基于自適應(yīng)Kriging代理模型的交叉熵重要抽樣法

史朝印，呂震宙，李璐祎，王燕萍

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

結(jié)構(gòu)可靠性分析的主要任務(wù)在于計(jì)算結(jié)構(gòu)失效概率[1]，迄今為止，研究者們已經(jīng)提出了許多高效的可靠性計(jì)算方法。基于設(shè)計(jì)點(diǎn)的方法[2-4]是最為常見的一種可靠性分析方法，其中，一次二階矩方法[4]最具有代表性，它通過將極限狀態(tài)函數(shù)在設(shè)計(jì)點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開，保留展開式一階項(xiàng)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)極限狀態(tài)函數(shù)的線性近似。但該方法需要計(jì)算極限狀態(tài)函數(shù)在設(shè)計(jì)點(diǎn)處的梯度，且此方法的準(zhǔn)確度嚴(yán)重依賴于所研究問題的線性特征。對(duì)于具有復(fù)雜失效域的問題，其失效域往往是數(shù)量眾多的不連通域，且每個(gè)失效域相對(duì)于整個(gè)取值域占比較小，失效域的個(gè)數(shù)難以預(yù)先得到，設(shè)計(jì)點(diǎn)也難以預(yù)先求解。因此該方法無(wú)法解決復(fù)雜失效域、多設(shè)計(jì)點(diǎn)等問題。數(shù)字模擬方法中最基本的蒙特卡羅模擬(Monte Carlo Simulation, MCS)方法通過抽樣并判斷樣本所處狀態(tài)，計(jì)算結(jié)構(gòu)失效概率。對(duì)于實(shí)際工程問題，失效概率通常較小(10-3量級(jí)及更小)，導(dǎo)致MCS方法往往需要大量的樣本(一般為102～104/Pf，Pf為結(jié)構(gòu)真實(shí)失效概率)，才能獲得收斂解，計(jì)算效率低下。因此，研究者們提出了一系列改進(jìn)數(shù)字模擬方法。其中，重要抽樣(Importance Sampling, IS)法[5-8]是一種應(yīng)用廣泛的方差縮減方法，它通過構(gòu)建重要抽樣密度函數(shù)，使所抽取的樣本盡可能多地落入失效域中，從而大幅縮小抽樣樣本池規(guī)模，提高失效概率的計(jì)算效率。

重要抽樣方法的關(guān)鍵在于重要抽樣密度函數(shù)的構(gòu)建。Melcher[9]提出了基于設(shè)計(jì)點(diǎn)的方法，通過將原隨機(jī)變量概率密度函數(shù)的中心平移至設(shè)計(jì)點(diǎn)處構(gòu)建重要抽樣密度函數(shù)。但該方法無(wú)法處理多設(shè)計(jì)點(diǎn)、復(fù)雜失效域的問題。吳斌等[10]提出了擴(kuò)大方差的方法，這種方法難以確定方差擴(kuò)大的倍數(shù)。Priebe和Marchette[11]提出了混合重要抽樣法，對(duì)每個(gè)失效模式單獨(dú)構(gòu)造重要抽樣密度函數(shù)后加權(quán)混合，有效解決了多失效模式問題。Au和Beek[12]提出了基于核密度估計(jì)的方法，通過馬爾可夫鏈對(duì)失效域進(jìn)行預(yù)抽樣，獲得一定量的失效樣本后，通過核密度估計(jì)得到重要抽樣密度函數(shù)；但核密度估計(jì)方法計(jì)算成本較大，且精度難以保證。Dubourg等[13]提出了元模型重要抽樣(Meta-IS)方法，使用Kriging模型近似理論上最優(yōu)重要抽樣密度函數(shù)，同時(shí)，將失效概率轉(zhuǎn)化為失效概率估計(jì)值和修正系數(shù)乘積的形式；但該方法在Kriging構(gòu)建時(shí)收斂標(biāo)準(zhǔn)的物理意義并不明確，且需要大量調(diào)用極限狀態(tài)函數(shù)以計(jì)算樣本的真實(shí)響應(yīng)值。Cadini等[14]提出了改進(jìn)的Meta-IS-AK2方法，但該方法通過單高斯模型獲得的重要抽樣密度函數(shù)針對(duì)多失效域問題效率較低。Kurtz和Song[15]提出了交叉熵重要抽樣(Cross Entropy Importance Sampling, CE-IS)方法，使用高斯混合模型作為重要抽樣函數(shù)，通過交叉熵原理，迭代更新高斯混合模型(Gaussian Mixture Model, GMM)的參數(shù)，逐步逼近最優(yōu)重要抽樣密度函數(shù)。該方法較Meta-IS-AK2獲得的重要抽樣密度函數(shù)有更高的抽樣效率，但在GMM的參數(shù)計(jì)算過程中，需大量調(diào)用極限狀態(tài)函數(shù)計(jì)算樣本點(diǎn)處真實(shí)輸出響應(yīng)值，使得最終的計(jì)算效率大幅下降。且Kurtz和Song[15]所提方法以落入失效域的重要樣本比率作為收斂準(zhǔn)則，沒有考慮失效概率估計(jì)值的變異系數(shù)，對(duì)于部分問題，會(huì)存在解不穩(wěn)定，迭代次數(shù)過多，甚至無(wú)收斂解的問題。

對(duì)于實(shí)際工程問題，極限狀態(tài)函數(shù)往往是基于有限元模型[16]的隱式函數(shù)，每次調(diào)用都會(huì)帶來(lái)大量的計(jì)算量，因此，應(yīng)盡可能減少極限狀態(tài)函數(shù)的調(diào)用次數(shù)。代理模型[17-22]可以有效避免極限狀態(tài)函數(shù)多次調(diào)用問題，其通過一定的選點(diǎn)準(zhǔn)則，篩選出對(duì)失效概率計(jì)算影響較大的點(diǎn)，添加至模型訓(xùn)練集，構(gòu)建代理模型預(yù)測(cè)樣本點(diǎn)處的響應(yīng)值，計(jì)算結(jié)構(gòu)失效概率。其中，Kriging模型由于其在可靠性分析領(lǐng)域存在特有的優(yōu)勢(shì)受到了最為廣泛的關(guān)注。Kriging模型假設(shè)樣本點(diǎn)之間服從高斯隨機(jī)過程，通過極大似然估計(jì)模型參數(shù)值。由于高斯過程的特性，Kriging模型不僅可以預(yù)測(cè)樣本點(diǎn)處的響應(yīng)值，還可以預(yù)測(cè)樣本點(diǎn)處的方差值。因此，Kriging模型有別于其他代理模型，對(duì)于樣本點(diǎn)的預(yù)測(cè)具有隨機(jī)屬性，可以提供樣本點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)信息，與可靠性分析通過輸入變量統(tǒng)計(jì)信息求解輸出響應(yīng)部分統(tǒng)計(jì)信息的思想相吻合?；诖?，研究者們提出了一系列的學(xué)習(xí)函數(shù)，自適應(yīng)地篩選出訓(xùn)練樣本點(diǎn)，以提高Kriging模型的構(gòu)建效率。常用的自適應(yīng)學(xué)習(xí)函數(shù)有期望可行性函數(shù)[23]、U學(xué)習(xí)函數(shù)[24]、H學(xué)習(xí)函數(shù)[25]、期望最大學(xué)習(xí)函數(shù)[26]等。其中，U學(xué)習(xí)函數(shù)綜合考慮樣本點(diǎn)距極限狀態(tài)面的距離和樣本點(diǎn)的預(yù)測(cè)誤差，篩選出最易錯(cuò)誤判斷失效狀態(tài)的點(diǎn)，簡(jiǎn)單易行，本文選擇U函數(shù)作為學(xué)習(xí)函數(shù)。通過自適應(yīng)Kriging(Adaptive Kriging, AK)代理模型方法，來(lái)用少量訓(xùn)練樣本即可構(gòu)建高精度的收斂的代理模型替代極限狀態(tài)函數(shù)，顯著提高失效概率的計(jì)算效率。常用的AK-MCS[24]依舊需要構(gòu)建大規(guī)模的樣本池，對(duì)于小失效概率問題，計(jì)算效率依舊低下。

本文將CE-IS方法與AK方法相結(jié)合，通過少量訓(xùn)練樣本，自適應(yīng)地?cái)M合極限狀態(tài)面，減少CE-IS的極限狀態(tài)函數(shù)調(diào)用次數(shù)，同時(shí)通過GMM，構(gòu)建高效的重要抽樣函數(shù)，大幅縮小AK-MCS方法的樣本池規(guī)模。相較于現(xiàn)有方法，本文所提方法有以下創(chuàng)新性：

1) 改進(jìn)CE-IS方法收斂條件，避免冗余迭代，同時(shí)增強(qiáng)CE-IS方法的適用性。

2) 通過AK模型擬合極限狀態(tài)函數(shù)，可顯著減少CE-IS方法的計(jì)算量。

3) 通過GMM近似最優(yōu)重要抽樣密度函數(shù)，相較于現(xiàn)有的重要抽樣密度函數(shù)的構(gòu)造方法，更為高效。

1 基于交叉熵的重要抽樣法

1.1 重要抽樣法

結(jié)構(gòu)可靠性分析的關(guān)鍵是失效概率的計(jì)算，對(duì)于已知結(jié)構(gòu)，其極限狀態(tài)函數(shù)為g(x)，其中，x為隨機(jī)輸入變量，其概率密度函數(shù)為fX(x)，結(jié)構(gòu)的失效域?yàn)镕={x|g(x)≤0}，失效概率Pf即為輸入隨機(jī)變量落入失效域的概率，可由積分求得，即

(1)

式(1)通常無(wú)解析解，故常采用MCS方法作為參照解。引入失效域指示函數(shù)IF(x):

(2)

則通過MCS方法估計(jì)結(jié)構(gòu)失效概率的表達(dá)式為

(3)

式中：xi(i=1,2,…,N)為N個(gè)按fX(x)抽取的MCS樣本點(diǎn);Rd為d維的實(shí)數(shù)域。

(4)

(5)

理論上可以推導(dǎo)最優(yōu)的重要抽樣密度函數(shù)hopt(x)為

hopt(x)=IF(x)·fX(x)/Pf

(6)

以hopt(x)作為重要抽樣密度函數(shù)時(shí)，失效概率估計(jì)值的方差為零。通過對(duì)最優(yōu)重要抽樣密度函數(shù)進(jìn)行近似擬合，即可得到抽樣效率最高的重要抽樣密度函數(shù)。

1.2 高斯混合模型

假設(shè)隨機(jī)向量x服從K元高斯混合分布，其概率密度函數(shù)p(x)為

(7)

式中：K為高斯混合成分個(gè)數(shù)；f(x|μk,Σk)為第k個(gè)混合成分的混合高斯分布密度函數(shù)，μk和Σk分別為相應(yīng)均值向量和協(xié)方差矩陣;πk為混為混合成分系數(shù)，由密度函數(shù)的歸一化條件知，πk應(yīng)滿足:

(8)

0≤πk≤1

(9)

式中:混合系數(shù)πk表示隨機(jī)變量x來(lái)自于第k個(gè)混合成分的概率。

記二值隨機(jī)變量zk(k=1,2,…,K)表示在給定樣本x的情況下，其是否由第k個(gè)混合變量生成，zk的后驗(yàn)概率為

(10)

對(duì)于一個(gè)未知K元混合高斯分布模型

(11)

其未知參數(shù)v共3×K組，每一元高斯分布的參數(shù)為{πk,μk,Σk}，則

v={πk,μk,Σk；k=1,2,…,K}

(12)

通過交叉熵準(zhǔn)則，可以迭代求出K元混合高斯分布的參數(shù)，使其盡可能地逼近理論最優(yōu)重要抽樣密度函數(shù)。

1.3 交叉熵準(zhǔn)則

在信息論中，Kullback-Leibler交叉熵(K-L Cross-Entropy，KL-CE)D,簡(jiǎn)稱交叉熵(Cross-Entropy，CE)常用來(lái)度量函數(shù)的差異，其定義為

(13)

由式(13)可知，交叉熵越小，函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)之間的差異就越小。為了使p(x;v)逼近最優(yōu)重要抽樣密度函數(shù)hopt(x)，計(jì)算它們之間的交叉熵:

lnp(x;v)dx

(14)

將式(6)代入式(14)可得

(15)

arg maxEX[IF(x)·ln(p(x;v))]

(16)

式(16)為嵌套形式，通常無(wú)解析解，一般采用迭代算法求解，逐步更新GMM參數(shù)，直至滿足收斂要求。

為了提高計(jì)算效率，每一步迭代也采用重要抽樣法進(jìn)行計(jì)算，即，使用前一步迭代所得GMMp(x;w)作為當(dāng)前重要抽樣密度函數(shù)，w為其參數(shù)。式(16)可改寫為

p(x;w)dx=arg maxEX～p(x;w)[IF(x)·

ln(p(x;v))·W(x)]

(17)

(18)

(19)

將GMM的定義式(7)代入式(19)，得到關(guān)于模型參數(shù)v的方程：

(20)

分別對(duì)3×K組模型參數(shù)求導(dǎo)，以均值向量μk(k=1,2,…,K)為例，可建立方程為

(21)

解得

(22)

同理可得Σk和πk(k=1,2,…,K)的表達(dá)式為

(23)

(24)

式(22)～式(24)即為基于交叉熵原理得到的GMM參數(shù)更新準(zhǔn)則，通過多次迭代，GMM即可較為準(zhǔn)確地近似最優(yōu)重要抽樣密度函數(shù)hopt(x)。但注意到，式(22)～式(24)中失效域指示函數(shù)IF(x)的計(jì)算需要調(diào)用結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)，而多次迭代會(huì)使得計(jì)算量顯著加大，因此，本文將AK方法與CE-IS方法相結(jié)合，從而提高算法的效率。

2 CE-IS-AK算法

2.1 Kriging模型

Y=f(x)Tβ+z(x)

(25)

式中：f(x)=[f1(x)f2(x) …fM(x)]T為M×1維基函數(shù)向量;β=[β1β2…βM]T為相應(yīng)的系數(shù)向量；z(x)為零均值高斯隨機(jī)過程，協(xié)方差函數(shù)為

(26)

(27)

(28)

R=

(29)

由上述過程可知，Kriging模型的構(gòu)建即為相關(guān)函數(shù)參數(shù)θ的確定，采取最大似然估計(jì)計(jì)算最優(yōu)參數(shù)為

(30)

(31)

[FR-1r(x)-f(x)]T(FTR-1F)-1·

[FR-1r(x)-f(x)]}

(32)

2.2 自適應(yīng)Kriging模型

為了高效地選擇模型訓(xùn)練點(diǎn)，通常需采取自適應(yīng)的方法，選擇恰當(dāng)學(xué)習(xí)函數(shù)與收斂條件。本文選擇的U學(xué)習(xí)函數(shù)表達(dá)式為

(33)

U函數(shù)表征了樣本輸出響應(yīng)y=g(x)的正負(fù)狀態(tài)被誤分的概率。U函數(shù)值越小，樣本點(diǎn)被錯(cuò)誤分類的概率越大，故而篩選出U函數(shù)值較小的樣本點(diǎn)作為新的訓(xùn)練點(diǎn)：

(34)

式中：S為候選樣本池。

U(x)=2時(shí)，樣本點(diǎn)被正確分類的概率為1-Φ(2)=97.7%，故可以認(rèn)為當(dāng)U(x)≥2時(shí)，所構(gòu)建的Kriging模型對(duì)樣本點(diǎn)的正負(fù)號(hào)判斷有超過97.7%的概率預(yù)測(cè)正確。因此，確定Kriging模型構(gòu)建的收斂條件為

(35)

2.3 本文所提算法

本文所提方法結(jié)合了CE-IS方法與AK方法，避免了CE-IS方法計(jì)算量過大的缺陷，并提出了新的收斂準(zhǔn)則，避免了冗余迭代，增強(qiáng)了CE-IS算法的適用性。同時(shí)，較AK-MCS方法縮減了樣本池，使小失效概率的計(jì)算更為高效。以下給出本文所提方法的詳細(xì)計(jì)算步驟。

4) 用Kriging模型計(jì)算樣本池S(l)中樣本點(diǎn)U函數(shù)值。

(36)

7) 計(jì)算抽樣效率：

(37)

判斷η是否大于指定值η*，如滿足，則執(zhí)行第8)步；否則，根據(jù)式(22)～式(24)更新GMM參數(shù)，增加迭代次數(shù)l=l+1，轉(zhuǎn)跳至第3)步。

8) 擴(kuò)大樣本池規(guī)模，如：N=10N，轉(zhuǎn)跳至第3)步。

方法流程圖如圖1所示。

圖1 CE-IS-AK方法流程圖Fig.1 Flow chart of CE-IS-AK method

2.4 一些討論及說(shuō)明

文獻(xiàn)[15]以其所提ρ分位數(shù)作為收斂準(zhǔn)則，ρ分位數(shù)的概念與抽樣效率η概念相同，均表征重要樣本落入失效域中的比例；以其作為收斂準(zhǔn)則，即以抽樣效率η作為收斂準(zhǔn)則，存在以下3個(gè)主要問題：

1) 對(duì)于部分復(fù)雜失效域問題，由于理論最優(yōu)重要抽樣密度函數(shù)的高度非線性以及不連續(xù)性，GMM難以十分準(zhǔn)確地逼近理論最優(yōu)重要抽樣密度函數(shù)，單純以抽樣效率作為收斂準(zhǔn)會(huì)造成方法迭代次數(shù)過多，甚至不收斂。

2) 對(duì)于部分失效概率較大的問題，只需較少的樣本點(diǎn)即可得到穩(wěn)定的解，以抽樣效率作為收斂指標(biāo)會(huì)使算法進(jìn)行多次無(wú)意義迭代。

3) 對(duì)于部分極小失效概率問題，即使使用重要抽樣的方法，也需要較大規(guī)模的樣本池，僅通過抽樣效率難以判斷是否得到了穩(wěn)定的收斂解。

本文以失效概率估計(jì)值的變異系數(shù)作為方法收斂準(zhǔn)則，可以準(zhǔn)確衡量解的穩(wěn)定性，以及樣本池規(guī)模是否恰當(dāng)，同時(shí)避免方法出現(xiàn)冗余迭代。

本文構(gòu)建AK模型用于擬合極限狀態(tài)函數(shù)，因此，每次更新重要樣本池時(shí)，無(wú)需重新構(gòu)建模型，僅需在原有Kriging模型的基礎(chǔ)上，通過學(xué)習(xí)函數(shù)添加少量訓(xùn)練樣本點(diǎn)，修正現(xiàn)有模型，即可完成收斂。

根據(jù)文獻(xiàn)[15]的研究，本文建議高斯混合模型中混合成分?jǐn)?shù)目K的取值應(yīng)滿足如下要求：

max{d，Ncomponent}≤K≤5%ηNNcomponent

(38)

式中：Ncomponent為結(jié)構(gòu)失效模式數(shù)目，對(duì)于單模式問題Ncomponent=1。建議迭代樣本池規(guī)模N為103～105。

對(duì)于復(fù)雜失效問題，往往難以預(yù)先判斷其失效域個(gè)數(shù)，因此建議選擇d

3 算例分析

本節(jié)給出5個(gè)算例證明所提算法的高效與適用性，第1個(gè)算例為小失效概率問題；第2個(gè)算例為串聯(lián)系統(tǒng)問題，具有多失效域；第3個(gè)算例為復(fù)雜多失效域問題，不連續(xù)失效域較多，失效邊界復(fù)雜；第4個(gè)算例為一個(gè)動(dòng)態(tài)非線性振子問題；第5個(gè)算例為工程有限元算例。本文將所提方法與AK-MCS和CE-IS等方法所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

3.1 算例1

一個(gè)非線性單設(shè)計(jì)點(diǎn)問題的極限狀態(tài)函數(shù)為

g(x1，x2)=0.5(x1-2)2-1.5(x2-5)3-3

(39)

輸入隨機(jī)變量為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，圖2給出了算例一通過CE-IS-AK方法最終所得的重要樣本點(diǎn)和極限狀態(tài)面以及真實(shí)極限狀態(tài)面。表1給出了算例一CE-IS-AK方法具體迭代結(jié)果，表2給出了算例一的各方法計(jì)算對(duì)比結(jié)果，表中，Ncall為極限狀態(tài)函數(shù)調(diào)用次數(shù)，Ncondidate為備選樣本點(diǎn)總數(shù)。

針對(duì)此算例，本文選擇混合成分的個(gè)數(shù)K=20，每次迭代的樣本池規(guī)模為N=103，收斂條件為ε*=5%，η*=80%。從算例1結(jié)果可看出，本文所提方法具有較高的效率，這是由于GMM模型本身的特性，可以對(duì)不連續(xù)的多失效域進(jìn)行近似。通過3次迭代，方法即收斂。相較于CE-IS方法，本文所提方法在大幅減小極限狀態(tài)函數(shù)調(diào)用次數(shù)的情況下，依舊保持了與其相當(dāng)?shù)母叱闃有?；與AK-MCS方法相比，本文在極限狀態(tài)函數(shù)調(diào)用次數(shù)基本相當(dāng)?shù)那闆r下，大幅度縮減了樣本池規(guī)模，在實(shí)際計(jì)算中，大幅提升了計(jì)算效率。

圖2 算例1 CE-IS-AK方法所得重要樣本點(diǎn)及 極限狀態(tài)響應(yīng)面Fig.2 Approximate LSF and important samples obtained by CE-IS-AK of Example 1

表1 算例1 CE-IS-AK方法迭代結(jié)果

Table 1Results of iteration of CE-IS-AK of Example 1

迭代次數(shù)NcallNcandidateη(l)/%P^(l)f/10-5Cov[P^(l)f]/%l=012+51 000320.4532.09l=161 000672.1713.75l=241 000882.852.86

表2 算例1的計(jì)算結(jié)果Table 2 Results of Example 1

3.2 算例2

串聯(lián)系統(tǒng)具有4個(gè)失效域，其極限狀態(tài)函數(shù)為

g(x1,x2)=

(40)

式中：輸入隨機(jī)變量均為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。

圖3給出了算例2通過CE-IS-AK方法最終所得的重要樣本點(diǎn)、極限狀態(tài)面以及真實(shí)極限狀態(tài)面。表3給出了算例2 CE-IS-AK方法具體迭代結(jié)果，表4給出了各方法計(jì)算對(duì)比結(jié)果。

針對(duì)此算例，本文選擇混合成分的個(gè)數(shù)K=50，每次迭代的樣本池規(guī)模為N=103，ε*=5%，迭代門限值為η*=80%。

CE-IS方法只考慮抽樣效率，故出現(xiàn)了冗余迭代的情況。而由于本文提出了更加合理的收斂條件，在失效概率估計(jì)值的變異系數(shù)滿足要求后即收斂，雖然最終得到的抽樣效率略低于CE-IS方法，但求解精度并無(wú)顯著區(qū)別，且計(jì)算量有所減小，若再進(jìn)行一次迭代即可得到與CE-IS方法相近的求解情況。與AK-MCS方法相比，本文所提方法雖然調(diào)用極限狀態(tài)函數(shù)次數(shù)有所增加，但樣本池規(guī)模遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于AK-MCS方法，避免了對(duì)非常大一部分安全域內(nèi)的樣本點(diǎn)進(jìn)行無(wú)意義的Kriging模型的反復(fù)多次預(yù)測(cè)。

圖3 算例2 CE-IS-AK方法所得重要樣本點(diǎn)及 極限狀態(tài)響應(yīng)面Fig.3 Approximate LSF and important samples obtained by CE-IS-AK of Example 2

表3 算例2 CE-IS-AK方法迭代結(jié)果

Table 3 Results of iteration of CE-IS-AK of Example 2

迭代次數(shù)NcallNcandidateη(l)/%^Pf/10-3Cov[^P(l)f]/%l=030+351 000541.7132.09l=1421 000672.226.75l=2371 000762.223.66l=3181 000882.222.94

表4 算例2的計(jì)算結(jié)果Table 4 Results of Example 2

注：(3)*表示迭代到l=2，(4)*表示迭代到l=3。

3.3 算例3

一經(jīng)典的復(fù)雜高度非線性多失效域問題的極限狀態(tài)函數(shù)為

(41)

式中：輸入隨機(jī)變量均為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量。表5給出了算例3的各種方法的計(jì)算結(jié)果。圖4給出通過所提方法最終所得的重要樣本點(diǎn)、近似極限狀態(tài)面以及真實(shí)極限狀態(tài)面。

針對(duì)算例3，本文選擇混合成分的個(gè)數(shù)K=100，每次迭代的樣本池規(guī)模為N=103，ε*=5%，η*=80%。此算例為一高度非線性多失效域算例，失效域數(shù)量較多，面積均較小且較為分散，理論上難以獲得抽樣效率較高的重要抽樣密度函數(shù)，但此算例失效概率較大，因此并不需要特別大量的重要樣本點(diǎn)即可得到收斂解。CE-IS方法由于僅以抽樣效率作為收斂指標(biāo)，故沒有得到收斂的解。本文所提方法雖然最終抽樣效率較之前算例有明顯下降，但依舊得到了較為準(zhǔn)確的收斂解，同時(shí)，抽樣效率仍為所有對(duì)比方法中最高且樣本池規(guī)模最小。故而，相對(duì)于其他對(duì)比方法而言，仍然具有較大優(yōu)勢(shì)。

表5 算例3的計(jì)算結(jié)果Table 5 Results of Example 3

圖4 算例3 CE-IS-AK方法所得重要樣本點(diǎn)及 極限狀態(tài)響應(yīng)面Fig.4 Approximate LSF and important samples obtained by CE-IS-AK of Example 3

3.4 算例4

一單自由度無(wú)阻尼彈簧振子模型，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖見圖5，系統(tǒng)的極限狀態(tài)函數(shù)為

(42)

針對(duì)此算例，選擇混合成分的個(gè)數(shù)K=100，每次迭代的樣本池規(guī)模為N=103，ε*=5%，η*=80%。此算例的各方法對(duì)比結(jié)果證明了本文所提算法對(duì)較高維數(shù)的問題依然可以高效處理。

圖5 單自由度無(wú)阻尼彈簧振子模型Fig.5 Model of single degree of freedom undamped spring oscillator

表6 算例4輸入隨機(jī)變量分布參數(shù)

Table 6Distribution parameters of input random variables of Example 4

隨機(jī)變量分布類型均值標(biāo)準(zhǔn)差m正態(tài)分布10.05c1正態(tài)分布10.1c2正態(tài)分布0.10.01r正態(tài)分布0.50.05F1正態(tài)分布10.2t1正態(tài)分布10.2

表7 算例4的計(jì)算結(jié)果Table 7 Results of Example 4

3.5 算例5

以桁架中點(diǎn)位移u(X)為研究對(duì)象，結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)為：

g(X)=τ-u(X)

(43)

式中:τ=12 cm為位移u(X)的閾值。

相應(yīng)地，結(jié)構(gòu)失效域?yàn)镕={X|g(X)≤0}。算例5無(wú)法通過結(jié)構(gòu)力學(xué)知識(shí)解析得到u(X)的具體表達(dá)式，因此，采用有限元仿真對(duì)其進(jìn)行計(jì)算。

圖6 桁架結(jié)構(gòu)示意圖Fig.6 A sketch of truss

表8 算例5輸入隨機(jī)變量分布參數(shù)

Table 8Distribution parameters of input random variables of Example 5

隨機(jī)變量分布類型均值標(biāo)準(zhǔn)差E1,E2/Pa對(duì)數(shù)正態(tài)2.1×10112.1×1010A1/m2對(duì)數(shù)正態(tài)2×10-32×10-4A2/m2對(duì)數(shù)正態(tài)1×10-31×10-4P1,P2,…,P6/N耿貝爾5×1047.5×103

本文采用規(guī)模為1×106的MCS樣本池，雖然在計(jì)算過程中需大量調(diào)用有限元模型，但由于該結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單，有限元模型計(jì)算迅速，因此，仍可通過MCS方法得到參照解。表9中給出了該工程算例的計(jì)算結(jié)果。同時(shí)，各方法均由同一計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證，其計(jì)算時(shí)間T一并列出。

表9 算例5的計(jì)算結(jié)果Table 9 Results of Example 5

針對(duì)此算例，選擇混合成分的個(gè)數(shù)K=100，每次迭代的樣本池規(guī)模為N=103，ε*=5%，η*=80%。

3.6 一些討論及說(shuō)明

本文所提算法可高效處理復(fù)雜失效域與小失效概率耦合問題，即結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效域較復(fù)雜且同時(shí)失效概率也較小的問題。

對(duì)于小失效概率問題，常規(guī)的數(shù)字模擬方法，需要規(guī)模巨大的樣本池來(lái)保證計(jì)算的精度。所提方法使用基于高斯模型的重要抽樣法，大幅度縮減了樣本池規(guī)模。同時(shí)，引入自適應(yīng)Kriging代理模型輔助計(jì)算，減少了功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)，進(jìn)一步提高了計(jì)算效率。算例1所示結(jié)果也證明了本文所提方法能在精度范圍要求內(nèi)高效處理小失效概率問題。

對(duì)于復(fù)雜失效域問題，往往是串并聯(lián)系統(tǒng)問題、隱式函數(shù)問題，甚至是有限元模型問題，針對(duì)此類問題，常規(guī)代理模型方法雖然能減少計(jì)算成本巨大的功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)，但由于樣本池規(guī)模所限，計(jì)算時(shí)間成本依舊較大。本文所提方法引入基于高斯混合模型的重要抽樣法，極大地縮減了樣本池的規(guī)模，使計(jì)算效率進(jìn)一步提高。算例2、算例3、算例4和算例5的計(jì)算結(jié)果也驗(yàn)證了本文所提方法的高效性。

4 結(jié) 論

1) 本文針對(duì)復(fù)雜失效域和小失效概率耦合的失效概率計(jì)算問題，提出了交叉熵重要抽樣結(jié)合自適應(yīng)Kriging模型的CE-IS-AK方法。通過交叉熵準(zhǔn)則指導(dǎo)高斯混合模型逐步逼近理論最優(yōu)重要抽樣密度函數(shù)，參數(shù)更新中使用AK模型近似計(jì)算樣本響應(yīng)值，從而大大減少了計(jì)算過程中的結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)調(diào)用次數(shù)，在保證方法計(jì)算精度的同時(shí)提高了CE-IS方法的計(jì)算效率。

2) 本文改進(jìn)了CE-IS方法的收斂準(zhǔn)則，以失效概率估計(jì)值的變異系數(shù)作為最終指標(biāo)，抽樣效率作為參考指標(biāo)，避免了冗余迭代，也克服了CE-IS方法對(duì)于部分復(fù)雜失效域問題無(wú)法得到收斂解的缺點(diǎn)，擴(kuò)大了方法的適用范圍。

3) 相較于CE-IS方法，由于AK模型的引入，結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù)的調(diào)用次數(shù)大幅縮減，計(jì)算效率顯著提高。相較于AK-MCS方法，由于采用了高斯混合模型代替重要抽樣密度函數(shù)，抽樣效率較MCS方法得到了顯著提高，樣本池規(guī)模大幅縮小，適用于小失效概率問題。同時(shí)，由于利用了高斯混合模型，方法對(duì)于多失效域和復(fù)雜失效域等問題也有良好的適用性。最后，算例分析結(jié)果也證明了本文所提方法的高效性。