多機械臂系統(tǒng)無模型自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步控制

(中國石油大學(xué)(華東)化學(xué)工程學(xué)院，山東 青島 266580)

隨著工業(yè)4.0和中國制造2025戰(zhàn)略的提出，生產(chǎn)制造業(yè)朝著數(shù)字化、智能化快速發(fā)展。而機械臂在制造業(yè)中有著重要的地位，多種操作任務(wù)都需要機械臂通過相互協(xié)作才能完成[1-3]。人們往往無法獲取機械臂所有精確的動力學(xué)參數(shù)，難以為其建立準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型[4-5]。并且機械臂在操作過程中還存在各種干擾等不確定因素，這就使其數(shù)學(xué)模型更加偏離實際系統(tǒng)。因此，機械臂同步控制的關(guān)鍵就在于其精確系統(tǒng)模型的建立以及對外界干擾的估計和補償，其中還需考慮各子系統(tǒng)之間的耦合關(guān)系[6]。

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對非線性系統(tǒng)具有極好的學(xué)習(xí)能力，因此對于機械臂這種多輸入多輸出的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法已經(jīng)有一定的研究和應(yīng)用。Cansever[7]針對三連桿機械臂設(shè)計了一種基于徑向基函數(shù)(radical basis fanction，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模糊滑?？刂破鳎渲蠷BF徑向基函數(shù)(radical basis fanction，RBF)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于計算系統(tǒng)動力學(xué)所要求的等效控制ueq，模糊邏輯則用于調(diào)整滑?？刂破髟鲆妗ｎ櫫x坤等[8]基于自回歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和自適應(yīng)動態(tài)面方法設(shè)計了針對柔性關(guān)節(jié)機械臂的控制器，使得柔性關(guān)節(jié)的軌跡跟蹤精度顯著提高。Tang等[9]針對機械臂系統(tǒng)的強非線性和參數(shù)不確定性問題提出了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)PID控制器，其中PID控制器參數(shù)和雅克比矩陣采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行調(diào)節(jié)和在線識別[9]。董君等[10]針對機械臂軌跡運動誤差的問題，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與非線性積分滑模相結(jié)合設(shè)計了控制器，提高了定位精度，并與傳統(tǒng)控制方法進行了對比。乃永強等[11]采用極限學(xué)習(xí)機對單隱層前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隱層節(jié)點和權(quán)重系數(shù)選擇進行優(yōu)化，提高了學(xué)習(xí)速度，對剛性機械臂系統(tǒng)不確定性進行逼近，保證了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。Kumar等[12]基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對結(jié)構(gòu)不確定性進行離線訓(xùn)練，設(shè)計了一種針對冗余機械臂的自適應(yīng)軌跡跟蹤控制器，并利用自適應(yīng)控制器對非結(jié)構(gòu)不確定性和網(wǎng)絡(luò)建模誤差的邊界進行了估計。

雖然目前神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在機械臂控制中已經(jīng)取得了一定成果，但大多只用于對系統(tǒng)不確定項或外界干擾的估計。而在系統(tǒng)極為復(fù)雜難以建模或全部參數(shù)都未知的情況下，尚無較好的控制方法。本研究首先對機械臂任務(wù)空間動力學(xué)模型進行簡單分析，運用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對模型重力、哥氏力等分別獨立進行建模和在線學(xué)習(xí)，并基于圖論原理定義了各機械臂之間的耦合關(guān)系，根據(jù)滑?？刂品椒ㄔO(shè)計出一種新的無模型自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步控制算法。所設(shè)計的同步控制器不僅具有較強的魯棒性，而且不依賴受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。

圖1 多機械臂系統(tǒng)模型Fig. 1 Multiple robotic manipulators system model

1 機械臂動力學(xué)方程

假設(shè)由n個m關(guān)節(jié)串聯(lián)機械臂在同一任務(wù)空間完成操作任務(wù)，其系統(tǒng)模型如圖1所示。

取被控對象為多機械臂系統(tǒng)，根據(jù)Euler- Lagrange定理可知，在關(guān)節(jié)空間內(nèi)其動力學(xué)方程為：

(1)

由于大多數(shù)操作任務(wù)都與機械臂末端執(zhí)行器的空間位置相關(guān)，需要直接在任務(wù)空間中設(shè)計控制算法，因此需將機械臂系統(tǒng)動力學(xué)模型由關(guān)節(jié)空間轉(zhuǎn)換到任務(wù)空間中。假定任務(wù)空間有界，Jacobian矩陣是非奇異的，可以通過轉(zhuǎn)換函數(shù)和Jacobian矩陣將關(guān)節(jié)空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到笛卡爾坐標(biāo)空間中[5]：

(2)

則機械臂系統(tǒng)任務(wù)空間中的動力學(xué)模型為：

(3)

2 機械臂神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模

2.1 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種結(jié)構(gòu)簡單、訓(xùn)練高效的前饋式神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，被廣泛應(yīng)用于模式識別和非線性函數(shù)逼近等領(lǐng)域[13-15]。

圖2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖Fig. 2 RBF neural network structure

RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法可以表示為：

(4)

2.2 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模

考慮其中任意一個機械臂子系統(tǒng)，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對其動力學(xué)各部分分別進行建模。由于機械臂轉(zhuǎn)動慣量矩陣Mix(q)和重力矩陣Gix(q)僅是q的函數(shù)，因此采用靜態(tài)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模如下[16]：

其中：mxkj、gxk分別為Mix(q)、Gix(q)中的元素，k、j分別表示矩陣的行和列，l表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點；θkjl、βkl∈R分別為mxkj(q)和gxk(q)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)重；ξkjl(q)、ηkl(q)∈R為相應(yīng)的徑向基函數(shù)，其輸入均為q；εmkj(q)、εgk(q)∈R為建模誤差，假設(shè)其有界。

根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，第i個機械臂在任務(wù)空間中的動力學(xué)方程可以寫為：

(5)

其中：

(6)

其中，{Θi}、{Αi}、{Ξi(q)}和{Ζi(z)}為GL矩陣，其元素分別為θkj、αkj、ξkj(q)和ζkj，{Βi}和{Ηi(q)}為GL向量，其元素分別為βk和ηk(q)，矩陣EMi(q)、ECi(z)∈Rm×m和EGi(q)∈Rm的元素分別為建模誤差εmkj(q)、εckj(z)和εgk(q)。

3 同步控制器設(shè)計

對機械臂之間的同步誤差進行定義，基于滑?？刂品椒ㄔO(shè)計了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步控制器。

3.1 同步誤差和交叉耦合誤差

機械臂的跟蹤誤差可以定義為：

e=xd-x。

(7)

根據(jù)圖論思想，每個機械臂之間的耦合關(guān)系可以由拉普拉斯矩陣進行定義：

L=D-A。

(8)

則機械臂系統(tǒng)的同步誤差可以寫成如下形式：

(9)

機械臂子系統(tǒng)之間的交叉耦合誤差定義為：

(10)

3.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)滑模同步控制器

定義如下形式：

(11)

滑模函數(shù)定義為如下形式：

(12)

則：

(13)

其中，Λ=ΛT>0。

將式(6)、(11)代入機械臂動力學(xué)方程(3)中可得：

(14)

設(shè)計神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步控制器如下：

(15)

將式(11)、(15)代入式(14)可得：

(16)

設(shè)計神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)律為：

(17)

定理1針對式(5)所示的機械臂系統(tǒng)，若滑模面設(shè)計如式(12)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)律為式(17)，在同步控制律(15)的控制作用下，每個機械臂都可以從任意初始位置追蹤期望軌跡，且同步誤差最終可以漸進收斂至零。

證明：選取如下Lyapunov函數(shù)：

(18)

求導(dǎo)可得：

(19)

(20)

(21)

即當(dāng)t→∞時，s→0。

當(dāng)s=0時，可得：

選取Lyapunov函數(shù)如下：

(22)

則：

(23)

3 機械臂同步控制Matlab仿真

3.1 機械臂及控制器參數(shù)

以兩個平面二連桿機械臂為例，設(shè)計機械臂任務(wù)空間同步控制Matlab仿真。假設(shè)每個機械臂初始位置和速度不同，但具有相同的結(jié)構(gòu)和動力學(xué)參數(shù)，動力學(xué)方程如下：

其中：

其中，pl為負載，P為機械臂參數(shù)向量，l1、l2為兩連桿的長度。

由于給定的期望軌跡一般直接在任務(wù)空間中表示，因此需要將關(guān)節(jié)角位置坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為連桿末端的笛卡爾坐標(biāo)：

機械臂Jacobian矩陣為：

則

機械臂實際有關(guān)參數(shù)如下：

在笛卡爾坐標(biāo)空間中期望軌跡設(shè)置為：

表1 控制器參數(shù)設(shè)置Tab. 1 Controller parameter setting

兩個二連桿機械臂在任務(wù)空間中的初始狀態(tài)參數(shù)為：

同步控制器參數(shù)設(shè)置見表1，拉普拉斯矩陣設(shè)置為：

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初值設(shè)為0，其他參數(shù)設(shè)置如下：

3.2 仿真結(jié)果及分析

基于上述參數(shù)的仿真結(jié)果如圖3～9所示。

多機械臂系統(tǒng)任務(wù)空間的軌跡和速度跟蹤仿真結(jié)果如圖3～5，可以看出，兩機械臂從任務(wù)空間中的不同位置出發(fā)，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步控制器(15)的作用下，大約0.8 s左右時可以同時到達預(yù)定的期望軌跡；0.4 s左右時，兩機械臂可以達到期望的運動速度。在到達期望軌跡后，兩機械臂均沿期望繼續(xù)保持同步運動，且不再發(fā)生較大波動。在第4 s時使兩機械臂的載荷增加，在增加的瞬間，機械臂會略微偏離預(yù)定軌跡，但在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)同步控制器(15)的作用下可以迅速向期望軌跡收斂。機械臂系統(tǒng)在任務(wù)空間中的仿真結(jié)果如圖4，可以看出，在到達預(yù)定軌跡前，兩機械臂首先實現(xiàn)了同步運動。

圖3 機械臂x、y方向軌跡跟蹤曲線Fig. 3 Trajectories tracking of robotic manipulators in x and y direction

通過仿真結(jié)果圖6可以看出，兩機械臂關(guān)節(jié)的輸出力矩雖在初始時刻有較大波動，但隨后即穩(wěn)定在|τ|≤40 N·m范圍內(nèi)。在第4 s載荷增加后，力矩則維持在|τ|≤90 N·m的范圍內(nèi)進行波動。機械臂神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模仿真結(jié)果如圖7，圖中分別表示了機械臂動力學(xué)方程Mx、Cx和Gx項的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模結(jié)果。 可以看出，機械臂動力學(xué)模型可以通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進行逼近，但未收斂到理想值，存在一定的建模誤差，造成這種不收斂現(xiàn)象的原因主要有兩種：一是指令信息未能達到持續(xù)激勵條件，即不足夠豐富而造成；二是除真實值外，還存在多個估計值滿足軌跡跟蹤收斂條件。但此誤差可以通過滑模魯棒項進行抵消。

圖4 任務(wù)空間中機械臂軌跡跟蹤曲線Fig. 4 Trajectories tracking of robotic manipulators in task space

通過仿真結(jié)果圖8和圖9可知，在系統(tǒng)受擾動后兩機械臂跟蹤誤差最終可以向0漸進收斂，兩機械臂同步誤差也可以在控制器作用下快速地收斂到0。即在同步控制器(15)的控制作用下，雖然在第4 s時載荷發(fā)生變化，兩機械臂依然可以實現(xiàn)同步運動并滿足操作精度要求。

綜合分析仿真結(jié)果3～9，可以得到以下結(jié)論：利用所提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步控制算法，在機械臂系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)未知和存在外界干擾的情況下，即使各子系統(tǒng)均具有較大的初始誤差，也可以使機械臂末端位置在控制器的作用下快速收斂至期望軌跡，并實現(xiàn)同步運動。

圖5 機械臂x、y方向速度跟蹤曲線Fig. 5 Velocity tracking of robotic manipulators in x and y direction

圖6 兩連桿機械臂關(guān)節(jié)驅(qū)動力矩Fig. 6 The joint driving torque of two connecting rod manipulators

圖7 機械臂動力學(xué)模型逼近Fig. 7 Manipulator dynamics model approximation

圖8 兩機械臂x、y方向跟蹤誤差Fig. 8 Tracking error of the two robotic manipulators in x and y direction

圖9 兩機械臂x、y方向同步誤差Fig. 9 Synchronization error of the two robotic manipulators in x and y direction

4 結(jié)論

針對結(jié)構(gòu)復(fù)雜難以建立準(zhǔn)確數(shù)學(xué)模型或系統(tǒng)參數(shù)未知、多變的復(fù)雜多機械臂系統(tǒng)的任務(wù)空間同步控制問題進行了研究，設(shè)計出一種新的任務(wù)空間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步控制算法。主要結(jié)論如下：

1) 對多機械臂系統(tǒng)進行動力學(xué)分析，利用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對系統(tǒng)不同動力學(xué)結(jié)構(gòu)分別進行網(wǎng)絡(luò)建模，對實際模型進行實時逼近，擺脫了數(shù)學(xué)模型的限制；

2) 考慮了各機械臂之間的耦合關(guān)系，并根據(jù)圖論思想定義了各子系統(tǒng)之間的交叉耦合誤差，在此基礎(chǔ)上設(shè)計的同步控制器可以保證系統(tǒng)在載荷發(fā)生改變等不確定情況下依然能夠?qū)崿F(xiàn)同步；

3) 結(jié)合滑?？刂圃恚岢隽艘环N任務(wù)空間中的機械臂無模型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)同步控制算法，在初始誤差較大的情況下也可以保證對期望軌跡實現(xiàn)快速跟蹤，提高了控制器的魯棒性。