關(guān)于三角代數(shù)上的廣義Engel條件

(1.沈陽航空航天大學(xué) 理學(xué)院，遼寧 沈陽 110037;2.大慶市第二十八中學(xué)，黑龍江 大慶 163000;3.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130012)

1 引言

設(shè)R是有單位元的交換環(huán)，A，B是R上的酉代數(shù)，M是一個(gè)非零(A，B)-酉雙模，則形式矩陣的集合

近些年來，關(guān)于環(huán)上的Engel條件問題越來越引起人們的注意，很多學(xué)者進(jìn)一步討論了素環(huán)以及非零素環(huán)上的Engel條件，如：Lanski[5]將文獻(xiàn)[6]中所討論的條件推廣到Engel條件[…[[d(x)，x]，x]，…，x]=[d(x)，x]k=0 (其中k是大于1的正整數(shù))，證明了若素環(huán)R的導(dǎo)子d在R一個(gè)非零理想上滿足Engel條件，則R是交換環(huán)。 文獻(xiàn)[7]證明了若特征非2的素環(huán)R上有非零導(dǎo)子d1，d2,…，dn滿足[[…[d1(U1)，d2(U2)]，…]，dn(Un)]?Z(其中Z是R的中心)，U1，U2，…，Un是R的Lie理想，則存在i∈{1，2，…，n}，使得Ui?Z。 文獻(xiàn)[8]研究了更一般的Engel條件[d(x)n(x)，xn(x)]k=0，n(x)≥1，證明了若非零素環(huán)R不含非零的詣零理想，且有導(dǎo)子d滿足Engel條件，則d=0。文獻(xiàn)[9]證明了若L是半素環(huán)R的非零左理想，d是半素環(huán)R的非零導(dǎo)子，且滿足[[[d(xt0)，xt1]，…]，xtn]=0，任意的x∈L，其中t0，t1，…，tn都是正整數(shù)，則d(L)與d(R)L生成的理想含于中心，或者d(L)=0。關(guān)于三角代數(shù)和導(dǎo)子的研究，文獻(xiàn)[10]給出了T滿足[D(x)，D(Y)]=0的導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[11-12]給出了三角代數(shù)上Lie理想的高階導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)。后幾篇文獻(xiàn)只討論了三角代數(shù)導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)。

由于三角代數(shù)不再是普通環(huán)結(jié)構(gòu)，而是矩陣形式，很多素環(huán)上的結(jié)果不再成立。本文給出了三角代數(shù)上滿足Engel條件：①[[…[[D(Xm)，Xn1]，Xn2]，…]，Xnk]=0；②[[…[[D(Xm)Xn-XpG(Xq)，Xn1]，Xn2]，…]，Xnk]=0之一的導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)，其中m，n，p，q，n1，n2，…，nk是任意的正整數(shù)。文中，還給出了幾種三角代數(shù)上導(dǎo)子為0的Engel條件。

2 主要結(jié)果

(1)

且對(duì)任意a∈A，b∈B，x∈M，有

f(ax)=dA(a)x+af(x)，f(xb)=f(x)b+xdB(b)，h(ax)=gA(a)x+ah(x)，h(xb)=h(x)b+xgB(b)。

(2)

證明:設(shè)D是T上的導(dǎo)子且形如式(1)，其中f=0。 由式(2)可知： 對(duì)任意a∈A，b∈B，x∈M，有dA(a)x=0，xdB(b)=0。又因?yàn)镸是忠實(shí)的，故dA=0，dB=0。

記[x，y]1=[x，y]，記[x，y]k=[[x，y]，y]k-1，其中k是大于1的正整數(shù)。

證明:設(shè)D，G是T的導(dǎo)子，形如式(1)，且任意X∈T都滿足廣義Engel條件。

[[…[[D(Xm)Xn-XpG(Xq)，Xn1]，Xn2]，…]，Xnk]=0。

(3)

于是由

知u=0。

于是由

得v=0。

從而

于是由

可知任意x∈M，都有f(x)=0。由引理2.1知，dA(A)=0，dB(B)=0，因此D=0。

故

于是，對(duì)任意x∈M，都有h(x)=0。由引理2.1知，gA(A)=0，gB(B)=0，因此G=0。

利用定理2.1,容易得到以下推論。

經(jīng)過直接計(jì)算，得到下面非常有用的引理。

其中

且

E0=cx-xd，Ei=[c，a]ix-x[d，b]i，i≥1。

Z(T)={a⊕b|ax=xb，x∈M}。

利用以上引理2.3可證：

證明:設(shè)D，G是T的導(dǎo)子，形如(1)式，且對(duì)任意X∈T滿足廣義Engel條件[D(X)，X]kX-X[G(X)，X]k=0。由引理2.2，有

對(duì)任意a∈A，b∈B，x∈M都成立，其中

且

D0=dA(a)x-xdB(b)，Di=[dA(a)，a]ix-x[dB(b)，b]i，i≥1。

經(jīng)過直接計(jì)算，可得

其中

0=Δ=[dA(a)，a]kx-x[gB(b)，b]k+(Δ(D)k)b-a(Δ(G)k)，

且

G0=gA(a)x-xgB(b)，Gi=[gA(a)，a]ix-x[gB(b)，b]i，i≥1，

即

(4)

式(4)中，分別取a=0，b=1，x=0和a=1，b=0，x=0，可得u=0，v=0。因此式(4)可化簡為

(5)

式(5)中取a=0，b=1。由于dA(0)=gA(0)=0，dB(1)=gB(1)=0，此時(shí)Di=Gi=0。因此，式(5)可化簡為f(x)=0對(duì)任意x∈M。 由引理2.3知dA=0，dB=0，從而D=0且式(5)可化簡為

(6)

式(6)中，取a=1，b=0由于gA(1)=0，gB(0)=0，此時(shí)Gi=0。因此式(6)可以化簡為h(x)=0對(duì)任意x∈M。由引理2.3知，gA=0，gB=0。因此G=0。

3 結(jié)論

以三角代數(shù)為背景，給出了三角代數(shù)上滿足一定Engel條件的導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)，并由三角代數(shù)矩陣形式，得到了一些三角代數(shù)上導(dǎo)子為0的Engel條件。該研究思路可為廣義二階矩陣環(huán)或上三角矩陣環(huán)上的導(dǎo)子Engel條件的討論提供一定參考。