四維自治超混沌模型及其電路實(shí)現(xiàn)

尹社會(huì),王記昌

(河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,河南 南陽 473000)

混沌是某些確定性非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)中對初始條件極端敏感的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn),是一種普遍存在的混亂無序、類隨機(jī)、難以預(yù)測且具有一定規(guī)律性的物理現(xiàn)象?；煦缱鳛橐环N復(fù)雜的非線性運(yùn)動(dòng)行為,在生物工程、復(fù)雜物理和信息學(xué)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用,并且在不斷地改變?nèi)祟悓τ诂F(xiàn)實(shí)世界的許多傳統(tǒng)看法[1]?，F(xiàn)在混沌理論系統(tǒng)的研究越來越成熟,對混沌信號的基本特性的研究成果越來越多,這些研究在圖像數(shù)據(jù)加密、信號檢測與處理、保密通信、圖像數(shù)據(jù)壓縮、高速檢索、非線性時(shí)間序列的預(yù)測、模式識(shí)別、電機(jī)控制系統(tǒng)、故障診斷等領(lǐng)域有良好的應(yīng)用前景。當(dāng)前研究的混沌電路中,如經(jīng)典Lorenz電路、蔡式電路、Chen電路等的研究都非常成熟,對新構(gòu)造的混沌系統(tǒng)的研究更多地集中在三維系統(tǒng)中[2-11],一般以非線性項(xiàng)的變化來呈現(xiàn)不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的吸引子,這類系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)相對簡單,但是在工程上許多電路的設(shè)計(jì)和搭建并不與現(xiàn)有系統(tǒng)完全一致,達(dá)不到理想的狀態(tài),許多在實(shí)際電路搭建中的誤差和干擾有很大改進(jìn)空間。目前高維混沌系統(tǒng)和超混沌系統(tǒng)電路的研究并不多[12-13],與低維混沌系統(tǒng)相比高維混沌系統(tǒng)和超混沌系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)更為復(fù)雜,有多個(gè)系統(tǒng)變量以及多個(gè)系統(tǒng)參數(shù),這些都可以用來作為密碼系統(tǒng)的各種子密鑰,算法的密鑰空間大大高于低維混沌方程構(gòu)造的密碼系統(tǒng),系統(tǒng)變量的時(shí)間序列相對于低維系統(tǒng)更加無規(guī)律,不可預(yù)測,更適系統(tǒng)合于加密。因此,研究高維混沌系統(tǒng)和超混沌系統(tǒng)具有重要的理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。另外,現(xiàn)有低維混沌系統(tǒng)一般存在系統(tǒng)各個(gè)通道電路結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜、不易于系統(tǒng)電路的維數(shù)擴(kuò)展和硬件實(shí)現(xiàn)、保密性較差等問題,這些也是目前關(guān)于混沌電路搭建過程中的關(guān)鍵問題。

我們研究一個(gè)新超混沌模型的動(dòng)力學(xué)行為等問題,并根據(jù)Multisim搭建了模塊化模擬電路,該電路結(jié)構(gòu)簡單、便于集成,對混沌系統(tǒng)在保密通信和信息處理等領(lǐng)域中的發(fā)展具有促進(jìn)作用。

1 新混沌模型的基本分析

張轉(zhuǎn)周等[14]提出了一個(gè)三維非線性混沌系統(tǒng),其數(shù)學(xué)模型為

(1)

研究基于該三維非線性模型構(gòu)建了一個(gè)新四維超混沌模型,通過在第1個(gè)方程中加入擾動(dòng)項(xiàng),并引入第4個(gè)方程。為了參數(shù)設(shè)置的方便考慮,在新系統(tǒng)中部分參數(shù)進(jìn)行了整合考慮,其數(shù)學(xué)形式為

(2)

其中:a、b、c、e均與系統(tǒng)(1)的參數(shù)相似,但是需滿足條件a>0,b>0,c>0,e>0。

1.1 Lyapunov指數(shù)和Lyapunov維數(shù)

圖1 系統(tǒng)(2)軌線的相圖Fig.1 Phase diagram of system (2) trajectory

1.2 平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

通過計(jì)算可得系統(tǒng)(2)具有唯一非原點(diǎn)的平衡點(diǎn)S(0,0,20,0),根據(jù)局部線性化方法,容易得到相應(yīng)的特征值為λ1=-1,λ2=-13.349 4,λ3=0.343 9,λ4=6.905 5。根據(jù)Routh-Hurwitz 條件,系統(tǒng)平衡點(diǎn)對應(yīng)的特征方程具有正的和負(fù)的特征值,可知此平衡點(diǎn)為一個(gè)不穩(wěn)定的指標(biāo)2鞍點(diǎn)。

1.3 吸引子的存在性和耗散性

由于微分方程組的向量場f(X)的散度為

(3)

(4)

即體積元V0在t時(shí)刻收縮為體積元V0e-(a+c+1.1)t。事實(shí)上,系統(tǒng)的軌跡最終漸近地運(yùn)動(dòng)到一個(gè)特定的零體積的極限集中,即一個(gè)吸引子上。

1.4 系統(tǒng)參數(shù)變化的影響

系統(tǒng)參數(shù)的變化對于系統(tǒng)(2)的影響決定著系統(tǒng)(2)的動(dòng)力學(xué)行為的變化。 因此通過Lyapunov指數(shù)譜圖和分岔圖的研究能夠更清楚的認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)變化特性,如圖2所示。系統(tǒng)(2)在固定其他參數(shù)的情況下研究參數(shù)e的變化對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響的Lyapunov指數(shù)譜圖,可以看出在區(qū)間[-10,-3.3]內(nèi),系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài),但其中出現(xiàn)一個(gè)尖峰使得最大Lyapunov指數(shù)接近0或大于0,即存在周期軌或短暫混沌現(xiàn)象;在區(qū)間[-3.3,5.6]內(nèi),有一個(gè)Lyapunov指數(shù)為正,說明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài),但其中也存在向下尖峰,即在e=-3附近出現(xiàn)Lyapunov指數(shù)全為負(fù)的情況,會(huì)出現(xiàn)穩(wěn)定到平衡點(diǎn)的現(xiàn)象;在區(qū)間[5.6,50]內(nèi),有2個(gè)Lyapunov指數(shù)為正,說明系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)。進(jìn)一步通過吸引子相圖進(jìn)行判斷,我們發(fā)現(xiàn)這些尖峰的存在與初值的選擇有關(guān),即在開始的一段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌線并沒有穩(wěn)定在吸引域內(nèi),所以出現(xiàn)Lyapunov指數(shù)的劇烈變化,如圖3所示。當(dāng)參數(shù)e=-3時(shí)系統(tǒng)吸引子相圖可以明顯看出,運(yùn)動(dòng)會(huì)在很短一段時(shí)間內(nèi)聚集到一個(gè)平衡點(diǎn)(圖3中用五角星標(biāo)記)附近。此時(shí)系統(tǒng)已經(jīng)具有3個(gè)平衡點(diǎn),分別為S(0,0,20,0),S±(±5.57,±3.48,0.625,±3.48)。系統(tǒng)(2)對參數(shù)e的變化分岔圖如圖4所示,結(jié)論與Lyapunov指數(shù)譜圖所得結(jié)論具有一致性。

圖2 系統(tǒng)(2)的Lyapunov指數(shù)譜圖Fig.2 Lyapunov index spectrum of system (2)

圖3 e=-3時(shí)的相圖Fig.3 Phase diagram when e=-3

2 系統(tǒng)(2)模塊化電路搭建

根據(jù)模塊化搭建電路的原則,采用線性電阻、線性電容、運(yùn)算放大器、模擬乘法器、直流電源等來設(shè)計(jì)系統(tǒng)(2)的電路。運(yùn)算放大器實(shí)現(xiàn)加減和積分運(yùn)算,模擬乘法器實(shí)現(xiàn)非線性項(xiàng)乘積運(yùn)算。實(shí)驗(yàn)時(shí)將混沌信號的輸出電平調(diào)小為適合運(yùn)算放大器進(jìn)行線性運(yùn)算的范圍,因?yàn)橄到y(tǒng)變量的變化不影響系統(tǒng)的狀態(tài)與性能,因而并不影響結(jié)論。

圖4 系統(tǒng)(2)的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of system (2)

模擬電路原理如圖5所示,由于圖5中已經(jīng)標(biāo)注了各個(gè)元件對應(yīng)的取值,這里不再重復(fù)說明。電路實(shí)現(xiàn)吸引子相圖如圖6所示,和理論計(jì)算效果非常接近,數(shù)值仿真平面相圖如圖7所示,說明新超混沌模型具有物理可實(shí)現(xiàn)性,為進(jìn)一步的應(yīng)用提供了可靠的保障。

圖5 電路原理Fig.5 Schematic circuit diagram

圖6 電路實(shí)現(xiàn)吸引子相圖(單位:V/div)Fig.6 Circuit implementation attractor phase diagram (unit:V/div)

圖7 吸引子平面相圖Fig.7 Attractor plane phase diagram

3 結(jié)論

研究提出了一個(gè)新超混沌模型,系統(tǒng)含有5個(gè)參數(shù),狀態(tài)方程中只含有2個(gè)非線性乘積項(xiàng)和1個(gè)常數(shù)項(xiàng),其余均為線性項(xiàng),結(jié)構(gòu)簡單但動(dòng)力學(xué)行為豐富。通過理論分析、數(shù)值仿真、Lyapunov指數(shù)譜、分岔圖和Poincare截面圖分析了新系統(tǒng)的基本動(dòng)力學(xué)特征,驗(yàn)證了系統(tǒng)豐富的混沌特性。該超混沌模型參數(shù)較多,系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)的參數(shù)變化范圍較大,而且可以電路實(shí)現(xiàn)。因此,上述研究結(jié)果可為該新超混沌系統(tǒng)的工程應(yīng)用以及進(jìn)一步的定性行為分析和定量分析等提供理論依據(jù),在電子測量、圖像加密以及保密通信等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價(jià)值。