三維坐標轉(zhuǎn)換算法的粗差探測比較研究

蔡 寧,黃 騰,錢 龍,夏玉國

(1.河海大學地球科學與工程學院,江蘇 南京 211100;2.中南大學地球科學與信息物理學院,湖南 長沙 410083)

大地測量坐標系的建立是大地測量學的基本任務之一[1]。新中國成立之后的幾十年以來,我國先后建立了1954年北京坐標系、1980年國家大地坐標系和CGCS2000國家大地坐標系[2]。為了實現(xiàn)已有的測繪成果在各個坐標系之間的轉(zhuǎn)換,高精度的轉(zhuǎn)換參數(shù)必不可少。以最常見的布爾莎模型為例[3],該模型包括7個參數(shù):3個平移參數(shù)、3個旋轉(zhuǎn)參數(shù)以及1個尺度參數(shù)。至少需要知道2個坐標系下的3個公共點的坐標,才能求解出這7個參數(shù)。除了布爾莎模型外,另一種考慮到系數(shù)矩陣含有誤差的模型(EIV模型)被認為是更加合理的[4-5]。不管是哪一種模型,當公共點坐標含有粗差時都會影響到轉(zhuǎn)換參數(shù)的精度,為此如何探測粗差位置并將其剔除就成為研究的熱點。常用的坐標轉(zhuǎn)換算法主要有最小二乘(LS,least squares)和整體最小二乘(TLS,total least squares),整體最小二乘又可以分為奇異值分解(SVD,singular value decomposition)和混合最小二乘(LS-TLS)。研究將粗差引入到轉(zhuǎn)換過程,通過方差比值檢驗法來比較LS、SVD和LS-TLS這3種算法的粗差探測能力,為后續(xù)的粗差剔除提供了參考。

1 三維坐標轉(zhuǎn)換的參數(shù)解法

1.1 經(jīng)典LS法求解坐標轉(zhuǎn)換7參數(shù)

在線性布爾莎模型中,通常認為3個歐拉角是微小量,將旋轉(zhuǎn)矩陣進行近似代替[6],模型可以簡化為

(1)

(2)

其中:TX、TY、TZ、ωx、ωy、ωz、k為轉(zhuǎn)換7參數(shù)。

只考慮觀測向量L的隨機誤差,則誤差方程為

L+VL=BX,

(3)

(4)

單位權(quán)中誤差為

(5)

其中:n為公共點個數(shù)。

1.2 SVD解法求解坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)

式(3)矩陣B中的元素XS,YS,ZS也是有誤差的,考慮到這一點可建立EIV模型[7],其函數(shù)模型為

L+VL=(B+eB)X,

(6)

其中:B∈R3k×t為系數(shù)矩陣；L∈R3k×1為觀測向量；X∈Rt×1為所求7參數(shù)；VL是L的隨機誤差向量;eB是B的隨機誤差向量。

(7)

其中:U為左奇異陣；V為右奇異陣；∑是由特征值組成的對角陣；當vt+1,t+1≠0時，其唯一解為

(8)

單位權(quán)中誤差為

(9)

1.3 LS-TLS解法求解坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)

LS-TLS解法將矩陣B的前3列元素視為常數(shù)項作為固定列，不做修正[8]，所以需要將系數(shù)矩陣B分成B1和B2，X也對應分成的X1和X2。

LS-TLS解法先對不含誤差的B1進行QR分解，再將Q左乘于增廣矩陣[B,L]，得到

(10)

2 方差比值檢驗法

方差比值檢驗法是吳祖海等[9]于2014年提出的一種新方法，它通過對最小二乘平差后的方差構(gòu)建統(tǒng)計量來識別和定位粗差。它的原理和主要流程如下：

(1) 對于所有公共點，建立誤差方程V(0)=BX-L。利用LS法求得轉(zhuǎn)換參數(shù)，得到初始中誤差σ(0)。

(2) 逐個刪除公共點進行檢驗，在對第i個點檢驗時，將第i對公共點刪除，構(gòu)建不含第i對點的誤差方程，計算此時的中誤差σ(i)。

(11)

(12)

對于每一組公共點構(gòu)造統(tǒng)計量[10]

(13)

Fi服從F分布，有

Fi～F1-α(r1,r2),

(14)

其中:α為顯著性水平;r1、r2為自由度。對于參與平差的n對公共點，其自由度為r=3n-7。研究將方差比值檢驗法拓展應用到3種坐標算法上，通過分析Fi的大小來進行粗差的識別。

3 實例分析

為了比較3種算法的粗差探測能力，選取文獻[11]中WGS-84坐標系和地方坐標系下的7個公共點(1～7號點)，其在2個坐標系中的坐標見表1。分別編制3種算法的Matlab程序，實驗時對4號點的X坐標分別加上1～10 cm的粗差，由于粗差不一定會使改正數(shù)V變大(見表2)，因此需要使用方差比值檢驗法來驗證，3種算法求得的Fi的結(jié)果見表3～表5。

表1 公共點在兩坐標系下坐標

表2 4號點X坐標加10 cm粗差后的VTable 2 V of Point 4 X coordinates plus 10cm gross error

表3 LS法的方差比值統(tǒng)計量Table 3 Variance ratio statistics with the LS method

注:黑體數(shù)字表示大于檢驗指標。

表4 SVD法的方差比值統(tǒng)計量Table 4 Variance ratio statistics with the SVD method

注:黑體數(shù)字表示大于檢驗指標。

例中選取顯著性水平α為0.1，即可信度為90%，通過查詢分布表可知檢驗指標F0.9(14,11)=2.17，大于檢驗指標的組別被認為是粗差導致，即粗差位于該組。分析表中數(shù)據(jù)可知，LS和LS-TLS解法在粗差為3～10 cm的組中均能很好地識別粗差位于4號點，且粗差相同時LS-TLS求得的Fi均略大于LS的，即LS-TLS的粗差探測能力略好于LS，隨著粗差的減小2種算法的粗差探測能力逐漸變?nèi)?；在粗差? cm和2 cm時，2種解法均會出現(xiàn)無法識別和識別錯誤的情況；SVD解法在粗差為6～10 cm的組中能準確定位粗差位置，在粗差為1～5 cm這幾組會出現(xiàn)無法定位或者定位錯誤的情況。

表5 LS-TLS法的方差比值統(tǒng)計量Table 5 Variance ratio statistics with LS-TLS method

注:黑體數(shù)字表示大于檢驗指標。

綜合實驗結(jié)果可知,3種算法在粗差較大時均能準確探測粗差位置,探測能力為LS-TLS最好,LS次之,SVD較差;在粗差較小時SVD無法探測粗差,LS和LS-TLS仍可以準確探測;在粗差很小時,3種算法均無法準確探測粗差。

4 結(jié)語

在使用布爾莎模型或者EIV模型求解坐標轉(zhuǎn)換7參數(shù)時,源目標坐標中如果含有粗差,會影響平差結(jié)果使得求出的參數(shù)解不正確,因此定位粗差位置并將其剔除就顯得十分重要。研究使用方差比值檢驗法對3種轉(zhuǎn)換解法的粗差探測能力進行了比較,結(jié)果表明LS和LS-TLS算法具有較好的粗差探測能力,而SVD解法的探測能力較差。值得注意的是,針對的原始坐標只有1組數(shù)據(jù)含有粗差的情況,對于多組數(shù)據(jù)均含有粗差的情況可能需要進行多次F檢驗。并且為了能更好地定位粗差,需要視情況靈活的改變α的值,對于多組數(shù)據(jù)同時含有粗差以及如何應對粗差較小的情況,將在后續(xù)的研究中進行。