(jià)性）. 本題經(jīng)過變形將左邊變?yōu)閇xlnx]，再直接利用導(dǎo)數(shù)求極值方法即可得到證明.實(shí)際上本題脫胎自課本上[xlnx]的求導(dǎo).這種立足于教材編擬高考試題的理念和方法，充分保障了試題背景的公平性，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重視教材、回歸教材、減輕學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)、促進(jìn)課程改革的深化具有良好的導(dǎo)向作用.

隨著新一輪課程改革的深入和推進(jìn)，高考的改革使“知識立意”轉(zhuǎn)向“能力立意”（2015年湖北卷就是例證）. 高考試題更加重視考查同學(xué)們的學(xué)習(xí)潛能，因而命題專家必然在試題創(chuàng)新方面下了很大功夫，各種新題型層出不窮，如開放題型的設(shè)計(jì)（含條件開放，結(jié)論開放、方法開放等），2015年新課標(biāo)Ⅰ卷第20題（2）就是結(jié)論開放探究的例證.

面對創(chuàng)新試題，我們要堅(jiān)信兩個(gè)原則：其一是“新題不難”，一般創(chuàng)新試題只是對以前的問題“換件外套”、“化了個(gè)妝”，貌似超凡脫俗“新面孔”，但只要我們努力揭開題目的神秘“面紗”，便可識別其“真面目”；其二是“千變?nèi)f變、方法不變”，無論試題怎么新，方法總離不開課標(biāo)要求.

備考時(shí)，建議可以從以下幾個(gè)方面嘗試：一是重視基礎(chǔ)，強(qiáng)化概念建構(gòu)，突出數(shù)學(xué)問題本質(zhì)；二是優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，形成體系，既見樹木又見森林；其三是優(yōu)化學(xué)習(xí)過程，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，知其然還要知其所以然；其四是研究新穎試題，強(qiáng)化對點(diǎn)訓(xùn)練，提高應(yīng)試能力，我想沒有過不去的坎！