一種快速收斂的固定時間非奇異終端滑?？刂品椒?/h1>
2020-03-01 06:43:36蔡遠利鄧逸凡
中國慣性技術(shù)學(xué)報 2020年5期
田 野，蔡遠利，鄧逸凡
（西安交通大學(xué) 電信學(xué)部 自動化科學(xué)與工程學(xué)院，西安 710049）
滑?？刂疲⊿liding Mode Control）是一種非線性控制方法，它通過使用非連續(xù)的控制信號來調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動態(tài)性能，驅(qū)使系統(tǒng)狀態(tài)量在指定的滑模面上運動。其系統(tǒng)響應(yīng)分為趨近模態(tài)[1]和滑動模態(tài)，通過合理設(shè)計可以使系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性和動態(tài)性能。與其他非線性控制方法相比，滑模控制方法因其形式簡單、對系統(tǒng)參數(shù)變化的低敏感性以及對外部干擾的強魯棒性被廣泛研究并應(yīng)用于眾多非線性系統(tǒng)的控制問題中，包括飛行器控制[2]、制導(dǎo)律設(shè)計[3]、容錯控制[4]和電力系統(tǒng)等。
傳統(tǒng)線性滑模控制方法基于線性超平面構(gòu)造滑模面，在滿足李雅普諾夫穩(wěn)定理論的條件下控制系統(tǒng)趨于平衡，但這種方式只能保證系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定。為了使系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時間快速收斂，基于有限時間穩(wěn)定概念提出了終端滑?？刂疲═erminal Sliding Mode Control）方法，在滑模面運動階段通過采用非線性超平面來實現(xiàn)快速有限時間收斂。然而，由于標(biāo)準(zhǔn)終端滑模中含有負(fù)指數(shù)冪次項，在某些系統(tǒng)狀態(tài)下會出現(xiàn)奇異問題。Yang[5]構(gòu)建了非奇異快速終端滑模，使得系統(tǒng)狀態(tài)在全論域內(nèi)都為有限時間收斂。各終端滑模方法均為有限時間控制下的方法，并未給出收斂時間的明確估計。有限時間穩(wěn)定理論的關(guān)鍵問題之一是對收斂時間的估計，它一般為系統(tǒng)初始條件的函數(shù)，不同的初始狀態(tài)值會得到不同的收斂時間。由于實際系統(tǒng)的初始條件可能難以預(yù)先精確獲得，從而在某些情況下收斂時間無法準(zhǔn)確估算，限制了其應(yīng)用。
在有限時間穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，Polyakov[6]進一步提出了固定時間收斂的概念。與有限時間收斂相比，固定時間收斂理論可以在系統(tǒng)收斂時得到一個不依賴于系統(tǒng)初始條件的收斂時間上界。同時，研究了滑模控制系統(tǒng)固定時間穩(wěn)定性分析的數(shù)學(xué)方法，提出了用于穩(wěn)定性分析和收斂時間估計的廣義Lyapunov 定理。Polyakov[7]討論了含有非線性不確定性的多輸入多輸出系統(tǒng)的有限時間和固定時間穩(wěn)定的控制器設(shè)計問題。Zuo[8]針對一類二階非線性系統(tǒng)提出了一種固定時間收斂的終端滑模控制方法，并應(yīng)用于多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制中[9]，但是該方法在系統(tǒng)狀態(tài)某些區(qū)域存在奇異性問題。Li[10]基于文獻[7-9]設(shè)計了具有快速固定時間收斂特性的非奇異終端滑模。然而，Zuo[8]設(shè)計的固定時間系統(tǒng)及終端滑模收斂時間并不是最優(yōu)的，且所設(shè)計的滑模面結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，不利于實際應(yīng)用。Ni[11]提出了一種固定時間非奇異終端滑模方法，通過引入飽和函數(shù)來避免奇異問題，但所設(shè)計的方法未考慮外部干擾對控制性能的影響。
基于以上討論，針對已有方法存在的不足，本文結(jié)合固定時間穩(wěn)定理論和終端滑?？刂评碚?，設(shè)計了一種新型的固定時間非奇異終端滑模控制方法。主要創(chuàng)新點在于:1)對一類含匹配擾動的二階非線性系統(tǒng)，基于固定時間穩(wěn)定理論提出了一種新型的固定時間收斂系統(tǒng)，其收斂速度快于已有文獻[6,8-11]中的固定時間收斂系統(tǒng)，收斂時間的對比驗證了所提出結(jié)論的正確性。2)基于提出的固定時間收斂系統(tǒng)，構(gòu)造了一種新型的快速收斂固定時間非奇異終端滑模。所提出的方法避免了奇異現(xiàn)象，具有與初始狀態(tài)無關(guān)收斂時間上界，可由設(shè)計參數(shù)預(yù)先設(shè)定。與已有的幾種典型固定時間滑?？刂品椒ㄏ啾?，所設(shè)計的方法收斂速度更快，削弱了之前固定時間滑模存在的抖振，所需控制能量更小且控制曲線平滑，適于實際應(yīng)用。最后將該方法應(yīng)用于單級倒立擺和制導(dǎo)系統(tǒng)中進行了仿真分析，驗證了所提出方法的有效性和優(yōu)越性。
1 問題描述
考慮如下非線性系統(tǒng)：
其中x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)量，F(xiàn)（t,x）:R+×D→Rn為連續(xù)非線性函數(shù)，D為包含原點的開區(qū)域。系統(tǒng)(1)的解定義在Filippov 意義下，給定初始時間t0和初始狀態(tài)x0。
定義1[11]對于系統(tǒng)(1)，若1)原點為漸近穩(wěn)定平衡點，且存在原點的開鄰域N?D；2)對所有x（0） ∈N ｛ 0｝，存在正定函數(shù)T（x0）:N→R，則原點是有限時間收斂平衡點。同時，原點的有限時間穩(wěn)定意味著原點的漸進穩(wěn)定性。當(dāng)N=D=Rn時，原點為全局有限時間穩(wěn)定的。
定義1 中的收斂時間T為系統(tǒng)初始狀態(tài)x0的函數(shù)，因此有限時間收斂依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)。在此基礎(chǔ)上，Polyakov[6]提出了固定時間穩(wěn)定的概念，相對于有限時間穩(wěn)定系統(tǒng)，固定時間穩(wěn)定系統(tǒng)可以保證系統(tǒng)的收斂時間與系統(tǒng)初始條件無關(guān)。
定義2[6]若系統(tǒng)(1)全局有限時間穩(wěn)定，且收斂時間函數(shù)T（x0）存在實數(shù)上界Tmax＞0，即對任意?x0∈Rn，有T（x0）≤Tmax，則原點為固定時間收斂平衡點。
考慮一類具有匹配擾動的二階非線性系統(tǒng)
式中x=[x1,x2]T∈R2為系統(tǒng)狀態(tài)，f和b≠ 0為已知非線性光滑函數(shù)，u∈R為控制輸入，d為外部擾動。
假設(shè)1假設(shè)外部擾動d有界，對于x∈R2及t≥0，存在常數(shù)D＞0，滿足
論文的目標(biāo)是設(shè)計固定時間終端滑?？刂坡?，使系統(tǒng)狀態(tài)x跟蹤參考模態(tài)，從而實現(xiàn)對輸入信號的期望響應(yīng)。
2 固定時間非奇異終端滑?？刂?/h2>2.1 新型固定時間收斂系統(tǒng)
引理1[7]考慮一類非線性系統(tǒng)
控制系統(tǒng)收斂時間上界可通過選擇不同的參數(shù)l1、l2、m1、m2來確定而無需依賴系統(tǒng)初始狀態(tài)。
文獻[7-9]基于系統(tǒng)(4)設(shè)計了固定時間滑模面及控制律并取得了良好的控制效果，但是該系統(tǒng)的收斂速度仍可有改進之處?；谝陨嫌懻?，我們構(gòu)造了一種新型的固定時間收斂系統(tǒng)，其收斂時間小于系統(tǒng)(4)的收斂時間Tf。
定理1對于一類非線性系統(tǒng)
證明：式(6)可寫為
當(dāng)＞1時，令y=1+ln；當(dāng)≤1時，令y=。則式(8)可化為
因此，可通過求解式(9)得到系統(tǒng)的收斂時間上界。
即
注1與引理1 給出的收斂時間Tf相比，由于及因此系統(tǒng)(6)的收斂速率快于系統(tǒng)(4)的收斂速率。在實際二階非線性系統(tǒng)中，z和z˙可代表角度和角速度等被控參數(shù)。系統(tǒng)(6)中使用了變指數(shù)冪次項 signk1z和 signk2z代替了(4)中的常值冪次項，＞1時，signk1z項轉(zhuǎn)換為signm1z形式，由于m1＞1，該項對系統(tǒng)收斂速度影響較大，使系統(tǒng)狀態(tài)以較快速度趨向平衡點；≤1時，signk2z項轉(zhuǎn)換為 signm2z形式，由于 1/ 2＜m＜1，該
2項起主導(dǎo)作用，保證了此區(qū)域內(nèi)收斂的快速性。由上可知，相對于常值冪次項，變指數(shù)冪次項可在不同階段下進行自適應(yīng)的調(diào)節(jié)，使系統(tǒng)具有全局快速固定時間收斂特性。
2.2 固定時間非奇異終端滑模設(shè)計
針對非線性系統(tǒng)(3)，文獻[5]提出的傳統(tǒng)快速終端滑模如下:
其中α＞0，β＞0，γ1＞1，0＜γ2＜1。
由文獻[5]可知終端滑模(13)具有快速有限時間收斂特性。進一步地，應(yīng)用引理1 可得該終端滑模具有固定收斂時間上界
其中
然而，通過對該滑模面及控制律分析可知，式(14)中含有負(fù)冪次項，當(dāng)x1=0，x2≠ 0時，會導(dǎo)致奇異現(xiàn)象。
為避免奇異并獲得較快的收斂速度，基于系統(tǒng)(13)的設(shè)計思想，結(jié)合設(shè)計的固定時間收斂系統(tǒng)(6)，構(gòu)造了一種新型的快速收斂固定時間非奇異終端滑模
其中，
對s求導(dǎo)可得
選擇滑模趨近律
其中
控制律設(shè)計為
經(jīng)分析可知，滑模面(16)及導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上連續(xù)。1)≥η時，滑模面轉(zhuǎn)化為與式(13)相似的結(jié)構(gòu)，具有類似的收斂特性。系統(tǒng)狀態(tài)距平衡點較遠時，α1s ignk1x1起主導(dǎo)作用，保證了快速收斂；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近原點時，β1signk2x1起主導(dǎo)作用，系統(tǒng)在固定時間內(nèi)穩(wěn)定。系統(tǒng)在整個動態(tài)過程中保持了較快的收斂速度。2)在原點一個很小的鄰域＜η內(nèi)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式的一般滑?；Ｃ婕皩?dǎo)數(shù)(19)不含負(fù)指數(shù)冪次項，避免了奇異發(fā)生。
定理2對于非線性二階系統(tǒng)(3)，使用本文設(shè)計的固定時間非奇異終端滑模(16)，選擇控制律(21)，則系統(tǒng)狀態(tài)x1，x2可在固定時間內(nèi)到達平衡點，收斂時間具有僅與設(shè)計參數(shù)相關(guān)的上界
其中
證明，選取Lyapunov 函數(shù)為
對式(23)求導(dǎo)，同時結(jié)合(3)和(19)可得
≥1時，
＜1時，
該固定時間滑模面滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。結(jié)合定理1 可得，系統(tǒng)狀態(tài)可在固定時間t1內(nèi)到達滑模面s=0。
由上分析可知，系統(tǒng)狀態(tài)可由任意位置到達滑模面s=0。隨后沿著滑模面運動至平衡點的一個極小鄰域內(nèi)，理想的滑動模態(tài)滿足如下方程
考慮如下李雅普諾夫函數(shù)
當(dāng)≥η時，由式(17)可得滑模面為
對式(29)求導(dǎo)，結(jié)合(30)可得
系統(tǒng)狀態(tài)在固定時間t2內(nèi)收斂
由式(31)及(32)可得，狀態(tài)變量x1在固定時間內(nèi)進入?yún)^(qū)間＜η，并滿足
可得系統(tǒng)(3)的收斂時間為T＜Tmax=T1+T2。
當(dāng)＜η時，可得滑模面為
可得
類似地，可得系統(tǒng)狀態(tài)在時間T內(nèi)收斂。
綜上，收斂時間為T＜Tmax=T1+T2。
注2系統(tǒng)收斂時間上界取決于所設(shè)計的滑模面參數(shù)α1、β1、m1、m2、α2、β2、n1、n2和η，而與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)。在實際使用中，可根據(jù)對收斂快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度的權(quán)衡來合理選擇設(shè)計參數(shù)。
注3控制律(21)中符號函數(shù) sign（s）的存在可能會引起抖振，為削弱抖振現(xiàn)象，使用如下連續(xù)函數(shù)代替符號函數(shù)。
λ取值越大越接近切換函數(shù)，通過選擇合適的λ，可以有效削弱抖振并減小穩(wěn)態(tài)誤差。
3 仿真及分析
為了驗證所設(shè)計固定時間非奇異終端滑模的可行性和優(yōu)越性，進行如下三種仿真。
3.1 不同滑模參數(shù)的對比仿真
為分析不同參數(shù)選取對所設(shè)計固定時間滑模收斂特性的影響，我們在相同的初始條件x1（0）=1下分別選取四種不同的滑模參數(shù)進行仿真，并進行對比分析。
各參數(shù)分別為：
圖1給出了不同滑模參數(shù)下的收斂速度對比。從Case 1 和Case 2 的曲線可以看出，當(dāng)α1,β1增大時，收斂時間變短。比較Case 1 和Case 4 的結(jié)果可知，隨著m2增大，收斂速度變慢。從Case 1 和Case 3 的曲線可以看出，不同m1取值下的收斂曲線基本無變化，所設(shè)計的滑?？刂品椒▽2變化的靈敏度遠大于m1?？赏ㄟ^增大α1,β1和減小m2提高收斂速度。
從改變參數(shù)的仿真結(jié)果對比可以得知，式(21)中的各可調(diào)參數(shù)，其選擇應(yīng)該兼顧考慮收斂速度、誤差、狀態(tài)曲線平滑程度和能量消耗等因素，以達到較優(yōu)的控制效果。其中，α1和β1增大可以提高系統(tǒng)收斂速度，但是取值遠大于1 時會導(dǎo)致跟蹤曲線的不平滑和誤差變大，使系統(tǒng)失穩(wěn)，控制性能下降；同時，更快的收斂速度要求更大的控制能量。設(shè)計的滑模控制方法對m2變化的敏感度大于m1，取值應(yīng)滿足m1＞1，1/ 2＜m2＜1。m1可在靠近1 的范圍取值，取值過大會導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)；m2應(yīng)在取值范圍內(nèi)盡可能的小，滿足快速性的要求，但不能過分靠近取值下限，否則會使系統(tǒng)狀態(tài)曲線波動過大。α2，β2，n1和n2為趨近階段滑模面參數(shù)，其取值原則類似于上述。在控制律中引入ρ（λ,s）函數(shù)代替符號函數(shù) sign（s）用以削弱抖振，其中可調(diào)參數(shù)λ取值越大越接近切換函數(shù)，本例選擇λ=100得到較好的效果。η為切換函數(shù)參數(shù)，取一個極小的正數(shù)，本例選擇0.01。在滑模面設(shè)計中可綜合以上以得到較優(yōu)的控制效果。
圖1 不同滑模參數(shù)下的收斂速度對比Fig.1 Convergence rate under different sliding surface parameters
3.2 不同固定時間滑模方法的對比仿真
倒立擺(SIP)是一種非線性、強耦合的系統(tǒng)，可通過倒立擺仿真，分析控制理論中系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、魯棒性、隨動跟蹤等關(guān)鍵問題。因此，基于倒立擺系統(tǒng)對幾種典型的固定時間滑模控制方法進行對比，以檢驗所設(shè)計方法的有效性和優(yōu)越性。動態(tài)模型如下
基于設(shè)計的快速固定時間非奇異終端滑模，我們構(gòu)造了固定時間控制律來解決SIP 的跟蹤控制問題。定義跟蹤誤差e1=x1-x1d，e2=x2-，可得
相應(yīng)的快速固定時間非奇異終端滑模面為
SIP 固定時間控制律為
為了驗證所設(shè)計控制律的魯棒性，選擇有界外部擾動d（x1,x2）=sin（10x1）+cos（x2）。SIP 期望軌跡為x1d（t）=sin（0.5πt），初始狀態(tài)x1（0）=1，x2（0）=0.5。
使用3 種典型的固定時間滑?？刂坡蛇M行仿真對比，分別為1) Polyakov[6]，2) Zuo[8]，3) Ni[11]。
Polyakov[8]設(shè)計的固定時間滑模控制律為
使用的滑模面為
對于式(41)(42)，原文獻中已合理地選擇參數(shù)以達到良好的控制效果；為保證比較的公平性，在對比中直接使用原文的參數(shù)值，其收斂時間上界為8s。
Zuo[11]設(shè)計的固定時間滑?？刂坡蔀?/p>
使用的滑模面為
類似地，滑模參數(shù)使用原文獻中的仿真參數(shù)，其收斂時間上界為6.142 s。
Ni[11]設(shè)計的固定時間滑模控制律為
使用的滑模面為
同理，滑模參數(shù)使用原文獻中的仿真參數(shù)，其收斂時間上界為5.63 s。
所設(shè)計的滑模面(39)及控制律(40)的參數(shù)選擇為α1=β1=1，α2=β2=1，m1=9/ 5，m 2=5/ 9，n1=9 /5，n2=5 /9，η=0.01及λ=100。計算得其收斂時間上界為4.881 s。
圖2給出了4 種固定時間滑?？刂坡傻母櫿`差收斂時間對比，從圖2可以看出，各控制律在給定的時變擾動下均能保證良好的控制性能。同時，所設(shè)計的控制律(40)下的收斂時間最短，約1.49 s，控制律(40)下的瞬態(tài)響應(yīng)也是最快的。因此，所設(shè)計的控制律較其余三種具有更優(yōu)的響應(yīng)速度和收斂速度。圖3為不同控制律下的相平面軌跡，可以看出本文所設(shè)計方法的控制效果最佳。圖4給出了控制輸入曲線。本文所提出方法下的控制輸入曲線光滑無抖振，且控制的最大振幅明顯小于其余方法，證明了其控制效果較其他三種更優(yōu)。
圖2 不同固定時間控制律下跟蹤誤差收斂時間對比Fig.2 Tracking error of each fixed-time controller
圖3 不同固定時間控制律下的相平面曲線Fig.3 Phase portraits of each fixed-time controller
圖4 不同固定時間控制律下的控制輸入Fig.4 Control inputs of each fixed-time controller
為了更有效地比較不同控制輸入的控制效果和能量消耗，我們使用以下方法進行評估：控制的性能可以通過輸入u（t）的總變化量(total variation/TV)進行評估[13]，它可以體現(xiàn)控制輸入信號的平滑度，其表達式如下
此外，控制能耗可以通過所需控制輸入信號的2 范數(shù)(2-norm)進行計算。對于所設(shè)計的固定時間控制方法，為了獲得理想的控制性能，控制能量應(yīng)盡可能小。
表1中列出了控制效果的對比，可以看出本文設(shè)計的控制律平滑度較好，具有相對較小的輸入變化波動，并以最小的控制能量實現(xiàn)了較優(yōu)的控制性能。
從以上仿真結(jié)果和分析可以看出，所設(shè)計控制器可對含有匹配時變擾動的二階非線性系統(tǒng)進行有效的控制。與現(xiàn)有的典型固定時間滑模控制方法相比，具有更快的收斂速度和更佳的穩(wěn)態(tài)品質(zhì)，以較小的控制能量實現(xiàn)了良好的控制性能，并避免了奇異問題。所設(shè)計的控制律是連續(xù)的，沒有抖振現(xiàn)象，保證了快速收斂和相對較高的精度。
表1 控制效果對比Tab.1 Input performance comparison for the four controllers
3.3 固定時間收斂制導(dǎo)仿真
末制導(dǎo)階段是導(dǎo)彈制導(dǎo)過程的重要部分，為了達到理想的毀傷效果，要求導(dǎo)彈能夠在期望時間內(nèi)以設(shè)定的碰撞角度擊中目標(biāo)。
為了驗證所設(shè)計固定時間非奇異終端滑模面的有效性，針對導(dǎo)彈攔截機動目標(biāo)問題，設(shè)計三維固定時間末制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律能夠確保彈目視線角及角速率在固定時間內(nèi)收斂，滿足碰撞角約束的要求。與傳統(tǒng)的有限時間收斂滑模制導(dǎo)律相比，該制導(dǎo)律收斂時間獨立于制導(dǎo)初始條件，可以根據(jù)制導(dǎo)要求預(yù)先給定。
三維空間攔截機動目標(biāo)的相對運動關(guān)系見圖5。
圖5 導(dǎo)彈-目標(biāo)三維相對運動學(xué)關(guān)系Fig.5 3D interceptor-target geometry
其中vm，vt和r分別表示攔截彈和目標(biāo)的速度及彈目相對距離，飛行器速度方向由視線坐標(biāo)系下的彈道傾角θm,θt與彈道偏角φm,φt定義。θL和φL為俯仰視線角和偏航視線角，aym，azm，ayt，azt分別為攔截彈和目標(biāo)彈的側(cè)向加速度。
使用視線角(line of sight LOS)的二階動態(tài)方程來描述導(dǎo)彈-目標(biāo)相對運動關(guān)系，其形式為
式中
基于式(16)設(shè)計固定時間終端滑模面
固定時間制導(dǎo)律設(shè)計為：
其中=δQs為自適應(yīng)律，（0）＞0，（0）＞0，常值系數(shù)δ＞1，，Q=diag （sign （s1）,sign （s2））。
仿真初始條件如表2所示。選擇導(dǎo)彈初始偏航視線角φm（0）=5°，使用不同的導(dǎo)彈初始俯仰視線角θm（0）進行仿真對比，分別為5 °，15 °和30 °。導(dǎo)彈的過載上限為aym_max=azm_max=40g。假設(shè)初始時刻起目標(biāo)做勻速直線運動，在從t=4s開始持續(xù)地轉(zhuǎn)彎機動，側(cè)向機動加速度為ayt=azt=30m/s2。
制導(dǎo)律(55)中的參數(shù)選擇為:m1=n1=9/7，m2=n2=7/9，α1=β1=0.8，α2=200，β2=800，η=0.01，δ1=δ2=100。由設(shè)計參數(shù)計算得收斂時間上界為T=7.553s。
表2 仿真初始條件Tab.2 Initial parameters for the simulation
圖6(a)-(c)給出在不同初始條件下攔截仿真參數(shù)曲線圖。從圖6(a)可以看出，導(dǎo)彈在不同的初始俯仰視線角下均成功攔截了目標(biāo)。圖6(b)(c)表明雖然仿真初始角度不同，但各視線角及視線角速率均在所設(shè)定的時間上界內(nèi)收斂至零。圖6(d)表明滑模面在不同的初始俯仰視線角下都能夠在固定時間上界內(nèi)快速收斂到0。圖中所示的各曲線較平滑，收斂速度快，具有較好的控制性能，驗證了所設(shè)計固定時間非奇異終端滑模面的正確性及有效性。
圖6 不同初始俯仰視線角下的攔截仿真Fig.6 Interception with different initial elevation angles under
4 結(jié) 論
針對一類具有匹配不確定性的二階非線性系統(tǒng)，設(shè)計了一種新型快速收斂的固定時間非奇異終端滑模方法。首先，提出了一類新型固定時間收斂系統(tǒng)，基于該系統(tǒng)構(gòu)造了快速固定時間非奇異終端滑模，并給出了收斂時間上界。與傳統(tǒng)有限時間收斂終端滑模不同，本文所設(shè)計的終端滑模收斂時間與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)，可以通過設(shè)計參數(shù)進行預(yù)先估算。將所設(shè)計方法用于兩個典型的非線性控制問題，驗證了所設(shè)計方法的有效性和優(yōu)越性。本文建立的固定時間滑?？刂品椒ㄊ諗克俣容^快，能量消耗低，且無抖振現(xiàn)象，具有良好的控制品質(zhì)，方便了實際應(yīng)用。將結(jié)果擴展到高階非線性系統(tǒng)，是下一步值得研究的工作。
猜你喜歡
行駛速度小獼猴智力畫刊(2022年4期)2022-05-25 02:29:38 速度中學(xué)生百科·大語文(2021年4期)2021-05-12 18:04:07 X美術(shù)館首屆三年展：“終端〉_How Do We Begin?”現(xiàn)代裝飾(2020年8期)2020-08-24 08:22:58 通信控制服務(wù)器(CCS)維護終端的設(shè)計與實現(xiàn)鐵道通信信號(2019年9期)2019-11-25 01:44:58 基于組合滑?？刂频慕^對重力儀兩級主動減振設(shè)計中國慣性技術(shù)學(xué)報(2019年6期)2019-03-04 09:50:06 PMSM調(diào)速系統(tǒng)的自學(xué)習(xí)滑?？刂?/a>測控技術(shù)(2018年4期)2018-11-25 09:47:26 并網(wǎng)逆變器逆系統(tǒng)自學(xué)習(xí)滑?？箶_控制測控技術(shù)(2018年3期)2018-11-25 09:45:40 多功能北斗船載終端的開發(fā)應(yīng)用電子制作(2016年15期)2017-01-15 13:39:14 比速度更速度——“光腦”來了發(fā)明與創(chuàng)新(2016年5期)2016-08-21 13:42:44 ABB Elastimold 10kV電纜終端及中間接頭自動化博覽(2014年4期)2014-02-28 22:31:14
田 野，蔡遠利，鄧逸凡
（西安交通大學(xué) 電信學(xué)部 自動化科學(xué)與工程學(xué)院，西安 710049）
滑?？刂疲⊿liding Mode Control）是一種非線性控制方法，它通過使用非連續(xù)的控制信號來調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動態(tài)性能，驅(qū)使系統(tǒng)狀態(tài)量在指定的滑模面上運動。其系統(tǒng)響應(yīng)分為趨近模態(tài)[1]和滑動模態(tài)，通過合理設(shè)計可以使系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性和動態(tài)性能。與其他非線性控制方法相比，滑模控制方法因其形式簡單、對系統(tǒng)參數(shù)變化的低敏感性以及對外部干擾的強魯棒性被廣泛研究并應(yīng)用于眾多非線性系統(tǒng)的控制問題中，包括飛行器控制[2]、制導(dǎo)律設(shè)計[3]、容錯控制[4]和電力系統(tǒng)等。
傳統(tǒng)線性滑模控制方法基于線性超平面構(gòu)造滑模面，在滿足李雅普諾夫穩(wěn)定理論的條件下控制系統(tǒng)趨于平衡，但這種方式只能保證系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定。為了使系統(tǒng)狀態(tài)能夠在有限時間快速收斂，基于有限時間穩(wěn)定概念提出了終端滑?？刂疲═erminal Sliding Mode Control）方法，在滑模面運動階段通過采用非線性超平面來實現(xiàn)快速有限時間收斂。然而，由于標(biāo)準(zhǔn)終端滑模中含有負(fù)指數(shù)冪次項，在某些系統(tǒng)狀態(tài)下會出現(xiàn)奇異問題。Yang[5]構(gòu)建了非奇異快速終端滑模，使得系統(tǒng)狀態(tài)在全論域內(nèi)都為有限時間收斂。各終端滑模方法均為有限時間控制下的方法，并未給出收斂時間的明確估計。有限時間穩(wěn)定理論的關(guān)鍵問題之一是對收斂時間的估計，它一般為系統(tǒng)初始條件的函數(shù)，不同的初始狀態(tài)值會得到不同的收斂時間。由于實際系統(tǒng)的初始條件可能難以預(yù)先精確獲得，從而在某些情況下收斂時間無法準(zhǔn)確估算，限制了其應(yīng)用。
在有限時間穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，Polyakov[6]進一步提出了固定時間收斂的概念。與有限時間收斂相比，固定時間收斂理論可以在系統(tǒng)收斂時得到一個不依賴于系統(tǒng)初始條件的收斂時間上界。同時，研究了滑模控制系統(tǒng)固定時間穩(wěn)定性分析的數(shù)學(xué)方法，提出了用于穩(wěn)定性分析和收斂時間估計的廣義Lyapunov 定理。Polyakov[7]討論了含有非線性不確定性的多輸入多輸出系統(tǒng)的有限時間和固定時間穩(wěn)定的控制器設(shè)計問題。Zuo[8]針對一類二階非線性系統(tǒng)提出了一種固定時間收斂的終端滑模控制方法，并應(yīng)用于多智能體系統(tǒng)的協(xié)同控制中[9]，但是該方法在系統(tǒng)狀態(tài)某些區(qū)域存在奇異性問題。Li[10]基于文獻[7-9]設(shè)計了具有快速固定時間收斂特性的非奇異終端滑模。然而，Zuo[8]設(shè)計的固定時間系統(tǒng)及終端滑模收斂時間并不是最優(yōu)的，且所設(shè)計的滑模面結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，不利于實際應(yīng)用。Ni[11]提出了一種固定時間非奇異終端滑模方法，通過引入飽和函數(shù)來避免奇異問題，但所設(shè)計的方法未考慮外部干擾對控制性能的影響。
基于以上討論，針對已有方法存在的不足，本文結(jié)合固定時間穩(wěn)定理論和終端滑?？刂评碚?，設(shè)計了一種新型的固定時間非奇異終端滑模控制方法。主要創(chuàng)新點在于:1)對一類含匹配擾動的二階非線性系統(tǒng)，基于固定時間穩(wěn)定理論提出了一種新型的固定時間收斂系統(tǒng)，其收斂速度快于已有文獻[6,8-11]中的固定時間收斂系統(tǒng)，收斂時間的對比驗證了所提出結(jié)論的正確性。2)基于提出的固定時間收斂系統(tǒng)，構(gòu)造了一種新型的快速收斂固定時間非奇異終端滑模。所提出的方法避免了奇異現(xiàn)象，具有與初始狀態(tài)無關(guān)收斂時間上界，可由設(shè)計參數(shù)預(yù)先設(shè)定。與已有的幾種典型固定時間滑?？刂品椒ㄏ啾?，所設(shè)計的方法收斂速度更快，削弱了之前固定時間滑模存在的抖振，所需控制能量更小且控制曲線平滑，適于實際應(yīng)用。最后將該方法應(yīng)用于單級倒立擺和制導(dǎo)系統(tǒng)中進行了仿真分析，驗證了所提出方法的有效性和優(yōu)越性。
1 問題描述
考慮如下非線性系統(tǒng)：
其中x∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)量，F(xiàn)（t,x）:R+×D→Rn為連續(xù)非線性函數(shù)，D為包含原點的開區(qū)域。系統(tǒng)(1)的解定義在Filippov 意義下，給定初始時間t0和初始狀態(tài)x0。
定義1[11]對于系統(tǒng)(1)，若1)原點為漸近穩(wěn)定平衡點，且存在原點的開鄰域N?D；2)對所有x（0） ∈N ｛ 0｝，存在正定函數(shù)T（x0）:N→R，則原點是有限時間收斂平衡點。同時，原點的有限時間穩(wěn)定意味著原點的漸進穩(wěn)定性。當(dāng)N=D=Rn時，原點為全局有限時間穩(wěn)定的。
定義1 中的收斂時間T為系統(tǒng)初始狀態(tài)x0的函數(shù)，因此有限時間收斂依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)。在此基礎(chǔ)上，Polyakov[6]提出了固定時間穩(wěn)定的概念，相對于有限時間穩(wěn)定系統(tǒng)，固定時間穩(wěn)定系統(tǒng)可以保證系統(tǒng)的收斂時間與系統(tǒng)初始條件無關(guān)。
定義2[6]若系統(tǒng)(1)全局有限時間穩(wěn)定，且收斂時間函數(shù)T（x0）存在實數(shù)上界Tmax＞0，即對任意?x0∈Rn，有T（x0）≤Tmax，則原點為固定時間收斂平衡點。
考慮一類具有匹配擾動的二階非線性系統(tǒng)
式中x=[x1,x2]T∈R2為系統(tǒng)狀態(tài)，f和b≠ 0為已知非線性光滑函數(shù)，u∈R為控制輸入，d為外部擾動。
假設(shè)1假設(shè)外部擾動d有界，對于x∈R2及t≥0，存在常數(shù)D＞0，滿足
論文的目標(biāo)是設(shè)計固定時間終端滑?？刂坡?，使系統(tǒng)狀態(tài)x跟蹤參考模態(tài)，從而實現(xiàn)對輸入信號的期望響應(yīng)。
2 固定時間非奇異終端滑?？刂?/h2>2.1 新型固定時間收斂系統(tǒng)
引理1[7]考慮一類非線性系統(tǒng)
控制系統(tǒng)收斂時間上界可通過選擇不同的參數(shù)l1、l2、m1、m2來確定而無需依賴系統(tǒng)初始狀態(tài)。
文獻[7-9]基于系統(tǒng)(4)設(shè)計了固定時間滑模面及控制律并取得了良好的控制效果，但是該系統(tǒng)的收斂速度仍可有改進之處?；谝陨嫌懻?，我們構(gòu)造了一種新型的固定時間收斂系統(tǒng)，其收斂時間小于系統(tǒng)(4)的收斂時間Tf。
定理1對于一類非線性系統(tǒng)
證明：式(6)可寫為
當(dāng)＞1時，令y=1+ln；當(dāng)≤1時，令y=。則式(8)可化為
因此，可通過求解式(9)得到系統(tǒng)的收斂時間上界。
即
注1與引理1 給出的收斂時間Tf相比，由于及因此系統(tǒng)(6)的收斂速率快于系統(tǒng)(4)的收斂速率。在實際二階非線性系統(tǒng)中，z和z˙可代表角度和角速度等被控參數(shù)。系統(tǒng)(6)中使用了變指數(shù)冪次項 signk1z和 signk2z代替了(4)中的常值冪次項，＞1時，signk1z項轉(zhuǎn)換為signm1z形式，由于m1＞1，該項對系統(tǒng)收斂速度影響較大，使系統(tǒng)狀態(tài)以較快速度趨向平衡點；≤1時，signk2z項轉(zhuǎn)換為 signm2z形式，由于 1/ 2＜m＜1，該
2項起主導(dǎo)作用，保證了此區(qū)域內(nèi)收斂的快速性。由上可知，相對于常值冪次項，變指數(shù)冪次項可在不同階段下進行自適應(yīng)的調(diào)節(jié)，使系統(tǒng)具有全局快速固定時間收斂特性。
2.2 固定時間非奇異終端滑模設(shè)計
針對非線性系統(tǒng)(3)，文獻[5]提出的傳統(tǒng)快速終端滑模如下:
其中α＞0，β＞0，γ1＞1，0＜γ2＜1。
由文獻[5]可知終端滑模(13)具有快速有限時間收斂特性。進一步地，應(yīng)用引理1 可得該終端滑模具有固定收斂時間上界
其中
然而，通過對該滑模面及控制律分析可知，式(14)中含有負(fù)冪次項，當(dāng)x1=0，x2≠ 0時，會導(dǎo)致奇異現(xiàn)象。
為避免奇異并獲得較快的收斂速度，基于系統(tǒng)(13)的設(shè)計思想，結(jié)合設(shè)計的固定時間收斂系統(tǒng)(6)，構(gòu)造了一種新型的快速收斂固定時間非奇異終端滑模
其中，
對s求導(dǎo)可得
選擇滑模趨近律
其中
控制律設(shè)計為
經(jīng)分析可知，滑模面(16)及導(dǎo)數(shù)本質(zhì)上連續(xù)。1)≥η時，滑模面轉(zhuǎn)化為與式(13)相似的結(jié)構(gòu)，具有類似的收斂特性。系統(tǒng)狀態(tài)距平衡點較遠時，α1s ignk1x1起主導(dǎo)作用，保證了快速收斂；當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)接近原點時，β1signk2x1起主導(dǎo)作用，系統(tǒng)在固定時間內(nèi)穩(wěn)定。系統(tǒng)在整個動態(tài)過程中保持了較快的收斂速度。2)在原點一個很小的鄰域＜η內(nèi)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式的一般滑?；Ｃ婕皩?dǎo)數(shù)(19)不含負(fù)指數(shù)冪次項，避免了奇異發(fā)生。
定理2對于非線性二階系統(tǒng)(3)，使用本文設(shè)計的固定時間非奇異終端滑模(16)，選擇控制律(21)，則系統(tǒng)狀態(tài)x1，x2可在固定時間內(nèi)到達平衡點，收斂時間具有僅與設(shè)計參數(shù)相關(guān)的上界
其中
證明，選取Lyapunov 函數(shù)為
對式(23)求導(dǎo)，同時結(jié)合(3)和(19)可得
≥1時，
＜1時，
該固定時間滑模面滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性理論。結(jié)合定理1 可得，系統(tǒng)狀態(tài)可在固定時間t1內(nèi)到達滑模面s=0。
由上分析可知，系統(tǒng)狀態(tài)可由任意位置到達滑模面s=0。隨后沿著滑模面運動至平衡點的一個極小鄰域內(nèi)，理想的滑動模態(tài)滿足如下方程
考慮如下李雅普諾夫函數(shù)
當(dāng)≥η時，由式(17)可得滑模面為
對式(29)求導(dǎo)，結(jié)合(30)可得
系統(tǒng)狀態(tài)在固定時間t2內(nèi)收斂
由式(31)及(32)可得，狀態(tài)變量x1在固定時間內(nèi)進入?yún)^(qū)間＜η，并滿足
可得系統(tǒng)(3)的收斂時間為T＜Tmax=T1+T2。
當(dāng)＜η時，可得滑模面為
可得
類似地，可得系統(tǒng)狀態(tài)在時間T內(nèi)收斂。
綜上，收斂時間為T＜Tmax=T1+T2。
注2系統(tǒng)收斂時間上界取決于所設(shè)計的滑模面參數(shù)α1、β1、m1、m2、α2、β2、n1、n2和η，而與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)。在實際使用中，可根據(jù)對收斂快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度的權(quán)衡來合理選擇設(shè)計參數(shù)。
注3控制律(21)中符號函數(shù) sign（s）的存在可能會引起抖振，為削弱抖振現(xiàn)象，使用如下連續(xù)函數(shù)代替符號函數(shù)。
λ取值越大越接近切換函數(shù)，通過選擇合適的λ，可以有效削弱抖振并減小穩(wěn)態(tài)誤差。
3 仿真及分析
為了驗證所設(shè)計固定時間非奇異終端滑模的可行性和優(yōu)越性，進行如下三種仿真。
3.1 不同滑模參數(shù)的對比仿真
為分析不同參數(shù)選取對所設(shè)計固定時間滑模收斂特性的影響，我們在相同的初始條件x1（0）=1下分別選取四種不同的滑模參數(shù)進行仿真，并進行對比分析。
各參數(shù)分別為：
圖1給出了不同滑模參數(shù)下的收斂速度對比。從Case 1 和Case 2 的曲線可以看出，當(dāng)α1,β1增大時，收斂時間變短。比較Case 1 和Case 4 的結(jié)果可知，隨著m2增大，收斂速度變慢。從Case 1 和Case 3 的曲線可以看出，不同m1取值下的收斂曲線基本無變化，所設(shè)計的滑?？刂品椒▽2變化的靈敏度遠大于m1?？赏ㄟ^增大α1,β1和減小m2提高收斂速度。
從改變參數(shù)的仿真結(jié)果對比可以得知，式(21)中的各可調(diào)參數(shù)，其選擇應(yīng)該兼顧考慮收斂速度、誤差、狀態(tài)曲線平滑程度和能量消耗等因素，以達到較優(yōu)的控制效果。其中，α1和β1增大可以提高系統(tǒng)收斂速度，但是取值遠大于1 時會導(dǎo)致跟蹤曲線的不平滑和誤差變大，使系統(tǒng)失穩(wěn)，控制性能下降；同時，更快的收斂速度要求更大的控制能量。設(shè)計的滑模控制方法對m2變化的敏感度大于m1，取值應(yīng)滿足m1＞1，1/ 2＜m2＜1。m1可在靠近1 的范圍取值，取值過大會導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)；m2應(yīng)在取值范圍內(nèi)盡可能的小，滿足快速性的要求，但不能過分靠近取值下限，否則會使系統(tǒng)狀態(tài)曲線波動過大。α2，β2，n1和n2為趨近階段滑模面參數(shù)，其取值原則類似于上述。在控制律中引入ρ（λ,s）函數(shù)代替符號函數(shù) sign（s）用以削弱抖振，其中可調(diào)參數(shù)λ取值越大越接近切換函數(shù)，本例選擇λ=100得到較好的效果。η為切換函數(shù)參數(shù)，取一個極小的正數(shù)，本例選擇0.01。在滑模面設(shè)計中可綜合以上以得到較優(yōu)的控制效果。
圖1 不同滑模參數(shù)下的收斂速度對比Fig.1 Convergence rate under different sliding surface parameters
3.2 不同固定時間滑模方法的對比仿真
倒立擺(SIP)是一種非線性、強耦合的系統(tǒng)，可通過倒立擺仿真，分析控制理論中系統(tǒng)穩(wěn)定性、可控性、魯棒性、隨動跟蹤等關(guān)鍵問題。因此，基于倒立擺系統(tǒng)對幾種典型的固定時間滑模控制方法進行對比，以檢驗所設(shè)計方法的有效性和優(yōu)越性。動態(tài)模型如下
基于設(shè)計的快速固定時間非奇異終端滑模，我們構(gòu)造了固定時間控制律來解決SIP 的跟蹤控制問題。定義跟蹤誤差e1=x1-x1d，e2=x2-，可得
相應(yīng)的快速固定時間非奇異終端滑模面為
SIP 固定時間控制律為
為了驗證所設(shè)計控制律的魯棒性，選擇有界外部擾動d（x1,x2）=sin（10x1）+cos（x2）。SIP 期望軌跡為x1d（t）=sin（0.5πt），初始狀態(tài)x1（0）=1，x2（0）=0.5。
使用3 種典型的固定時間滑?？刂坡蛇M行仿真對比，分別為1) Polyakov[6]，2) Zuo[8]，3) Ni[11]。
Polyakov[8]設(shè)計的固定時間滑模控制律為
使用的滑模面為
對于式(41)(42)，原文獻中已合理地選擇參數(shù)以達到良好的控制效果；為保證比較的公平性，在對比中直接使用原文的參數(shù)值，其收斂時間上界為8s。
Zuo[11]設(shè)計的固定時間滑?？刂坡蔀?/p>
使用的滑模面為
類似地，滑模參數(shù)使用原文獻中的仿真參數(shù)，其收斂時間上界為6.142 s。
Ni[11]設(shè)計的固定時間滑模控制律為
使用的滑模面為
同理，滑模參數(shù)使用原文獻中的仿真參數(shù)，其收斂時間上界為5.63 s。
所設(shè)計的滑模面(39)及控制律(40)的參數(shù)選擇為α1=β1=1，α2=β2=1，m1=9/ 5，m 2=5/ 9，n1=9 /5，n2=5 /9，η=0.01及λ=100。計算得其收斂時間上界為4.881 s。
圖2給出了4 種固定時間滑?？刂坡傻母櫿`差收斂時間對比，從圖2可以看出，各控制律在給定的時變擾動下均能保證良好的控制性能。同時，所設(shè)計的控制律(40)下的收斂時間最短，約1.49 s，控制律(40)下的瞬態(tài)響應(yīng)也是最快的。因此，所設(shè)計的控制律較其余三種具有更優(yōu)的響應(yīng)速度和收斂速度。圖3為不同控制律下的相平面軌跡，可以看出本文所設(shè)計方法的控制效果最佳。圖4給出了控制輸入曲線。本文所提出方法下的控制輸入曲線光滑無抖振，且控制的最大振幅明顯小于其余方法，證明了其控制效果較其他三種更優(yōu)。
圖2 不同固定時間控制律下跟蹤誤差收斂時間對比Fig.2 Tracking error of each fixed-time controller
圖3 不同固定時間控制律下的相平面曲線Fig.3 Phase portraits of each fixed-time controller
圖4 不同固定時間控制律下的控制輸入Fig.4 Control inputs of each fixed-time controller
為了更有效地比較不同控制輸入的控制效果和能量消耗，我們使用以下方法進行評估：控制的性能可以通過輸入u（t）的總變化量(total variation/TV)進行評估[13]，它可以體現(xiàn)控制輸入信號的平滑度，其表達式如下
此外，控制能耗可以通過所需控制輸入信號的2 范數(shù)(2-norm)進行計算。對于所設(shè)計的固定時間控制方法，為了獲得理想的控制性能，控制能量應(yīng)盡可能小。
表1中列出了控制效果的對比，可以看出本文設(shè)計的控制律平滑度較好，具有相對較小的輸入變化波動，并以最小的控制能量實現(xiàn)了較優(yōu)的控制性能。
從以上仿真結(jié)果和分析可以看出，所設(shè)計控制器可對含有匹配時變擾動的二階非線性系統(tǒng)進行有效的控制。與現(xiàn)有的典型固定時間滑模控制方法相比，具有更快的收斂速度和更佳的穩(wěn)態(tài)品質(zhì)，以較小的控制能量實現(xiàn)了良好的控制性能，并避免了奇異問題。所設(shè)計的控制律是連續(xù)的，沒有抖振現(xiàn)象，保證了快速收斂和相對較高的精度。
表1 控制效果對比Tab.1 Input performance comparison for the four controllers
3.3 固定時間收斂制導(dǎo)仿真
末制導(dǎo)階段是導(dǎo)彈制導(dǎo)過程的重要部分，為了達到理想的毀傷效果，要求導(dǎo)彈能夠在期望時間內(nèi)以設(shè)定的碰撞角度擊中目標(biāo)。
為了驗證所設(shè)計固定時間非奇異終端滑模面的有效性，針對導(dǎo)彈攔截機動目標(biāo)問題，設(shè)計三維固定時間末制導(dǎo)律，該制導(dǎo)律能夠確保彈目視線角及角速率在固定時間內(nèi)收斂，滿足碰撞角約束的要求。與傳統(tǒng)的有限時間收斂滑模制導(dǎo)律相比，該制導(dǎo)律收斂時間獨立于制導(dǎo)初始條件，可以根據(jù)制導(dǎo)要求預(yù)先給定。
三維空間攔截機動目標(biāo)的相對運動關(guān)系見圖5。
圖5 導(dǎo)彈-目標(biāo)三維相對運動學(xué)關(guān)系Fig.5 3D interceptor-target geometry
其中vm，vt和r分別表示攔截彈和目標(biāo)的速度及彈目相對距離，飛行器速度方向由視線坐標(biāo)系下的彈道傾角θm,θt與彈道偏角φm,φt定義。θL和φL為俯仰視線角和偏航視線角，aym，azm，ayt，azt分別為攔截彈和目標(biāo)彈的側(cè)向加速度。
使用視線角(line of sight LOS)的二階動態(tài)方程來描述導(dǎo)彈-目標(biāo)相對運動關(guān)系，其形式為
式中
基于式(16)設(shè)計固定時間終端滑模面
固定時間制導(dǎo)律設(shè)計為：
其中=δQs為自適應(yīng)律，（0）＞0，（0）＞0，常值系數(shù)δ＞1，，Q=diag （sign （s1）,sign （s2））。
仿真初始條件如表2所示。選擇導(dǎo)彈初始偏航視線角φm（0）=5°，使用不同的導(dǎo)彈初始俯仰視線角θm（0）進行仿真對比，分別為5 °，15 °和30 °。導(dǎo)彈的過載上限為aym_max=azm_max=40g。假設(shè)初始時刻起目標(biāo)做勻速直線運動，在從t=4s開始持續(xù)地轉(zhuǎn)彎機動，側(cè)向機動加速度為ayt=azt=30m/s2。
制導(dǎo)律(55)中的參數(shù)選擇為:m1=n1=9/7，m2=n2=7/9，α1=β1=0.8，α2=200，β2=800，η=0.01，δ1=δ2=100。由設(shè)計參數(shù)計算得收斂時間上界為T=7.553s。
表2 仿真初始條件Tab.2 Initial parameters for the simulation
圖6(a)-(c)給出在不同初始條件下攔截仿真參數(shù)曲線圖。從圖6(a)可以看出，導(dǎo)彈在不同的初始俯仰視線角下均成功攔截了目標(biāo)。圖6(b)(c)表明雖然仿真初始角度不同，但各視線角及視線角速率均在所設(shè)定的時間上界內(nèi)收斂至零。圖6(d)表明滑模面在不同的初始俯仰視線角下都能夠在固定時間上界內(nèi)快速收斂到0。圖中所示的各曲線較平滑，收斂速度快，具有較好的控制性能，驗證了所設(shè)計固定時間非奇異終端滑模面的正確性及有效性。
圖6 不同初始俯仰視線角下的攔截仿真Fig.6 Interception with different initial elevation angles under
4 結(jié) 論
針對一類具有匹配不確定性的二階非線性系統(tǒng)，設(shè)計了一種新型快速收斂的固定時間非奇異終端滑模方法。首先，提出了一類新型固定時間收斂系統(tǒng)，基于該系統(tǒng)構(gòu)造了快速固定時間非奇異終端滑模，并給出了收斂時間上界。與傳統(tǒng)有限時間收斂終端滑模不同，本文所設(shè)計的終端滑模收斂時間與系統(tǒng)初始狀態(tài)無關(guān)，可以通過設(shè)計參數(shù)進行預(yù)先估算。將所設(shè)計方法用于兩個典型的非線性控制問題，驗證了所設(shè)計方法的有效性和優(yōu)越性。本文建立的固定時間滑?？刂品椒ㄊ諗克俣容^快，能量消耗低，且無抖振現(xiàn)象，具有良好的控制品質(zhì)，方便了實際應(yīng)用。將結(jié)果擴展到高階非線性系統(tǒng)，是下一步值得研究的工作。
猜你喜歡
小獼猴智力畫刊(2022年4期)2022-05-25 02:29:38
中學(xué)生百科·大語文(2021年4期)2021-05-12 18:04:07
現(xiàn)代裝飾(2020年8期)2020-08-24 08:22:58
鐵道通信信號(2019年9期)2019-11-25 01:44:58
中國慣性技術(shù)學(xué)報(2019年6期)2019-03-04 09:50:06
測控技術(shù)(2018年4期)2018-11-25 09:47:26
測控技術(shù)(2018年3期)2018-11-25 09:45:40
電子制作(2016年15期)2017-01-15 13:39:14
發(fā)明與創(chuàng)新(2016年5期)2016-08-21 13:42:44
自動化博覽(2014年4期)2014-02-28 22:31:14
