非線性本構(gòu)關(guān)系下兩端固定梁的彎曲變形

曲昭霞,趙永剛,秦慧峰

(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院,甘肅 蘭州 730050)

經(jīng)典力學(xué)認(rèn)為在構(gòu)件的變形過(guò)程中材料的彈性系數(shù)是不變的,即在彈性范圍內(nèi)應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系是線性關(guān)系。實(shí)際上,材料的本構(gòu)關(guān)系并非完全是線性的。早在20世紀(jì)60年代末,研究者就注意到某些材料具有明顯的非線性本構(gòu)關(guān)系,如陶瓷、石墨、混凝土、多孔材料和一些有機(jī)材料、復(fù)合材料、軟材料等。相關(guān)的理論和實(shí)驗(yàn)研究表明材料的彈性系數(shù)在構(gòu)件的變形過(guò)程中是變化的,這一變化在主應(yīng)力正負(fù)號(hào)發(fā)生變化時(shí)最為明顯,研究者把受拉和受壓階段的彈性系數(shù)分別進(jìn)行了線性化處理,認(rèn)為在受拉和受壓階段彈性系數(shù)分別為常數(shù),由此建立了拉壓不同彈性模量理論,也稱為雙模量理論。蘇聯(lián)學(xué)者Ambartsumyan在1982年完成了第一本關(guān)于該理論的著作《不同模量彈性理論》[1]。近年來(lái),國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者針對(duì)彈性構(gòu)件進(jìn)行了大量的力學(xué)研究[2-10]。

考慮連續(xù)變化的本構(gòu)關(guān)系,認(rèn)為材料的彈性系數(shù)是應(yīng)變的函數(shù),對(duì)橫向均布載荷作用下的梁的非線性彎曲問(wèn)題展開(kāi)研究。通過(guò)數(shù)值結(jié)果討論了本構(gòu)關(guān)系的非線性參數(shù)對(duì)梁彎曲變形的影響。

1 基本方程

我們研究一具有非線性應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系的矩形截面梁的彈性彎曲問(wèn)題。梁的長(zhǎng)度為l,橫截面高度為h,寬度為b,梁上承受鉛垂方向分布載荷q的作用。基于幾何中面建立直角坐標(biāo)系Oxyz(見(jiàn)圖1),x軸為梁的軸線,y軸和z軸分別選取了矩形橫截面的水平和鉛垂對(duì)稱軸。

圖1 梁的結(jié)構(gòu)和坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Diagram of beam structure and coordinate

1.1 幾何關(guān)系

梁在發(fā)生彎曲變形時(shí),幾何中面上的軸向應(yīng)變?chǔ)?為

(1)

其中:u、w分別表示中面上的軸向和鉛垂位移。若乘子p=0,式(1)即為梁的小撓度彎曲的幾何關(guān)系,而乘子p=1時(shí)為大撓度彎曲情況。

對(duì)于非中面層上的任一點(diǎn)的變形情況,其應(yīng)變?chǔ)艦?/p>

(2)

1.2 物理方程

在研究梁的彎曲變形時(shí),假設(shè)材料的彈性模量E是應(yīng)變的函數(shù),即E=E(ε)。作為特例,研究時(shí)選取了彈性模量是應(yīng)變的線性函數(shù),即

E(ε)=E0+E1ε,

(3)

其中:E0是初始變形時(shí)材料的彈性模量;E1是材料彈性模量隨應(yīng)變線性變化的參數(shù),該參數(shù)體現(xiàn)了本構(gòu)關(guān)系的非線性特性。

梁彎曲變形時(shí),橫截面上的正應(yīng)力為

σ=E(ε)·ε=(E0+E1ε)ε=E0(ε+Erε2),

(4)

(5)

1.3 靜力學(xué)關(guān)系

當(dāng)梁上承受如圖1所示的橫向分布載荷時(shí),研究微段的平衡,得到內(nèi)力平衡方程為

(6)

(7)

2 對(duì)基本方程的無(wú)量綱化

為了計(jì)算方便,引入下列無(wú)量綱參數(shù):

(8)

無(wú)量?jī)?nèi)力的表達(dá)式為

(9)

無(wú)量綱控制方程為

(10)

位移形式的無(wú)量綱邊界條件為

3 數(shù)值求解及結(jié)果分析

圖2給出了長(zhǎng)細(xì)比δ=0.08,本構(gòu)非線性參數(shù)Er不同時(shí),兩端固定梁小撓度問(wèn)題(p=0)的中點(diǎn)撓度W(0.5)隨載荷Q變化的平衡路徑。從圖2中不同Er值的路徑曲線可以發(fā)現(xiàn),Er=0時(shí),中點(diǎn)撓度隨載荷Q的增加而線性增加；Er≠0時(shí),撓度-載荷關(guān)系不再是線性的,且在Er取正值和負(fù)值時(shí),分布在Er=0直線的兩側(cè)。當(dāng)Er>0時(shí),中點(diǎn)撓度變小,反映了梁的抗彎曲變形能力增加了;而Er<0時(shí),曲線在上方,則體現(xiàn)了梁的抗彎曲變形能力下降了,呈軟彈簧效應(yīng)。

圖3給出了Q=100,δ=0.08,本構(gòu)非線性參數(shù)Er不同時(shí),兩端固定梁的小撓度彎曲構(gòu)形和中性層的位置。其中橫坐標(biāo)x為梁軸線上的坐標(biāo)點(diǎn),縱坐標(biāo)為彎曲過(guò)程中的位移構(gòu)型和中性層位置。從圖3可以看出,梁的彎曲變形隨著Er的增大而減小,彎曲平衡構(gòu)形的拐點(diǎn)截面上無(wú)彎矩,不存在彎曲中性層,從彎曲構(gòu)形的拐點(diǎn)處,把梁分成3部分,每一部分中性層位置都有正負(fù)間連續(xù)變化。由于幾何中面軸向變形的約束,使得Er≠0時(shí)橫截面上產(chǎn)生軸向力,內(nèi)力彎矩引起中性層偏離幾何中面,軸力對(duì)中性層位置也有影響。因此,Z0=0的截面上這2種影響相互抵消。

圖2 兩端固定梁小撓度問(wèn)題的平衡路徑Fig.2 Equilibrium path of the small deflection problem of built-in beams at both ends

圖3 兩端固定梁小撓度問(wèn)題的平衡構(gòu)形和中性層位置Fig.3 Equilibrium configuration and neutral layer position in the small deflection problem of built-in beams at both ends

圖4給出了長(zhǎng)細(xì)比δ=0.08,本構(gòu)非線性參數(shù)Er不同時(shí),兩端固定梁大撓度問(wèn)題(p=1)的中點(diǎn)撓度W(0.5)隨載荷Q變化的平衡路徑。

圖4 兩端固定梁大撓度問(wèn)題的平衡路徑Fig.4 Equilibrium path of the large deflection problem of built-in beams at both ends

從圖4可以看出,在Er=0時(shí),撓度-載荷的曲線關(guān)系是非線性的,這是幾何關(guān)系非線性問(wèn)題的特性。在Er≠0時(shí)同樣有平衡路徑分布在Er=0時(shí)的兩側(cè),但Er<0時(shí)不再呈現(xiàn)軟彈簧效應(yīng)。在W(0.5)較小時(shí),大撓度問(wèn)題解與小撓度問(wèn)題解就有了明顯的差別。Q=75,Q=125時(shí)小撓度問(wèn)題與大撓度問(wèn)題解的比較見(jiàn)表1。由表1可以看出,Er>0時(shí)小撓度問(wèn)題和大撓度問(wèn)題的解相對(duì)誤差更大,于是小撓度解的適用范圍就更小。

表1 小撓度問(wèn)題解和大撓度問(wèn)題解的比較

圖5給出了在Q=100,δ=0.08,本構(gòu)非線性參數(shù)Er不同時(shí),兩端固定梁的大撓度中性層位置。其中橫坐標(biāo)x為梁軸線上的坐標(biāo)點(diǎn),縱坐標(biāo)為彎曲過(guò)程中中性層的位置。

圖5 兩端固定梁大撓度問(wèn)題的中性層位置Fig.5 Neutral layer position in the large deflection problem of built-in beam at both ends

同圖3(b)比較可以看出,由于幾何非線性的影響,中性層位置不會(huì)因?yàn)镋r的正負(fù)變化而反向,這說(shuō)明大撓度問(wèn)題中,軸向拉力對(duì)彎曲變形的影響比較大。結(jié)合表1的數(shù)值結(jié)果可以看出:對(duì)于非線性本構(gòu)關(guān)系材料的梁的彎曲問(wèn)題,即使在變形較小時(shí)也應(yīng)采用大撓度方程求解。

4 結(jié)論

基于非線性本構(gòu)關(guān)系研究了兩端固定梁在橫向均布載荷作用下的彎曲問(wèn)題。假設(shè)材料彈性模量是應(yīng)變的線性函數(shù),運(yùn)用數(shù)值方法求解了該支承條件下的小撓度彎曲和大撓度彎曲的數(shù)值結(jié)果。結(jié)果表明:

(1) 本構(gòu)關(guān)系的非線性參數(shù)對(duì)梁的彎曲變形有影響。彎曲變形與Er的符號(hào)有關(guān)且隨著Er的增大而減小。

(2) 由于幾何中面軸向變形的約束,使得Er≠0時(shí)橫截面上產(chǎn)生軸向力,梁的中性層位置發(fā)生變化,且橫截面中性層隨著Er的變化而變化。

(3) 非線性本構(gòu)關(guān)系下的彎曲問(wèn)題,應(yīng)采用大撓度問(wèn)題的方程求解。