基于主動(dòng)學(xué)習(xí)的復(fù)雜機(jī)械結(jié)構(gòu)的可靠性分析

曹汝男, 孫志禮, 張毅博, 王 健

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院, 遼寧 沈陽(yáng) 110819)

近年來(lái),實(shí)際工程中機(jī)械結(jié)構(gòu)的可靠性問(wèn)題備受關(guān)注,為此國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了多種可靠性分析方法.一次一階矩法(FORM)和二次二階矩法(SORM)將非線性功能函數(shù)線性化,通過(guò)計(jì)算近似得到功能函數(shù)的失效概率[1-2];但FORM和SORM適用范圍有限,只適用于顯式功能函數(shù),且對(duì)于高維非線性問(wèn)題精度較差.Monte Carlo方法[3]將求解可靠性的多維積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)期望的方式,通過(guò)大量抽樣計(jì)算失效概率,但因?yàn)橛?jì)算量大、效率低,多用于檢驗(yàn)新方法的準(zhǔn)確性.20世紀(jì)90年代眾多學(xué)者提出了代理模型法[4-5],如多項(xiàng)式響應(yīng)面法[6]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[7]、支持向量機(jī)[8],以及Kriging模型法[9].代理模型法通過(guò)插值或者回歸方法構(gòu)建隱式功能函數(shù)的替代模型,隨后對(duì)該替代模型進(jìn)行失效概率的計(jì)算.Kriging模型是一種高效的插值方法,以最小方差無(wú)偏估計(jì)保證插值精度,適用于求解非線性隱式函數(shù)問(wèn)題.Echard等[10]將Kriging和Monte Carlo方法相結(jié)合,提出了一種具有主動(dòng)學(xué)習(xí)功能的可靠性分析方法,即AK-MCS法.孫志禮等[11]考慮到聯(lián)合概率密度函數(shù)和Kriging標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)失效概率精度的共同影響,提出了新的學(xué)習(xí)函數(shù)VF以及相應(yīng)的學(xué)習(xí)停止條件.

AK-MCS等傳統(tǒng)方法在每次迭代中只能選取一個(gè)最佳樣本點(diǎn),即在每次更新Kriging模型時(shí)只能使用一臺(tái)電腦進(jìn)行一次仿真分析;這樣不但效率低,也不能充分利用實(shí)驗(yàn)室的資源.為了在保證計(jì)算精度的前提下,進(jìn)一步提高計(jì)算效率,本文基于自適應(yīng)學(xué)習(xí)函數(shù)VF對(duì)AK-MCS法進(jìn)行改進(jìn),結(jié)合k-means聚類分析方法,在每次迭代中將Kriging模型及候補(bǔ)樣本點(diǎn)分組,選取多個(gè)樣本點(diǎn)從多方位提高Kriging模型精度,減少學(xué)習(xí)過(guò)程的迭代次數(shù);同時(shí)實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算,降低仿真總時(shí)間,提高計(jì)算速度.將改進(jìn)方法(AK-MCS-K方法)應(yīng)用于某一類型火炮協(xié)調(diào)器中,對(duì)火炮協(xié)調(diào)器的運(yùn)動(dòng)精度可靠性進(jìn)行分析.

1 理論基礎(chǔ)

1.1 Monte Carlo法

假設(shè)極限狀態(tài)方程將整個(gè)區(qū)域分為兩個(gè)部分,即失效域F和安全域S:失效域F={x|G(x)≤0},反之系統(tǒng)處在安全域內(nèi)S={x|G(x)>0};x是隨機(jī)變量,G(x)是功能函數(shù)的響應(yīng)值.失效概率Pf可以表示為

(1)

式中f(x)是隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù).

使用Monte Carlo法,首先要抽取NMC個(gè)隨機(jī)樣本點(diǎn)xj(j=1,2,…,NMC),然后將樣本點(diǎn)代入功能函數(shù)中得到對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值G(xj).統(tǒng)計(jì)其中G(xj)≤0的數(shù)量,記為Nf.Nf與NMC的比值即為失效概率近似值.

(2)

1.2 Kriging方法

Kriging由參數(shù)化模型和隨機(jī)過(guò)程兩部分組成.Kriging模型中極限狀態(tài)函數(shù)為

(3)

式中:βh是回歸系數(shù);gh(x)表示變量x的多項(xiàng)式;z(x)服從高斯分布N(0,σ2),其協(xié)方差可表示為

Cov[z(xi),z(xj)]=σ2R(xi,xj;θ) .

(4)

式中:σ2是高斯過(guò)程的方差;R(xi,xj;θ)是xi和xj的相關(guān)函數(shù);θ是相關(guān)函數(shù)的參數(shù).

已知樣本集SDoE=[x1,x2,…,xN]及對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值Y=[y1,y2,…,yN]T,G(x)的最小方差無(wú)偏估計(jì)為

(5)

rT(x)R-1r(x)] .

(6)

式中:

r(x)=[R(x1,x;θ),…,R(xN,x;θ)]T;

u(x)=GTR-1r(x)-g(x);

R=(R(xi,xj;θ))N×N;

G=[g(x1),g(x2),…,g(xN)]T.

2 AK-MCS-K方法

2.1 自適應(yīng)學(xué)習(xí)函數(shù)VF和學(xué)習(xí)停止條件

(7)

針對(duì)樣本點(diǎn)的選取,AK-MCS方法提出了學(xué)習(xí)函數(shù)U：

U(x)=|μG(x)|/σG(x) .

(8)

選取min(U(x))的點(diǎn)更新Kriging模型可以有效地提高模型精度.

VF(x)=σG·f(x) .

(9)

每次迭代選取VF(x)最大的點(diǎn),調(diào)用真實(shí)功能函數(shù)得到對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值,用以更新Kriging模型,直到精度滿足要求.學(xué)習(xí)函數(shù)VF對(duì)應(yīng)的學(xué)習(xí)停止條件為

eε=Nu/Nf≤[e] .

(10)

式中:Nu為符號(hào)估計(jì)錯(cuò)誤點(diǎn)數(shù)的期望;Nf為失效點(diǎn)的個(gè)數(shù);eε為失效概率誤差的期望值；[e]為eε的閾值,根據(jù)工程需要選取.

2.2 k-means算法

k-means算法[12]是由Mac Que提出的一種應(yīng)用廣泛的經(jīng)典聚類分析方法.

k-means算法計(jì)算步驟如下:

①隨機(jī)抽取k個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)作為聚類中心;

②計(jì)算每個(gè)點(diǎn)到聚類中心的距離,按照距離最小原則進(jìn)行分類;

③計(jì)算k個(gè)組的中心點(diǎn)所在位置;

④如果前后兩次中心點(diǎn)位置相同,則輸出結(jié)果,否則返回步驟②.

2.3 AK-MCS-K方法原理

為了進(jìn)一步提升計(jì)算效率,本文對(duì)基于學(xué)習(xí)函數(shù)VF的主動(dòng)學(xué)習(xí)方法進(jìn)行改進(jìn).為了減少迭代次數(shù),擬在每一次迭代中選取多個(gè)最佳樣本點(diǎn),同時(shí)加入多個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)Kriging模型進(jìn)行擬合.如圖1所示,以每次取4個(gè)樣本點(diǎn)為例,虛線表示真實(shí)的功能函數(shù),實(shí)線表示擬合曲線,叉號(hào)表示候選樣本點(diǎn)集,六角星表示選擇的最佳樣本點(diǎn).如果直接按照使VF取最大值的標(biāo)準(zhǔn)選點(diǎn),圖中選取的4個(gè)樣本點(diǎn)中,有3個(gè)點(diǎn)距離過(guò)于接近,并不能充分有效地提高Kriging模型的精度.因此,引入k-means算法,先對(duì)候補(bǔ)樣本點(diǎn)集進(jìn)行分類,將其分為4部分,然后在每一部分中選取滿足學(xué)習(xí)函數(shù)VF的最佳樣本點(diǎn),結(jié)果如圖2所示.

應(yīng)用k-means方法可以成功避免選取樣本點(diǎn)過(guò)密的情況,并且可以在多個(gè)位置同時(shí)提高Kriging模型的精度.

2.4 AK-MCS-K方法計(jì)算流程

步驟1 應(yīng)用拉丁超立方抽樣選取N0個(gè)初始樣本點(diǎn)xDoE=[x1,x2,…,xN0];

步驟2 計(jì)算相應(yīng)的響應(yīng)值y=[y1,y2,…,yN0],并使用DACE工具箱建立Kriging模型;

步驟3 使用Monte Carlo方法建立樣本空間S=[x1,x2,…,xMC];

步驟5 使用聚類分析方法將候補(bǔ)樣本點(diǎn)進(jìn)行分組,共分為k個(gè)組;

步驟6 使用學(xué)習(xí)函數(shù)VF在每一組中選取VF(x)值最大的點(diǎn)作為最佳樣本點(diǎn);

步驟7 將選取的k個(gè)最佳樣本點(diǎn)加入到樣本空間中并調(diào)用真實(shí)功能函數(shù)計(jì)算其響應(yīng)值,重新構(gòu)建Kriging模型;

步驟8 根據(jù)學(xué)習(xí)停止條件式(10)判斷Kriging模型精度是否滿足要求,如果不滿足則返回步驟4;

值得注意的是,在使用Monte Carlo 法計(jì)算失效概率時(shí),應(yīng)滿足式(11),其中[δ]為閾值,可根據(jù)精度需要進(jìn)行取值.

(11)

2.5 算例分析:多維非線性系統(tǒng)

為驗(yàn)證AK-MCS-K方法的可行性和優(yōu)勢(shì)所在,選用一個(gè)非線性無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)[13-14]為研究對(duì)象進(jìn)行可靠性分析.如圖3所示,k1,k2為彈簧剛度,m為小車質(zhì)量.

其功能函數(shù)為

(12)

式中R為給定的閾值,6個(gè)變量相互獨(dú)立,滿足表1所示正態(tài)分布.

表1 隨機(jī)變量分布Table 1 Distribution of random variables

圖4和圖5分別表示失效概率估計(jì)值和停止條件eε隨迭代次數(shù)的變化曲線.圖中4條曲線分別代表AK-MCS-EFF,AK-MCS-U,AK-MCS-VF和AK-MCS-K(k=2)4種方法.可以發(fā)現(xiàn),AK-MCS-K方法得到的失效概率估計(jì)值可以很好地收斂在標(biāo)準(zhǔn)值附近,并且其收斂速度快于其他3種方法.

由表2可見(jiàn),對(duì)于AK-MCS-K方法,隨著k值的增加,其對(duì)應(yīng)的迭代次數(shù)逐漸降低,計(jì)算效率得到提高,但并行計(jì)算使用的電腦也會(huì)增加,所以應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況選取適當(dāng)k值.

表2 算例結(jié)果統(tǒng)計(jì)表Table 2 Statistical table of the results of an example

3 火炮協(xié)調(diào)器定位精度可靠性分析

3.1 火炮協(xié)調(diào)器簡(jiǎn)介

協(xié)調(diào)器的結(jié)構(gòu)如圖6所示,主要包括耳軸、減速箱、協(xié)調(diào)支臂、液壓油缸和擺彈油缸,以及平衡機(jī)等.在工作時(shí),協(xié)調(diào)器接住供彈倉(cāng)推出的炮彈,協(xié)調(diào)到指定角度,然后在翻轉(zhuǎn)油缸的作用下將托彈盤(pán)連同炮彈快速地翻轉(zhuǎn)到輸彈線,將炮彈輸送到炮膛.判定協(xié)調(diào)器是否失效的一個(gè)重要依據(jù)就是能否精確地將炮彈送到炮膛.本文針對(duì)協(xié)調(diào)器對(duì)炮彈協(xié)調(diào)過(guò)程的定位精度進(jìn)行可靠性分析.

3.2 協(xié)調(diào)器剛?cè)狁詈夏Ｐ涂煽啃苑治?/h3>

對(duì)于實(shí)際工程中的可靠性分析問(wèn)題,為節(jié)約成本,方便操作,多使用虛擬樣機(jī)技術(shù)代替物理樣機(jī)進(jìn)行研究.協(xié)調(diào)器剛?cè)狁詈辖＿^(guò)程如圖7所示.

使用ADAMS軟件對(duì)協(xié)調(diào)器協(xié)調(diào)過(guò)程進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真,得到炮彈質(zhì)心位移曲線.如圖8所示,協(xié)調(diào)器擺彈臂的整個(gè)協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)過(guò)程共1.2 s,只需采集t=1.2 s時(shí)刻炮彈質(zhì)心位移,并以此為標(biāo)準(zhǔn)值ξ.

建立定位精度可靠性分析的狀態(tài)函數(shù):

G(X)=γ-|ξ-ξ(r1,r2,r3,r4,lx,ly)| .

(13)

式中:γ為允許的誤差范圍,可以根據(jù)精度要求適當(dāng)取值,此處取6.0 mm;r1～r4表示孔半徑;lx和ly表示協(xié)調(diào)臂x和y方向上的制造誤差;ξ為不考慮原始誤差的擺彈臂質(zhì)心位移；ξ(r1,r2,r3,r4,lx,ly)表示考慮原始誤差后得到的擺彈臂質(zhì)心位移,其結(jié)果通過(guò)仿真得到.

式(13)中G(X)與6個(gè)隨機(jī)變量間的函數(shù)關(guān)系無(wú)法用公式明確地表達(dá)出來(lái),只能通過(guò)仿真得到,因此狀態(tài)函數(shù)屬于多維隱式函數(shù).各隨機(jī)變量分布如表3所示.

將ADAMS軟件建立的協(xié)調(diào)器剛?cè)狁詈蠀?shù)化模型,轉(zhuǎn)換成.cmd文件格式,搭建Simulink-ADAMS聯(lián)合仿真平臺(tái)用于可靠性分析.采用AK-MCS-K方法進(jìn)行計(jì)算,其中初始樣本點(diǎn)數(shù)為15,k值取4,[e]=0.05.結(jié)果如圖9和圖10所示.

表3 隨機(jī)變量分布類型及參數(shù)
Table 3Distribution types and parameters of randomvariables

mm

從圖9和圖10中的分析結(jié)果可以得知,在迭代次數(shù)約為55次,對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)數(shù)約為15+55×4=235時(shí),失效概率已經(jīng)收斂,同時(shí)失效概率誤差的期望值eε降到0.05以下,滿足了工程中的精度要求,并最終得到失效概率為1.83×10-3.值得注意的是,調(diào)用ADAMS軟件進(jìn)行1次協(xié)調(diào)過(guò)程的仿真時(shí)間約為26 min,雖然其樣本點(diǎn)數(shù)為235,但是僅迭代了55次,由于使用多臺(tái)計(jì)算機(jī)并行運(yùn)算,仿真所用時(shí)間也僅為55×26(min)=23.8(h).因此,將AK-MCS-K用于求解仿真耗時(shí)的可靠性問(wèn)題可以有效地提高計(jì)算效率,降低時(shí)間成本.

4 結(jié) 論

1) AK-MCS-K方法在保證精度的條件下對(duì)原始AK-MCS方法每次迭代選取一個(gè)最佳樣本點(diǎn)的不足進(jìn)行改進(jìn),使得每次迭代可以選取多個(gè)最佳樣本點(diǎn),從而大大減少迭代次數(shù).

2) 在選取樣本點(diǎn)過(guò)程中,采用k-means方法將候補(bǔ)樣本點(diǎn)分成k個(gè)組,同時(shí)將Kriging模型分為k個(gè)部分,每部分選取一個(gè)最佳樣本點(diǎn),成功避免了選取樣本點(diǎn)過(guò)密的情況,可以有效地提高Kriging模型的精度.

3) 在最佳樣本點(diǎn)的仿真過(guò)程中,采用并行運(yùn)算,多臺(tái)電腦同時(shí)進(jìn)行分析,一次仿真的時(shí)間,可以完成k個(gè)最佳樣本點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值的仿真,有效地提高了計(jì)算效率.