基于集中質(zhì)量法的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料的損傷定位

李 暉， 徐忠浩， 王東升， 祖旭東

(1.東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院， 遼寧 沈陽 110819； 2.東北大學(xué) 航空動(dòng)力裝備振動(dòng)及控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 遼寧 沈陽 110819； 3.利物浦大學(xué) 工程學(xué)院，英國 利物浦 L69 3GQ； 4.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 南京 210094)

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料具有優(yōu)異的力學(xué)和減重性能，被越來越多地應(yīng)用于航天、航空、核工業(yè)等重要領(lǐng)域[1].纖維增強(qiáng)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)件的服役環(huán)境復(fù)雜，可能長期處于高溫、高壓、高幅振動(dòng)、沖擊等惡劣工況下[2-3]，因此容易產(chǎn)生纖維斷裂、基體裂紋、分層損傷等.上述損傷問題不僅嚴(yán)重影響材料及結(jié)構(gòu)的靜態(tài)承載、抗振性和抗疲勞能力，有時(shí)甚至?xí)?dǎo)致一些災(zāi)難性的后果[4-5].

長期以來，人們針對(duì)金屬及復(fù)合材料的損傷定位開展了許多工作，已取得階段性的研究成果.Pandey等[6]利用金屬梁模型研究損傷問題，提出一種基于結(jié)構(gòu)柔度矩陣變化來識(shí)別和確定損傷位置的方法.Lew等[7]利用被動(dòng)控制理論，在待檢測的梁結(jié)構(gòu)上附加若干個(gè)子結(jié)構(gòu)，通過控制閉環(huán)控制系統(tǒng)中固有頻率的階數(shù)和精度，提高受控結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)對(duì)損傷的敏感度，進(jìn)而識(shí)別損傷位置；Koh等[8]將該方法進(jìn)一步發(fā)展，采用多個(gè)受控結(jié)構(gòu)的頻率信息，通過構(gòu)造頻率與損傷之間的敏感矩陣進(jìn)行損傷定位.Zhao等[9]利用信號(hào)差異系數(shù)構(gòu)造結(jié)構(gòu)損傷的分布概率圖，并提出一種基于相關(guān)分析的損傷概率成像方法來進(jìn)行損傷定位.Hu等[10]利用拉伸試驗(yàn)和三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)來進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析，通過獲得的損傷前、后的模態(tài)位移，成功實(shí)現(xiàn)了復(fù)合材料基體裂紋的損傷定位.朱永凱等[11]結(jié)合強(qiáng)度型光纖傳感技術(shù)，利用聲發(fā)射檢測系統(tǒng)對(duì)纖維復(fù)合薄板進(jìn)行損傷檢測.馮侃等[12]基于掃描式激光測振儀獲得的碳纖維復(fù)合板ODS響應(yīng)數(shù)據(jù)，提出了二維間隔平滑法來檢測沖擊裂紋損傷.Kersemans等[13]應(yīng)用超聲波極坐標(biāo)掃描法對(duì)帶有分層損傷的纖維增強(qiáng)復(fù)合板進(jìn)行損傷檢測，研究認(rèn)為該方法不僅可以定位分層損傷的位置，還可以檢測損傷的深度.Roy等[14]應(yīng)用連續(xù)掃描激光測振儀對(duì)復(fù)合材料板進(jìn)行損傷監(jiān)測，提出基于模態(tài)振型的損傷辨識(shí)定位方法，但需分別測試健康與損傷板的模態(tài)振型，檢測過程較為繁瑣.黃博等[15]利用光纖光柵傳感器，應(yīng)用應(yīng)變模態(tài)識(shí)別技術(shù)提取金屬材料結(jié)構(gòu)的局部動(dòng)態(tài)應(yīng)變特征，并準(zhǔn)確識(shí)別出損傷位置.劉國強(qiáng)等[16]提出一種改進(jìn)的損傷概率成像方法，利用損傷因子與損傷位置到激勵(lì)-傳感通道間的直線距離之間的關(guān)系，對(duì)損傷概率分布函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，并對(duì)復(fù)合材料加筋壁板上不同位置的損傷進(jìn)行了識(shí)別.

從目前的研究現(xiàn)狀可知，人們從宏觀振動(dòng)學(xué)角度研究復(fù)合材料損傷檢測的相關(guān)文獻(xiàn)依然比較匱乏，特別是缺乏簡單、高效的損傷定位方法.另外，國內(nèi)研究人員開展的損傷辨識(shí)工作，許多都依賴于價(jià)格昂貴的連續(xù)掃描激光測振儀、聲發(fā)射檢測系統(tǒng)及光纖傳感測試設(shè)備，不利于普通科研工作者開展自主創(chuàng)新性研究.

本文針對(duì)上述問題，提出了指數(shù)冪逼近-集中質(zhì)量法來準(zhǔn)確辨識(shí)纖維增強(qiáng)復(fù)合材料(fiber-reinforced composite, FRC)的損傷位置.以FRC梁結(jié)構(gòu)為例，建立了集中質(zhì)量模型，并將損傷后的殘差力向量作為關(guān)鍵定位指標(biāo)，在闡明了損傷定位的理論原理后，總結(jié)、概括出一套規(guī)范的定位流程.最后，利用本文提出的方法對(duì)帶有不同纖維斷裂損傷的TC300碳纖維/樹脂梁結(jié)構(gòu)的損傷位置進(jìn)行了辨識(shí).研究結(jié)果表明，該定位方法可有效確定復(fù)合材料梁的損傷位置.

1 復(fù)合材料梁剛度矩陣的理論求解

首先，建立圖1所示的FRC梁的集中質(zhì)量模型，以梁的下表面為x軸、厚度方向?yàn)閥軸，建立xOy坐標(biāo)系；梁的長度為a，質(zhì)量為m.假設(shè)梁處于一端約束的懸臂狀態(tài)，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)可看作由n個(gè)集中質(zhì)量塊組合而成，且每個(gè)集中質(zhì)量塊的質(zhì)量分配均勻且相等，即m1=m2=…=mn-1=mn=m/n.

根據(jù)宏觀振動(dòng)學(xué)原理，梁的振動(dòng)微分方程為

(1)

為了求解方便，將式(1)寫成矩陣形式：

(K+iC-ω2M)φ=F.

(2)

式中：φ為廣義位移向量；ω為固有頻率；對(duì)應(yīng)的n×n維剛度矩陣K、質(zhì)量矩陣M和阻尼矩陣C，可分別用圖解的形式表示，如圖2所示.

結(jié)構(gòu)損傷在數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為剛度和質(zhì)量矩陣的改變，在物理上表現(xiàn)為固有頻率、振型、阻尼等動(dòng)態(tài)特性參數(shù)的改變.下面，首先推導(dǎo)FRC梁固有頻率和振型向量的求解公式.令式(2)中阻尼矩陣C和激振力向量F為零，即

(K-ω2M)φ=0 .

(3)

假設(shè)可通過理論求解方法，獲得第i階固有頻率ωi及其對(duì)應(yīng)的正則化振型向量φi，這時(shí)剛度矩陣K就可求解獲得.這樣，便建立了ωi，φi和K之間的關(guān)系：

(4)

為了準(zhǔn)確計(jì)算K，將式(4)拓展，可將前r階固有頻率和振型向量與剛度矩陣K的關(guān)系進(jìn)一步表示為

(5)

式中：Ω(r)是由理論計(jì)算獲得的FRC梁的前r階固有頻率組成的對(duì)角矩陣；φ(r)為相應(yīng)的振型矩陣.Ω(r)和φ(r)的具體表達(dá)式如下：

(6)

φ(r)=(φ1,φ2,…,φr).

(7)

2 復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)的損傷定位原理

假設(shè)可分別通過理論求解和測試獲得FRC梁損傷前、后所對(duì)應(yīng)的固有頻率及其正則化振型向量，并用下標(biāo)b和d表示結(jié)構(gòu)損傷前、后的狀態(tài)，則式(4)可分別表示為

(8)

(9)

分別用ΔK和ΔM表示結(jié)構(gòu)損傷前、后剛度和質(zhì)量的改變量，則結(jié)構(gòu)損傷后的剛度和質(zhì)量矩陣可表示為

Kd=Kb+ΔK，

(10)

Md=Mb+ΔM.

(11)

由于結(jié)構(gòu)損傷對(duì)其質(zhì)量的影響很小，因此，ΔM可忽略不計(jì)，即ΔM=0，則Md=Mb.將式(10)和式(11)代入到式(9)中，可獲得如下表達(dá)式：

(12)

將式(12)左側(cè)變量定義為第i階模態(tài)的殘差力向量Ri：

(13)

Ri可進(jìn)一步表示為

(14)

將理論求解獲得的未損傷梁的前r階固有頻率和正則化振型向量代入到式(5)中，即可獲得結(jié)構(gòu)損傷前的剛度矩陣Kb.再將其代入式(14)中，并結(jié)合測試獲得的第i階固有頻率和正則化振型向量，即可獲得第i階殘差力向量Ri：

Ri=(r1,r2,…,rj,…,rn)T.

(15)

式中rj為FRC梁第j個(gè)自由度上對(duì)應(yīng)的殘差力元素(j=1,2,…,n).

為了提高定位的準(zhǔn)確性，可采用幾何平均的方式來獲得殘差力向量R：

(16)

式中p為所關(guān)注結(jié)構(gòu)模態(tài)的最大階次.

圖3給出了FRC梁損傷定位的原理圖.

首先，可通過式(16)獲得梁結(jié)構(gòu)損傷后的殘差力向量R，并將R中最大的殘差力元素rj作為損傷定位指標(biāo)；然后，假設(shè)在rj對(duì)應(yīng)的梁上第j個(gè)集中質(zhì)量塊位置發(fā)生了損傷(A為質(zhì)量塊的中心點(diǎn)，且rj對(duì)應(yīng)梁上的第j個(gè)自由度)，則該質(zhì)量塊的左、右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值xj-1和xj可表示為

(17)

假設(shè)可按照2的指數(shù)冪思想，將FRC梁均分為n=2σ個(gè)質(zhì)量塊(σ為與定位精度有關(guān)的待定指數(shù))，(相應(yīng)地，將整個(gè)損傷定位方法命名為“指數(shù)冪逼近-集中質(zhì)量法”)，則梁結(jié)構(gòu)上每個(gè)集中質(zhì)量塊的長度可表示為

(18)

假設(shè)ε0為定位精度，根據(jù)已描述的質(zhì)量塊劃分規(guī)則，可將2的指數(shù)σ對(duì)應(yīng)的最小值σmin與ε0的關(guān)系表示為

(19)

利用式(19)可確定σmin，進(jìn)而確定相應(yīng)的質(zhì)量塊數(shù)量n并代入式(17)，可獲得損傷質(zhì)量塊左、右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值.經(jīng)過化簡求解后，可獲得損傷質(zhì)量塊的中點(diǎn)坐標(biāo)Xj,σmin：

(20)

最后，定義JA為損傷定位偏差系數(shù)，可制定如下的損傷位置逼近判別準(zhǔn)則：

(21)

式中，Xj,σmin-1表示當(dāng)2的指數(shù)為σmin-1時(shí)，根據(jù)質(zhì)量塊劃分規(guī)則獲得的損傷質(zhì)量塊的中點(diǎn)坐標(biāo).

當(dāng)JA>1時(shí)，表明按照n=2σmin劃分質(zhì)量塊后，仍不能達(dá)到定位精度ε0的要求.此時(shí)，還需進(jìn)一步提高指數(shù)值σmin，將梁結(jié)構(gòu)均分為更多的質(zhì)量塊來逼近實(shí)際的損傷位置，見圖3所示.當(dāng)JA≤1時(shí)，可保證對(duì)應(yīng)的質(zhì)量塊數(shù)量n滿足定位精度的要求，即可準(zhǔn)確定位梁的損傷位置.

逐漸更新和完善水環(huán)境監(jiān)測技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)一步明確質(zhì)量控制措施的要求，包括質(zhì)量控制方法、質(zhì)量控制樣品比例，以及質(zhì)量控制結(jié)果的合格判定標(biāo)準(zhǔn)。

3 損傷定位流程

可按照下面4個(gè)關(guān)鍵步驟確定復(fù)合材料梁結(jié)構(gòu)的損傷位置.

3.1 確定損傷梁的固有頻率

為了精確獲得FRC梁的固有頻率，可首先通過錘擊法模態(tài)實(shí)驗(yàn)初步獲得其固有頻率，然后選擇各階固有頻率的75%～125%作為掃頻頻段，并在較慢的掃頻速率下(例如0.25 Hz/s)進(jìn)行正弦掃頻測試.在依次獲得了各階頻域響應(yīng)曲線后，可通過辨識(shí)響應(yīng)峰值的方式，精確獲取各階固有頻率值.

3.2 確定損傷梁的模態(tài)振型

利用振動(dòng)激勵(lì)設(shè)備，在FRC梁的各階固有頻率處，激發(fā)其達(dá)到各階共振狀態(tài).然后利用激光掃描測振方法[17]，獲得各階共振狀態(tài)對(duì)應(yīng)的參考點(diǎn)和激光掃描測點(diǎn)的響應(yīng)信號(hào)；在對(duì)振幅和相位數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波、縮減、提取處理后，可快速獲得損傷梁的各階模態(tài)振型.

3.3 理論求解損傷梁的殘差力向量

在輸入FRC梁的尺寸和鋪設(shè)參數(shù)后，可通過有限元法、解析法等方法求解未損傷梁的固有特性.然后通過圖2中給出的質(zhì)量矩陣形式獲得梁的質(zhì)量矩陣，并將計(jì)算獲得的振型向量和固有頻率代入式(8)，獲得未損傷梁的剛度矩陣.最后，將測試獲得的損傷梁的固有頻率和正則化振型向量代入到式(14)中獲得損傷后的第i階殘差力向量，并求幾何平均值.

3.4 基于指數(shù)冪逼近-集中質(zhì)量法確定損傷位置

根據(jù)所要求的定位精度，將損傷梁結(jié)構(gòu)均分為2σ個(gè)質(zhì)量塊.然后將殘差力向量中絕對(duì)值最大的殘差力元素作為損傷定位指標(biāo)，并根據(jù)式(17)初步確定損傷質(zhì)量塊的位置坐標(biāo).最后，根據(jù)損傷位置逼近判別準(zhǔn)則，不斷提高質(zhì)量塊的劃分?jǐn)?shù)量以逼近實(shí)際損傷位置，最終準(zhǔn)確輸出梁的損傷位置.

4 實(shí)例研究

本文以帶有纖維斷裂損傷的TC300碳纖維/樹脂基復(fù)合材料梁為研究對(duì)象，對(duì)其損傷位置進(jìn)行研究.首先，通過圖4所示的夾具固定一邊，夾持長度為30 mm，用以模擬懸臂約束邊界條件，約束后復(fù)合梁的長、寬、厚尺寸為230 mm×20 mm×2.36 mm.然后，利用鋒利的小刀對(duì)復(fù)合梁進(jìn)行破壞，第一次損傷位置距約束端為80 mm，第二次損傷位置距約束端為160 mm，裂紋長度為梁的寬度，破壞深度約為復(fù)合梁厚度的20%，裂紋寬度為1 mm左右.

FRC梁的損傷測試系統(tǒng)主要包括：基于維控觸摸屏和PLC控制的二維激光線性掃描測振裝置、LMS 16通道便攜式數(shù)據(jù)采集儀、Polytec PDV-100激光測振儀、金盾1 000 kg電磁振動(dòng)臺(tái)及功率放大器等.實(shí)驗(yàn)時(shí)，通過夾具中的兩個(gè)M12螺栓夾緊FRC梁的一端.為了有效地夾緊被測梁，在夾具中設(shè)置兩個(gè)孔，在不同的擰緊力矩下重復(fù)測量FRC梁的前4階固有頻率.通過比較，當(dāng)擰緊力矩為40 N·m時(shí)，頻率值的重復(fù)性最好，因此，測量時(shí)通常在此扭矩下對(duì)懸臂梁進(jìn)行測試.此外，測試時(shí)選擇以下設(shè)置和參數(shù)：①激勵(lì)幅度范圍0.5g～2g；②正弦掃頻速度0.5 Hz/s；③采樣頻率5 120 Hz；④頻率分辨率0.125 Hz；⑤對(duì)激振信號(hào)和響應(yīng)信號(hào)添加漢寧窗函數(shù).

實(shí)驗(yàn)時(shí)，首先對(duì)梁試件進(jìn)行第一次損傷破壞，通過掃頻測試方法，獲得包含某階固有頻率的頻域響應(yīng)曲線；通過辨識(shí)頻域響應(yīng)峰值，獲得其固有頻率.然后，在上述固有頻率處，激發(fā)其達(dá)到共振狀態(tài)，并通過二維激光線性掃描測振裝置獲取每一階固有頻率所對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型.表1給出了測試獲得的第一次損傷后的FRC梁的前4階固有頻率和模態(tài)振型.

表1 第一次損傷后FRC梁的前4階固有頻率和振型Table 1 The first four natural frequencies and modal shapes of FRC beam first damaged

然后，利用解析方法[18]求解獲得未損傷梁的各階固有頻率和振型向量，并將它們代入式(8)，即可求出未損傷梁的剛度矩陣.結(jié)合測試獲得的固有頻率和正則化振型數(shù)據(jù)，利用式(16)可進(jìn)一步求出梁結(jié)構(gòu)損傷后的殘差力向量.

由于工程上常用的定位精度需要達(dá)到毫米級(jí)別(ε0=1 mm)，因此，可根據(jù)該要求，利用質(zhì)量塊劃分規(guī)則，由式(19)確定指數(shù)σ的最小值σmin=6，即質(zhì)量塊數(shù)量達(dá)到64時(shí)，才能滿足定位精度要求.為了驗(yàn)證質(zhì)量塊數(shù)量與定位精度之間的關(guān)系，將梁分別劃分為32個(gè)和128個(gè)質(zhì)量塊，然后，以梁的長度作為x軸，以質(zhì)量塊數(shù)量作為y軸，并以殘差力作為縱坐標(biāo)，可繪制出圖5所示的不同質(zhì)量塊數(shù)量下第一次損傷后FRC梁的損傷定位圖.

對(duì)圖5的定位結(jié)果進(jìn)行分析可以看出，在質(zhì)量塊數(shù)量為64時(shí)，定位輸出的損傷位置為80.8 mm，其損傷定位偏差系數(shù)JA≤1；在質(zhì)量塊數(shù)量為32時(shí)，定位輸出的損傷位置為81.6 mm，其損傷定位偏差系數(shù)JA>1，不滿足定位精度要求；另外，在質(zhì)量塊數(shù)量為128時(shí)，其定位輸出的損傷位置與64塊時(shí)對(duì)應(yīng)的損傷位置相差不大.由此證明了本文提出的損傷位置逼近判別準(zhǔn)則的有效性.利用該方法可以準(zhǔn)確辨識(shí)第一次損傷后FRC梁的損傷位置.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該損傷定位方法的準(zhǔn)確性，表2給出了在邊界條件和原有損傷狀態(tài)不變的條件下，對(duì)FRC梁試件進(jìn)行第二次損傷破壞，并采用相同的測試方法獲取第二次損傷后梁的前4階固有頻率和模態(tài)振型.

對(duì)表1和表2的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析可知，由于纖維斷裂損傷的存在，導(dǎo)致第二次損傷后梁的固有頻率進(jìn)一步減小，但其模態(tài)振型差別不大，因此，僅僅利用固有頻率和模態(tài)振型對(duì)應(yīng)的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行判別，很難準(zhǔn)確定位損傷位置.

表2 第二次損傷后FRC梁的前4階固有頻率和振型Table 2 The first four natural frequencies and modal shapes of FRC beam second damaged

這里，再次利用指數(shù)冪逼近-集中質(zhì)量法，即在質(zhì)量塊數(shù)量達(dá)到64時(shí)，對(duì)第二次損傷后梁的損傷位置進(jìn)行定位辨識(shí).同時(shí)，為了驗(yàn)證質(zhì)量塊數(shù)量與定位精度之間的關(guān)系，再將梁劃分為32個(gè)和128個(gè)質(zhì)量塊.圖6給出了不同質(zhì)量塊數(shù)量下第二次損傷后FRC梁的損傷定位圖.

對(duì)圖6的定位結(jié)果進(jìn)行分析可知，在質(zhì)量塊數(shù)量為64時(shí)，定位輸出的兩處損傷位置分別為80.8 mm和159.6 mm，與圖4給出的原始損傷位置非常接近(相對(duì)誤差小于1%，計(jì)算時(shí)間約為108 s).由此可證明該損傷定位方法的正確性和有效性.

在質(zhì)量塊數(shù)量為32時(shí)，定位輸出的損傷位置為81.6 mm(對(duì)應(yīng)的JA=1.22)和161.7 mm(對(duì)應(yīng)的JA=1.28)，其損傷定位偏差系數(shù)均大于1，不滿足定位要求.另外，在質(zhì)量塊數(shù)量為128時(shí)，定位輸出的損傷位置為80.6 mm和160.3 mm，與64塊時(shí)確定的損傷位置接近(兩者相對(duì)于原始損傷位置的誤差都小于1%)，但計(jì)算花費(fèi)了更多的時(shí)間(計(jì)算時(shí)間約為220 s).

綜上所述，利用該損傷定位方法，不僅可以準(zhǔn)確辨識(shí)FRC梁的損傷位置，且在滿足定位精度要求的同時(shí)，提高了定位效率.

5 結(jié) 語

本文以纖維增強(qiáng)復(fù)合材料梁為例，提出了指數(shù)冪逼近-集中質(zhì)量法，用以辨識(shí)該類型復(fù)合材料的損傷位置.同時(shí)，還討論了梁的質(zhì)量塊劃分?jǐn)?shù)量對(duì)兩次損傷后TC300碳纖維/樹脂梁結(jié)構(gòu)的損傷定位精度的影響.研究發(fā)現(xiàn)，利用本文提出的定位方法可有效獲取兩次損傷對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)損傷位置，且利用本文制定的損傷位置逼近判別準(zhǔn)則，可以在保證定位精度的同時(shí)，提高定位效率.