平面向量中三角形外心的教學(xué)反思

李云龍

(江蘇省高郵中學(xué) 225600)

一、題目呈示

問題出處：南通市2013屆高三第二次調(diào)研測(cè)試第15題

分析(2)求數(shù)量積問題，主要解法是基底分解.

所以當(dāng)b=1時(shí)，c=4；當(dāng)b=4時(shí)，c=1，

圖1

這是本題的難點(diǎn)，很多學(xué)生不知如何化簡(jiǎn)，由于條件是非特殊三角形，建系方法不好用，所以應(yīng)朝向量基底分解方向化簡(jiǎn).

二、解題思路

思路二取BC的中點(diǎn)D,則

評(píng)注利用外心是三角形三條邊中垂線的交點(diǎn)這一重要性質(zhì)，進(jìn)行基底分解，中間也利用了三角形中線向量定理這一?？键c(diǎn).

思路三如下圖所示，取AB的中點(diǎn)D,取AC的中點(diǎn)E,則有：

評(píng)注利用外心是三角形三條邊中垂線的交點(diǎn)這一重要性質(zhì)，進(jìn)行基底分解.

歸納小結(jié)本小問得分率很低，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，注意本題有兩解.

方法歸納有關(guān)三角形外心的知識(shí)點(diǎn)：

(1)三角形外心是三角形三條邊中垂線的交點(diǎn)—揭示了外心的形成過程；

(2)三角形外心是三角形外接圓的圓心；

(3)銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部；鈍角三角形的外心在三角形的外部；直角三角形的外心在斜邊的中點(diǎn)處；

三、教學(xué)反思

1.反思數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想：(1)分類討論思想;(2)轉(zhuǎn)化化歸思想;(3)數(shù)形結(jié)合思想；

數(shù)學(xué)方法：用基底分解——解決數(shù)量積問題.

2.反思試題背景來源

2009年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)第8題

解法二特殊化思想，由于題目中沒有指明此三角形形狀，故可以把它看成直角三角形處理.

思路一把角C看成直角，則有

思路二把角A看成直角，則有

評(píng)注解法一利用了推導(dǎo)的結(jié)論解題；解法二利用了特殊化思想使競(jìng)賽題目迎刃而解！

3.反思問題變式與拓展

三角形的外心結(jié)合向量條件在高考、各類高中競(jìng)賽和平時(shí)考試中是一個(gè)亮點(diǎn)，有關(guān)這類考題屢見不鮮．請(qǐng)欣賞幾個(gè)變式.

評(píng)注分解形式不變，只是邊長(zhǎng)在變.

評(píng)注分解形式需變號(hào)，屬于逆向思維.

評(píng)注目標(biāo)分解形式未變，但引進(jìn)了二次函數(shù)求范圍.

變式4 (2013屆遼寧省高三高考?jí)狠S理科數(shù)學(xué)試卷)

評(píng)注利用外心的性質(zhì)得到三點(diǎn)共線是解決本題的關(guān)鍵.

小結(jié)解決外心的處理策略，考生注意方法的靈活性、轉(zhuǎn)化的多樣性，是致勝的關(guān)鍵．