基于改進準(zhǔn)則法的復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)錅p振動力學(xué)優(yōu)化

袁維東，高瞻，劉浩康，繆國峰

航空工業(yè)南京機電液壓工程研究中心 航空機電系統(tǒng)綜合航空科技重點實驗室，南京 211106

減振作為現(xiàn)代機械發(fā)展中一項重要研究課題，如何有效地抑制結(jié)構(gòu)無益振動是研究的首要內(nèi)容，尤其是在航空航天、智能制造等高動力現(xiàn)代科技的領(lǐng)域，對結(jié)構(gòu)的減振動力學(xué)性能提出了更高的要求。其中以“輕”“薄”為主要特性的殼板薄壁構(gòu)件，在外部激勵下極易引起振動，因此勢必要對其振動進行控制[1]。對于結(jié)構(gòu)振動的控制一般可分為：主動控制和被動控制。近些年來，在結(jié)構(gòu)表面附加黏彈性阻尼材料的被動減振技術(shù)已成為一種實用、有效減振降噪措施。實踐表明，黏彈性阻尼材料具有高阻尼特性，在振動變形過程中通過相位的時滯特性來耗散能量，能在十分寬泛的頻帶內(nèi)抑制結(jié)構(gòu)的振動與噪聲，故常被用作振動結(jié)構(gòu)的減振材料。自從Kerwin和Edward[2]提出以黏彈阻尼材料構(gòu)建約束阻尼結(jié)構(gòu)以來，其越來越廣泛應(yīng)用于工程實踐。不過，對于具有高速和大動力化的減振對象，如航空航天中的多數(shù)結(jié)構(gòu)，因其具有輕量化要求，采用在結(jié)構(gòu)上全覆蓋阻尼材料的方案，并非是減振控制的最優(yōu)布局構(gòu)型。為此，如何有效地敷設(shè)黏彈性阻尼材料、提高結(jié)構(gòu)減振效果成為研究阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)錅p振的重點。

不少學(xué)者研究了殼阻尼結(jié)構(gòu)的減振特性，進一步完善了阻尼結(jié)構(gòu)減振理論和技術(shù)。Bieniek和Freudenthal[3]通過建立殼中性面的受迫振動，分析了約束阻尼結(jié)構(gòu)振動；王目凱等[4]提出了在指定頻帶內(nèi)能量耗散系數(shù)的評價標(biāo)準(zhǔn)，對約束阻尼殼結(jié)構(gòu)進行參數(shù)分析。同時，對于薄壁構(gòu)件在約束阻尼結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型方面的減振優(yōu)化，也開展了相關(guān)研究工作。Pedersen[5]采用了連續(xù)體結(jié)構(gòu)的優(yōu)化準(zhǔn)則法，分析了求解拓?fù)鋬?yōu)化域的局部模態(tài)與優(yōu)化參數(shù)的數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系；楊德慶和柳擁軍[6]提出阻尼胞單元和阻尼拓?fù)涿舳雀拍?，給出了靈敏度排序方式減振優(yōu)化準(zhǔn)則；Lima等[7]推導(dǎo)了復(fù)數(shù)形式的靈敏度公式，建立了約束阻尼板頻率和溫變響應(yīng)的優(yōu)化減振函數(shù)；郭中澤和陳裕澤[8]以模態(tài)損耗因子最大化為設(shè)計目標(biāo)，采用變密度拓?fù)鋬?yōu)化，實現(xiàn)了優(yōu)化準(zhǔn)則法求解最優(yōu)分布構(gòu)型。可以看出，結(jié)構(gòu)拓?fù)錅p振優(yōu)化的基礎(chǔ)理論在不斷地建立和推進，但較多的是以薄板的阻尼結(jié)構(gòu)為首選對象給予了研究，而對薄殼減振優(yōu)化的研究相對較少。Kumar和Singh[9-10]通過實驗對圓柱殼主動約束阻尼層位置進行優(yōu)化。王明旭和陳國平[11]基于均勻化方法，研究了約束阻尼殼結(jié)構(gòu)的拓?fù)錅p振效果，得出多模優(yōu)化效果更佳的結(jié)論；柳承峰等[12]以漸進優(yōu)化算法，研究了約束阻尼殼結(jié)構(gòu)的布局優(yōu)化，獲得較強的振動能量耗損；石慧榮等[13]選取前三階模態(tài)最大損耗因子為目標(biāo)函數(shù)，利用多目標(biāo)遺傳算法對兩端簡支的圓柱殼進行優(yōu)化分析；Kim等[14]從模態(tài)振型、應(yīng)變能密度和優(yōu)化算法3方面，對約束阻尼殼結(jié)構(gòu)減振拓?fù)錁?gòu)型的振動效果進行了數(shù)值仿真和實驗驗證，進而得出優(yōu)化算法的拓?fù)錅p振優(yōu)勢。對于黏彈性阻尼材料本構(gòu)數(shù)學(xué)模型，Johnson和Kienholz[15]基于模態(tài)應(yīng)變能法(Modal Strain Energy, MSE)，構(gòu)建了將阻尼結(jié)構(gòu)復(fù)數(shù)解簡化為實數(shù)解模態(tài)損耗因子的理論方法。

優(yōu)化準(zhǔn)則法(Optimality Criteria, OC)是拓?fù)鋬?yōu)化變密度法中的一種迭代求解算法，具有完備的理論依據(jù)和工程應(yīng)用價值。其應(yīng)用于靜力學(xué)結(jié)構(gòu)時，每一拓?fù)渥兞烤苋〉谜龜?shù)值，然而在動力學(xué)結(jié)構(gòu)中則會有非全域迭代拓?fù)渥兞康呢?fù)靈敏度，以至于全域優(yōu)化變量并不能整體尋優(yōu)。這種只有其中部分變量參與優(yōu)化迭代的方式將導(dǎo)致拓?fù)渥兞恐堤S和不連續(xù)的狀況發(fā)生，最終迭代結(jié)果將不收斂或局部收斂[16-17]。為了滿足和提升結(jié)構(gòu)的動力學(xué)性能，發(fā)揮OC法優(yōu)勢，應(yīng)用于以航空航天等領(lǐng)域薄殼結(jié)構(gòu)為研究對象的拓?fù)錅p振動力學(xué)優(yōu)化問題研究，本文基于變密度法的拓?fù)鋭恿W(xué)優(yōu)化理論，從數(shù)學(xué)的理論角度，建立了優(yōu)化目標(biāo)靈敏度一般公式，演算全局優(yōu)化設(shè)計變量的改進準(zhǔn)則法，并分析了薄殼復(fù)合結(jié)構(gòu)的拓?fù)錅p振以及多模態(tài)減振優(yōu)化問題。

1 阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)錅p振模型

1.1 結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子

為了衡量復(fù)合殼約束阻尼結(jié)構(gòu)的減振效果，根據(jù)結(jié)構(gòu)振動基本理論，可采用結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子推進阻尼結(jié)構(gòu)拓?fù)錅p振動力學(xué)優(yōu)化。對于黏彈性阻尼減振材料，其材料損耗因子比一般彈性材料高幾個數(shù)量級，通?？珊雎越饘俨牧蠐p耗因子，并且在優(yōu)化迭代中涉及大量的結(jié)構(gòu)動力學(xué)參數(shù)和阻尼材料復(fù)數(shù)本構(gòu)模型的計算，十分耗時，故本文基于能量的角度進行研究。根據(jù)有限單元法(Finite Element Method, FEM)和模態(tài)應(yīng)變能法(MSE),可得復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)應(yīng)變能計算式為

(1)

式中：Ei、μi分別為第i階模態(tài)應(yīng)變能和振型；K為剛度矩陣。

黏彈性動力學(xué)理論表明，其有明顯的溫度和頻率非線性的變化特性，目前已建立了多種不同的力學(xué)本構(gòu)模型，但較為實用的是常復(fù)數(shù)模量模型[18]，進而復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)損耗因子寫成

(2)

以便于諧響分析，對于復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)采用黏彈性阻尼材料，基于模態(tài)應(yīng)變能法[19]，其模態(tài)損耗因子與模態(tài)阻尼比之間數(shù)學(xué)關(guān)系：ηi≈2ξi。并可寫出阻尼結(jié)構(gòu)的第i階模態(tài)振動平衡方程：

(3)

1.2 插值函數(shù)變密度模型

變密度法是基于某種插值模型，建立優(yōu)化結(jié)構(gòu)材料的物理屬性與偽密度之間的函數(shù)關(guān)系，通過優(yōu)化設(shè)計變量的數(shù)值變化來決定優(yōu)化結(jié)構(gòu)材料的分布狀態(tài)。固體各向同性材料懲罰模型(Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP)的優(yōu)化求解過程中，阻尼結(jié)構(gòu)的約束材料與對應(yīng)的阻尼材料存在狀態(tài)[0,1]作一致變化，可建立復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)插值模型數(shù)學(xué)公式為

(4)

式中：E0、ρ0分別為阻尼材料的楊氏彈性模量和密度；n為有限元網(wǎng)格的單元數(shù)；χn為第n個單元插值模型的偽密度或設(shè)計變量；p、q為SIMP插值模型的懲罰因子；Emin、ρmin為了避免優(yōu)化迭代中出現(xiàn)奇異值問題，通常設(shè)置為0.001；I1(χn)、I2(χn)為材料插值模型函數(shù)。

基于有限元法單元矩陣組合理論，可有

(5)

式中：下標(biāo)s、v、c和上標(biāo)e分別為約束阻尼結(jié)構(gòu)的基層、阻尼層、約束層和有限單元標(biāo)識；M為質(zhì)量矩陣；TN為優(yōu)化區(qū)域約束阻尼有限單元數(shù)。

1.3 結(jié)構(gòu)動力學(xué)優(yōu)化模型

任何實際問題均需要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，以便于展開問題的定量分析。阻尼結(jié)構(gòu)的拓?fù)錅p振優(yōu)化也不例外，首先建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，明確指明優(yōu)化求解的迭代方向。在約束阻尼結(jié)構(gòu)中優(yōu)化目標(biāo)可以結(jié)構(gòu)振動的固有特性參數(shù)，如固有頻率、模態(tài)損耗因子或模態(tài)阻尼比等作為目標(biāo)，當(dāng)然也可采用若干特征點的振幅或加速度、動撓度以及響應(yīng)頻率等。鑒于模態(tài)損耗因子可以表征在某階振動時耗損能量多少的度量，其值越大，表示阻尼結(jié)構(gòu)耗能越多，故可以以模態(tài)損耗因子為優(yōu)化目標(biāo)。然而考慮到優(yōu)化準(zhǔn)則法是以目標(biāo)函數(shù)的極小值形式出現(xiàn)，為了便于借助現(xiàn)存的一些成熟優(yōu)化迭代技巧推進優(yōu)化，本文以模態(tài)損耗因子負(fù)值最小作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)。在此基礎(chǔ)上，增加移動常數(shù)，使目標(biāo)函數(shù)為正值，以便于對目標(biāo)函數(shù)進行數(shù)值分析。為滿足減振設(shè)計的結(jié)構(gòu)輕量化要求，通常優(yōu)化模型的約束條件之一是對在基體上使用黏彈性阻尼材料的體積作一定限制，與此同時減振優(yōu)化對象尋優(yōu)前后，不宜使結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性如頻率、模態(tài)、振型等出現(xiàn)過大的變化，影響預(yù)期結(jié)構(gòu)優(yōu)化性能[20-21]。綜上因素，復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)的拓?fù)錅p振優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為

(6)

在工程實踐中，結(jié)構(gòu)的工作頻率段振動通常包括前幾階振型，并且在不同激擾條件下，其振動貢獻會發(fā)生一定的改變。因此，在考慮多模態(tài)復(fù)合優(yōu)化的同時，通過不同的權(quán)重系數(shù)?i來控制各階模態(tài)的減振效果，且最好依據(jù)模態(tài)參與因子取定?i。當(dāng)然，也可對某一階頻率進行減振優(yōu)化分析，選取權(quán)重系數(shù)為1，其他階次頻率權(quán)重系數(shù)為0，故可看出此拓?fù)鋬?yōu)化目標(biāo)函數(shù)具有較廣的適用性。

2 減振優(yōu)化目標(biāo)靈敏度分析

變密度法拓?fù)鋬?yōu)化中，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)方向主要取決于對拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計變量求解的梯度，即靈敏度，它準(zhǔn)確反映了優(yōu)化迭代方向的敏感性。加之目標(biāo)函數(shù)是單模態(tài)優(yōu)化線性疊加的數(shù)值關(guān)系，由此可先推演單模態(tài)減振優(yōu)化靈敏度數(shù)值公式。

對式(2)求模態(tài)損耗因子梯度，并整理可有

(7)

(8)

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學(xué)有限元理論，可知復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)滿足：

(9)

將式(9)等號兩邊同時對χn求偏導(dǎo)，整理得

(10)

(11)

聯(lián)立式(9)和式(10)整理求解可有

(12)

接著，將式(10)～式(12)變換求解可得

(13)

為了使目標(biāo)靈敏度具有廣泛的應(yīng)用價值，基于材料插值模型函數(shù)，推導(dǎo)一般靈敏度計算公式。

將式(1)對設(shè)計變量求偏導(dǎo)，可有

(14)

聯(lián)立式(7)、式(8)、式(13)和式(14)，則整理推導(dǎo)出

(15)

式(4)可作變換有

E′(χn)=I′1(χn)E0=

(16)

ρ′(χn)=I′2(χn)ρ0=

(17)

基于有限元的單元能量理論，可得

(18)

(19)

進一步將式(15)、式(18)和式(19)聯(lián)立可有

(20)

式中：KEei、SEei分別為當(dāng)前某一迭代單元的第i階模態(tài)動能和模態(tài)應(yīng)變能；I′1(χn)、I′2(χn)為材料插值模型一階導(dǎo)數(shù)。

3 拓?fù)錅p振優(yōu)化算法

已有研究表明，基于優(yōu)化準(zhǔn)則法(OC)的設(shè)計變量啟發(fā)式迭代格更新方法，是一種與優(yōu)化結(jié)構(gòu)設(shè)計變量數(shù)量無關(guān)的迭代公式，具有優(yōu)化尋優(yōu)效率高和嚴(yán)格的理論推導(dǎo)等特點。不過，在動力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化中靈敏度數(shù)值以實數(shù)范圍變化，即正數(shù)或負(fù)數(shù)均可出現(xiàn)。若直接采用靜力學(xué)中優(yōu)化準(zhǔn)則法進行動力學(xué)優(yōu)化求解，勢必引起設(shè)計變量負(fù)值的出現(xiàn)，將會導(dǎo)致優(yōu)化迭代無法進行。常規(guī)動力學(xué)優(yōu)化準(zhǔn)則法通過將正的靈敏度置為零，保留負(fù)靈敏度值，而這樣做易引起拓?fù)渥兞刻S以及局部優(yōu)化解[22]。因此，以復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)為研究對象，基于改進準(zhǔn)則法進行拓?fù)錅p振動力學(xué)演算。

3.1 動力學(xué)改進準(zhǔn)則法

建立不隨優(yōu)化目標(biāo)凸性的求解算法，根據(jù)優(yōu)化理論，基于數(shù)學(xué)規(guī)劃法中序列凸規(guī)劃方法構(gòu)建相似性函數(shù)，并建立泰勒展開式逼近，推導(dǎo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型嚴(yán)格凸性條件。首先對式(6)演算拉格朗日優(yōu)化函數(shù)[23]：

(21)

式中：Λ、β-n、β+n均為拉格朗日乘子。僅須進一步滿足Karush-Kuhn-Tucke條件，并求其極值點處的χn值，即有

?ψ/?χn+Λ(?V/?χn)-β-n+β+n=0

(22)

為了構(gòu)造相似性函數(shù)，引入移動參數(shù)c，令ψ-cV=ψ*，Λ=Λ*-c，并代入式(22)，得

(?ψ*/?χn)+Λ*(?V/?χn)-β-n+β+n=0

(23)

進一步令yn=(1/χn)ζ，根據(jù)泰勒展開思想構(gòu)造逼近函數(shù)，即使自變量yn逼近ψ*，接著可令

(24)

式中：ψ0為一常數(shù)。推導(dǎo)式(24)對yn導(dǎo)數(shù)，則

?ψ*/?yn=αn

(25)

顯然，當(dāng)αn≥0時，近似函數(shù)ψ*具有嚴(yán)格凸性。

另一方面推導(dǎo)式(24)對χn導(dǎo)數(shù)，可得

?ψ*/χn=?[αn(χn)-ζ]/?χn=

?(ψ-cV)/?χn

化簡并整理后，有

αn=-(?ψ/?χn-c(?V/?χn))(χn)ζ+1/ζ

(26)

c≥(?ψ/?χn)/(?V/?χn)

(27)

確定移動參數(shù)c數(shù)值關(guān)系，使αn≥0滿足函數(shù)嚴(yán)格凸性條件。

3.2 構(gòu)建改進準(zhǔn)則法迭代律

在建立凸性條件的基礎(chǔ)上，完成啟發(fā)式迭代格的推導(dǎo)。為此，對式(21)進一步細化設(shè)計變量的優(yōu)化迭代空間，并簡化算式可令δn=?V/?χn，這樣便將式(21)函數(shù)整理簡化為

式中：

(28)

式中：Ω、-Ω、+Ω分別表示拓?fù)湓O(shè)計變量的中間值、最小值和最大值集合。為了求解式(28)，在求解式(29)所示數(shù)學(xué)問題同時，結(jié)合式(22)和式(23)求得，即

min:ln,χmin≤χn≤χmax

(29)

同理，由拉格朗日極值條件易得

(30)

將αn、δn代入式(30)化簡得設(shè)計變量滿足極值條件迭代格為

(31)

式中：k為迭代次數(shù)。若令Q=(?ψ/?χn)/(?V/?χn)，并結(jié)合式(27)可知，Q是一個與設(shè)計變量數(shù)量有關(guān)的參量，可建立第k次迭代中參數(shù)ck用∞-范數(shù)表示：ck=‖Q‖∞，且Q=[Q1,Q2,…,Qn]T?？紤]到每次迭代時設(shè)計變量的移動極限，故改進準(zhǔn)則法的設(shè)計變量迭代格為

(32)

并且，

式中：λ(0<λ<1)為設(shè)計變量移動極限值。

在優(yōu)化算法尋優(yōu)過程中，大量的偽密度設(shè)計變量更新帶來了優(yōu)化對象的不同片區(qū)物理屬性躍變，避免優(yōu)化前后振型發(fā)生紊亂致使優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型失效。在迭代優(yōu)化中通過振型控制因子(MAC)的數(shù)值大小[23]，直觀的反映每次迭代情況，其計算公式為

(33)

式中：τ≤1正系數(shù)，一般取值0.9。迭代格更新設(shè)計變量時，優(yōu)化振型趨于穩(wěn)定的量化MAC近于1。若有變化，則須調(diào)整迭代格參數(shù)，并作進一步迭代尋優(yōu)。

復(fù)合殼阻尼結(jié)構(gòu)減振尋優(yōu)，借助大型商用軟件ANSYS給予數(shù)值處理，通過二次開發(fā)語言APDL編程實現(xiàn)改進準(zhǔn)則法迭代格。圖1為算法程序流程圖。

圖1 復(fù)合殼結(jié)構(gòu)減振拓?fù)鋬?yōu)化實現(xiàn)流程Fig.1 Topology optimization procedure for damping shells

4 優(yōu)化算例分析

為了進一步分析和驗證上述減振拓?fù)鋬?yōu)化的理論，采用航空航天等工程中應(yīng)用廣泛的復(fù)合殼結(jié)構(gòu)作為優(yōu)化對象。

殼結(jié)構(gòu)外形尺寸參數(shù)弧度半徑R=1 m，轉(zhuǎn)角θ=30°，長度L=0.55 m?；w材料厚度3 mm，楊氏彈性模量43.2 GPa，泊松比0.33，密度1 810 kg/m3。黏彈性阻尼材料楊氏彈性模量15 MPa，密度為1 550 kg/m3，泊松比0.495，材料損耗因子0.75，鋪設(shè)厚度1 mm。黏彈性阻尼材料應(yīng)用于被動三層約束阻尼結(jié)構(gòu)，約束層厚度1.5 mm，采用與基層相同的材料。同時作用于結(jié)構(gòu)的諧響應(yīng)激勵力為單位力，提取頻率1～200 Hz，圖2給出了薄殼一端固支約束、激勵點、提取點和前三階模態(tài)應(yīng)變場。

對結(jié)構(gòu)前三階模態(tài)振型，運用改進準(zhǔn)則法進行拓?fù)錅p振優(yōu)化，約束層與阻尼層視為一層優(yōu)化結(jié)構(gòu)，且優(yōu)化后材料體積為全覆蓋的50%。表1為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)權(quán)重系數(shù)的5種不同取值情況，分別代表全覆蓋約束阻尼層、一階優(yōu)化、二階優(yōu)化、三階優(yōu)化和前三階多模態(tài)減振優(yōu)化數(shù)值計算的設(shè)定值，并列出了相應(yīng)的結(jié)構(gòu)損耗因子和固有頻率的數(shù)值結(jié)果。其中，主要考慮前三階模態(tài)減振中的權(quán)系數(shù)加權(quán)作用，以求結(jié)構(gòu)損耗因子最大值的優(yōu)化目標(biāo)，因此權(quán)重系數(shù)?1=?2=?3=1/3。以下拓?fù)錅p振分析中，未指明的情況下均為改進準(zhǔn)則法的尋優(yōu)數(shù)據(jù)。

圖2 薄殼模型與應(yīng)變能分布Fig.2 Element model and modal strain energy of constrained damping shells

表1 不同權(quán)值薄殼結(jié)構(gòu)模態(tài)損耗因子和固有頻率Table 1 Modal loss factors and natural frequency of single-shell structure

圖3(a)、圖3(b)與圖3(c)給出了針對前三階單模態(tài)優(yōu)化函數(shù)拓?fù)錁?gòu)型迭代歷程?？梢娫谇皫状蔚?，拓?fù)涞€有大幅度的變化，均有先下降再上升的趨勢，說明了OC算法極值尋優(yōu)的基本特性；同時拓?fù)錁?gòu)型云圖中出現(xiàn)了大量的中間密度，并開始顯現(xiàn)出優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型的初始原貌。隨著迭代的進行，設(shè)計變量的中間值逐漸變少，向[0,1]兩端趨近(深藍色為0，紅色為1)，最終優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型穩(wěn)定清晰。它表明從整體上看迭代穩(wěn)定前波動幅度較大，目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu)域范圍變化大，具有不單一變化于一極點而穩(wěn)定的特點。進一步與圖2中應(yīng)變能云圖對比分析，不難發(fā)現(xiàn)各階拓?fù)錁?gòu)型迭代過程中，密度值較大的阻尼約束單元優(yōu)先分布于應(yīng)變能相對較大的位置，密度值小的處于應(yīng)變能較小的位置，隨著迭代的進行密度較大趨于1，表示敷設(shè)阻尼材料位置，密度較小多半趨于0，表示原基體。這主要由于應(yīng)變能小的位置，黏彈性阻尼材料對振動能耗損相對較弱。從化增加，出現(xiàn)曲線的跌宕，這是由于隨著非最大應(yīng)變處粘貼阻尼材料的進行，最大應(yīng)變與小應(yīng)變處交替迭代更新，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)阻尼約束單元出現(xiàn)了大微量的變化，使得尋優(yōu)范圍擴大，出現(xiàn)了顯著的不局限于已有某一迭代極值點的優(yōu)化過程。

根據(jù)振動理論，結(jié)構(gòu)振動通常是由多階振型相互作用的結(jié)果，在工程實際中，常常是固有頻率最低的幾個振型的貢獻占了壓倒地位，多模態(tài)振動是承力件基本運動狀態(tài)。圖3(d)為多模態(tài)優(yōu)化迭代歷程，從圖中可看出，偽密度值逐漸迭代至0或1，其數(shù)量比重增加，中間密度減少，穩(wěn)定的減振拓?fù)錁?gòu)型漸顯。同樣可看出，高密度阻尼材料主要敷設(shè)在前三階應(yīng)變能較大的交集區(qū)，反之，低密度阻尼材料在最小應(yīng)變能的交集區(qū)。

進一步可看出，薄殼阻尼材料的減振優(yōu)化迭代次數(shù)較少，便于形成灰度值少(產(chǎn)生于中間密度數(shù)量少)的拓?fù)錁?gòu)型，迭代至25次以上可達到尋優(yōu)穩(wěn)定狀態(tài)。不同的權(quán)值優(yōu)化歷程圖均顯示，在第4次迭代左右出現(xiàn)了起伏較大的波動，且優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型云圖趨向0值增多，這是由于集中于中間密度的趨勢減弱，兩級趨向性增強。在此基礎(chǔ)上，隨著迭代次數(shù)進一步增加，拓?fù)錁?gòu)型的灰度漸少，最終優(yōu)化迭代至穩(wěn)定的減振拓?fù)錁?gòu)型。

圖3 模態(tài)優(yōu)化函數(shù)拓?fù)錁?gòu)型迭代歷程Fig.3 Iteration of modal optimization function and topology shape

對于不同權(quán)值函數(shù)，固有頻率優(yōu)化迭代變化隨優(yōu)化函數(shù)波動而改變。圖4給出了其變化歷程，各優(yōu)化函數(shù)均以較小的波動范圍引起固有頻率的變化，變化差值在±5 Hz以內(nèi)，因此模態(tài)損耗因子的優(yōu)化不影響結(jié)構(gòu)固有頻率和振型，并且滿足優(yōu)化模型約束條件的給定值，優(yōu)化穩(wěn)定后的數(shù)值可見表1中給出前三階模態(tài)固有頻率。

隨著優(yōu)化函數(shù)的迭代，不同階的模態(tài)損耗因子具有相應(yīng)不同的變化。圖5給出了對應(yīng)于不同階次優(yōu)化函數(shù)的損耗因子迭代過程。從圖中可知損耗因子值初期遞增，隨后減小逐漸趨于穩(wěn)定，以及其優(yōu)化曲線變化與目標(biāo)函數(shù)的數(shù)值關(guān)系式(6)

圖4 模態(tài)優(yōu)化固有頻率迭代歷程Fig.4 Iteration of modal optimization natural frequency

圖5 模態(tài)優(yōu)化損耗因子迭代歷程Fig.5 Iteration of modal optimization loss factor

保持一致。同時可得中間密度較為集中時，模態(tài)損耗因子的數(shù)值出現(xiàn)隨之增加的趨勢，相反趨于兩級或灰度值減少時，損耗因子呈現(xiàn)下降。這表明在目標(biāo)函數(shù)值趨于穩(wěn)定時，若灰度較多，雖表現(xiàn)出損耗因子增加或穩(wěn)定，但由此提取的拓?fù)錁?gòu)型與計算的損耗因子相比會有所減小，導(dǎo)致結(jié)果存在虛增情況。在此，進一步驗證了抑制灰度值的重要性。

不難發(fā)現(xiàn)，圖3～圖5中在迭代25次附近曲線出現(xiàn)突變，呈現(xiàn)出上升的趨勢，緊接著趨于穩(wěn)定變化。為了抑制灰度值的產(chǎn)生，并且使趨于1的或趨于0的偽密度分別為設(shè)計變量最小值χmin和最大值χmax，因此在算法迭代中可增大插值模型懲罰因子p和q，減小設(shè)計變量移動極限值λ，這樣可以在優(yōu)化迭代穩(wěn)定的后期減少中間密度材料的存在，提高拓?fù)錁?gòu)型約束阻尼層與實際所采用材料屬性的一致性。

圖6給出了針對靈敏度的正負(fù)數(shù)量的迭代跟蹤，提出靈敏度正數(shù)比=正數(shù)/總數(shù)，并以此作為度量分析。優(yōu)化過程中起始迭代次數(shù)均以大于0.6的比值尋優(yōu)，中間迭代數(shù)以低于0.6的比值尋優(yōu)。反映了動力學(xué)優(yōu)化中若僅以靈敏度負(fù)值參與迭代優(yōu)化，難以滿足體積約束條件，會使尋優(yōu)域縮小，表明靈敏度正負(fù)比值的波動性，可能引起出現(xiàn)極值點解和拓?fù)錁?gòu)型跳躍。

為此，采用一般優(yōu)化準(zhǔn)則法對上述算例展開拓?fù)錅p振優(yōu)化。圖7(a)、圖7(b)和圖7(c)為一般法單模態(tài)優(yōu)化迭代歷程。與圖3對比，可以看出在迭代優(yōu)化初期，曲線變化比較相似，但從拓?fù)錁?gòu)型云圖上看一般法優(yōu)化的中間密度數(shù)量較多，趨向于密度為0或1的變化減弱。可看出，圖7(a)在迭代10次附近、圖7(b)在迭代13次附近曲線出現(xiàn)明顯的下降，隨著中間密度值增多，優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型反而出現(xiàn)倒退的現(xiàn)象，并結(jié)合圖6分析，可得能參與優(yōu)化迭代的設(shè)計變量正數(shù)比明顯高于體積約束系數(shù)0.5，致使中間密度增加，且優(yōu)化滿足不了減振優(yōu)化模型的體積約束條件而迭代優(yōu)化中止。

圖6 模態(tài)優(yōu)化靈敏度正數(shù)比迭代歷程Fig.6 Iteration of modal optimization sensitivity positive ratio

圖7 一般法模態(tài)優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型迭代歷程Fig.7 Iteration of modal optimization function and topology shape by unimproved OC method

圖7(c)進一步表明一般法的參與設(shè)計變量正數(shù)比低于約束體積系數(shù)時，可進行迭代優(yōu)化，中間密度較多，迭代變化平緩，反映出尋優(yōu)極值點不易變化；從圖6(c)中可得到迭代后期出現(xiàn)不滿足約束條件的靈敏度正數(shù)比，但是在設(shè)計變量移動極限值的作用下，同樣能穩(wěn)定拓?fù)錁?gòu)型。

圖7(d)給出了一般法多模態(tài)優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型過程。同樣反映出與一般法單模態(tài)迭代優(yōu)化中不易滿足體積約束條件的分析相一致的情況。

為了進一步驗證其算法的優(yōu)化效果，采用不同權(quán)值拓?fù)錁?gòu)型作諧響應(yīng)分析，且與全覆蓋約束阻尼層諧響應(yīng)對比。圖8(a)、圖8(b)和圖8(c)為單階模態(tài)優(yōu)化諧響分析曲線。與全覆蓋阻尼激勵幅值相比均有所增加，但增加的幅值較小，同時驗證了表1中模態(tài)損耗因子變化，在體積減少50%的前提下，一階和三階模態(tài)損耗因子下降2.3%、9.3%以及二階模損耗因子上升1.5%；圖8(d)給出了針對前三階多模態(tài)權(quán)值優(yōu)化諧響分析曲線，另外結(jié)合表1中多模態(tài)優(yōu)化特性數(shù)值，結(jié)果表明與單模態(tài)優(yōu)化相比，有更好的減振效果，一階損耗因子增加相對而言較多，提升了一階單模態(tài)優(yōu)化效果。優(yōu)化阻尼和全覆蓋阻尼結(jié)構(gòu)諧響應(yīng)分析的共峰值激勵頻率與表1中優(yōu)化前后固有頻率變化相一致，驗證了其合理性。不過，可看出未優(yōu)化的高階模態(tài)減振幅值相對于全覆蓋阻尼有所增加，由于高階振型較復(fù)雜，與敷設(shè)在優(yōu)化區(qū)域顯現(xiàn)較集中的已優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)型相比，減振效果有所減弱。

從優(yōu)化前后幅頻特性曲線可以看出，第三階共峰值均相對較小，根據(jù)振動理論，可知激勵頻率與固有頻率較接近時其主振型起主導(dǎo)作用，并且圖2(a)所示的提取點位置處固有頻率主振型幅值較小，進而使未優(yōu)化阻尼結(jié)構(gòu)同樣出現(xiàn)較低的共振響應(yīng)峰。

在優(yōu)化體積減少50%的前提下，殼結(jié)構(gòu)均能優(yōu)化得到與全敷設(shè)約束阻尼材料同等的減振效果，甚至在低頻段優(yōu)化效果有相對大的提升，結(jié)構(gòu)的頻率和振型保持在約束范圍內(nèi)，提高了結(jié)構(gòu)的輕量化要求，改善結(jié)構(gòu)減振控制中的穩(wěn)定狀態(tài)。

圖8 模態(tài)優(yōu)化前后諧響應(yīng)分析Fig.8 Harmonic response analysis of single shell mode optimiz

5 結(jié) 論

1) 以50%為體積約束條件，多階優(yōu)于單階模態(tài)優(yōu)化，得到與全覆蓋約束阻尼層相比，模態(tài)損耗因子偏差卻不超過10%的效果，亦可在合適減少材料的情況下，引起結(jié)構(gòu)損耗因子提高，增加能量耗散，抑制振動響應(yīng)。

2) 提出對靈敏度正數(shù)比的分析，反映出動力學(xué)優(yōu)化中靈敏度正、負(fù)數(shù)集共存，優(yōu)化中應(yīng)避免非靈敏度全域優(yōu)化迭代發(fā)生和拓?fù)錁?gòu)型跳躍。

3) 拓?fù)錁?gòu)型灰度越大，模態(tài)損耗因子越大，進而在優(yōu)化過程中，避免因為出現(xiàn)懲罰不夠?qū)е路€(wěn)定構(gòu)型包含較多中間密度值的情況發(fā)生，使得優(yōu)化結(jié)果虛增，同時拓?fù)錁?gòu)型顯示可將約束阻尼材料較多敷設(shè)在振動響應(yīng)大的區(qū)域，能夠最大限度的抑制振幅。

4) 全域靈敏度改進準(zhǔn)則法對復(fù)合殼結(jié)構(gòu)不同權(quán)值優(yōu)化，驗證了算法具有迭代快、尋優(yōu)域廣和拓?fù)錁?gòu)型清晰穩(wěn)定的優(yōu)勢。