基于采樣控制的時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步

(山東科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 山東 青島 266590)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)由于其優(yōu)越的學(xué)習(xí)、聯(lián)想記憶及高速尋找優(yōu)化解的能力，被廣泛應(yīng)用于模式識別、圖像處理、自動控制及組合優(yōu)化等各個工程領(lǐng)域[1-2]。然而，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的大規(guī)模集成電路實現(xiàn)過程中，由于受到運算放大器有限的切換速度的影響，神經(jīng)元之間的信息傳遞存在時滯現(xiàn)象。時滯的存在往往會引起系統(tǒng)的振蕩，甚至導(dǎo)致系統(tǒng)的發(fā)散和不穩(wěn)定。因此，研究時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)具有重要的理論意義與實際價值。另一方面，自Pecora 和 Carroll[3]開創(chuàng)性地提出并在電子電路上實現(xiàn)了兩個混沌系統(tǒng)的驅(qū)動-響應(yīng)同步以來，同步控制引起了國內(nèi)外學(xué)者的極大興趣[4-7]，許多有效的控制方法被相繼提出，包括狀態(tài)反饋控制[10]、耦合控制[11]、自適應(yīng)控制[7]、脈沖控制以及采樣控制[13-15]等。

然而，由于受網(wǎng)絡(luò)帶寬的限制，上述傳統(tǒng)的點對點控制方式易導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)發(fā)生擁塞和丟包等現(xiàn)象。隨著通信技術(shù)和計算機技術(shù)的發(fā)展及其在控制系統(tǒng)中的不斷應(yīng)用，網(wǎng)絡(luò)化控制方法被提出并得到了廣泛的應(yīng)用[16]。網(wǎng)絡(luò)化控制是一種將被控對象、傳感器、采樣器、控制器和執(zhí)行器通過共享信息網(wǎng)絡(luò)連接起來進行信息交換的控制方法，它可以有效地降低數(shù)據(jù)包的傳輸次數(shù)，節(jié)省有限的帶寬。采樣控制是網(wǎng)絡(luò)化控制的重要手段之一, 可以顯著降低數(shù)據(jù)包的傳輸頻率。目前采樣控制的研究方法主要有三種，即離散化方法[13]、脈沖模型法[14]和輸入延遲法[15]。輸入延遲法由Fridman提出[15]，其本質(zhì)思想為：首先將采樣控制系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為具有輸入延遲的連續(xù)系統(tǒng)，然后通過建立一種新的李雅普諾夫泛函，來分析被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

事實上，采樣控制系統(tǒng)本質(zhì)上是一類時間依賴的切換系統(tǒng)，傳統(tǒng)的時間不依賴的Lyapunov泛函方法不能很好地反映系統(tǒng)的這種切換特性，且得到的同步判據(jù)保守性較高。為了克服這一缺點，本研究構(gòu)造了時間依賴的Lyapunov泛函。為了節(jié)約網(wǎng)絡(luò)資源，降低信號的傳輸頻率，在采樣控制框架下，利用時間依賴的Lyapunov泛函來研究驅(qū)動-響應(yīng)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問題。首先，采樣控制能夠減少計算負擔，提高網(wǎng)絡(luò)資源的有效利用率。與傳統(tǒng)的連續(xù)性控制相比，它是實現(xiàn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步的一種經(jīng)濟有效的手段；其次，本文采用的分析方法是基于具有自由矩陣的Lyapunov泛函和積分不等式放縮技術(shù)，其中，構(gòu)造的Lyapunov泛函是時間依賴的，能夠充分利用采樣區(qū)間上的狀態(tài)信息。

本研究在輸入延遲法的框架下，研究了周期采樣控制下驅(qū)動-響應(yīng)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題。結(jié)構(gòu)如下：第一部分，建立驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型并設(shè)計采樣控制器；第二部分，通過構(gòu)造時間依賴的Lyapunov泛函并結(jié)合線性矩陣不等式技術(shù)建立保證誤差系統(tǒng)取得指數(shù)同步的充分條件；第三部分，通過數(shù)值仿真驗證了所設(shè)計的采樣控制器的有效性及所建立的指數(shù)同步判據(jù)的正確性。第四部分，總結(jié)并展望下一步研究工作。

1 問題的提出

1.1 模型介紹

考慮以下驅(qū)動-響應(yīng)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

(1)

(2)

為了保證驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)(1)和(2)解的唯一性，激活函數(shù)fj(·)滿足如下假設(shè)：

假設(shè)1.1激活函數(shù)fi(x(t)),(i=1,2,…,n)是單調(diào)非減的，且滿足Lipschitz條件，即存在正常數(shù)li，使得對任意的u,v有

定義系統(tǒng)的同步誤差為e(t)=y(t)-x(t)，因此得到下面的誤差系統(tǒng)：

(3)

其中：g(e(t))=f(y(t))-f(x(t))，g(e(t-τ(t)))=f(y(t-τ(t)))-f(x(t-τ(t)))。

1.2 控制器的設(shè)計

采樣控制器u(t)設(shè)計為

u(t)=-Ke(tk),tk≤t

其中K是待求的反饋控制增益。假設(shè)采樣周期為h，則h=tk+1-tk。

u(t)=-Ke(t-d(t)),tk≤t

(4)

將設(shè)計的控制器(4)代入到誤差系統(tǒng)(3)中，可得如下閉環(huán)系統(tǒng)：

(5)

注1：為方便誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，引入虛擬的輸入延遲d(t)=t-tk。通過這種手段，可以將離散的誤差信號e(tk)轉(zhuǎn)化為連續(xù)的誤差信號e(t-d(t))，從而形式上將誤差系統(tǒng)(3)在采樣區(qū)間[tk,tk+1)上表示為一個連續(xù)系統(tǒng)。

定義1.1[7]稱驅(qū)動-響應(yīng)時滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(1)和(2)是指數(shù)同步的，如果存在常數(shù)α>0,?≥1，使得

成立，其中φ(s)=(φ1(s),φ2(s),…,φn(s))T和φ(s)=(φ1(s),φ2(s),…,φn(s))T分別是驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的初始條件。

接下來，通過引入時間依賴的李雅普諾夫泛函，并結(jié)合自由權(quán)矩陣方法，給出保證驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)(1)-(2)取得指數(shù)同步的判據(jù)，同時建立保證驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)指數(shù)同步的反饋控制器的設(shè)計方法。

2 指數(shù)同步判據(jù)

定理2.1對于給定的正常數(shù)h,α,τ,μ和反饋增益矩陣K，如果存在正定矩陣Pi(i=1,2,3)，對稱矩陣Λ1,Λ2和任意矩陣Qi(i=1,2,3),R1,R2,X,X1，滿足下面的LMIs

(6)

(7)

(8)

V1(t)=eT(t)P1e(t)，

對Vi(t)(i=1,2,3,4)關(guān)于t求導(dǎo)得

綜上可得

-(1-μ)e-2ατeT(t-τ(t))P2e(t-τ(t))

+[2α(h-d(t))-1] [eT(t)(-X+X1)e(t-d(t))

(9)

同時，根據(jù)自由權(quán)矩陣方法，存在n×n維矩陣Qi(i=1,2,3),R1,R2使得下面等式成立

(10)

(11)

另外，因為函數(shù)g(e(t))滿足Lipschitz條件，因此，存在對角矩陣L=diag(l1,l2,…,ln)和對角正定矩陣Λ1>0，Λ2>0使得下面的不等式成立

2gT(e(t))Λ1Le(t)-2gT(e(t))Λ1g(e(t))≥0,

(12)

2gT(e(t-τ(t)))Λ1Le(t-τ(t))-2gT(e(t-τ(t)))Λ1g(e(t-τ(t)))≥0。

(13)

因此，由表達式(9)～(13)可得

(14)

因此，當t∈[tk,tk+1)時，由(14)可得

而當t=0時，有

進一步有

由上式可得

接下來根據(jù)定理2.1來求解使得誤差系統(tǒng)(3)取得指數(shù)穩(wěn)定的反饋增益矩陣K的設(shè)計。

(15)

(16)

(17)

注2：本研究得到的同步結(jié)果是延遲依賴的，與延遲不依賴的同步結(jié)果相比，其保守性低，且在實際工程中可以通過求解LMIs計算出延遲允許的最大值，方便其在實際工程中的應(yīng)用。

3 仿真算例

例1考慮具有2個神經(jīng)元的驅(qū)動- 響應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(1)和(2)，其中

圖1 驅(qū)動系統(tǒng)的混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractor of the drive system

圖2 響應(yīng)系統(tǒng)的混沌吸引子Fig. 2 Chaotic attractor of the response system

圖3 誤差系統(tǒng)e(t)和采樣數(shù)據(jù)e(tk)的軌跡Fig. 3 The trajectories of the error system and the sampled data

例2考慮具有2個神經(jīng)元的驅(qū)動系統(tǒng)

圖4 驅(qū)動系統(tǒng)的混沌吸引子Fig. 4 Chaotic attractor of the drive system

圖5 響應(yīng)系統(tǒng)的混沌吸引子Fig. 5 Chaotic attractor of the response system

圖6 誤差系統(tǒng)e(t)和采樣數(shù)據(jù)e(tk)的軌跡Fig. 6 The trajectories of the error system and sampled data

根據(jù)定理2.2可得，驅(qū)動系統(tǒng)(1)和響應(yīng)系統(tǒng)(2)在控制器(4)的作用下達到指數(shù)同步。

4 結(jié)論

基于采樣控制研究了具有時變時滯的混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問題。在輸入延遲法的框架下，通過設(shè)計采樣控制器并引入時間依賴的李雅普諾夫泛函，應(yīng)用自由權(quán)矩陣方法和線性矩陣不等式技術(shù)，建立保證驅(qū)動-響應(yīng)系統(tǒng)指數(shù)同步的LMI準則，該準則與采樣周期和同步速率相關(guān)。本文設(shè)計的控制器能夠在減少信息傳輸和節(jié)省通信資源的同時保持系統(tǒng)同步性能。最后，數(shù)值仿真實驗驗證了所得結(jié)果的可行性。另外，本研究結(jié)果的保守性表現(xiàn)為：為了方便解耦，在定理2中對兩個變量做了相關(guān)性的假設(shè)，這相當于減少了自由矩陣的個數(shù)，因此，可能降低了LMIs可行解的范圍。下一步擬通過引入更多的自由矩陣或利用新的不等式技術(shù)來降低結(jié)果的保守性。