數(shù)學(xué)名題：為學(xué)生種下一顆數(shù)學(xué)研究的種子

○蔣守成

主題拓展教學(xué)基于對教材內(nèi)容的系統(tǒng)把握與對學(xué)生學(xué)習經(jīng)驗、生活經(jīng)驗的準確理解兩個層面，以主題為核心建設(shè)主題課程資源，為學(xué)生提供只有在數(shù)學(xué)學(xué)習中才會經(jīng)歷和體驗并建立起來的獨特的思維方式。

數(shù)學(xué)名題中蘊含了深厚的數(shù)學(xué)史，隱藏了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，介紹了數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題和研究問題的歷程，具有典型性和廣泛的影響力。因此，我們以數(shù)學(xué)名題為主題，為學(xué)生種下一顆數(shù)學(xué)研究的種子，來激活凝固的書本知識，使知識恢復(fù)到鮮活的狀態(tài)，實現(xiàn)書本知識與學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、形成知識過程相關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)書本知識與學(xué)生的生活世界和經(jīng)驗世界相關(guān)聯(lián)，豐富和拓展數(shù)學(xué)學(xué)科的育人資源，全面發(fā)展學(xué)生的思維。

一、解讀教材，拓展數(shù)學(xué)名題的育人價值

數(shù)學(xué)名題是指在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史長河中形成，并對數(shù)學(xué)發(fā)展、數(shù)學(xué)應(yīng)用和數(shù)學(xué)教學(xué)等方面起過或仍起著重要作用的數(shù)學(xué)問題。

例如：楊輝三角、哥尼斯堡七橋問題、哥德巴赫猜想、雞兔同籠……這些著名的數(shù)學(xué)問題是數(shù)學(xué)家經(jīng)過幾百年甚至上千年的不斷探索與思考的智慧結(jié)晶，在數(shù)學(xué)史上產(chǎn)生較大影響，對數(shù)學(xué)發(fā)展有一定的推動作用。不同版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中也都編排了一些數(shù)學(xué)名題，讓學(xué)生經(jīng)歷像數(shù)學(xué)家一樣研究的過程，感受新概念的誕生，體悟新方法的形成，感悟深厚的數(shù)學(xué)文化，體會數(shù)學(xué)在人類發(fā)展史中的作用。

數(shù)學(xué)名題蘊含著重要的數(shù)學(xué)思想方法，是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效載體。例如，“物不知其數(shù)”蘊含了同余的思想方法，“七橋問題”不僅是抽象的典型實例，同時也蘊含轉(zhuǎn)化的思想方法。因此，我們應(yīng)對數(shù)學(xué)名題的素養(yǎng)目標和教學(xué)價值進行定位，為課程資源開發(fā)和課堂教學(xué)提供幫助。（下表是部分數(shù)學(xué)名題的素養(yǎng)目標和教學(xué)價值定位。）

數(shù)學(xué)名題哥德巴赫猜想楊輝三角素養(yǎng)目標邏輯推理、數(shù)學(xué)建模直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算斐波那契數(shù)列數(shù)學(xué)運算七橋問題雞兔同籠數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模教學(xué)價值形成有邏輯的思考問題能力、數(shù)學(xué)推理能力建立數(shù)與形的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力；借助運算解決實際問題形成有邏輯的思考問題能力、數(shù)學(xué)推理能力、運算能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力；利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)；運用數(shù)學(xué)抽象的思維思考問題進一步發(fā)展數(shù)學(xué)運算能力，有效借助數(shù)學(xué)方法解決實際問題

其實能在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂上滲透的數(shù)學(xué)名題還有很多，比如“省刻度尺”“和尚分饅頭”“棋盤上的麥粒”“李白喝酒”“田忌賽馬”“四色猜想”“冰雹猜想”“孿生素數(shù)猜想”……我們進行數(shù)學(xué)名題的主題教學(xué)研究，并不是要求學(xué)生做高深的數(shù)學(xué)研究，只是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個可以像數(shù)學(xué)家那樣“想”的空間，讓學(xué)生經(jīng)歷和數(shù)學(xué)家一樣的研究歷程，感受真理探索的艱辛，幫助他們形成不唯書、不唯師、不唯上的批判性思維，形成獨立思考、自由探索的數(shù)學(xué)品質(zhì)，拓展數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、整合教學(xué)，放大數(shù)學(xué)名題的教學(xué)價值

學(xué)會思維是學(xué)生思維發(fā)展的必由路徑，“學(xué)會”強調(diào)的是過程，而非結(jié)果，每個人都要學(xué)會思維，但學(xué)會的標準是多元的，學(xué)會的路徑是靈活的。我們依據(jù)學(xué)生的年齡特點和認知水平，基于教材內(nèi)容，精心選擇開發(fā)了52 個小學(xué)生能懂的數(shù)學(xué)名題，為學(xué)會思維提供過程支架，從中年級的數(shù)學(xué)閱讀和高年級的名題研究兩個路徑來放大數(shù)學(xué)名題的教學(xué)價值。

（一）數(shù)學(xué)名題主題閱讀。

我們在中年級進行數(shù)學(xué)名題閱讀欣賞，讓學(xué)生感受名題中的數(shù)學(xué)思想和方法，吸取名題中的數(shù)學(xué)文化和數(shù)學(xué)精神，提升對數(shù)學(xué)學(xué)習的興趣，感受數(shù)學(xué)的魅力。例如：我們將數(shù)學(xué)名題改編成數(shù)學(xué)童話，供三四年級學(xué)生進行閱讀。

時空穿梭解名題系列之《和尚分饅頭》

點點和芳芳都是數(shù)學(xué)愛好者，她們很想了解古代人是如何學(xué)習數(shù)學(xué)的。一次偶然的機會，她們得到了外星人留在地球上的時空穿梭機，真的實現(xiàn)了時空穿梭，眨眼間便回到了明代。

她們來到一座寺廟前，點點說：“我們進去玩玩吧！”可是當她們來到寺廟門口便被幾個和尚攔住了：“寺廟只接待香客，不接待游客！”這時一位老伯說：“小朋友，如果你們能回答上我的問題，我就分幾炷香給你們。”點點說：“行，什么問題？”老伯說：“一百饅頭一百僧，大僧三個更無爭，小僧三人分一個，大小和尚各幾??？”點點聽得有些摸不著頭腦，便問芳芳：“這是什么意思啊？”芳芳說：“這是明代《算法統(tǒng)宗》中的問題，意思是說一百個和尚吃一百個饅頭，大和尚每人吃三個，小和尚每三人吃一個，大小和尚各有多少人？”

點點說：“原來是這么回事，這題我會解。把1個大和尚與3個小和尚看成一組，那每組得分4個饅頭，100÷4=25（組），說明有25 個大和尚、75 個小和尚。”

老伯驚嘆地問道：“小朋友好聰明，你叫什么名字？”點點也不客氣地問道：“你叫什么名字?。俊崩喜Φ溃骸拔医谐檀笪??！狈挤汲泽@地說：“點點，他就是明代大數(shù)學(xué)家程大位，《算法統(tǒng)宗》就是他寫的！”點點一聽愣住了，老伯笑道：“我們現(xiàn)在就去燒香吧！”

通過數(shù)學(xué)閱讀把抽象、枯燥的數(shù)學(xué)問題加工成有趣且適合閱讀思考的學(xué)習材料，對學(xué)生進行數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化的滲透，將數(shù)學(xué)內(nèi)在的理性精神以一種可以觸摸、可以表達、可以分享的方式告訴他們，讓他們?nèi)ジ形?，去體驗，去傳承。

（二）數(shù)學(xué)名題研究。

我們在高年級進行數(shù)學(xué)名題系列研究，從著名的數(shù)學(xué)問題“哥德巴赫猜想”“四色猜想”“冰雹猜想”“孿生素數(shù)猜想”“省刻度尺”“雪花曲線”“楊輝三角”等出發(fā)，化復(fù)雜為簡單，化深奧為淺顯，讓學(xué)生在學(xué)習過程中像數(shù)學(xué)家一樣去工作、思考和交流，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習的品質(zhì)，讓學(xué)生的思維生長在研究過程中可見。

例如，我們以世界三大猜想之一的“四色猜想”為研究主題，讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、驗證的過程，體悟推理和模型思想。研究過程分三個板塊：

板塊一：引導(dǎo)學(xué)生自己提出猜想。

1.解決問題，引發(fā)猜想。呈現(xiàn)江蘇省地圖提出問題：從地圖上我們可以看出江蘇省由13 個城市組成。如果要把江蘇地圖涂上顏色，并且相鄰兩個城市要涂不同的顏色來區(qū)分。想一想，可以用幾種顏色？

學(xué)生回答有13種、12種、11種等等，答案不一致，但都能夠區(qū)分。

小結(jié)：看來按這樣的要求來涂色，方法可不止一種。那么到底最少需要幾種顏色就足以保證相鄰的兩個城市顏色不同了呢？

2.動手操作，探尋結(jié)論。按要求給下面3 個圖形涂上顏色，涂完后說明理由。

（1）每個圖形中相鄰的兩塊顏色不同。

（2）用的顏色要最少。

學(xué)生匯報后，教師追問：剛才我們研究的這3個圖形都被分成了4塊，為什么只有第3個圖需要4種顏色，而前2個圖不需要4種顏色呢？

同桌交流后分享：因為第三個圖中的每一塊都和其他三塊相鄰，而前2個圖形中并沒有這樣。

3.繼續(xù)探索，提出猜想。用你喜歡的方式把下面的圖形任意分成5 塊、6 塊、7 塊，按剛才的要求涂色，你能發(fā)現(xiàn)涂色的規(guī)律嗎？

學(xué)生分享比較發(fā)現(xiàn)：把一個圖形任意分成4塊、5 塊、6 塊或7 塊，只要用4 種顏色來涂色，就足以保證相鄰的2 塊顏色不同。也有學(xué)生大膽地提出：把一個平面圖形分成若干塊，只要用4 種顏色涂色，就足以保證相鄰的兩塊顏色不同。這也就是著名的世界三大猜想之一：四色猜想。

板塊二：介紹“四色猜想”的發(fā)現(xiàn)和提出的過程。

1852 年，一位名叫葛斯瑞的英國繪圖員發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：在每幅地圖上只要用4 種顏色來著色，就足以把有公共邊界的國家（或地區(qū)）分開，即把相鄰的國家（或地區(qū)）涂上不同的顏色。如果用數(shù)學(xué)語言來表示四色猜想就是：將一個平面圖形任意分為大于或等于4 個的不重疊區(qū)域，只要用1、2、3、4 四個數(shù)字來標記每個區(qū)域，就可以保證相鄰的兩個區(qū)域不會出現(xiàn)相同的數(shù)字。由此可以告訴學(xué)生：數(shù)學(xué)猜想不一定要數(shù)學(xué)家提出來，我們每個人都可以提出數(shù)學(xué)猜想，然后進行驗證猜想是否正確，這是一種很好的數(shù)學(xué)思考方法。

板塊三：自己驗證四色猜想，感受猜想的奇妙。

提問：讓你來證明四色猜想，你會怎么做？（舉例）

驗證：學(xué)生借助研究單上的地圖（江蘇地圖、北京地圖、寧夏地圖），用數(shù)字表示顏色的方法來驗證，發(fā)現(xiàn)都是4種。

追問：我們用了3 幅地圖驗證了四色猜想，你覺得這樣的證明夠不夠？這樣的例子還有很多，那科學(xué)家們又是怎樣來證明四色猜想呢？我們一起來了解一下。介紹數(shù)學(xué)家證明四色猜想的歷程，指出1976年9月，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾和哈肯教授，用計算機做了100 億次的判斷后，最終完成了四色猜想的證明。

其實很多猜想就像“四色猜想”一樣來自我們的日常生活，例如“冰雹猜想”就是來自70 年代美國大學(xué)里風靡的數(shù)學(xué)游戲。當我們經(jīng)常用數(shù)學(xué)的眼光去觀察日常的學(xué)習和生活時，也許下一個提出著名數(shù)學(xué)猜想的人就會是你！

數(shù)學(xué)名題的研究不僅使數(shù)學(xué)教學(xué)變得有意思，也讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得更有意義，讓學(xué)生不僅僅停留在“知道”層面，更能夠促進學(xué)生把問題想得更清晰、更全面、更深刻、更合理，能夠體會人類認識世界、數(shù)學(xué)化地刻畫世界的過程，體悟到數(shù)學(xué)自身的魅力。