一種立方星編隊(duì)重構(gòu)多脈沖機(jī)動(dòng)規(guī)劃方法

徐 根，劉幸川，陳丹鶴，廖文和

(南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

0 引 言

隨著冷氣推進(jìn)[1]、電推進(jìn)[2]等微推進(jìn)系統(tǒng)向著低功耗、小尺寸、模塊化的方向發(fā)展，使得立方星具備了軌道機(jī)動(dòng)控制的硬件基礎(chǔ)，拓展了低成本立方星的在軌應(yīng)用領(lǐng)域。國(guó)內(nèi)外多次開(kāi)展了立方星執(zhí)行軌道機(jī)動(dòng)控制的在軌演示，如加拿大多倫多大學(xué)的CAN-4/5雙星編隊(duì)任務(wù)[3]、Tyvak納衛(wèi)星公司的CPOD交會(huì)操作試驗(yàn)[4]、Aerospace公司的AeroCube-10繞飛觀測(cè)試驗(yàn)[5]等項(xiàng)目，驗(yàn)證了立方星在復(fù)雜空間任務(wù)中具備較廣闊的應(yīng)用潛力，如編隊(duì)飛行等任務(wù)。

目前，隊(duì)形構(gòu)建、重構(gòu)和維持過(guò)程中的機(jī)動(dòng)規(guī)劃方法仍然是編隊(duì)飛行應(yīng)用的關(guān)鍵問(wèn)題。諸多學(xué)者已經(jīng)對(duì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)建模、機(jī)動(dòng)規(guī)劃以及攝動(dòng)優(yōu)化等方面開(kāi)展了研究。

針對(duì)近圓軌道上的編隊(duì)飛行問(wèn)題，HCW方程提供了最經(jīng)典的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，廣泛應(yīng)用于相對(duì)運(yùn)動(dòng)機(jī)動(dòng)規(guī)劃與控制中[6-7]。但是以相對(duì)位置速度矢量為狀態(tài)量不能直接反應(yīng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何特性，不利于編隊(duì)隊(duì)形設(shè)計(jì)和任務(wù)規(guī)劃。H?rting等在靜止軌道衛(wèi)星防碰撞問(wèn)題中采用了基于相對(duì)偏心矢量和相對(duì)傾斜矢量的建模方法，D’Amico等[8]在此基礎(chǔ)上提出了相對(duì)軌道根數(shù)(ROE)模型，應(yīng)用于低軌衛(wèi)星編隊(duì)任務(wù)的GNC算法中，并在GRACE[9],TanDEM-X/TerraSAR-X[10],PRISMA[11],AVANTI[12]等任務(wù)中獲得了驗(yàn)證。ROE模型不僅提供了相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)的幾何解釋，并且基于相對(duì)偏心矢量和相對(duì)傾斜矢量提供了一種簡(jiǎn)便的被動(dòng)安全編隊(duì)隊(duì)形的設(shè)計(jì)方法[13]。Gaias團(tuán)隊(duì)[14-15]分析了J2攝動(dòng)和大氣阻力攝動(dòng)對(duì)低軌編隊(duì)的影響，構(gòu)建了高精度的相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，并考慮到星載計(jì)算約束，將差分氣動(dòng)阻力的影響轉(zhuǎn)換為相對(duì)軌道高度的固定漂移，獲得適用于星載計(jì)算的ROE狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型[16]。

對(duì)于星間距離較大的交會(huì)、編隊(duì)構(gòu)建和重構(gòu)等任務(wù)，通常采用基于脈沖推力的機(jī)動(dòng)規(guī)劃方法。孟云鶴等[17]在HCW方程的基礎(chǔ)上，分析了脈沖機(jī)動(dòng)與相對(duì)運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系，研究了燃耗最優(yōu)的組合脈沖機(jī)動(dòng)求解方法。根據(jù)相對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)的特性，這些研究中先將面內(nèi)分量與面外分量的控制解耦，再研究面內(nèi)各分量之間的控制耦合關(guān)系，從而獲得脈沖機(jī)動(dòng)的解析解。而Gaias等[18]、Di Mauro等[19]、Lim等[20]以及Liu等[21]基于ROE模型，從幾何角度闡述了脈沖機(jī)動(dòng)對(duì)相對(duì)軌道的影響，針對(duì)面內(nèi)各分量的控制耦合問(wèn)題，給出了多種脈沖組合下的二/三/四脈沖解析解。

上述機(jī)動(dòng)規(guī)劃相關(guān)的研究重點(diǎn)，是獲得燃耗最優(yōu)的脈沖機(jī)動(dòng)的解析解，通常不考慮機(jī)動(dòng)規(guī)劃的工程約束。而對(duì)于立方星的軌道機(jī)動(dòng)任務(wù)，往往會(huì)由于姿態(tài)穩(wěn)定控制飽和或推進(jìn)系統(tǒng)工作時(shí)長(zhǎng)約束等問(wèn)題，使得立方星單次機(jī)動(dòng)的速度增量受到約束。對(duì)于較大范圍的編隊(duì)隊(duì)形重構(gòu)任務(wù)，無(wú)約束下的脈沖機(jī)動(dòng)解析解往往超出立方星的軌道機(jī)動(dòng)能力，因此立方星軌道控制算法需要具備在機(jī)動(dòng)能力約束下可靠的機(jī)動(dòng)規(guī)劃能力。

針對(duì)近地軌道上的立方星編隊(duì)飛行面內(nèi)隊(duì)形重構(gòu)問(wèn)題，本文提出了一種適用于立方星星載計(jì)算的多脈沖機(jī)動(dòng)規(guī)劃算法。首先，梳理了基于相對(duì)軌道根數(shù)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)理論基礎(chǔ)，包括相對(duì)軌道根數(shù)定義、考慮近地軌道J2攝動(dòng)和大氣阻力攝動(dòng)的線性化狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型、以及脈沖機(jī)動(dòng)對(duì)相對(duì)軌道根數(shù)的控制模型。其次，基于相對(duì)運(yùn)動(dòng)面內(nèi)分量和面外分量解耦的特性，提出燃耗最優(yōu)的多脈沖機(jī)動(dòng)規(guī)劃算法，解決了規(guī)劃過(guò)程中的單次機(jī)動(dòng)速度增量約束，并提出迭代優(yōu)化策略，提高機(jī)動(dòng)規(guī)劃終點(diǎn)精度。最后，基于“田園一號(hào)”立方星平臺(tái)開(kāi)展了編隊(duì)面內(nèi)構(gòu)型重構(gòu)任務(wù)的仿真驗(yàn)證和分析。

1 基于相對(duì)軌道根數(shù)的運(yùn)動(dòng)模型

1.1 相對(duì)軌道根數(shù)定義

基于經(jīng)典軌道根數(shù)α=(a,e,i,ω,Ω,M)T，定義在目標(biāo)星參考系下的無(wú)量綱相對(duì)軌道根數(shù)[8]：

(1)

式中：u=M+ω為平均緯度輻角，下標(biāo)c和d分別代表目標(biāo)星和機(jī)動(dòng)星(為簡(jiǎn)化描述，后續(xù)公式中不帶下標(biāo)的絕對(duì)軌道根數(shù)均為目標(biāo)星參數(shù))。相對(duì)軌道根數(shù)δα六個(gè)分量可分為軌道面內(nèi)分量和軌道面外分量，面外分量為相對(duì)傾斜量δi,aδi描述了相對(duì)運(yùn)動(dòng)的法向振幅和初相位，面內(nèi)分量包括相對(duì)高度δa、相對(duì)平均緯度幅角δλ以及相對(duì)偏心量δe，其中δa和aδe描述了相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡在軌道面內(nèi)投影的形狀，包括平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的振幅、初相位、徑向偏移和跡向距離漂移速度，aδλ描述了兩星之間的跡向距離。

(2)

在二體動(dòng)力學(xué)下的ROE運(yùn)動(dòng)模型可表達(dá)為：

δα(t)=ΦHCW(t,t0)δα(t0)

(3)

其中狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可表達(dá)為：

(4)

1.2 攝動(dòng)影響

對(duì)于近地軌道運(yùn)行的衛(wèi)星，軌道攝動(dòng)的主要來(lái)源是地球非球形重力場(chǎng)的二階緯向分量J2攝動(dòng)和大氣阻力攝動(dòng)。本節(jié)對(duì)J2攝動(dòng)和大氣阻力攝動(dòng)的影響進(jìn)行分析和建模。

1.2.1J2攝動(dòng)影響

通過(guò)將J2攝動(dòng)對(duì)絕對(duì)軌道根數(shù)的影響投影到ROE空間，并通過(guò)保留一階項(xiàng)的方式完成線性化，獲得包含J2攝動(dòng)影響的ROE狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣[14]：

ΦHCW+J2(t,t0)=

(5)

式中：

(6)

式中：RE為地球半徑。由式(5)可知，在J2攝動(dòng)作用下，相對(duì)偏心量的方向?qū)?huì)發(fā)生旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角速度主要取決于目標(biāo)星軌道的高度和傾角，旋轉(zhuǎn)方向取決于目標(biāo)星軌道的傾角。此外，衛(wèi)星的平均運(yùn)動(dòng)速度和升交點(diǎn)赤經(jīng)都會(huì)受J2攝動(dòng)影響產(chǎn)生漂移，從而對(duì)編隊(duì)衛(wèi)星之間的跡向距離產(chǎn)生了影響，跡向距離漂移的方向取決于目標(biāo)星軌道傾角和兩星相對(duì)高度。

1.2.2大氣阻力攝動(dòng)影響

低軌稀薄大氣產(chǎn)生的阻力會(huì)使衛(wèi)星產(chǎn)生沿負(fù)切向的加速度。由于彈道系數(shù)和面質(zhì)比的差異，編隊(duì)衛(wèi)星之間存在大氣阻力加速度的差異[22]：

(7)

其中ρ為大氣密度,v=na為目標(biāo)星的平均運(yùn)動(dòng)速度,S為衛(wèi)星迎風(fēng)面積,m為衛(wèi)星質(zhì)量,CD為衛(wèi)星彈道系數(shù)。

(8)

(9)

其中大氣阻力攝動(dòng)對(duì)ROE的影響表達(dá)為：

Φdrag=

(10)

1.3 ROE脈沖控制模型

若機(jī)動(dòng)星執(zhí)行脈沖機(jī)動(dòng)Δv=[ΔvR,ΔvT,ΔvN]T，產(chǎn)生的ROE變化為[18]：

(11)

由式(11)可以看到，ROE的面內(nèi)分量δa,δλ,δe和面外分量δi的控制是解耦的。對(duì)于法向相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可通過(guò)在特定相位施加一次法向脈沖實(shí)現(xiàn)對(duì)δi的控制：

(12)

而徑向/跡向平面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)顯然存在控制耦合問(wèn)題：一方面各面內(nèi)分量之間存在控制耦合，一次脈沖會(huì)對(duì)多個(gè)分量產(chǎn)生影響；另一方面切向脈沖和徑向脈沖的控制效果存在重疊，兩個(gè)方向的脈沖控制均會(huì)對(duì)δe產(chǎn)生影響，但切向脈沖的控制效果是徑向脈沖的控制效果的2倍。

2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)面內(nèi)重構(gòu)規(guī)劃算法

由于徑向脈沖無(wú)法控制δa，且考慮到燃耗最優(yōu)問(wèn)題，因此本文所提出的機(jī)動(dòng)規(guī)劃方法僅使用切向脈沖。針對(duì)面內(nèi)各分量之間的耦合關(guān)系，由于切向脈沖對(duì)δa和δe的控制為瞬時(shí)變化，而對(duì)δλ的影響需要經(jīng)過(guò)時(shí)間的累積。因此在規(guī)劃過(guò)程中，按照“先規(guī)劃相對(duì)形狀控制機(jī)動(dòng)，后規(guī)劃跡向距離修正機(jī)動(dòng)”的策略進(jìn)行求解，先完成控制δa和δe的機(jī)動(dòng)規(guī)劃，再進(jìn)行修正δλ的機(jī)動(dòng)規(guī)劃。

2.1 機(jī)動(dòng)約束下的多脈沖機(jī)動(dòng)規(guī)劃算法

對(duì)于相對(duì)軌道面內(nèi)分量的控制，由于單次切向脈沖對(duì)δa和δe的控制存在耦合，可通過(guò)兩次執(zhí)行相位相差180°的切向脈沖實(shí)現(xiàn)對(duì)δa和δe的分離控制：

(13)

兩次脈沖機(jī)動(dòng)的執(zhí)行相位為

(14)

由于立方星體積和質(zhì)量的約束，所配備的推進(jìn)系統(tǒng)和姿態(tài)控制系統(tǒng)往往結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、控制能力有限。一方面，微推力器的推力較小，無(wú)法在較短時(shí)間內(nèi)提供較大的速度增量；另一方面，由于推力偏心，會(huì)使姿態(tài)穩(wěn)定控制飽和，推進(jìn)系統(tǒng)單次工作時(shí)間受到限制，使得立方星單次軌道機(jī)動(dòng)存在最大速度增量約束。此外，在兩次軌道機(jī)動(dòng)執(zhí)行之間，立方星需要進(jìn)行動(dòng)量輪卸載、微推進(jìn)器調(diào)整等工作，使得兩次機(jī)動(dòng)之間存在最小時(shí)間間隔的約束。因此，在立方星編隊(duì)任務(wù)的機(jī)動(dòng)規(guī)劃中必須考慮速度增量與機(jī)動(dòng)時(shí)間間隔約束。根據(jù)式(13)得到脈沖速度增量往往會(huì)超出立方星的單次機(jī)動(dòng)能力。

而考慮到在二體運(yùn)動(dòng)下，δa和δe不隨時(shí)間發(fā)生改變，根據(jù)式(11)可得：

(15)

一次切向脈沖對(duì)δa和δe的控制效果等價(jià)于由多次在同一相位執(zhí)行的切向脈沖控制效果的線性疊加。因此針對(duì)單次機(jī)動(dòng)速度增量約束，可將根據(jù)式(13)得到的脈沖機(jī)動(dòng)分解為多個(gè)速度增量較小的脈沖機(jī)動(dòng)逐軌執(zhí)行。

(16)

并為分解后的機(jī)動(dòng)逐軌分配執(zhí)行時(shí)間：

(17)

(18)

將式(18)的形式轉(zhuǎn)換為：

aΔδλΔvT=-3ΔvT(tf-tΔvT)

(19)

根據(jù)式(19)所建立的切向脈沖機(jī)動(dòng)對(duì)跡向距離的控制模型，在施加M1+M2次相對(duì)形狀控制機(jī)動(dòng)后，跡向距離產(chǎn)生的變化為：

(20)

(21)

同樣考慮到單次機(jī)動(dòng)速度增量的約束，跡向距離修正機(jī)動(dòng)通過(guò)多組脈沖組合實(shí)現(xiàn)：

(22)

(23)

(24)

顯然，完成面內(nèi)分量控制的所有機(jī)動(dòng)需要滿足：

(25)

(26)

(27)

實(shí)際任務(wù)中期望以較少的機(jī)動(dòng)次數(shù)完成任務(wù)，因此每一次機(jī)動(dòng)的速度增量都應(yīng)接近于Δvmax。根據(jù)式(27)的目標(biāo)函數(shù)，可將燃耗最優(yōu)問(wèn)題轉(zhuǎn)換為使規(guī)劃結(jié)果中的脈沖數(shù)量最少。注意到：

(28)

可得：

(29)

顯然，機(jī)動(dòng)規(guī)劃結(jié)果中∑Qi應(yīng)為定值。為了使N的值最小，應(yīng)當(dāng)使每一組的兩次脈沖執(zhí)行時(shí)間的間隔QiT盡可能最大。因此在跡向距離修正脈沖執(zhí)行時(shí)間分配時(shí)，需要在滿足式(24)的約束下，按時(shí)間間隔從大到小依次搜索可行解，圖1給出了機(jī)動(dòng)執(zhí)行時(shí)間的分配過(guò)程示意。

圖1 多脈沖軌道機(jī)動(dòng)規(guī)劃執(zhí)行時(shí)間分配示意Fig.1 Schematic diagram of execution time distribution in multi-impulse orbit maneuver planning

上述面內(nèi)機(jī)動(dòng)的多脈沖求解算法可總結(jié)為：

算法1.機(jī)動(dòng)約束下的多脈沖機(jī)動(dòng)規(guī)劃算法

輸入:目標(biāo)星軌道根數(shù)αc，初始相對(duì)軌道δα0，終點(diǎn)目標(biāo)相對(duì)軌道δαf，初始時(shí)間t0，終點(diǎn)時(shí)間tf，單次機(jī)動(dòng)最大速度增量Δvmax，兩次機(jī)動(dòng)之間最短時(shí)間間隔Δtmin。

4) 根據(jù)式(25)和(29)，確定跡向距離修正需求；

根據(jù)上述多脈沖機(jī)動(dòng)規(guī)劃算法，最終共獲得了M1+M2+2N次脈沖機(jī)動(dòng)。由于這些機(jī)動(dòng)需要逐軌執(zhí)行，因此對(duì)任務(wù)時(shí)間提出了要求：首先，任務(wù)時(shí)間需要滿足相對(duì)形狀控制機(jī)動(dòng)的需要，總時(shí)間至少要大于M1軌或M2軌；其次，在任務(wù)時(shí)間內(nèi)需要搜索到足夠多滿足最小時(shí)間間隔約束的Qi，滿足跡向距離修正機(jī)動(dòng)的需要。

2.2 機(jī)動(dòng)規(guī)劃的迭代優(yōu)化策略

對(duì)于機(jī)動(dòng)能力受限的立方星來(lái)說(shuō)，執(zhí)行較大范圍的編隊(duì)隊(duì)形重構(gòu)任務(wù)往往需要較長(zhǎng)的時(shí)間，而算法1里的機(jī)動(dòng)規(guī)劃是基于二體運(yùn)動(dòng)獲得的，對(duì)于較長(zhǎng)時(shí)間的任務(wù)，軌道攝動(dòng)產(chǎn)生的誤差較為明顯，不可忽略。需要對(duì)機(jī)動(dòng)規(guī)劃進(jìn)行優(yōu)化，降低機(jī)動(dòng)規(guī)劃的終點(diǎn)誤差。

(30)

此外，注意到式(9)中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣僅與時(shí)間有關(guān)，與狀態(tài)變量無(wú)關(guān)，因此具備以下性質(zhì)：

Φ(tk,ti)=Φ(tk,tj)Φ(tj,ti)

(31)

因此，若在中間時(shí)間tm引入狀態(tài)變化后，得到的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可表達(dá)為：

X(t)=Φ(t,tm)[Φ(tm,t0)X(t0)+ΔX(tm)]=

Φ(t,t0)X(t0)+Φ(t,tm)ΔX(tm)

(32)

由式(32)可以看到，終點(diǎn)狀態(tài)可被分解為初始狀態(tài)的自然轉(zhuǎn)移和每次狀態(tài)變化的自然轉(zhuǎn)移的線性組合。因此依次執(zhí)行根據(jù)算法1獲得的脈沖機(jī)動(dòng)序列后，在終點(diǎn)時(shí)刻的狀態(tài)量為：

(33)

基于式(33)的線性化終點(diǎn)時(shí)刻狀態(tài)計(jì)算公式，給出對(duì)機(jī)動(dòng)規(guī)劃進(jìn)行迭代優(yōu)化的步驟：

算法2.考慮攝動(dòng)影響的機(jī)動(dòng)規(guī)劃迭代優(yōu)化算法

輸入:算法1的輸入變量，終點(diǎn)誤差范圍，最大迭代次數(shù)。

2) 根據(jù)算法1，獲取脈沖機(jī)動(dòng)序列；

3) 根據(jù)式(33)計(jì)算機(jī)動(dòng)執(zhí)行的終點(diǎn)位置δα(tf)；

5) 重復(fù)步驟2)，直到滿足終點(diǎn)誤差，或達(dá)到最大迭代次數(shù)。

3 仿真校驗(yàn)

為了校驗(yàn)本文所提出的多脈沖機(jī)動(dòng)方法的有效性，根據(jù)“田園一號(hào)”立方星的相關(guān)參數(shù)進(jìn)行任務(wù)仿真，在星箭分離約7日后開(kāi)始進(jìn)行跟隨編隊(duì)構(gòu)建任務(wù)。任務(wù)目標(biāo)為構(gòu)建在目標(biāo)星跡向后方50 km處跟隨飛行的隊(duì)形，并降低兩星的相對(duì)偏心率，機(jī)動(dòng)規(guī)劃算法需要完成從初始隊(duì)形到目標(biāo)隊(duì)形的重構(gòu)任務(wù)。以搭載同一運(yùn)載火箭入軌的另一顆立方星“金紫荊二號(hào)”為目標(biāo)星，以“田園一號(hào)”立方星為機(jī)動(dòng)星，兩顆衛(wèi)星的彈道系數(shù)相同，均取CD=2.2。主要仿真參數(shù)如表1所示：

表1 主要仿真參數(shù)Table 1 Main simulation parameters

“田園一號(hào)”立方星所使用的冷氣微推力器的標(biāo)稱推力為3.6 mN，采用零動(dòng)量輪系進(jìn)行姿態(tài)三軸穩(wěn)定控制，動(dòng)量輪飽和后，需要使用三軸磁力矩器進(jìn)行動(dòng)量卸載。單次軌道機(jī)動(dòng)最長(zhǎng)時(shí)間為4 min，即微推力器單次工作最大速度增量約為0.085 m/s，微推力器兩次工作之間時(shí)間間隔至少為20 min。

結(jié)合“田園一號(hào)”立方星的姿軌控能力，并考慮到低軌衛(wèi)星軌道運(yùn)行周期，為了便于搜索跡向修正機(jī)動(dòng)的可執(zhí)行時(shí)間，設(shè)定跡向距離修正機(jī)動(dòng)的執(zhí)行相位取決于相對(duì)形狀控制機(jī)動(dòng)的執(zhí)行相位：

(34)

(35)

其中可執(zhí)行機(jī)動(dòng)的時(shí)間點(diǎn)需要滿足時(shí)間約束：

(36)

在除去執(zhí)行相對(duì)形狀控制機(jī)動(dòng)的時(shí)間點(diǎn)后，每個(gè)相位可對(duì)應(yīng)Ji個(gè)可用于執(zhí)行跡向距離修正機(jī)動(dòng)的時(shí)間點(diǎn)，將可行時(shí)間點(diǎn)一前一后依次組合，得到間隔時(shí)間從大到小的N#i個(gè)脈沖機(jī)動(dòng)組合：

(37)

考慮到算法1中的任務(wù)時(shí)間要求，由式(37)獲得的脈沖機(jī)動(dòng)組合需要滿足：

(38)

若式(38)的條件不能得到滿足，則總?cè)蝿?wù)時(shí)間過(guò)短，無(wú)法到達(dá)目標(biāo)跡向位置，需要增加任務(wù)時(shí)間。若式(38)的條件滿足，則對(duì)Q#進(jìn)行排序，從大到小依次選取Qi，直至滿足式(28)的條件，從而完成對(duì)跡向修正機(jī)動(dòng)的規(guī)劃。

3.1 多脈沖機(jī)動(dòng)規(guī)劃算法仿真校驗(yàn)

根據(jù)任務(wù)仿真參數(shù)設(shè)置，軌道機(jī)動(dòng)需要實(shí)現(xiàn)的相對(duì)軌道高度與相對(duì)偏心量變化量為：

計(jì)算得到無(wú)約束下的相對(duì)形狀控制機(jī)動(dòng)：

圖3 任務(wù)2：機(jī)動(dòng)約束下在60軌內(nèi)完成隊(duì)形重構(gòu)Fig.3 Mission 2:Complete formation reconfiguration within 60 orbits with constraints

顯然，“田園一號(hào)”立方星無(wú)法僅通過(guò)兩次脈沖機(jī)動(dòng)完成對(duì)相對(duì)偏心量和相對(duì)軌道高度的控制，需要根據(jù)算法1獲得滿足約束的機(jī)動(dòng)序列。

對(duì)相對(duì)形狀控制機(jī)動(dòng)進(jìn)行分解：

在執(zhí)行完所有機(jī)動(dòng)序列后，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2(c)所示。在增加跡向距離修正機(jī)動(dòng)后，機(jī)動(dòng)終點(diǎn)可以達(dá)到目標(biāo)跡向相對(duì)位置。針對(duì)在40軌內(nèi)完成隊(duì)形重構(gòu)任務(wù)，算法1共規(guī)劃了87次脈沖機(jī)動(dòng)，總速度增量需求約為7.250 m/s。

若增加任務(wù)時(shí)間，在60軌內(nèi)完成隊(duì)形重構(gòu)任務(wù)，仿真結(jié)果如圖3所示。可以看到通過(guò)調(diào)整執(zhí)行時(shí)間，僅執(zhí)行相對(duì)形狀控制機(jī)動(dòng)即可到達(dá)距離目標(biāo)終點(diǎn)較近的位置，僅需增加一組速度增量較小的跡向距離修正機(jī)動(dòng)即可。與任務(wù)1相比，任務(wù)2減少了跡向距離修正機(jī)動(dòng)的燃耗，總速度增量需求約為5.443 m/s。

3.2 迭代優(yōu)化策略仿真校驗(yàn)

基于任務(wù)1所獲得的脈沖機(jī)動(dòng)序列，分別根據(jù)不同的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型計(jì)算終點(diǎn)相對(duì)軌道。其中，從星載機(jī)動(dòng)規(guī)劃的角度，取任務(wù)時(shí)間內(nèi)的平均大氣密度為6.569×10-13kg/m3(基于NRLMSISE-00大氣密度模型計(jì)算)。

表2 攝動(dòng)影響下的終點(diǎn)相對(duì)軌道誤差Table 2 Terminal ROE errors under perturbation

根據(jù)算法2對(duì)任務(wù)1的編隊(duì)重構(gòu)任務(wù)的機(jī)動(dòng)規(guī)劃列進(jìn)行迭代優(yōu)化，過(guò)程如表3所示，經(jīng)過(guò)3次迭代，即可將面內(nèi)分量的終點(diǎn)誤差都降低至1 m以內(nèi)。

表3 迭代優(yōu)化過(guò)程Table 3 Process of the iterative optimization

表4 迭代優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 4 Comparison of the iterative optimization results

圖4 迭代優(yōu)化后的相對(duì)偏心量機(jī)動(dòng)軌跡Fig.4 Trajectory of relative eccentricity vector after iterative optimization

表4中對(duì)算法1和算法2的機(jī)動(dòng)規(guī)劃結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。經(jīng)迭代優(yōu)化后，機(jī)動(dòng)規(guī)劃的燃耗需求有了較顯著的降低，主要源自相對(duì)形狀控制機(jī)動(dòng)的燃耗需求降低。

算法2的優(yōu)化變量實(shí)際上是算法1輸入值中的目標(biāo)相對(duì)軌道δαf。如圖4所示，經(jīng)過(guò)迭代優(yōu)化后，算法1需要控制的相對(duì)偏心量發(fā)生了改變：

與任務(wù)目標(biāo)相比，經(jīng)迭代優(yōu)化后，算法1的輸入值中Δδe大小變小，因此降低了機(jī)動(dòng)規(guī)劃的燃耗需求，同時(shí)Δδe方向的變化也使機(jī)動(dòng)的執(zhí)行相位發(fā)生了變化。由此可見(jiàn)，在規(guī)劃中考慮J2攝動(dòng)會(huì)主要影響相對(duì)偏心量的控制，目標(biāo)星軌道的傾角會(huì)決定相對(duì)偏心量的漂移方向和漂移速率，對(duì)燃耗的影響需要結(jié)合目標(biāo)星軌道的半長(zhǎng)軸、傾角和編隊(duì)隊(duì)形重構(gòu)的具體參數(shù)進(jìn)行定量分析。

3.3 機(jī)動(dòng)規(guī)劃算法在復(fù)雜攝動(dòng)下的適應(yīng)性分析

為了分析算法2的迭代優(yōu)化策略的效果，圖4中的相對(duì)偏心量軌跡是通過(guò)式(33)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型獲得的。本節(jié)基于高精度軌道遞推[23]和瞬/平根數(shù)轉(zhuǎn)換[24]進(jìn)行機(jī)動(dòng)規(guī)劃算法的驗(yàn)證，仿真驗(yàn)證的流程如圖5所示。

圖5 仿真驗(yàn)證流程Fig.5 Scheme of algorithm verification

圖5中虛線部分表示高精度軌道遞推，包括21×21階的地球引力場(chǎng)模型、大氣阻力模型以及日月第三體引力。仿真初始參數(shù)設(shè)置如表5所示。

表5 仿真初始參數(shù)Table 5 Initial simulation parameters

分別采用算法1和算法2進(jìn)行機(jī)動(dòng)規(guī)劃，進(jìn)行仿真。得到如表6所示的終點(diǎn)相對(duì)軌道誤差，相對(duì)偏心率控制軌跡如圖6所示。

表6 兩種機(jī)動(dòng)規(guī)劃算法的終點(diǎn)相對(duì)軌道誤差Table 6 Terminal ROE error of two planning algorithms

圖6 高精度軌道遞推下的相對(duì)偏心量機(jī)動(dòng)軌跡Fig.6 Trajectory of relative eccentricity vector under numerical propagation with high-fidelity perturbation

與算法1相比，算法2中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型能夠較準(zhǔn)確地體現(xiàn)地球非球形攝動(dòng)的影響，可以預(yù)估相對(duì)偏心量的方向漂移并加以修正，使得終點(diǎn)位置的相對(duì)偏心量與目標(biāo)相對(duì)偏心量方向一致，有利于維持編隊(duì)在徑向/法向平面上的投影。

在實(shí)際在軌任務(wù)中，考慮到測(cè)定軌誤差和軌道機(jī)動(dòng)執(zhí)行誤差等因素，不能僅依靠初始時(shí)刻的機(jī)動(dòng)規(guī)劃進(jìn)行完全的開(kāi)環(huán)控制，需要在過(guò)程中修正機(jī)動(dòng)規(guī)劃，因此算法1和算法2在實(shí)際在軌任務(wù)中均可使用。算法1的計(jì)算量較小，在機(jī)動(dòng)過(guò)程中可以增加多次重規(guī)劃；而算法2在迭代的過(guò)程中需要重復(fù)運(yùn)行算法1，計(jì)算量是算法1的4～6倍，但算法2的規(guī)劃誤差更小，可以降低機(jī)動(dòng)重規(guī)劃的頻率。

4 結(jié) 論

針對(duì)軌道機(jī)動(dòng)能力約束下的編隊(duì)隊(duì)形面內(nèi)重構(gòu)機(jī)動(dòng)規(guī)劃問(wèn)題，本文基于相對(duì)軌道根數(shù)提出了一種簡(jiǎn)便的多脈沖機(jī)動(dòng)規(guī)劃算法和迭代優(yōu)化策略，結(jié)合仿真校驗(yàn)可得如下結(jié)論：

(1) 本文所提出的多脈沖機(jī)動(dòng)算法可有效解決速度增量約束和時(shí)間間隔約束，能可靠地獲得燃耗最優(yōu)的機(jī)動(dòng)序列。面內(nèi)隊(duì)形重構(gòu)任務(wù)僅需執(zhí)行切向脈沖，可簡(jiǎn)化立方星結(jié)構(gòu)，無(wú)需安裝徑向推力器。

(2) 結(jié)合考慮J2攝動(dòng)和大氣阻力攝動(dòng)的線性化相對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移模型，本文所提出的迭代優(yōu)化策略可快速有效地降低攝動(dòng)影響下的終點(diǎn)誤差。

(3) 攝動(dòng)因素會(huì)影響機(jī)動(dòng)的燃耗需求，本文中對(duì)攝動(dòng)影響的分析可為編隊(duì)隊(duì)形重構(gòu)的參數(shù)設(shè)計(jì)提供參考。

鑒于相對(duì)軌道面內(nèi)面外運(yùn)動(dòng)解耦的特性，本文所提的算法和任務(wù)仿真僅針對(duì)面內(nèi)分量控制，后期將進(jìn)行考慮面外分量控制的綜合規(guī)劃策略研究，提高該方法在立方星編隊(duì)任務(wù)中的工程適用性。