腔光子-自旋波量子耦合系統(tǒng)中各向異性奇異點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)研究*

張高見 王逸璞

(浙江大學(xué), 浙江省量子技術(shù)與器件重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 杭州 310027)

通過耦合三維微波腔中光子和腔內(nèi)釔鐵石榴石單晶小球中的自旋波量子形成腔?自旋波量子的耦合系統(tǒng), 并通過精確調(diào)節(jié)系統(tǒng)參數(shù)在該實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)中觀測到各向異性奇異點(diǎn).奇異點(diǎn)對應(yīng)于非厄米系統(tǒng)中一種特殊狀態(tài), 在奇異點(diǎn)處, 耦合系統(tǒng)的本征值和本征矢均簡并, 并且往往伴隨著非平庸的物理性質(zhì).以往大量研究主要集中在各向同性奇異點(diǎn)的范疇, 它的特征是在系統(tǒng)參數(shù)空間中沿著不同參數(shù)坐標(biāo)趨近該奇異點(diǎn)時具有相同的函數(shù)關(guān)系.在這篇文章中, 主要介紹實(shí)驗(yàn)上在腔光子?自旋波量子耦合系統(tǒng)中通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度和腔的耗散衰減系數(shù)兩條趨近奇異點(diǎn)的路徑而實(shí)現(xiàn)了各向異性奇異點(diǎn), 具體分別對應(yīng)于在趨近奇異點(diǎn)時, 本征值的虛部的變化與耦合強(qiáng)度和腔的衰減系數(shù)的變化會有線性和平方根不同的行為.各向異性奇異點(diǎn)的實(shí)現(xiàn)有助于基于腔光子?自旋波量子耦合系統(tǒng)的量子信息處理和精密探測器件的進(jìn)一步研究.

1 引 言

混合量子系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)在兩個或多個不同量子系統(tǒng)[1,2]之間的信息交換并充分利用不同子系統(tǒng)的獨(dú)特屬性而優(yōu)勢互補(bǔ), 是實(shí)現(xiàn)量子信息 綜合處理平臺[3]和量子網(wǎng)絡(luò)[4]的基礎(chǔ).近些年, 基于釔鐵石榴石(yttrium iron garnet, YIG)小球樣品中的集體激發(fā)模式(自旋波)和三維微波腔中腔光子耦合形成的混合量子系統(tǒng)吸引了大量研究者的關(guān)注[5?13].由于釔鐵石榴石的低損耗、高自旋密度和腔的高品質(zhì)因子, 使得自旋波量子和腔光子較容易實(shí)現(xiàn)強(qiáng)耦合[5?7]甚至超強(qiáng)耦合[14,15], 由于它們之間的強(qiáng)耦合而產(chǎn)生了一種新的準(zhǔn)粒子——自旋波量子極化子(cavity magnon polaritons, CMPs)[13,16].此外, 利用該耦合系統(tǒng)的多個可調(diào)諧的自由度、較長的相干時間和較小的衰減率等優(yōu)點(diǎn), 以自旋波量子為核心已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了綜合了聲子[17]、超導(dǎo)量子比特[18,19]、腔光子、光學(xué)光子[20?23]的耦合雜化系統(tǒng).該系統(tǒng)也可以作為實(shí)現(xiàn)其他一些奇異現(xiàn)象和應(yīng)用的平臺[24?29], 例如: 基于自旋波量子的梯度信息存儲[30,31]、腔自旋電子學(xué)[9,32]、CMPs的雙穩(wěn)態(tài)[33,34]、磁振子?光子耗散耦合[35?42]、微波信號傳輸?shù)姆腔ヒ赚F(xiàn)象[43], 另外, 在理論上還證明了可以實(shí)現(xiàn)自旋波量子?光子?聲子之間的糾纏[44]和自旋波量子?聲子的壓縮態(tài)[45].

在量子力學(xué)框架下, 一個封閉量子系統(tǒng)的動力學(xué)行為由其厄米的Hermitian(哈密頓量)決定.這里, 哈密頓量的厄米性保證了系統(tǒng)的本征值都是實(shí)數(shù).然而, 現(xiàn)實(shí)情況下由于系統(tǒng)和環(huán)境難以避免的相互作用, 例如探測器對實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)的觀測, 原子系統(tǒng)和真空電磁場環(huán)境耦合導(dǎo)致自發(fā)輻射等, 因此實(shí)驗(yàn)上可以實(shí)現(xiàn)并被測量的量子系統(tǒng)都屬于開放系統(tǒng), 這些相互作用給系統(tǒng)帶來了不可避免的損耗或增益.通常情況下, 大家利用主方程或郎之萬方程研究開放的量子系統(tǒng), 在相關(guān)物理量的運(yùn)動方程中引入耗散和增益, 同時保持系統(tǒng)哈密頓量仍為厄米的.近年來, 作為厄米量子力學(xué)的補(bǔ)充, 非厄米量子力學(xué)興起[46].所謂非厄米量子力學(xué)就是在系統(tǒng)的哈密頓量中直接引入由環(huán)境導(dǎo)致的損耗或增益(一般對應(yīng)著虛數(shù)項(xiàng)), 用這種等效的非厄米哈密頓量[47]來描述所研究的物理系統(tǒng).求解非厄米哈密頓量的本征值, 本征矢等, 可以快速方便地預(yù)測一系列有趣且重要的物理可觀測效應(yīng), 因此非厄米物理在理論和實(shí)驗(yàn)上得到了越來越多的關(guān)注.腔自旋波量子耦合系統(tǒng)就是一種典型的非厄米系統(tǒng), 其中光學(xué)或者微波腔體都是典型的耗散系統(tǒng), 自旋波系統(tǒng)有內(nèi)稟Gilbert損耗[48], 也可以通過平行泵浦[49]產(chǎn)生增益效應(yīng).因此, 腔自旋波量子耦合系統(tǒng)可以用來構(gòu)造和研究在其他非厄米系統(tǒng)中被廣泛研究的非厄米物理現(xiàn)象, 如: 宇稱?時間對稱(parity?time symmetry, PT symmetry)[50]相關(guān)的物理現(xiàn)象, 拓?fù)潆姾蒣51?54]、手性[55?59]、費(fèi)米弧[60,61]和已經(jīng)在聲學(xué)[58]和光學(xué)[62]系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)的奇異點(diǎn)[58,62?66].奇異點(diǎn)的概念最初是由 K ato 在1966年提出[67], 它對應(yīng)著非厄米系統(tǒng)的簡并態(tài), 所謂 n 階奇異點(diǎn)就是一個線性非厄米系統(tǒng)的 n 個本征值簡并, 同時相對應(yīng)的 n 個本征矢相互平行(即只有一個獨(dú)立的本征矢); 當(dāng) n =2 時, 稱為二階奇異點(diǎn)也簡稱為奇異點(diǎn),當(dāng) n >2 時, 稱為高階奇異點(diǎn).之前大量的研究主要集中在各向同性奇異點(diǎn)(isotropic exceptional point, IEP)的范疇, 也就是通過調(diào)節(jié)參數(shù)空間中的參數(shù)沿著不同坐標(biāo)軸趨近奇異點(diǎn)時本征值的變化和參數(shù)變化之間有相同的函數(shù)關(guān)系.然而, 非厄米系統(tǒng)也可以用于研究各向異性奇異點(diǎn)(anisotropic exceptional point, AEP), 也就是沿著參數(shù)空間不同方向趨近該奇異點(diǎn)的時候會有不同的的函數(shù)曲線, 該現(xiàn)象最先在聲學(xué)系統(tǒng)[68]中實(shí)現(xiàn), 各向異性奇異點(diǎn)可以為接下來奇異點(diǎn)附近的拓?fù)湫再|(zhì)、手性和傳感器的研究提供新的平臺.例如, 如果實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)對電偶極參量和磁偶極參量變化構(gòu)成的參數(shù)空間中的各向異性奇異點(diǎn), 當(dāng)用此系統(tǒng)對未知屬性系統(tǒng)進(jìn)行探測時, 觀察系統(tǒng)偏離奇異點(diǎn)的路徑函數(shù)規(guī)律就可以判斷被探測系統(tǒng)是對電場敏感還是磁場更加敏感.系統(tǒng)脫離奇異點(diǎn)的過程, 正是系統(tǒng)退簡并的過程, 這是一種高效、靈敏的探測手段.

本文從理論和實(shí)驗(yàn)上設(shè)計并實(shí)現(xiàn)了腔? 自旋波量子耦合系統(tǒng)中的各向異性奇異點(diǎn).在我們的系統(tǒng)中, 系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度和腔的衰減系數(shù)分別對應(yīng)一個可調(diào)節(jié)參數(shù), 耦合強(qiáng)度隨YIG小球位置參數(shù)的變化為二次關(guān)系, 腔的衰減系數(shù)和腔端口墊片數(shù)量的變化呈線性變化.理論上可以得到, 在奇異點(diǎn)附近,系統(tǒng)本征值的變化與耦合強(qiáng)度和腔的衰減的變化均近似成平方根函數(shù)關(guān)系.因此, 當(dāng)實(shí)驗(yàn)上通過調(diào)節(jié)YIG小球位置來使系統(tǒng)趨近奇異點(diǎn)時, 本征值的變化隨小球位置的變化是一個線性關(guān)系, 而通過改變腔端口的墊片數(shù)量來使系統(tǒng)趨近奇異點(diǎn)時, 本征值的變化與之對應(yīng)的關(guān)系的是平方根關(guān)系.

2 理論模型

為了得到各向異性奇異點(diǎn), 我們以腔光子和自旋波量子耦合系統(tǒng)為例, 考慮腔模以及自旋波模式的復(fù)本征頻率, 系統(tǒng)的有效哈密頓量可以寫成如下形式:

其中 a?(a) 和 b?(b) 分別表示子系統(tǒng)腔光子和自旋波量子的產(chǎn)生(湮滅)算符, ωc和 ωm分別表示腔光子和自旋波量子的頻率, ? 為約化普朗克常數(shù).κ ≡ κ1+κ2+κint表示 腔模 的 耗散 系數(shù), 這 里κ1(κ2)是由端口1 (2)引起的衰減, 也即腔體的外部耗散系數(shù), κint是腔的固有衰減.γm表示自旋波量子的耗散系數(shù), 主要是由YIG 小球的晶體缺陷以及表面的粗糙度決定, g 表示的是兩個子系統(tǒng)之間的相干耦合(coherent coupling)強(qiáng)度.由于自旋波量子的頻率和靜磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度呈線性關(guān)系,ωm= γe|B0|+ωm,ani, 這 里 γe是 電 子 的 旋 磁 比(gyromagnetic ratio, GR), ωm,ani是由晶體內(nèi)部各向異性場導(dǎo)致的, 所以通過調(diào)節(jié)靜磁場 | B0| 的強(qiáng)度使得腔光子和自旋波量子頻率相等(ωc= ωm= ω0),考慮共振情形, 可以得到方程 (1)的本征頻率如下:

這里 κav=(κ + γm)/2 是共振時兩個新形成的極化激元的耗散系數(shù), ? κ=κ?γm是兩個子系統(tǒng)間耗散系數(shù)之差.可以看到, 當(dāng) ? κ=2g 時系統(tǒng)的本征值會簡并和本征矢會平行而形成奇異點(diǎn), 這里的?κ和 g 都是系統(tǒng)易于調(diào)節(jié)的參數(shù), 在實(shí)驗(yàn)部分會介紹具體的調(diào)節(jié)方法.

當(dāng)耦合強(qiáng)度固定為 g =g0, 并線性地改變腔模的衰減率, ? κ/2=g0(1? α) , 這里 α 是外部可以調(diào)節(jié)的參數(shù).由于我們關(guān)注的是奇異點(diǎn)附近的效應(yīng),調(diào)節(jié) α 使 g0(1? α) 趨近 g0, 可以利用的一個近似條件是 α 為一個小量, 進(jìn)而舍去了 α2項(xiàng)的作用, 因此, 系統(tǒng)的本征頻率的表達(dá)式變?yōu)?ω±≈ ω0? iκav±從正值變到負(fù)值使該系統(tǒng)從嚴(yán)格相(exact phase)在 α =0 處經(jīng)過奇異點(diǎn)而進(jìn)入破缺相(broken phase).類似地, 把腔模的衰減率固定為 ? κ=?κ0, 如果耦合強(qiáng)度隨另外一個可調(diào)參數(shù)β也遵從線性變化 g =(?κ0/2)(1?β) , 系統(tǒng)的本征頻率隨可調(diào)參數(shù)的變化規(guī)律依舊是平方根關(guān)系.在這種情況下, 該奇異點(diǎn)在參數(shù)空間 (α,β) 中為IEP.

如果趨近奇異點(diǎn)時耦合強(qiáng)度 g 與系統(tǒng)可調(diào)參數(shù)的變化關(guān)系為二次關(guān)系, 腔模衰減率 ? κ 與另一個可調(diào)參數(shù)的變化關(guān)系為線性關(guān)系, 那么 ? κ/2(g) 與可調(diào)參數(shù) α (β) 之間的關(guān)系可以寫成如下形式:

從方程(3)和方程(4)可以得到系統(tǒng)本征值和本征矢與可調(diào)參數(shù) (α,β) 之間的關(guān)系為:

同理, 這里也利用了在奇異點(diǎn)附近, β 為小量, 舍去了 β4項(xiàng)的作用.

圖1 (a)歸一化耦合常數(shù) g /g0 和歸一化衰減系數(shù)差 ? κ/(2g0) 在參數(shù)空間 (α,β) 中分別用黃色和綠色表示, 紅色的實(shí)線表示的是奇異點(diǎn)連成的線; (b)系統(tǒng)本征頻率在參數(shù)空間中的虛部, 黑色實(shí)線交叉的地方就是各向異性奇異點(diǎn)的位置; (c)表示本征頻率的虛部分別沿著 α (β =0) (實(shí)線)和 β (α =0) (虛線)方向; (d)表示的是態(tài)分別沿著 α (β =0) (實(shí)線)和 β (α =0) (虛線)方向的相位信息; 上面的參數(shù)為:ω0=1,γm=0,g0=0.5Fig.1.(a) The normalized coupling constant g /g0 and normalized loss difference ? κ/(2g0) in the parameter space (α,β) are shown by the yellow and green surfaces, respectively.The solid red line corresponds to a line of EPs; (b) the imaginary part of the eigenfrequencies in the parameter space as a function of β and α , where the black solid line crossing is the position of the aniso?tropic EP; (c) imaginary part of the eigenfrequencies along α (β =0) adjusting direction (solid line) and β (α =0) adjusting direc?tion (dotted line), respectively; (d) phase rigidity of the corresponding states along α (β =0) adjusting direction (solid line) and β(α =0)adjusting direction (dotted line), respectively.The parameters used are ω0=1,γm=0 and g0=0.5 .

圖1(a)表示的是在參數(shù)空間中耦合強(qiáng)度和腔模的衰減率隨參數(shù)變化的情況, 其中紅色的實(shí)線表示的是在 β2?α=0 的情況下一系列奇異點(diǎn)連成的線.從方程(5)可以知道, 當(dāng) α >0 , β2從β2>α到β2<α 導(dǎo)致該混合系統(tǒng)從嚴(yán)格相在 β2=α 處經(jīng)過一個奇異點(diǎn)而進(jìn)入破缺相.從方程(6)可以知道,該系統(tǒng)在時有兩個具有相同手性的奇異點(diǎn), 這兩個奇異點(diǎn)具有相同的本征態(tài) (i,1)T.根據(jù)方程(5), 在 α =0 時改變 β 從負(fù)值變到正值時可以得到系統(tǒng)本征頻率虛部關(guān)于 β 變化的線性交叉,如圖1(b)和圖1(c)所示.然而, 固定 β =0 改變 α的值可以得到系統(tǒng)本征值虛部隨 α 呈平方根的變化關(guān)系, 如圖1(c) 中的藍(lán)色實(shí)線所示.

為了驗(yàn)證各向異性行為, 在圖1(d)中顯示相位剛度[69,70](phase rigidity, PR), 它的定義為對應(yīng)每個態(tài)用 j 表示, 這里表示的是歸一化正交右矢.在厄米系統(tǒng)中, 相位剛度的值恰好是1; 而在非厄米系統(tǒng)中, 相位剛度是不確定的, 在奇異點(diǎn)處相位剛度的值為0, 在奇異點(diǎn)附近的相位剛度和在該參數(shù)方向下的本征值和參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系有關(guān).所以, 可以通過相位剛度的值來區(qū)分該系統(tǒng)是厄米系統(tǒng)還是非厄米系統(tǒng)以及在奇異點(diǎn)附近的相位剛度變化來判斷并對應(yīng)出系統(tǒng)參數(shù)變化方向.當(dāng) α 的值固定等于零而改變β的值, 相位剛度(PR)在 β =0 附近接近各向異性奇異點(diǎn)時的極限值為1, 表示線性行為(虛線所示).當(dāng) β 的值固定為零而改變 α 的值時該極限值為1/2, 顯示出平方根行為(實(shí)線所示).存在這種各向異性行為的奇異點(diǎn)也被稱為混合奇異點(diǎn)(hybrid exceptional point, HEP).因此, 由以上討論可知,當(dāng)一個混合系統(tǒng)由兩個不同的子系統(tǒng)構(gòu)成, 如果它們之間的耦合強(qiáng)度隨可調(diào)參數(shù)的變化是二次關(guān)系,而系統(tǒng)的衰減隨另一個參數(shù)變化是線性關(guān)系, 在合理的參數(shù)范圍內(nèi)該混合系統(tǒng)存在AEP.基于此理論模型, 我們將在腔光子?自旋波量子耦合系統(tǒng)中構(gòu)造并實(shí)驗(yàn)演示各向異性奇異點(diǎn)的特性.

3 實(shí)驗(yàn)方法

混合系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)設(shè)置如圖2(a)所示, 一個直徑為0.3 mm 的YIG小球放入無氧銅制的三維微波腔內(nèi), 該腔的內(nèi)部尺寸為44.0 mm × 20.0 mm× 6.0 mm, 腔的兩個端口通過SMA接頭與外部測試線路連接矢量網(wǎng)絡(luò)分析儀來探測腔傳輸譜的信息, 腔的側(cè)面有一個直徑為4 mm 的開孔用于通入粘結(jié)YIG小球的玻璃鋼細(xì)桿從而調(diào)節(jié)小球位置,如圖2(b) 所示.玻璃鋼細(xì)桿的直徑大約為1 mm,其介電常數(shù)較小, 插入腔體后對腔場模式的擾動很小, 可以忽略不計, 該細(xì)桿連接一個一維步進(jìn)平臺來調(diào)節(jié)YIG小球沿著腔的長邊插入的深度.最初,我們把YIG小球放在腔模 T E102磁場模式密度最大的位置.腔的SMA接頭的天線插入腔體的深度可以通過調(diào)節(jié)接頭與腔體之間的墊片數(shù)量來控制,天線插入腔體的深度決定了腔的外部耗散系數(shù)的大小.

在室溫環(huán)境下, 包含YIG小球的銅腔樣品放在可高精度調(diào)節(jié)的雙軛雙調(diào)型電磁鐵產(chǎn)生的勻強(qiáng)磁場中(磁感應(yīng)強(qiáng)度的調(diào)節(jié)范圍為0—2 T).當(dāng)調(diào)節(jié)磁場的大小使得YIG小球中自旋波量子的基態(tài)爾模式[71](Kittle mode) 的頻率和腔模 T E102的腔光子共振時, 網(wǎng)絡(luò)分析儀掃描得到的傳輸譜出現(xiàn)了明顯的免交叉 (anti?crossing)現(xiàn)象, 如圖2(c)所示, 表明兩個子系統(tǒng)彼此耦合使該混合系統(tǒng)進(jìn)入了強(qiáng)耦合區(qū)域.通過擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果[33,48]可得自旋波量子和腔光子的相干耦合強(qiáng)度為 g0/2π =8.45 MHz, 腔模的線寬 κ/2π ≡ (κ1+κ2+κint)/2π= 2.66 MHz, 自旋波量子的基態(tài)爾模式的耗散系數(shù) γm/2π = 2.86 MHz.本文中所有的線寬數(shù)據(jù)均是取傳輸譜的半高全寬(the full width at half maximum, FWHM).通過改變實(shí)驗(yàn)參數(shù), 測得一系列傳輸譜, 我們就可以對應(yīng)耦合強(qiáng)度以及線寬數(shù)據(jù).

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了實(shí)現(xiàn)兩條趨近奇異點(diǎn)的路徑, 我們獨(dú)立地調(diào)節(jié)系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度和腔模的耗散系數(shù)使系統(tǒng)可以達(dá)到并穿過奇異點(diǎn).具體地, 耦合強(qiáng)度的大小通過調(diào)節(jié)YIG小球在腔內(nèi)的位置來改變, 腔模的耗散系數(shù)通過微波腔輸入輸出端口的SMA 接頭天線插入腔體的深度來調(diào)節(jié), 并且我們這兩個參數(shù)在調(diào)節(jié)過程中與對應(yīng)的物理量呈不同的函數(shù)關(guān)系來滿足實(shí)現(xiàn)各向異性奇異點(diǎn)的要求.微波腔的TE102模式沿著腔的長邊擁有兩個對稱的腔模磁場模式密度極大值點(diǎn), 當(dāng)通入微波時, 此處微波磁場強(qiáng)度也取得極大值.如圖3(a) 所示, 我們的實(shí)驗(yàn)中選取其中一個磁場強(qiáng)度的極大值點(diǎn)的坐標(biāo)為中心點(diǎn),當(dāng)YIG 小球放在該位置時(x = 0), 腔光子和自旋波量子的耦合強(qiáng)度取到最大值 g0.為了得到Y(jié)IG小球在腔的不同位置耦合強(qiáng)度 g 的大小, 可以利用輸入?輸出理論得到的傳輸系數(shù)擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到,傳輸系數(shù)的表達(dá)式如下所示(推導(dǎo)見附錄A):

圖2 (a) 腔?自旋波量子系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)裝置圖, 把包含YIG 小球的3D腔放入一個室溫可高精度調(diào)節(jié)的雙軛雙調(diào)型電磁鐵產(chǎn)生的磁場中, 通過網(wǎng)絡(luò)分析儀測出腔的透射譜; (b) 表示的是YIG小球黏在一根玻璃鋼棒上, 通過一個4 mm的孔, 在腔的一側(cè)插入到3D矩形腔內(nèi).端口1和端口2用來得到腔模的傳輸譜; (c) 3D腔的透射譜, 橫軸為電磁鐵線圈的電流(既偏置磁場的大小), 縱軸為探測場的頻率.腔模和Kittle模共振時, 兩子系統(tǒng)間的耦合強(qiáng)度最大為 g0/2π = 8.45 MHzFig.2.Schematic of the experiment setup.The 3D cavity containing the YIG sphere is placed in the static magnetic field gener?ated by a double?yoke double?tuned electromagnet which can be accurately adjusted at room temperature, and the transmission spectrum of the cavity is measured by network analyzer; (b) the YIG sphere is attached to a fiberglass reinforced plastic rod and in?serted into a 3D rectangular cavity through a 4 mm hole on one side of the cavity.Ports 1 and 2 are used to obtain the transmis?sion spectrum of cavity modes; (c) transmission spectrum of coupled system as a function of the current of the electromagnet coil(the magnitude of the biased magnetic field) and the probe field frequency.When the cavity mode and Kittle mode are resonant,the normal mode splitting equals to 2 g0/2π = 16.9 MHz.

通過調(diào)節(jié)YIG小球在腔里的位置x從—10變到10 mm, 可以得到耦合強(qiáng)度 g 是關(guān)于位置x的二次函數(shù).因此, 可以實(shí)現(xiàn)耦合強(qiáng)度和可調(diào)參數(shù)的二次函數(shù)關(guān)系 g =g0(1?β2) .這里的可調(diào)參數(shù)也即小球的位置函數(shù), 為了擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù), 耦合強(qiáng)度g關(guān)于位置x的關(guān)系寫成 g =g0(1?ax2) , 這里g0/2π= 8.45 MHz, a = 0.0072, 如圖3(a) 的實(shí)線所示,小球的位置參數(shù)和耦合強(qiáng)度較為符合二次關(guān)系.

為了實(shí)現(xiàn) ? κ 與外部可調(diào)參數(shù) α 的線性關(guān)系?κ/2=g0(1?α), 我們通過增加輸入輸出端口下方的墊片來減小SMA 銅針天線插入腔體內(nèi)的深度, 每個紫銅墊片的厚度為0.1 mm.首先, 選取一定長度的銅針插入到腔體內(nèi), 得到此時腔模的衰減κ/2π= 26.49 MHz.通過在兩個端口下面輪流增加墊片的數(shù)量y并測量腔模的傳輸譜擬合得到一系列腔體的線寬數(shù)據(jù)點(diǎn), 我們可以用一個線性方程?κ=25.96?by擬合實(shí)驗(yàn)結(jié)果, 如圖3(b)所示,擬合結(jié)果為 b = 1.07 是一個線性系數(shù), 明顯地, 腔模的耗散系數(shù)隨著銅針插入腔體的深度減小而線性減小.在后續(xù)展示各向異性奇異點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)中, 我們可以固定耦合強(qiáng)度為 g0而線性地改變腔模的耗散系數(shù)使系統(tǒng)穿過EP.為了得到腔的固有衰減,我們增加墊片到一定數(shù)量直至腔模的衰減不再減小, 此時腔模的耗散系數(shù)便是腔本身的固有耗散,具體方法可以參考文獻(xiàn)[48].

圖3 (a) 系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度g和YIG小球在腔中位置x的二次函數(shù)關(guān)系, 三角形代表實(shí)驗(yàn)得到的結(jié)果.黑色實(shí)拋物線線是理論擬合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的結(jié)果.其中深紅、黃色和綠色分別表示耦合強(qiáng)度為 8.17, 5.54, 3.47 MHz; (b) 3D腔的衰減 κ 和墊片數(shù)量y呈線性函數(shù)關(guān)系, 品紅色原點(diǎn)代表實(shí)驗(yàn)測量的結(jié)果.藍(lán)色實(shí)線代表理論擬合的結(jié)果Fig.3.(a) The coherent coupling strength as a function of the position of the YIG sphere in the cavity, and the tri?angle dots the experimental results.The black solid curve is the result of theoretical fitting of experimental data.Among them, crimson, yellow and green dots indicate the coupling strengthes equal to: 8.17, 5.54 and 3.47 MHz, respectively;(b) the damping rate κ of the 3D cavity as a function of the number of gaskets y between the cavity and SMA con?nector, and the magenta dots represent the measured res?ults.The solid blue line is the theoretical fitting curve.

在該耦合系統(tǒng)中, 我們通過改變端口下方銅針插入腔體的深度和移動YIG小球在腔內(nèi)的位置來研究奇異點(diǎn)的各向異性行為.我們利用網(wǎng)絡(luò)分析儀(vector network analyzer, VNA)得到腔的傳輸譜從而讀取耦合系統(tǒng)的線寬信息, 對應(yīng)著本征值的虛部.首先, 在端口下加入合適數(shù)量的墊片使腔模的總衰減 κ /2π = 15.46 MHz, 此時 ? κ/(2×2π) =6.30 MHz, 接著逐漸移動小球增加系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度, 耦合強(qiáng)度的改變?nèi)鐖D2(b)所示.選取其中耦合強(qiáng)度分別為8.17, 5.54, 3.47 MHz的三條傳輸譜(如圖4(a) 中的深紅、黃色和綠色所示).由于κ>g>γm導(dǎo)致腔自旋波量子混合系統(tǒng)進(jìn)入磁誘導(dǎo)透明區(qū)域[7](magnetically induced transparency,MIT), 在傳輸譜中有一個透明窗口, 在腔模的衰減固定情況下隨著耦合強(qiáng)度的的增加使系統(tǒng)趨近奇異點(diǎn).接下來, 繼續(xù)增加腔模的耗散系數(shù) κ /2π 為18.19 MHz (? κ/(2×2π)=7.67MHz) 和21.32 MHz(? κ/(2× 2 π) = 9.23 MHz) 并重復(fù)以上改變系統(tǒng)耦合強(qiáng)度的步驟得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4(b)和4(c)所示.隨著腔模耗散系數(shù)的增加, ? κ/(2×2π) 也逐漸增加且數(shù)值大小處于耦合強(qiáng)度數(shù)值可調(diào)節(jié)范圍內(nèi), 因此在連續(xù)調(diào)節(jié)耦合強(qiáng)度的過程中導(dǎo)致系統(tǒng)可以穿過奇異點(diǎn)在嚴(yán)格相和破缺相間轉(zhuǎn)變.

圖4 在腔的三種不同損耗下測得的傳輸譜.所有實(shí)線表示應(yīng)用圖3中得到的系統(tǒng)的耦合強(qiáng)度和腔模的衰減系數(shù)實(shí)驗(yàn)值代入到輸入? 輸出理論中得到的, 腔模的衰減系數(shù)分別為15.64, 18.19和21.32 MHzFig.4.(a)Transmission spectra measured under three differ?ent damping rates of the cavity.All the solid lines are cal?culated using the input?output theory.The damping rates of the cavity mode are 15.64, 18.19 and 21.32 MHz, respect?ively.

在圖4(a)—圖4(c)中, 實(shí)線是利用輸入?輸出理論得到的傳輸系數(shù) S21畫出的理論曲線.利用上面擬合得到的調(diào)節(jié)參數(shù)(小球位置x, 墊片數(shù)量y)與耦合強(qiáng)度和腔的線寬的關(guān)系式以及方程(2)可以得到系統(tǒng)本征頻率虛部的信息如圖5(a)中的實(shí)線所示.實(shí)驗(yàn)得到的傳輸譜如圖4(a)—圖4(c),利用傳輸系數(shù) S21也可以得到參數(shù)空間(x, y)中系統(tǒng)本征值的虛部信息, 如圖5(a)中的圓點(diǎn)所示.以上可以看到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和理論曲線符合得很好.

該系統(tǒng)中存在各向異性奇異點(diǎn)以及它的各向異性行為清晰地展示在圖5(a)中.首先, 固定腔模的耗散系數(shù)(通過選擇墊片的數(shù)量y)并通過改變YIG小球在腔內(nèi)的位置x來改變腔光子與自旋波量子的耦合強(qiáng)度.當(dāng) ? κ<2g0(y ＞ 6), 可以看到本征值的虛部 I m[ω] 隨著|x| 的增大會有兩個對稱的分叉現(xiàn)象.表明對于一個較小的固定的腔模耗散系數(shù)(? κ<2g0)存在一對平方根奇異點(diǎn), 它們擁有相同的手性.隨著 ? κ 變大, 奇異點(diǎn)將會越來越靠近在耦合強(qiáng)度最大值處出現(xiàn), 直至當(dāng) ? κ=2g0時,這兩個手性相同的奇異點(diǎn)將會合并成為一個奇異點(diǎn).在我們的系統(tǒng)中, 當(dāng) ? κ/2π = 16.90 MHz 時隨著x的改變, 兩個奇異點(diǎn)在x = 0處合并成為一個, 理論曲線如圖5(b)中的黑色點(diǎn)劃線所示.另外, 虛部 I m[ω] 的色散關(guān)系在x趨近于零附近近似呈線性行為, 圖5(b)中的綠色圓點(diǎn)是 ? κ/2π =16.68 MHz 時的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù), 可以看到和理論上的各向異性奇異點(diǎn)所處的色散關(guān)系符合得很好.當(dāng)?κ>2g0(y ＜ 6), 虛部 I m[ω] 存在免交叉, 可以看到兩支頻率之間存在一個“間隙”, 如圖5(b)所示.接著我們關(guān)注沿著另外一個參數(shù)路徑靠近奇異點(diǎn), 如圖5(c)所示, 當(dāng)固定x = 0改變 ? κ 的值, 可以看到一個典型的平方根奇異點(diǎn)出現(xiàn)在總墊片數(shù)量為6附近, 藍(lán)色實(shí)線是理論結(jié)果、紅色方點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

圖5 (a) 在不同腔模損耗下本征頻率虛部關(guān)于YIG小球在腔中位置x的函數(shù)關(guān)系.實(shí)線是利用前面實(shí)驗(yàn)得到的耦合強(qiáng)度和腔模的損耗(參見圖3)計算得到的, 圓點(diǎn)是實(shí)驗(yàn)測得的數(shù)據(jù); (b)本征頻率虛部在墊片數(shù)量分別為6, 4, 2的時候并分別用點(diǎn)劃線、靛青和藍(lán)色實(shí)線表示, 點(diǎn)劃線顯示了線性交叉行為; (c) 當(dāng)系統(tǒng)耦合強(qiáng)度 g0/2π = 8.45 MHz 時, 本征頻率虛部關(guān)于腔的端口處墊片數(shù)量y(腔模損耗)的關(guān)系.實(shí)線是理論計算的結(jié)果, 品紅色方塊是實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.5.(a) Imaginary part of the eigenfrequencies as a function of the position x of the YIG sphere in the cavity with different num?ber of gaskets.The solid curves are calculated using the coupling strengthes and the damping rates of the cavity modes obtained from the previous experiments (see Fig.3), and the dots are obtained from the experimental data shown in Fig.4; (b) imaginary part of the eigenfrequencies is plotted by black dotted line, indigo line and blue line when the number of gaskets are 6, 4 and 2, re?spectively.The black dotted line shows the linear crossing behavior; (c) when the coupling strength of the system is g0/2π =8.45 MHz, imaginary part of the eigenfrequencies are plotted as function of the gaskets y.The solid line is the result of theoretical calculation and the magenta square dots are the experimental results.

基于以上結(jié)果, 我們知道在不同的固定的腔體耗散系數(shù)下來觀察系統(tǒng)本征值虛部與YIG小球位置坐標(biāo)的色散關(guān)系時, 系統(tǒng)從擁有相同手性的兩個平方根奇異點(diǎn)(? κ<2g0)到出現(xiàn)本征值虛部色散曲線免交叉 (? κ>2g0) 經(jīng)過了兩個平方根奇異點(diǎn)合并成為一個奇異點(diǎn)的過程 (? κ=2g0), 并且在合并為一個奇異點(diǎn)的同時, 系統(tǒng)本征值的虛部與小球位置坐標(biāo)的色散關(guān)系為線性.另一方面, 在固定小球位置使耦合強(qiáng)度等于 g0, 改變腔體耗散系數(shù),我們觀察到了一個和腔端口墊片數(shù)量相關(guān)的平方根奇異點(diǎn).因此, 我們成功地在自旋波量子?腔光子相干耦合的系統(tǒng)中構(gòu)造并實(shí)現(xiàn)了各向異性奇異點(diǎn).

5 結(jié) 論

本文在理論上和實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了腔光子?自旋波量子耦合系統(tǒng)中的各向異性奇異點(diǎn), 它擁有在參數(shù)空間中沿著不同方向趨近該奇異點(diǎn)時有不同色散曲線的特點(diǎn).在我們的系統(tǒng)中, 腔光子和自旋波量子的耦合強(qiáng)度和YIG小球在腔中的位置坐標(biāo)是二次函數(shù)關(guān)系, 腔模的耗散系數(shù)隨著輸入輸出SMA端口處銅針插入的深度呈線性變化.在這個過程中, 我們通過增加端口處的墊片數(shù)量來控制銅針的插入深度, 這是一種巧妙的調(diào)節(jié)腔模耗散系數(shù)的方法.腔?自旋雜化系統(tǒng)固有的非厄米性是實(shí)驗(yàn)上觀測到各向異性奇異點(diǎn)的基礎(chǔ), 我們的實(shí)驗(yàn)方案具有一定的普適性, 各向異性奇異點(diǎn)也可以在其他非厄米系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn), 我們的結(jié)果將會給其他基于非厄米性的相關(guān)物理系統(tǒng)的構(gòu)造與應(yīng)用提供參考.此外, 各向異性奇異點(diǎn)的引入為基于奇異點(diǎn)的靈敏傳感器的設(shè)計提供了額外的自由度.

感謝浙江大學(xué)物理系游建強(qiáng)教授的討論及文章撰寫的建議.

附錄A

對于腔光子?自旋波量子耦合系統(tǒng)的有效哈密頓量如正文中的(1)式所示:

其中 a 和 a?(b 和 b?)是腔模(Kittle模)的湮滅和產(chǎn)生算符, ωc和 ωm是他們各自的頻率, g 是腔模和Kittle模之間的 耦 合 強(qiáng) 度, κ = κ1+κ1+κint和 γm分 別 是 腔 模 和Kittle模的衰減率.該系統(tǒng)的動力學(xué)行為滿足如下的時域量子郎之萬方程:

利用傅里葉變換

將時域的量子郎之萬方程變換到頻域, 可得:

解方程(11), 可以得到

根據(jù)輸入?輸出理論, 可以得到如下關(guān)系

上面的 a(in), a(out)表示的是腔模輸入、輸出信號.

結(jié)合(12)式和(13)式, 可以得到正文中傳輸系數(shù)的表達(dá)式: