一種數(shù)學(xué)應(yīng)用題問(wèn)題情境仿真支持系統(tǒng)P4S研究

余小鵬 趙亞 殷浩

摘? ?要：理解問(wèn)題情境是表征應(yīng)用題的前提，然而中小學(xué)生普遍存在著忽視問(wèn)題情境等問(wèn)題。問(wèn)題情境仿真有助于問(wèn)題情境的理解，但當(dāng)前仿真技術(shù)難度較大。文章提出一種面向數(shù)學(xué)應(yīng)用題的問(wèn)題情境仿真支持系統(tǒng)P4S，以圖形化方式支持教師對(duì)問(wèn)題情境進(jìn)行個(gè)性化仿真創(chuàng)設(shè)，支持學(xué)生參與、重構(gòu)問(wèn)題情境，并通過(guò)分析學(xué)生重構(gòu)問(wèn)題情境的行為數(shù)據(jù)，構(gòu)建其題意理解能力模型。P4S能有效支持廣大師生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用題問(wèn)題情境進(jìn)行個(gè)性化仿真或重構(gòu)，非常有利于學(xué)生對(duì)問(wèn)題情境的理解。

關(guān)鍵詞：應(yīng)用題;問(wèn)題情境;個(gè)性化仿真;情境重構(gòu)

中圖分類號(hào)：C931.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-8454（2020）01-0041-05

一、引言

數(shù)學(xué)應(yīng)用題是聯(lián)系數(shù)學(xué)理論與實(shí)際的橋梁，在整個(gè)中小學(xué)素質(zhì)教育中占據(jù)著重要地位。新課程理念下“應(yīng)用題”教學(xué)更側(cè)重于學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和應(yīng)用能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題包括表征和解決（執(zhí)行）兩個(gè)過(guò)程，表征是解決的前提，問(wèn)題情境理解是表征的前提。但在問(wèn)題情境理解方面，廣大中小學(xué)生普遍存在著忽視問(wèn)題情境、缺乏數(shù)學(xué)思考等問(wèn)題，絕大多數(shù)小學(xué)生的學(xué)習(xí)更依賴由直觀觀察所獲得的具體化經(jīng)驗(yàn)和理解。根據(jù)構(gòu)建主義等理論，問(wèn)題情境仿真能從根本上支持理解問(wèn)題情境，有利于教師的“教”，有利于學(xué)生的“學(xué)”。然而對(duì)于廣大中小學(xué)師生而言，當(dāng)前仿真技術(shù)還存在著難度較大等情況。

二、提出問(wèn)題

當(dāng)前國(guó)內(nèi)外針對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域動(dòng)態(tài)仿真方面的研究很多。這些研究主要是圍繞一定的問(wèn)題，采用一定的技術(shù)（例如VRML、Flash、Java、C++等），或者基于一定的軟件工具（MatLab），從3D、虛擬/增強(qiáng)實(shí)現(xiàn)、可視化、動(dòng)畫和游戲等方面展開(kāi)研究，在一定程度上有利于學(xué)生對(duì)問(wèn)題情境的理解。很明顯，對(duì)于廣大中小學(xué)師生而言，掌握這些技術(shù)的難度較大。Scratch是圖形化編程的代表，但其編程模塊沒(méi)有語(yǔ)義信息且數(shù)量多、尺寸小，沒(méi)有明顯的多場(chǎng)景概念，需要復(fù)雜的編程模塊組合才能實(shí)現(xiàn)類似場(chǎng)景轉(zhuǎn)換的效果。

同時(shí)，當(dāng)前研究不支持對(duì)任意數(shù)學(xué)題中的問(wèn)題情境進(jìn)行仿真，只能對(duì)被作為研究對(duì)象的、特定數(shù)學(xué)題的問(wèn)題情境進(jìn)行仿真處理。這肯定不能滿足廣大師生的個(gè)性化需求。其實(shí)，只有支持對(duì)任意題的問(wèn)題情境進(jìn)行可視化處理，相關(guān)技術(shù)研究才有普適性，才更有意義。

當(dāng)前一些研究成果與教育認(rèn)知工具還不能有效支持用戶個(gè)性化仿真創(chuàng)設(shè)，用戶必須在工具提供的、固定的操作模式下進(jìn)行處理。其實(shí)問(wèn)題情境的理解是用戶的內(nèi)部表征，具有非常明顯的個(gè)性化特征。如果不能支持個(gè)性化仿真創(chuàng)設(shè)，就不能充分發(fā)揮學(xué)生“學(xué)”的主動(dòng)性，不能真正體現(xiàn)學(xué)生的參與。

基于上述問(wèn)題，本文提出一種問(wèn)題情境仿真支持系統(tǒng)（Problem Situation Simulation Support System，P4S），該系統(tǒng)支持師生對(duì)應(yīng)用題問(wèn)題情境進(jìn)行個(gè)性化仿真、重構(gòu)，以有利于教師對(duì)問(wèn)題情境的可視化講解，以及學(xué)生對(duì)問(wèn)題情境的理解;并根據(jù)學(xué)生重構(gòu)問(wèn)題情境的行為數(shù)據(jù)構(gòu)建學(xué)生題意理解模型，以有利于教師的個(gè)性化輔導(dǎo)。

三、問(wèn)題情境仿真支持系統(tǒng)

1.相關(guān)定義

數(shù)學(xué)應(yīng)用題的問(wèn)題情境包括其組成集合（Set）及其彼此之間的關(guān)系。集合往往用事物、數(shù)量、說(shuō)明和角色四個(gè)“槽”（Slots）來(lái)表示。其實(shí)，可以用構(gòu)件來(lái)表示集合，槽就是構(gòu)件的屬性組成，其中“角色”槽所包含的開(kāi)始、轉(zhuǎn)移、結(jié)果等圖式關(guān)系就是構(gòu)件之間的情境關(guān)系。

構(gòu)件Component：構(gòu)成問(wèn)題情境的“集合”，其屬性為該集合相對(duì)應(yīng)的槽。構(gòu)件包括系列情境方法，這些方法執(zhí)行時(shí)修改屬性數(shù)據(jù)，并觸發(fā)重繪事件，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題情境動(dòng)畫等可視化效果。構(gòu)件分為簡(jiǎn)單構(gòu)件與復(fù)合構(gòu)件兩種，后者由前者組成。

情境片段 （Situation Part，S_P）：構(gòu)成問(wèn)題情境的情境片段。S_Pi由構(gòu)件及其彼此之間的情境方法S_Medthodi、執(zhí)行條件與終止條件conditioni[s，e]、開(kāi)始事件與結(jié)束事件eventi[s，e]等組成，S_Pi={Component_Listi，S_Medthodi，conditioni[s，e]，eventi[s，e]}。

問(wèn)題情境文件（Problem Stituation? Description File，PS_File）：描述了數(shù)學(xué)應(yīng)用題所在的問(wèn)題情境，是系列情境片段S_P的集合，PS_File={S_P1，…，S_Pn}。PS_File包括PS_File_T和PS_File_S兩種。前者主要面向教師類用戶的問(wèn)題情境創(chuàng)設(shè)，后者主要面向?qū)W生類用戶的問(wèn)題情境重構(gòu)。

問(wèn)題情境仿真支持系統(tǒng)P4S：一種以圖形化方式有效支持用戶定義問(wèn)題情境的軟件工具，支持教師與學(xué)生仿真或重構(gòu)系列情境片段S_Pi，并生成PS_File。P4S解釋PS_File，執(zhí)行單個(gè)情境片段S_Pi，或者串行執(zhí)行系列S_Pi，以動(dòng)畫等可視化方式展示師生仿真問(wèn)題情境的效果;通過(guò)診斷、分析學(xué)生重構(gòu)問(wèn)題情境的行為，構(gòu)建其題意理解能力模型，以有利于教師對(duì)該學(xué)生的個(gè)性化輔導(dǎo)。P4S包括教師端和學(xué)生端。教師端的輸入為應(yīng)用題題目，輸出為PS_File_T;學(xué)生端根據(jù)PS_File_T初始化仿真環(huán)境，支持學(xué)生類用戶參與、重構(gòu)問(wèn)題情境。其工作示意圖如圖1所示。

2.功能結(jié)構(gòu)與關(guān)鍵模塊

P4S提供了豐富的構(gòu)件，以構(gòu)件組裝的方式有效支持用戶仿真問(wèn)題情境，使用戶不再陷入煩瑣的技術(shù)陷阱。其主要構(gòu)成有仿真構(gòu)件庫(kù)Component_DB、動(dòng)畫庫(kù)Animation_DB、情境編輯模塊PS_Edit、情境仿真腳本語(yǔ)言xSSL#與PS_File、領(lǐng)域知識(shí)庫(kù)、學(xué)生題意理解能力模型構(gòu)建模塊UP_SM等等。情境編輯模塊PS_Edit通過(guò)調(diào)用P4S核心部分，為用戶圖形化情境編輯提供支持。P4S功能結(jié)構(gòu)如圖2所示。

（1）仿真構(gòu)件庫(kù)Component_DB

Component_DB是面向數(shù)學(xué)應(yīng)用題領(lǐng)域的一系列仿真構(gòu)件的集合，參考Mayer的8個(gè)族、47個(gè)類及其變式，以及華師一附中光谷分校的動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)角、鐘表問(wèn)題等設(shè)計(jì)而成。例如：可從11類時(shí)間效率-行程問(wèn)題、6類鐘表問(wèn)題中提取出主要仿真構(gòu)件“行程角色”（包括人、汽車、自行車等）、鐘表的“表盤”等。Componenti包括屬性、方法與事件，可描述為：Componenti={ID，Type，Arr_List，Method_List，Event_List，Description}。

其中Arr_List主要描述Componenti的屬性及屬性值，例如“行程角色”的屬性包括行程開(kāi)始時(shí)間、方向（A→B或者A←B）、速度等，鐘表屬性包括表盤、刻度的顯示，秒針、分針與時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的關(guān)系，以及初始轉(zhuǎn)動(dòng)速度、初始時(shí)間等。Method_List就是Componenti所應(yīng)具備的方法列表，例如“行程角色”沿線段A→B移動(dòng)、鐘表時(shí)針與分針的轉(zhuǎn)動(dòng)等。Event_List響應(yīng)用戶鼠標(biāo)鍵盤等交互信息，例如：鐘表初始時(shí)間設(shè)置時(shí)的按鈕點(diǎn)擊、屬性（“槽”）值的編輯等。

（2）動(dòng)畫庫(kù)Animation_DB

Animation_DB是實(shí)現(xiàn)問(wèn)題情境中動(dòng)畫等可視化效果的方法集，采用增量更新的方法設(shè)計(jì)，通過(guò)PS_Edit的調(diào)用，可以有效使對(duì)象“動(dòng)”起來(lái)。動(dòng)畫庫(kù)為不同構(gòu)件所共享，因此在系統(tǒng)架構(gòu)設(shè)計(jì)方面，動(dòng)畫庫(kù)不能作為構(gòu)件的方法集，而必須作為獨(dú)立的模塊供構(gòu)件調(diào)用。

Animation_DB的方法集主要包括：①屬性之間常見(jiàn)圖式關(guān)系的實(shí)現(xiàn)，例如移入、移出、整體與部分等。②構(gòu)件方法的實(shí)現(xiàn)，例如行程問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)等問(wèn)題中“動(dòng)點(diǎn)”沿一定軌跡的移動(dòng);鐘表問(wèn)題、動(dòng)角問(wèn)題中“角”的旋轉(zhuǎn)及其“角度”的變化;邏輯坐標(biāo)與物理坐標(biāo)之間的映射等。其中動(dòng)點(diǎn)“移動(dòng)”的方法Point_Move需要計(jì)算移動(dòng)距離Distance在Path上的映射、計(jì)算出動(dòng)點(diǎn)新的坐標(biāo);參數(shù) Path為該動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)的路徑，其類型包括垂線、水平線、斜線、折線、弧線等。Point_Move函數(shù)體偽代碼如表1所示。

（3）xSSL#與PS_File文件

xSSL#（xml-based Situation Simulation? Language Sharp，xSSL#）是一種基于xml的情境仿真腳本語(yǔ)言，用“+、-、×、/”等常規(guī)運(yùn)算符、 [id.屬性|方法]等方式來(lái)描述環(huán)境參數(shù)、構(gòu)件屬性，及構(gòu)件之間的情境關(guān)系等。PS_File是由xSSL#語(yǔ)言描述的問(wèn)題情境仿真文件，由PS_Edit自動(dòng)生成，也可由用戶編寫，其屬性Type包含T和S兩種。PS_File_T主要包括Environment和Teacher兩部分;其中Environment描述了教師對(duì)畫布等全局構(gòu)件、參數(shù)的設(shè)置，Teacher描述了教師對(duì)情境片段S_Pi的創(chuàng)設(shè);PS_File_S在PS_File_T基礎(chǔ)上，增加節(jié)點(diǎn)Student，描述了學(xué)生對(duì)S_Pi的重構(gòu)，其構(gòu)成類似于Teacher。Teacher是學(xué)生重構(gòu)問(wèn)題情境的目標(biāo)，以及評(píng)價(jià)學(xué)生重構(gòu)問(wèn)題情境質(zhì)量的判斷依據(jù)。

（4）情境編輯模塊PS_Edit

PS_Edit主要支持用戶通過(guò)圖形化界面，對(duì)構(gòu)件進(jìn)行組裝，并調(diào)用封裝在構(gòu)件庫(kù)中的構(gòu)件函數(shù)，以及動(dòng)畫庫(kù)中的“情境函數(shù)”，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題情境仿真編程。PS_Edit使用戶將注意力集中在問(wèn)題情境描述上，而不被編程語(yǔ)言和算法所影響。該部分包括教師端PS_Edit_T和學(xué)生端PS_Edit_S。PS_Edit_T的輸入為應(yīng)用題本身，輸出為PS_File_T。PS_Edit_S的輸入為PS_File_T，輸出為PS_File_S。PS_Edit工作示意圖如圖3所示。

PS_Edit包括圖形化情境編輯、情境實(shí)現(xiàn)、學(xué)生重構(gòu)行為診斷等。學(xué)生重構(gòu)行為診斷模塊把PS_Edit_S中的Student節(jié)點(diǎn)所描述的“源”情境與Teacher節(jié)點(diǎn)中相應(yīng)的“目標(biāo)”情境進(jìn)行匹配，以對(duì)學(xué)生重構(gòu)行為進(jìn)行提示、檢錯(cuò)與糾錯(cuò)。情境實(shí)現(xiàn)部分主要解釋PS_File中各情境片段S_Pi，當(dāng)滿足條件conditioni[s]時(shí)，生成Component_Listi、執(zhí)行一次eventi[s]，循環(huán)執(zhí)行S_Medthodi，修改相關(guān)構(gòu)件屬性數(shù)據(jù)，并通知構(gòu)件重繪以實(shí)現(xiàn)情境仿真效果;當(dāng)滿足條件conditioni[e]時(shí)，執(zhí)行eventi[e]，并停止運(yùn)行S_Pi。情境實(shí)現(xiàn)部分運(yùn)行代碼如表2所示。

圖形化情境編輯主要功能包括：①全局參數(shù)的設(shè)置，例如畫布大小、時(shí)間與空間比例尺等。②窗口管理，有工具欄窗口、屬性設(shè)置面板窗口、情境管理窗口、仿真預(yù)覽窗口、仿真實(shí)現(xiàn)窗口，構(gòu)件拖放、刪除、選擇等操作。③構(gòu)件屬性設(shè)置，通過(guò)智能屬性窗口等，識(shí)別、編輯不同構(gòu)件的屬性值等。④情境關(guān)系設(shè)置，設(shè)置構(gòu)件屬性之間的圖式，例如移入、移出;行程問(wèn)題、動(dòng)點(diǎn)等問(wèn)題中動(dòng)點(diǎn)“動(dòng)”的策略設(shè)置等。一個(gè)行程問(wèn)題的PS_Edit界面如圖4所示，用戶可以從工具欄中選擇“動(dòng)點(diǎn)”，在編輯區(qū)定義問(wèn)題情境。

（5）其它模塊

領(lǐng)域知識(shí)庫(kù)（Domain_DB）根據(jù)數(shù)學(xué)應(yīng)用題領(lǐng)域知識(shí)設(shè)計(jì)而成的數(shù)據(jù)庫(kù)，包括定義、公式等。例如距離與速度、時(shí)間的關(guān)系，分解因式、提取公因數(shù)、最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的算法規(guī)則等。

學(xué)生題意理解能力模型構(gòu)建模塊支持收集學(xué)生重構(gòu)問(wèn)題情境過(guò)程中的行為數(shù)據(jù)，并運(yùn)用BNT-SM、DINA等算法進(jìn)行分析，構(gòu)建UP_SM。

輔助功能主要包括用戶行為數(shù)據(jù)的存取、PS_File的動(dòng)態(tài)裝載與卸載等。前者由用戶以圖形化方式調(diào)用，以便利存取其重構(gòu)問(wèn)題情境的行為數(shù)據(jù)。后者通過(guò)在newDomain中動(dòng)態(tài)加載PS_File，以實(shí)現(xiàn)情境仿真;通過(guò)卸載newDomain，以釋放相關(guān)資源，提高P4S性能。

四、P4S的應(yīng)用

以如下行程問(wèn)題為例：甲、乙二人在400米長(zhǎng)的環(huán)形跑道上練習(xí)自行車，甲的速度比乙的速度快，當(dāng)他們都從某處同時(shí)出發(fā)背向行駛時(shí)，每隔40秒鐘就相遇一次，同向行駛時(shí)，每隔6分40秒相遇一次，求甲、乙兩人騎車的速度。

傳統(tǒng)的教學(xué)方式中教師往往以“口頭講解+繪制示意圖”的方式進(jìn)行。而P4S系統(tǒng)支持教師通過(guò)仿真動(dòng)畫進(jìn)行講解，仿真界面如圖5所示，整個(gè)PS_Edit過(guò)程分為兩個(gè)情境片段S_P1（同向而行）和S_P2（背向而行），教師設(shè)置各情境片段中仿真構(gòu)件Componenti屬性值與彼此之間的情境關(guān)系，由系統(tǒng)生成PS_File_T文件。學(xué)生可以通過(guò)執(zhí)行PS_File_T來(lái)觀看問(wèn)題情境動(dòng)畫，同時(shí)可根據(jù)PS_File_T對(duì)問(wèn)題情境進(jìn)行重構(gòu)。重構(gòu)界面如圖5所示。

本文以某小學(xué)10名教師以及五年級(jí)50名學(xué)生作為調(diào)查對(duì)象，采用問(wèn)卷調(diào)查法測(cè)試其對(duì)該系統(tǒng)的接受程度。問(wèn)卷共15道題，包括功能、操作便利性、使用效果等指標(biāo)，主要從實(shí)用性、滿意度兩個(gè)方面展開(kāi)，采用用來(lái)量化滿意狀態(tài)的5級(jí)量表即利克特量表進(jìn)行分析。問(wèn)卷回收95份，回收率為95%，有效數(shù)為92份，有效率為96.8%。調(diào)查結(jié)果如表3所示，可以看出：實(shí)用性和滿意度的均值都接近4分且標(biāo)準(zhǔn)差偏低，說(shuō)明師生一致認(rèn)為該系統(tǒng)對(duì)學(xué)生理解題意是有幫助的，且愿意使用該系統(tǒng);同時(shí)，教師對(duì)其實(shí)用性和滿意度的均值比學(xué)生高，說(shuō)明教師更接受該系統(tǒng)。該調(diào)查表明：師生對(duì)P4S接受程度整體偏高，認(rèn)為該系統(tǒng)有利于學(xué)生理解題意。

五、結(jié)論

理解問(wèn)題情境是解題的關(guān)鍵，然而對(duì)廣大中小學(xué)生來(lái)說(shuō)，問(wèn)題情境的理解是難以逾越的鴻溝。從仿真角度對(duì)問(wèn)題情境展開(kāi)研究，是輔助教師講解問(wèn)題情境、學(xué)生理解問(wèn)題情境的有效途徑。本文提出一種面向數(shù)學(xué)應(yīng)用題的問(wèn)題情境仿真支持系統(tǒng)P4S，支持廣大師生對(duì)問(wèn)題情境進(jìn)行個(gè)性化仿真處理。應(yīng)用表明該系統(tǒng)有利于廣大中小學(xué)學(xué)生更形象逼真地理解數(shù)學(xué)應(yīng)用題問(wèn)題情境與題意，進(jìn)而有助于學(xué)生表征、解決應(yīng)用題。

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（編輯：王天鵬）