直流電路中星形到三角形電路的等效轉(zhuǎn)換

李海旺 云南省民族中等專業(yè)學(xué)校

一、等效轉(zhuǎn)換的必要性

對更為復(fù)雜的電阻并聯(lián)或串聯(lián)組合形式，無法采用我們熟知的歐姆定律直接計(jì)算電阻大小的情況。所以，必須利用到數(shù)學(xué)的思路，再根據(jù)歐姆定律進(jìn)行剖析解決。

最具代表性的電阻連接方式是像Y結(jié)構(gòu)和△結(jié)構(gòu)的電阻連接方式。本文選取這兩種電路的等效轉(zhuǎn)換來舉例子，利用以上提到的原理，推理出能夠滿足這種等效轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

二、星形轉(zhuǎn)換為三角形電路的過程

最先，我們可以將這兩個(gè)不同的電路圖都當(dāng)成兩個(gè)一樣的黑匣子，只保留①，②，③三個(gè)端口，原理是，保證電路電阻和流入以及流出的電流都是一樣的，給出相應(yīng)的等效條件是：①，②，③處節(jié)點(diǎn)對用的電流和電壓是一樣的，即為：I1=I1’、I2=I2’、I3=I3’、U12=U12’、U23=U23’、U31=U31’

此時(shí)，我們可以先對Δ形電路深入分析，先分析1號端口電流的具體情況，由于I1作為干路電流在通過節(jié)點(diǎn)的時(shí)候，主干電流出現(xiàn)分流，流到2號端口和流到3號端口，結(jié)合串聯(lián)電路的電流的規(guī)律和特點(diǎn)，可以得到，干路電流的大小等于各支路電流相加，并且，結(jié)合歐姆定律，我們能夠分析得出電阻：I=U/R。所以，我們能夠分析得出以下幾個(gè)式子：I1'=U12'/R12'－U31'/R31’、I2’=U23’/R23-U12’/R12、I3=U31’/R31-U23’/R23

然而，這些式子同樣適用于其他兩個(gè)端口，同理，我們也可以推導(dǎo)出相應(yīng)的式子，從而得出一個(gè)總的式子：上面，就是分析Δ形電路中各個(gè)電阻之間存在的關(guān)系得出來的式子，接著，我們采取同樣的方式來分析Y形電路的特點(diǎn)，再結(jié)合前面的先決條件來探究兩電路之間等效轉(zhuǎn)換的方法。對于Y形電路來說，起初我們可以假設(shè)在這個(gè)電路的正中間存在一個(gè)節(jié)點(diǎn)，通過圖我們能夠觀察到，三個(gè)不同端口的電流匯聚在正中心的節(jié)點(diǎn)上，結(jié)合實(shí)際生活常識，我們能夠知道，電流是不可能一直無限增加的。因此，我們可以得出一個(gè)式子：I1+I2+I3=0（1）

此時(shí)，我們需要逐個(gè)分析1、2這兩個(gè)端口，結(jié)合歐姆定律，并用U12來表示1、2號端口的總電壓，由歐姆定律可以得到：I=U/R，U12=I1*R1－ I2*R2（2）

接著，我們先不管1號端口，來分析2、3號兩個(gè)端口，用同樣的方式推導(dǎo)，用U23表示2、3號兩個(gè)端口的總電壓，我們可以得到一個(gè)式子：U23=I2*R2－I3*R3（3）

同理，我們還可以得到最后一個(gè)式子：U31=I3*R3－I1*R1（4）

接著聯(lián)立上面四個(gè)式子，然后進(jìn)行簡化，可以發(fā)現(xiàn)各個(gè)干路電流與各支路電阻的關(guān)系：

I1=R3U12/R1R2+R2R3+R3R1-R2U31/R1R2+R2R3+R3R1I2=R1U23/R1R2+R2R3+R3R1-R3U12/R1R2+R2R3+R3R1

I3=R2U31/R1R2+R2R3+R3R1-R1U23/R1R2+R2R3+R3R1

上面提到的就是我們深入Y形電路之后得到的結(jié)果，我們也可以利用電阻與電壓的關(guān)系表示出電流，接下來，我們開始進(jìn)一步轉(zhuǎn)化。

因?yàn)槲恼麻_始我們給出了一個(gè)先決條件電壓與電流是相等的。

I1’=U12’/R12-U31’/R31I1=R3U12/R1R2+R2R3+R3R1-R2U31/R1R2+R2R3+R3R1

因此，聯(lián)立兩個(gè)式子，就可以化簡得出電阻的表達(dá)式：R12=R1+R2+R1R2/R3

我們很容易觀察到，R12與R1、R2、R3之間存在的關(guān)聯(lián)，通過同樣的方式，我們可以將這個(gè)式子應(yīng)用到其他兩個(gè)端口，化簡整理之后，我們可以得出：

R12=R1+R2+R1R2/R3R23=R2+R3+R2R3/R1R31=R3+R1+R3R1/R2

通過對該式子進(jìn)行變形可以得到：

R1=R12R31/R12+R23+R31R2=R23R12/R12+R23+R31R3=R31R23/R12+R23+R31

通過這種方法，我們就找到了的電阻之間的相互轉(zhuǎn)化的方法，此時(shí)，假如我們想象一種情況：R12=R23=R31=R△與R1=R2=R3=RY，與此同時(shí)，就是我們常見的對稱三端電阻網(wǎng)絡(luò)，我們把上述條件帶入分析得出的式子當(dāng)中，可以得到對稱三端網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)化關(guān)系：

RΔ=3RYRY=1/3RΔ

我們驗(yàn)證之后的結(jié)果與我們猜測的結(jié)果是一致的，可以初步判斷我們的方法是正確的，所以，我們能夠得到Y(jié)形電路—Δ形電路的一般式子：

Δ電導(dǎo)=Y相鄰電導(dǎo)之積/Y電導(dǎo)之和 Y電阻=Δ相鄰電導(dǎo)之積/Δ電導(dǎo)之和

因此，我們將驗(yàn)證得出的這個(gè)式子結(jié)合到我們生活中的實(shí)際問題中，來進(jìn)一步檢驗(yàn)我們的猜測是否準(zhǔn)確。關(guān)于這個(gè)問題，我們將4、5、6這三個(gè)電阻當(dāng)成一組(1號組)，將1、2、3當(dāng)成一組(2號組)，很容易發(fā)現(xiàn)，一號組電路的構(gòu)成實(shí)際上就是一個(gè)Δ形電路，而二號組電路構(gòu)成實(shí)際實(shí)際上就是一個(gè)Y形電路。

如圖所示：在電路中，R1=3Ω，R2=6Ω，R3=9Ω，R4=12Ω，R5=15Ω，R6=18Ω，U=3v，不計(jì)電源內(nèi)阻，試求，流過電源的電流大小。關(guān)于這個(gè)問題，我們首先將2號組，Y形電路等效轉(zhuǎn)換成一個(gè)Δ形電路，來進(jìn)一步使電路構(gòu)成簡單化。轉(zhuǎn)化成Δ形電路之后，通過觀察我們很容易找到，兩個(gè)Δ形電路中的三個(gè)電阻，兩兩組合成了并聯(lián)關(guān)系，所以，我們可以結(jié)合歐姆定律再次簡化之后，得到一個(gè)Δ形的電路。此時(shí)，我們就把這個(gè)復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成了簡單的串并聯(lián)電路，進(jìn)而解決這個(gè)問題，得出答案。

推理過程：把電阻分成兩個(gè)組，1、2、3作為一組(二號組)，4、5、6作為一組(一號組)。

結(jié)合Y形電路—Δ形電路的轉(zhuǎn)化方式，將二號組轉(zhuǎn)化為Δ形電路。

根據(jù)串并聯(lián)之間的關(guān)系，可以得到，R12、R4的并聯(lián)電阻=11*12/(11+12)

采取同樣的方式可以得到，R23、R5的并聯(lián)電阻=33*15/(33+15)

R31、R6的并聯(lián)電阻=16.5*18/(16.5+18)

最終，得到一個(gè)Δ形電路，將這個(gè)Δ形電路，等效為一個(gè)電阻與另外兩個(gè)電阻的并聯(lián)電路。計(jì)算出電阻約為：5.3255Ω

根據(jù)上面的方法我們也可以得到電流的大小，

I總=U總/R總≈0.5633A，進(jìn)而得出答案。

三、結(jié)語

本文就Y形—Δ形電路的等效轉(zhuǎn)換，結(jié)合歐姆定律進(jìn)行深入探究，總而言之，其原理就是因?yàn)閺钠渲幸粋€(gè)端口向電阻網(wǎng)絡(luò)看進(jìn)去，都適用于符合歐姆定律的等效原則，從而不會(huì)對電路其他部分造成影響，在推理Y結(jié)構(gòu)和△結(jié)構(gòu)的等效轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)上，驗(yàn)證等效轉(zhuǎn)換之后的數(shù)值沒有對結(jié)果造成影響，本文采取的驗(yàn)證方法相對來說比較簡單，有利于讓專業(yè)知識不是很到位的人也能夠清楚理解整個(gè)驗(yàn)證的邏輯思維。