三體隨動(dòng)跟蹤式重力衛(wèi)星姿態(tài)與無拖曳控制方法

廖 鶴，鄭多錦，趙艷彬，祝 竺，謝進(jìn)進(jìn)

(1.南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京 210016；2.上海衛(wèi)星工程研究所研發(fā)中心，上海 201109)

0 引 言

空間科學(xué)作為前沿性、創(chuàng)新性、引領(lǐng)性、挑戰(zhàn)性極強(qiáng)的科技領(lǐng)域，在國(guó)家創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)發(fā)展戰(zhàn)略進(jìn)程中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用。近年來，隨著暗物質(zhì)探測(cè)衛(wèi)星“悟空”、無拖曳技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星“太極一號(hào)”、“天琴一號(hào)”和太陽探測(cè)科學(xué)技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星“羲和號(hào)”等空間科學(xué)衛(wèi)星相繼研制與發(fā)射，極大地提升了我國(guó)空間科學(xué)在國(guó)際上的影響力[1-2]。

重力衛(wèi)星作為空間科學(xué)領(lǐng)域的重要組成部分，通過質(zhì)量塊以及測(cè)距系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)地球全局重力場(chǎng)的反演。當(dāng)前，國(guó)際上采用高低衛(wèi)衛(wèi)跟蹤模式(Satellite-to-satellite tracking in the high-low model,SST-hl)的CHAMP(Challenging minisatellite payload)、采用微波測(cè)距低低衛(wèi)衛(wèi)跟蹤模式(Satellite-to-satellite tracking in the low-low model,SST-ll)的GRACE(Gravity recovery and climate experiment)和采用重力梯度測(cè)量模式(Satellite gravity gradiometry,SGG)的GOCE(Gravity field and steady-state ocean circulation explorer)相繼發(fā)射升空，可實(shí)現(xiàn)200階靜態(tài)地球全局重力場(chǎng)的反演能力[3]。

為了進(jìn)一步提升時(shí)變地球重力場(chǎng)的反演性能，NASA正在發(fā)展下一代激光測(cè)距低低衛(wèi)衛(wèi)跟蹤重力衛(wèi)星，并發(fā)射了技術(shù)試驗(yàn)衛(wèi)星GRACE Follow-on，有效驗(yàn)證了星間高精度測(cè)距等載荷關(guān)鍵技術(shù)，歐洲航天局(ESA)也提出了下一代重力衛(wèi)星任務(wù)NGGM(Next generation satellite gravimetry mission)計(jì)劃。相比微波測(cè)距低低衛(wèi)衛(wèi)跟蹤重力衛(wèi)星，下一代激光測(cè)距低低衛(wèi)衛(wèi)跟蹤重力衛(wèi)星平臺(tái)的關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)要求更高[4-6]，如表1所示：

表1 低低衛(wèi)衛(wèi)跟蹤重力衛(wèi)星平臺(tái)關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)Table 1 Key technical indicators of SST-ll satellite platform

根據(jù)NASA和ESA公布的設(shè)計(jì)方法，下一代激光測(cè)距低低衛(wèi)衛(wèi)跟蹤重力衛(wèi)星采用的均是以衛(wèi)星本體為基準(zhǔn)的“質(zhì)量塊—衛(wèi)星本體”兩體架構(gòu)設(shè)計(jì)，并采用微推進(jìn)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)姿態(tài)與無拖曳控制。這類衛(wèi)星控制的概念最早可追溯至20世紀(jì)60年代[7-8]。在算法層面，F(xiàn)ichter等[9]提出了一種H∞回路成型姿態(tài)與無拖曳控制器；曹喜濱等[10]建立了基于干擾觀測(cè)的無阻力衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)模型，以線性矩陣不等式形式給出求解混合H2/H∞控制器的條件；Wu等[11]基于定量反饋理論提出了一種姿態(tài)與無拖曳控制器；張錦繡等[12]提出了無速度測(cè)量的無拖曳衛(wèi)星自適應(yīng)控制方法；茍興宇等[2]和李洪銀等[13]研究了天琴的無拖曳控制方法；Dang等[14]研究了一種內(nèi)編隊(duì)架構(gòu)下的控制問題；Zhang等[15]針對(duì)無拖曳衛(wèi)星設(shè)計(jì)了一種線性自抗擾控制器；楊飛等[16]基于飽和約束測(cè)量擴(kuò)張狀態(tài)濾波提出了一種無拖曳衛(wèi)星位姿自抗擾控制器。Canuto等[17]基于擴(kuò)張觀測(cè)干擾估計(jì)與補(bǔ)償控制理論，提出了一種嵌入式模型控制，Hu等[18]也基于嵌入模型控制設(shè)計(jì)了“太極一號(hào)”的無拖曳控制器，從在軌應(yīng)用來看，該方法由于具備較好的工程適用性，并可將控制器的設(shè)計(jì)與地球重力場(chǎng)恢復(fù)頻帶相匹配，當(dāng)前在軌應(yīng)用最為廣泛。

然而，由于微推進(jìn)系統(tǒng)的噴氣延遲會(huì)導(dǎo)致動(dòng)態(tài)誤差，盡管基于擴(kuò)張觀測(cè)的干擾估計(jì)與補(bǔ)償控制算法可有效保證高精度線無拖曳水平，但低帶寬的微推進(jìn)系統(tǒng)會(huì)限制姿態(tài)控制性能提升。與此同時(shí)，重力衛(wèi)星需要保證質(zhì)量塊質(zhì)心與衛(wèi)星本體質(zhì)心之間的偏移盡量重合不變，否則地球重力場(chǎng)反演就會(huì)受到耦合的科氏加速度及其基線偏差影響。雖然考慮了在軌質(zhì)心偏移校準(zhǔn)和調(diào)整技術(shù)，但任務(wù)期間由于微推進(jìn)系統(tǒng)工質(zhì)消耗會(huì)引起衛(wèi)星本體質(zhì)心的波動(dòng)[19]。

針對(duì)上述問題，根據(jù)作者團(tuán)隊(duì)近年來在非接觸衛(wèi)星平臺(tái)方面的研究基礎(chǔ)，探討了將其應(yīng)用至地球重力場(chǎng)測(cè)量中，在質(zhì)量塊跟蹤非接觸衛(wèi)星平臺(tái)模式下提升姿態(tài)與無拖曳控制性能的可行性[20]。但該模式主要以靜電懸浮加速度計(jì)為無拖曳控制環(huán)路的輸出反饋，仍然需要采用在軌質(zhì)心偏移校準(zhǔn)和調(diào)整技術(shù)。因而，本文進(jìn)一步提出了一種以質(zhì)量塊為參考基準(zhǔn)的“質(zhì)量塊—載荷艙—平臺(tái)艙”三體隨動(dòng)跟蹤式重力衛(wèi)星架構(gòu)，采用高精度非接觸洛倫茲力執(zhí)行器將整個(gè)重力衛(wèi)星分為“質(zhì)量塊—載荷艙”和“載荷艙—平臺(tái)艙”兩個(gè)隨動(dòng)跟蹤控制回路。其中，“質(zhì)量塊—載荷艙”回路采用非接觸洛倫茲力執(zhí)行器代替微推進(jìn)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)姿態(tài)與無拖曳控制，有效降低質(zhì)心波動(dòng)與執(zhí)行機(jī)構(gòu)帶來的動(dòng)力學(xué)特性不確定影響，并且?guī)響?yīng)用上的優(yōu)勢(shì)，使得質(zhì)量塊以更高精度追蹤引力線；同時(shí)構(gòu)建了一種基于帶寬參數(shù)化自適應(yīng)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合自抗擾控制方法，有效提升頻域控制性能?！拜d荷艙—平臺(tái)艙”回路類似傳統(tǒng)重力衛(wèi)星控制方法，采用微推進(jìn)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)平臺(tái)艙對(duì)載荷艙的跟蹤控制，在非接觸洛倫茲力執(zhí)行器線性域運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)避免與載荷艙的碰撞即可。

1 總體設(shè)計(jì)方法

1.1 隨動(dòng)跟蹤式總體架構(gòu)設(shè)計(jì)

“質(zhì)量塊—載荷艙—平臺(tái)艙”三體隨動(dòng)跟蹤式重力衛(wèi)星架構(gòu)如圖1所示。

圖1 三體隨動(dòng)跟蹤式重力衛(wèi)星架構(gòu)Fig.1 Architecture of the three-body close-tracking gravity satellite

該架構(gòu)在傳統(tǒng)重力衛(wèi)星設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上引入非接觸洛倫茲力執(zhí)行器[21-23]，在空間結(jié)構(gòu)上將衛(wèi)星分離為無直接物理接觸的載荷艙和平臺(tái)艙兩部分，質(zhì)量塊則置于剛性載荷艙真空腔內(nèi)。其中，有效載荷(星敏感器、激光測(cè)距系統(tǒng)、導(dǎo)航接收機(jī)等)置于載荷艙，存在動(dòng)力學(xué)干擾的單機(jī)部件(推進(jìn)器、燃料儲(chǔ)箱等)放置于平臺(tái)艙，實(shí)現(xiàn)“動(dòng)靜隔離”設(shè)計(jì)，為質(zhì)量塊提供超靜工作環(huán)境；非接觸洛倫茲力執(zhí)行器替代可變微推進(jìn)系統(tǒng)，通過其控制電流的解耦分配實(shí)現(xiàn)載荷艙的主動(dòng)超高精度姿態(tài)與無拖曳控制，并采用較低精度微推進(jìn)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)平臺(tái)艙協(xié)同載荷艙從動(dòng)避碰控制，達(dá)到“主從協(xié)同”控制效果，從而保證載荷艙具備超高精度姿態(tài)和無拖曳水平。

其中，非接觸洛倫茲力執(zhí)行器是一種高精度力控線性執(zhí)行機(jī)構(gòu)，相比微推進(jìn)系統(tǒng)，其在精度一致的情況下具有響應(yīng)快、動(dòng)態(tài)范圍大的優(yōu)點(diǎn)。當(dāng)前，非接觸洛倫茲力執(zhí)行器已在國(guó)家科技重大專項(xiàng)制程光刻機(jī)項(xiàng)目中實(shí)現(xiàn)了線性域運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)的納米級(jí)精密驅(qū)動(dòng)控制，達(dá)到國(guó)外重力衛(wèi)星微推進(jìn)系統(tǒng)的指標(biāo)水平[24]。因此，這也意味著采用非接觸洛倫茲力執(zhí)行器代替微推進(jìn)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)超高精度姿態(tài)與無拖曳控制具備可行性。

最后，隨著無線能源傳輸與無線數(shù)據(jù)傳輸技術(shù)近年來的成熟，可有效避免載荷艙與平臺(tái)艙間電纜連接帶來的振動(dòng)傳遞問題[25]，也可通過給載荷艙蓄電池充滿電再衛(wèi)星整體工作的在軌飛行模式設(shè)計(jì)降低無線傳輸?shù)母蓴_影響。因此，這也意味著這種總體架構(gòu)具備工程應(yīng)用可行性。

1.2 低低跟蹤編隊(duì)模式

當(dāng)前下一代低低跟蹤重力測(cè)量衛(wèi)星模式采用同軌道雙星編隊(duì)，基于姿態(tài)與無拖曳控制保障，通過加速度計(jì)的非保守力測(cè)量信息和星間高精度激光測(cè)距信息，實(shí)現(xiàn)地球重力場(chǎng)反演。

與傳統(tǒng)模式不同，文中架構(gòu)以質(zhì)量塊為參考基準(zhǔn)，載荷艙跟蹤質(zhì)量塊進(jìn)行姿態(tài)與無拖曳控制，平臺(tái)艙跟蹤載荷艙進(jìn)行避碰控制，使得質(zhì)量塊高精度追蹤引力線。相比傳統(tǒng)模式，該設(shè)計(jì)方法可有效降低質(zhì)心波動(dòng)引起的非保守力誤差和基線誤差的影響，直接通過星間高精度測(cè)距信息便可實(shí)現(xiàn)重力場(chǎng)的反演。文中低低跟蹤編隊(duì)模式的飛行及其參考坐標(biāo)系如圖2所示。

圖2 低低跟蹤編隊(duì)及其參考坐標(biāo)系Fig.2 SST-ll formation and its coordinate frame

在重力場(chǎng)測(cè)量任務(wù)模式下，為了保證兩星之間的激光測(cè)距精確對(duì)準(zhǔn)，定義姿態(tài)與無拖曳控制系統(tǒng)的軌道參考坐標(biāo)系為FLOF(Formation local orbit frame)坐標(biāo)系，其原點(diǎn)為SCA和SCB兩衛(wèi)星連線中點(diǎn)，Xf軸為SCA和SCB兩衛(wèi)星連線方向，Yf軸垂直于兩星與地心三點(diǎn)構(gòu)成的平面，Zf軸方向?yàn)閺牡匦闹赶騼尚l(wèi)星連線中點(diǎn)[26]。實(shí)際上，軌道參考坐標(biāo)系FLOF系相比于單星時(shí)的軌道參考坐標(biāo)系O系，繞Y軸旋轉(zhuǎn)了角度θfo。

1.3 控制策略設(shè)計(jì)

首先，為滿足地球重力場(chǎng)恢復(fù)的需求，控制系統(tǒng)頻帶定義如下：低頻段ζ0={f

圖3 三體隨動(dòng)跟蹤式重力衛(wèi)星控制系統(tǒng)Fig.3 Control system of the three-body close-tracking gravity satellite

為實(shí)現(xiàn)載荷艙的高精度姿態(tài)與無拖曳控制，“質(zhì)量塊—載荷艙”回路的測(cè)量敏感器采用重力衛(wèi)星中已成熟應(yīng)用的電容式傳感器。電容式傳感器是基于橋式測(cè)量、面積變化測(cè)量、電荷轉(zhuǎn)移測(cè)量等多種技術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。根據(jù)文獻(xiàn)[28]中的研究成果，電容式傳感器的噪聲功率譜密度在中頻段ζ1內(nèi)優(yōu)于10 nm·Hz-0.5。與此同時(shí)，非接觸洛倫茲力執(zhí)行器作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，在其線性域運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)可以提供超精密的力控性能。根據(jù)團(tuán)隊(duì)近年來的研究基礎(chǔ)，非接觸洛倫茲力執(zhí)行器的噪聲功率譜密度在中頻段ζ1內(nèi)優(yōu)于2 μN(yùn)·Hz-0.5，該指標(biāo)已達(dá)到重力衛(wèi)星配置微推進(jìn)系統(tǒng)的指標(biāo)水平[20]。

為確保非接觸洛倫茲力執(zhí)行器提供的六自由度控制輸入，設(shè)計(jì)了如圖4所示的8桿非接觸洛倫茲力執(zhí)行器對(duì)稱構(gòu)型。該構(gòu)型在保證控制系統(tǒng)可靠性和冗余性的前提下，為控制算法的設(shè)計(jì)帶來了兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)。第一，采用最小范數(shù)解耦方法可以獲得每個(gè)非接觸洛倫茲力執(zhí)行器的驅(qū)動(dòng)控制電流，該方法已被證明是全局最優(yōu)[20]；第二，激光干涉相對(duì)位置傳感器可以與非接觸洛倫茲力執(zhí)行器同時(shí)安裝，為“載荷艙—平臺(tái)艙”隨動(dòng)跟蹤控制回路提供量測(cè)信息。

圖4 8桿非接觸洛倫茲力執(zhí)行器對(duì)稱構(gòu)型Fig.4 Symmetrical configuration with 8 non-contact Lorentz actuators

最后，“載荷艙—平臺(tái)艙”隨動(dòng)跟蹤控制回路的主要目的是為了給載荷艙提供無線電源和通信保障，不需要“質(zhì)量塊—載荷艙”隨動(dòng)跟蹤控制回路那樣嚴(yán)格，因此，只需要采用較低精度微推進(jìn)系統(tǒng)在非接觸洛倫茲力執(zhí)行器的線性域運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)平臺(tái)艙跟蹤載荷艙的避碰控制即可。

2 動(dòng)力學(xué)建模

2.1 “質(zhì)量塊—載荷艙”回路動(dòng)力學(xué)建模

“質(zhì)量塊—載荷艙”回路動(dòng)力學(xué)模型選擇J2000.0地心赤道慣性坐標(biāo)系為慣性參考系，質(zhì)量塊和載荷艙本體坐標(biāo)系與各自的質(zhì)量分布重合，符合笛卡爾右手準(zhǔn)則。由于真空腔內(nèi)質(zhì)量塊的理想軌道運(yùn)動(dòng)為跟蹤引力線，但考慮到真空腔的設(shè)計(jì)會(huì)產(chǎn)生殘余加速度，并且存在質(zhì)量塊與載荷艙之間的耦合干擾加速度，因此，根據(jù)牛頓定律，質(zhì)量塊的軌道運(yùn)動(dòng)方程可以寫為：

(1)

式中：rti和gti分別為質(zhì)量塊在J2000.0地心赤道慣性坐標(biāo)系下的位置和引力加速度；Cti為質(zhì)量塊本體坐標(biāo)系到J2000.0地心赤道慣性坐標(biāo)系的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣；fres為真空腔內(nèi)的殘余加速度，主要包含輻射效應(yīng)、殘余氣阻加速度等；fcpt為質(zhì)量塊與載荷艙之間的耦合干擾加速度，主要包含自引力與導(dǎo)電金絲引起的耦合干擾加速度。

與上式相似，載荷艙在J2000.0地心赤道慣性坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)可描述為：

(2)

式中：rpi和gpi分別為載荷艙在J2000.0地心赤道慣性坐標(biāo)系下的位置和引力加速度；fenp為載荷艙的環(huán)境干擾加速度；fconp為非接觸洛倫茲力執(zhí)行器的控制加速度；mt和mp分別表示質(zhì)量塊和載荷艙的質(zhì)量；Cpi為載荷艙本體坐標(biāo)系到J2000.0地心赤道慣性坐標(biāo)系的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣；Cpt表示載荷艙本體坐標(biāo)系到質(zhì)量塊本體坐標(biāo)系的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣。

定義質(zhì)量塊的質(zhì)心和載荷艙的質(zhì)心在J2000.0地心赤道慣性坐標(biāo)系下的相對(duì)位置為ρi，則可得到：

ρi=rpi-rti

(3)

對(duì)式(3)求兩次微分：

(4)

將式(1)和式(2)代入式(4)得：

(5)

式中：fggi=gpi-gti為J2000.0地心赤道慣性坐標(biāo)系下的重力梯度加速度。

則J2000.0地心赤道慣性坐標(biāo)系下的相對(duì)位置ρi與載荷艙本體坐標(biāo)系下的相對(duì)位置ρp之間的時(shí)間導(dǎo)數(shù)關(guān)系可以寫成：

(6)

(7)

式中：ωpi為載荷艙本體坐標(biāo)系相對(duì)于J2000.0地心赤道慣性坐標(biāo)系的角速度。

將式(5)代入式(7)，可得到載荷艙本體坐標(biāo)系下“質(zhì)量塊—載荷艙”回路平動(dòng)跟蹤動(dòng)力學(xué)模型為：

(8)

(9)

式中：fggp為載荷艙本體坐標(biāo)系下的重力梯度加速度；μ為地球引力常數(shù)；[c1c2c3]T為載荷艙質(zhì)心與地心單位矢量在載荷艙本體坐標(biāo)系中的投影。

衛(wèi)星姿態(tài)控制的任務(wù)是將質(zhì)量塊本體坐標(biāo)系與軌道參考坐標(biāo)系FLOF系三軸對(duì)齊。定義三體隨動(dòng)跟蹤式重力衛(wèi)星SCA和SCB軌道高度為H，星間距離為L(zhǎng)，則雙星編隊(duì)軌道參考坐標(biāo)系FLOF系相對(duì)單星時(shí)軌道參考坐標(biāo)系O系繞Y軸旋轉(zhuǎn)角θfo為：

(10)

可得FLOF系到O系的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣Cfo為：

(11)

定義質(zhì)量塊本體坐標(biāo)系相對(duì)于慣性系的角速度為ωti，質(zhì)量塊相對(duì)于慣性系的運(yùn)動(dòng)可以拆分成質(zhì)量塊相對(duì)于軌道參考坐標(biāo)系FLOF系的運(yùn)動(dòng)和FLOF系相對(duì)于慣性系運(yùn)動(dòng)兩部分，即：

ωti=ωtf+ωfi

(12)

式中：ωtf為質(zhì)量塊本體坐標(biāo)系相對(duì)于軌道參考坐標(biāo)系FLOF系的角速度；ωfi為軌道參考坐標(biāo)系FLOF系相對(duì)于慣性系的角速度。

將上式投影至質(zhì)量塊本體坐標(biāo)系下，可得：

(13)

式中：Ctf表示質(zhì)量塊本體系到軌道參考坐標(biāo)系FLOF系的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣；Cto表示質(zhì)量塊本體系到軌道參考坐標(biāo)系O系的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣。

將式(13)兩邊在質(zhì)量塊本體系下求導(dǎo)可得：

(14)

質(zhì)量塊相對(duì)慣性系的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為：

(15)

式中：Jt為質(zhì)量塊的慣量矩陣；Tct為電容電極施加的控制力矩；Tnt為作用在質(zhì)量塊上的殘余力矩；Tcpt為質(zhì)量塊與載荷艙之間的耦合力矩。

將式(14)代入式(15)可得到質(zhì)量塊相對(duì)軌道參考坐標(biāo)系FLOF系的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為：

(16)

與式(15)相似，載荷艙相對(duì)慣性系的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為：

(17)

式中：Jp為載荷艙的慣量矩陣；Tcp為非接觸洛倫茲力執(zhí)行器施加的控制力矩；Tnp為作用在載荷艙上的環(huán)境干擾力矩。

將載荷艙本體坐標(biāo)系相對(duì)于質(zhì)量塊本體坐標(biāo)系的角速度定義為ωpt，可得如下關(guān)系：

(18)

在J2000.0地心赤道慣性坐標(biāo)系中對(duì)式(18)求導(dǎo)，則載荷艙本體坐標(biāo)系相對(duì)于質(zhì)量塊本體坐標(biāo)系的角加速度為：

(19)

將式(15)和式(17)代入式(19)，可得到載荷艙本體坐標(biāo)系下的“質(zhì)量塊—載荷艙”回路轉(zhuǎn)動(dòng)跟蹤動(dòng)力學(xué)模型為：

(20)

式中：θpt表示載荷艙本體坐標(biāo)系相對(duì)于質(zhì)量塊本體坐標(biāo)系的歐拉角。

2.2 “載荷艙—平臺(tái)艙”回路動(dòng)力學(xué)建模

為了建立三體隨動(dòng)跟蹤式重力衛(wèi)星“載荷艙—平臺(tái)艙”回路動(dòng)力學(xué)模型，平臺(tái)艙本體坐標(biāo)系與其質(zhì)量特性分布重合，符合笛卡爾右手準(zhǔn)則。

與上節(jié)所示“質(zhì)量塊—載荷艙”回路平動(dòng)跟蹤動(dòng)力學(xué)模型相似，定義平臺(tái)艙本體坐標(biāo)系下平臺(tái)艙和載荷艙的相對(duì)位置為ρs，則平臺(tái)艙本體坐標(biāo)系下“載荷艙—平臺(tái)艙”回路平動(dòng)跟蹤動(dòng)力學(xué)模型為：

(21)

式中：fggs為平臺(tái)艙本體坐標(biāo)系下的重力梯度加速度；fens為平臺(tái)艙環(huán)境干擾加速度；fcons為微推進(jìn)系統(tǒng)的平動(dòng)控制加速度；Csp表示平臺(tái)艙本體坐標(biāo)系到載荷艙本體坐標(biāo)系的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣；ωsi表示平臺(tái)艙本體坐標(biāo)系相對(duì)J2000.0地心赤道慣性坐標(biāo)系的角速度。

與上一節(jié)所示的“質(zhì)量塊—載荷艙”回路轉(zhuǎn)動(dòng)跟蹤動(dòng)力學(xué)模型相似，定義平臺(tái)艙本體坐標(biāo)系相對(duì)于載荷艙本體坐標(biāo)系的歐拉角為θsp，平臺(tái)艙本體坐標(biāo)系下“載荷艙—平臺(tái)艙”回路轉(zhuǎn)動(dòng)跟蹤動(dòng)力學(xué)模型為：

(22)

式中：Js為平臺(tái)艙的慣量矩陣；Tcs和Tns分別為微推進(jìn)系統(tǒng)的控制力矩和平臺(tái)艙的環(huán)境干擾力矩；ωsp表示平臺(tái)艙本體坐標(biāo)系相對(duì)于載荷艙本體坐標(biāo)系的角速度。

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 狀態(tài)方程建立

根據(jù)式(16)和式(20)～(22)可以看出，“質(zhì)量塊—載荷艙”隨動(dòng)跟蹤控制回路和“載荷艙—平臺(tái)艙”隨動(dòng)跟蹤控制回路動(dòng)力學(xué)模型都屬于二階非線性系統(tǒng)。為了方便地將“質(zhì)量塊—載荷艙—平臺(tái)艙”三體隨動(dòng)跟蹤式重力衛(wèi)星的動(dòng)力學(xué)模型轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程的表達(dá)形式，將下標(biāo)j=1、2、3、4進(jìn)行如下定義：j=1為“質(zhì)量塊—載荷艙”平動(dòng)跟蹤動(dòng)力學(xué)模型、j=2為“質(zhì)量塊—載荷艙”轉(zhuǎn)動(dòng)跟蹤動(dòng)力學(xué)模型、j=3為“載荷艙—平臺(tái)艙”平動(dòng)跟蹤動(dòng)力學(xué)模型、j=4為“載荷艙—平臺(tái)艙”轉(zhuǎn)動(dòng)跟蹤動(dòng)力學(xué)模型。同時(shí)，定義狀態(tài)變量為xj=[x1jx2jx3j]T，則狀態(tài)方程可以表達(dá)為如下形式：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

式中：bj為輸入矩陣；uj為控制輸入；fj(·)為非線性耦合項(xiàng)。

從式(25)～(28)可以看出，“質(zhì)量塊—載荷艙”回路和“載荷艙—平臺(tái)艙”回路非線性耦合項(xiàng)的表達(dá)形式相似，因此文中采用相同的控制器來進(jìn)行設(shè)計(jì)。

3.2 復(fù)合自抗擾控制

當(dāng)前重力衛(wèi)星控制系統(tǒng)主流方法的核心設(shè)計(jì)理念是針對(duì)干擾的一級(jí)擴(kuò)張觀測(cè)與抑制[29]。團(tuán)隊(duì)近年來在該方向的研究發(fā)現(xiàn)，如果直接將該算法應(yīng)用至本文控制系統(tǒng)中，對(duì)式(25)～(28)所示的非線性耦合項(xiàng)直接進(jìn)行估計(jì)會(huì)引入過多誤差，并且非線性控制頻域參數(shù)整定也難以直接配置。因此，為了獲得更好的控制性能，文中在一級(jí)擴(kuò)張觀測(cè)與抑制方法的基礎(chǔ)上，將控制輸入誤差定義為待估中間變量，構(gòu)建了一種基于帶寬參數(shù)化自適應(yīng)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合自抗擾控制算法。

在控制器設(shè)計(jì)中，式(25)～(28)所示的非線性耦合項(xiàng)通常通過擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器進(jìn)行解耦，因此，“質(zhì)量塊—載荷艙—平臺(tái)艙”三體隨動(dòng)跟蹤式重力衛(wèi)星總的控制器設(shè)計(jì)可以轉(zhuǎn)化為12個(gè)獨(dú)立的控制器設(shè)計(jì)。與此同時(shí)，由于式(25)～(28)所示的非線性耦合項(xiàng)表達(dá)形式相似，這12個(gè)獨(dú)立的控制器的表達(dá)形式也一致。因此，為了簡(jiǎn)化控制器的描述，此處開始省略下標(biāo)j，則每個(gè)控制器的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程為：

(31)

式中：y為輸出變量。

擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器可以表達(dá)為：

(32)

(33)

式中：z1,z2,z3用于估計(jì)x1,x2,x3；β1,β2,β3分別表示觀測(cè)器參數(shù)；l1和l2分別表示控制參數(shù)。

定義系統(tǒng)誤差為ek=xk-zk(k=1,2,3)，則系統(tǒng)誤差的導(dǎo)數(shù)可表示為：

(34)

通常，該系統(tǒng)只有在式(25)～(28)所示的非線性耦合項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)有界，且由觀測(cè)器參數(shù)組成的增益矩陣是Hurwitz穩(wěn)定的情況下才穩(wěn)定。顯然，對(duì)于上述非線性耦合項(xiàng)，很難直接在頻域內(nèi)配置控制器參數(shù)并獲得理想的控制性能[30]。因此，為了提高控制性能，定義以下控制輸入誤差為中間變量：

V=l2e1+l1e2+e3

(35)

將式(35)代入式(31)的第二項(xiàng)，得到如下關(guān)系：

(36)

此時(shí)，定義新的狀態(tài)變量為X1=x1,X2=x2,X3=-l2x1-l1x2，則控制輸入誤差校正的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程可以表達(dá)為：

(37)

式中：D表示新狀態(tài)X3的導(dǎo)數(shù)。

因此，可對(duì)控制輸入誤差進(jìn)行如下估計(jì)和補(bǔ)償：

(38)

V=-K2Z1-K1·Z2-Z3

(39)

式中：Z1,Z2,Z3用于估計(jì)X1,X2,X3；B1,B2,B3分別表示新觀測(cè)器參數(shù)；K1和K2分別表示控制輸入誤差的校正參數(shù)。

將控制輸入誤差校正的系統(tǒng)誤差定義為Ek=Xk-Zk(k=1,2,3)，則可得控制輸入誤差校正的誤差方程及其傳遞函數(shù)H1(s)：

(40)

(41)

同時(shí)，將式(39)代入式(37)，對(duì)狀態(tài)變量X3求導(dǎo)：

(42)

(43)

顯然，式(41)和式(43)構(gòu)成負(fù)反饋結(jié)構(gòu)，框圖如圖5所示，并且當(dāng)下列方程的極點(diǎn)位于左半平面時(shí)，可以保證穩(wěn)定性。

s(l1s+l2)(s2+(B1+K1)s+B1K1+B2+K2)+

(s2+K1s+K2)(s3+B1s2+B2s+B3)=0

(44)

圖5 負(fù)反饋結(jié)構(gòu)框圖Fig.5 Block diagram of negative feedback structure

可以看出，式(37)～(39)所示用于控制輸入誤差校正的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器屬于線性二階系統(tǒng)，因此，采用下列方程所示帶寬參數(shù)化便可保證系統(tǒng)穩(wěn)定性。

(45)

(46)

式中：ω0為觀測(cè)器帶寬；ωc為控制帶寬。

3.3 帶寬參數(shù)化穩(wěn)定性分析

將式(46)中的帶寬參數(shù)化代入H1(s)，有：

(47)

因此，存在ω∈[0,+∞)，滿足：

(48)

由于：

(49)

因此，存在ω0>0，使得：

(50)

與此同時(shí)，由于H2(jω)在區(qū)間ω∈[0,+∞)內(nèi)有界，即存在γ>0，滿足：

|H2(jω)|<γ,?ω∈[0,+∞)

(51)

因此，存在ω∈[0,+∞)，當(dāng)ω0>0時(shí)存在以下不等式：

|H1(jω)H2(jω)|≤|H1(jω)||H2(jω)|<1

(52)

也就是說，-H1(s)H2(s) Nyquist曲線的幅值始終小于1，該曲線不包圍-1點(diǎn)，再考慮到-H1(s)H2(s)在右半平面無極點(diǎn)，這說明了式(45)～(46)所示的帶寬參數(shù)化可實(shí)現(xiàn)待估計(jì)中間變量的自適應(yīng)補(bǔ)償。

4 仿真分析

4.1 仿真初始條件

根據(jù)三體隨動(dòng)跟蹤式重力衛(wèi)星總體架構(gòu)設(shè)計(jì)及其動(dòng)力學(xué)建?？傻贸?，質(zhì)量塊雖置于真空腔中，但仍存在輻射計(jì)效應(yīng)、殘余氣阻等產(chǎn)生的加速度噪聲及電容傳感噪聲干擾，同時(shí)，載荷艙和平臺(tái)艙存在測(cè)量敏感器和執(zhí)行器噪聲的干擾。為了與現(xiàn)有激光測(cè)距低低衛(wèi)衛(wèi)跟蹤重力衛(wèi)星的性能進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證三體隨動(dòng)跟蹤式重力衛(wèi)星架構(gòu)設(shè)計(jì)相比傳統(tǒng)重力衛(wèi)星架構(gòu)的優(yōu)勢(shì)，以及姿態(tài)與無拖曳一體化復(fù)合自抗擾控制算法相比傳統(tǒng)重力衛(wèi)星一級(jí)干擾觀測(cè)與抑制算法的有效性，衛(wèi)星軌道、質(zhì)量塊干擾噪聲、定姿定軌精度等指標(biāo)與文獻(xiàn)[5]一致，仿真條件如表2所示。

4.2 仿真結(jié)果與分析

由于三體隨動(dòng)跟蹤式重力衛(wèi)星SCA和SCB的仿真結(jié)果一致，因此本文只給出SCA衛(wèi)星的仿真結(jié)果并對(duì)其進(jìn)行分析。

根據(jù)控制器的設(shè)計(jì)可以得出，對(duì)于載荷艙的復(fù)合自抗擾控制，若觀測(cè)器帶寬設(shè)計(jì)為一個(gè)更高的值可以使響應(yīng)速度更快，但會(huì)引入過多的噪聲。因此，為了與重力場(chǎng)的分辨率相匹配，在仿真中將觀測(cè)器帶寬配置為1.3節(jié)所示的中頻段的截止頻率，以保證穩(wěn)定性。

表2 衛(wèi)星基本參數(shù)及干擾噪聲Table 2 Parameters of the satellite and disturbance noise

1)總體架構(gòu)設(shè)計(jì)有效性仿真對(duì)比

本文重力衛(wèi)星架構(gòu)設(shè)計(jì)中，以質(zhì)量塊為參考基準(zhǔn)，采用電容式傳感器測(cè)量載荷艙與質(zhì)量塊間相對(duì)位姿信息，并通過非接觸洛倫茲力執(zhí)行器控制載荷艙跟蹤質(zhì)量塊，實(shí)現(xiàn)高精度質(zhì)心波動(dòng)控制，仿真結(jié)果如圖6所示。

從仿真結(jié)果可以得出，在5 mHz～0.1 Hz頻段內(nèi)，采用復(fù)合自抗擾控制方法，載荷艙相對(duì)質(zhì)量塊的質(zhì)心波動(dòng)控制精度為1×10-6m·Hz-0.5量級(jí)，相比傳統(tǒng)重力衛(wèi)星質(zhì)心標(biāo)定與調(diào)整方法提高了2個(gè)數(shù)量級(jí)，相比一級(jí)擴(kuò)張觀測(cè)與抑制方法，由于復(fù)合自抗擾控制方法將控制輸入誤差定義為待估中間變量進(jìn)行誤差補(bǔ)償校正，精度可提高1個(gè)數(shù)量級(jí)，且對(duì)特定頻帶的諧振峰有一定的抑制效果。顯然，該方法不需要質(zhì)心標(biāo)定與調(diào)整，且由于非接觸洛倫茲力作為執(zhí)行器控制，不存在微推進(jìn)導(dǎo)致的質(zhì)心波動(dòng)問題，因此將更有利于后續(xù)地球重力場(chǎng)反演。

圖6 載荷艙相對(duì)質(zhì)量塊質(zhì)心波動(dòng)控制Fig.6 Fluctuation of the center of mass for the payload module relative to the test mass

圖7 平臺(tái)艙相對(duì)載荷艙姿態(tài)角控制Fig.7 Attitude angle of the service module relative to the payload module

圖8 平臺(tái)艙相對(duì)載荷艙位置控制Fig.8 Position of the service module relative to the payload module

與此同時(shí)，平臺(tái)艙為載荷艙提供電源通信保障，只需在非接觸洛倫茲力執(zhí)行器線性域運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)避免與載荷艙碰撞即可。平臺(tái)艙相對(duì)載荷艙姿態(tài)與位置控制精度仿真如圖7和圖8所示。從仿真結(jié)果可得，在5 mHz～0.1 Hz頻段內(nèi)，平臺(tái)艙相對(duì)載荷艙的姿態(tài)角和相對(duì)位置控制精度可達(dá)1×10-4rad·Hz-0.5和1×10-4m·Hz-0.5量級(jí)，滿足非接觸洛倫茲力執(zhí)行器控制輸入的線性域要求，并且不會(huì)產(chǎn)生兩艙之間的碰撞。

2)姿態(tài)與無拖曳控制算法仿真對(duì)比

相比傳統(tǒng)重力衛(wèi)星，三體隨動(dòng)跟蹤式重力衛(wèi)星采用非接觸洛倫茲力執(zhí)行器作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)姿態(tài)與無拖曳一體化控制，通過基于帶寬參數(shù)化自適應(yīng)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合自抗擾控制算法提高頻域控制性能，載荷艙的姿態(tài)與無拖曳控制仿真結(jié)果如圖9～12所示。

圖9 載荷艙姿態(tài)指向控制精度Fig.9 Attitude pointing control accuracy of the payload module

圖10 載荷艙姿態(tài)穩(wěn)定度Fig.10 Attitude stability of the payload module

圖11 載荷艙角無拖曳控制Fig.11 Angle drag-free control of the payload module

圖12 載荷艙線無拖曳控制Fig.12 Line drag-free control of the payload module

從仿真結(jié)果可以得出，在5 mHz～0.1 Hz頻段內(nèi)，基于帶寬參數(shù)化自適應(yīng)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合自抗擾控制方法的載荷艙姿態(tài)指向控制水平優(yōu)于1×10-5rad·Hz-0.5，姿態(tài)穩(wěn)定度優(yōu)于1×10-6rad·s-1·Hz-0.5，線無拖曳控制水平優(yōu)于2×10-9m·s-2·Hz-0.5，角無拖曳控制水平優(yōu)于1×10-8rad·s-2·Hz-0.5量級(jí)。各關(guān)鍵指標(biāo)仿真結(jié)果相比傳統(tǒng)一級(jí)干擾觀測(cè)與抑制方法高1-2個(gè)數(shù)量級(jí)。上述仿真有效驗(yàn)證了基于帶寬參數(shù)化自適應(yīng)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合自抗擾控制算法的有效性。

根據(jù)上述仿真結(jié)果可以得出，文中所提的“質(zhì)量塊—載荷艙—平臺(tái)艙”三體隨動(dòng)跟蹤式重力衛(wèi)星架構(gòu)及其基于帶寬參數(shù)化自適應(yīng)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合自抗擾控制方法可實(shí)現(xiàn)如表1所示的下一代激光測(cè)距低低衛(wèi)衛(wèi)跟蹤重力衛(wèi)星平臺(tái)的關(guān)鍵技術(shù)指標(biāo)要求。

5 結(jié) 論

本文將非接觸衛(wèi)星平臺(tái)推廣應(yīng)用至下一代激光測(cè)距低低衛(wèi)衛(wèi)跟蹤重力衛(wèi)星中，提出了一種以質(zhì)量塊為參考基準(zhǔn)的“質(zhì)量塊—載荷艙—平臺(tái)艙”三體隨動(dòng)跟蹤式重力衛(wèi)星構(gòu)架，并構(gòu)建了一種基于帶寬參數(shù)化自適應(yīng)補(bǔ)償?shù)膹?fù)合自抗擾控制方法，用于該架構(gòu)下的姿軌耦合控制。相比傳統(tǒng)重力衛(wèi)星采用的一級(jí)擴(kuò)張觀測(cè)與抑制，該方法將控制輸入誤差定義為待估中間變量抑制姿軌耦合動(dòng)力學(xué)非線性耦合項(xiàng)的影響，并基于帶寬參數(shù)化方法有效提升了姿態(tài)環(huán)路的姿態(tài)指向精度、姿態(tài)穩(wěn)定度和角無拖曳水平以及位置環(huán)路的質(zhì)心波動(dòng)和線無拖曳水平的頻域控制性能，可為未來高精度地球重力場(chǎng)測(cè)量提供一種技術(shù)手段。