摩擦與滾阻對被動行走器步態(tài)影響的研究1)

鄭 鵬 王琪 呂敬 鄭旭東

(北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100083)

引言

1990年，學(xué)者M(jìn)cGeer首次提出了“被動行走”(passive dynamic walking)的概念，描述了一類可以僅依靠自身重力以及結(jié)構(gòu)特性在斜坡上實現(xiàn)穩(wěn)定行走的機(jī)構(gòu)[1].相比于具有復(fù)雜驅(qū)動與控制的雙足機(jī)器人，被動行走器具有能量利用率高，行走步態(tài)自然的優(yōu)點，因此在實驗研究和理論研究層面都得到了廣泛的關(guān)注.目前在實驗研究層面已經(jīng)取得了較多研究成果[2-9].例如，2005 年由美國康奈爾大學(xué)、荷蘭代爾夫特理工大學(xué)、美國麻省理工大學(xué)開展的(準(zhǔn))被動行走器的研究工作發(fā)表在Science雜志上，簡要介紹了被動行走器的實驗研究進(jìn)展，和基于被動行走機(jī)制改善雙足機(jī)器人能效性的實驗嘗試[2].國內(nèi)高校，諸如清華大學(xué)[3-4]、浙江大學(xué)[9-10]等高校的學(xué)者也開展了(準(zhǔn))被動行走器的實驗樣機(jī)研究工作.上述研究中的部分(準(zhǔn))被動行走器樣機(jī)如圖1 所示[6-8].

圖1 被動(或準(zhǔn)被動)雙足行走器Fig.1 Passive(or quasi-passive)bipedal walkers

在理論研究層面，最初學(xué)者們將接觸狀態(tài)時足與地面間的約束視為鉸鏈，研究了直腿點狀足、直腿圓弧足、含膝關(guān)節(jié)點狀足、含膝關(guān)節(jié)圓弧足等幾種不同平面構(gòu)型的被動行走器.其中Garcia,Asano 等[11-15]以直腿點狀足模型被動行走器為對象，研究了被動行走器的不同斜面坡度下的行走效率和穩(wěn)定性.Gritli 等[16-20]研究了直腿點狀足被動行走器在斜面坡度變化下豐富的非線性行為.

近年來，部分學(xué)者通過引入法向接觸力模型與摩擦力模型描述圓弧足被動行走器足與地面間的接觸力，通過數(shù)值仿真研究了平面圓弧足直腿被動行走器的步態(tài)，得到了支撐足與地面間有滑動或有彈起的步態(tài)[21-24].如段文杰等[24]利用牛頓碰撞恢復(fù)系數(shù)與庫倫干摩擦模型描述支撐足與地面間的接觸，采用時間步進(jìn)法[25]分析了摩擦系數(shù)與碰撞恢復(fù)系數(shù)引起的圓弧足被動行走器行走步態(tài)的變化.祁峰等[23]利用擴(kuò)展的赫茲接觸模型與修正的庫倫摩擦模型描述支撐足與地面間的法向接觸力與切向摩擦力，研究了圓弧足直腿被動行走器在不同接觸參數(shù)條件下的步態(tài)變化.鄭旭東等[22]利用擴(kuò)展的赫茲接觸模型與庫倫干摩擦模型描述支撐足與地面間的法向接觸力與切向摩擦力，基于線性互補(bǔ)[26-28]研究了圓弧足被動行走器的多種步態(tài)，彌補(bǔ)了原有模型中不能描述靜摩擦力的不足.上述研究中尚未考慮圓弧足與地面間的滾動摩阻，滾動摩阻對被動行走器的動力學(xué)行為有何種影響是一個值得研究的問題.

綜上所述，基于不同假設(shè)的研究都取得了一些有意義的研究進(jìn)展，但也存在一定的局限性.例如，基于足與地面鉸接模型的研究方法無法揭示被動行走器足的彈起或滑動過程；基于修正的庫倫摩擦模型的研究方法難以仿真被動行走器靜止站立的工況；基于庫倫干摩擦模型的研究方法須用到試算法，或線性互補(bǔ)算法，這兩種算法計算成本較高且繁瑣；另外，忽略足與地面間的滾動摩阻是否合理尚需做進(jìn)一步的探討.為了彌補(bǔ)上述方法中的不足，本文在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，首先采用擴(kuò)展的赫茲接觸模型和LuGre 摩擦模型描述足地間的接觸力，并考慮圓弧足的滾動摩阻；然后應(yīng)用第二類Lagrange 方程建立被動行走器的動力學(xué)方程；最后，將通過數(shù)值仿真方法分析支撐足與地面間的摩擦和滾動摩阻等非光滑因素對行走器動力學(xué)特性的影響.

1 力學(xué)建模

1.1 圓弧足被動行走器模型

本文研究的圓弧足被動行走器模型如圖2 所示.

設(shè)兩腿在髖關(guān)節(jié)H處用光滑柱鉸鏈連接，且分別記為腿1 和腿2，C1,C2分別為兩腿質(zhì)心的位置，該模型的其余參數(shù)符號含義為：m1，m2分別為腿1、腿2的質(zhì)量，J1，J2分別為腿1、腿2 相對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量，l1，l2分別為腿1、腿2 的長度，c1，c2分別為腿1、腿2 的質(zhì)心與髖關(guān)節(jié)H的距離，r1，r2分別為腿1、腿2 的圓弧足半徑，γ 為斜面與水平面間的夾角，g為重力加速度.

圖2 圓弧足被動行走器Fig.2 Passive dynamic walker with round feet

在斜面上建立平面直角坐標(biāo)系，其中y軸垂直于斜面向上，x軸沿斜面向下，設(shè)髖關(guān)節(jié)H的坐標(biāo)為(xH,yH)，兩腿與y軸的夾角為θ1,θ2(逆時針為正)，該系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)可表示為

1.2 圓弧足與地面間的接觸力建模

圓弧足被動行走器的支撐足i∈{1,2}與地面接觸時，會受到法向接觸力FNi，切向摩擦力Fsi以及滾阻力偶矩Msi的作用，如圖3 所示.

(1)圓弧足i與地面間的法向接觸力

圓弧足i與地面間的法向接觸力FNi(i=1,2)采用擴(kuò)展的赫茲接觸力模型描述，其表達(dá)式為[29]

圖3 圓弧足受力圖Fig.3 Force diagram of round feet

式中，K,χ 分別表示圓弧足與地面間的接觸剛度系數(shù)與接觸阻尼系數(shù)，δi表示圓弧足與地面的相對壓痕深度，表示圓弧足與地面的相對壓痕深度的變化速率.當(dāng)圓弧足與地面接觸時，根據(jù)幾何關(guān)系，δi，(i=1,2)可表示為

(2)圓弧足i與地面間的摩擦力

庫倫摩擦模型描述的摩擦力是相對速度的分段連續(xù)函數(shù)，在相對速度為零時為多值函數(shù)，給數(shù)值計算帶來諸多困難[26].本文采用LuGre 摩擦模型描述支撐足與地面間的摩擦力Fsi(i=1,2).表達(dá)式為[30]

當(dāng)δi0時，則上式為實際接觸點的相對切向速度.

(3)圓弧足i與地面間的滾阻力偶矩

圓弧足被動行走器的支撐足i與地面間的滾阻力偶矩采用下列表達(dá)式描述[26]

其中，ζs為滾動摩阻系數(shù)，為圓弧足i相對地面轉(zhuǎn)動的角速度.

1.3 圓弧足被動行走器的動力學(xué)方程

利用第二類Lagrange 方程推導(dǎo)可得被動行走器的動力學(xué)方程

其中，Qg,分別表示重力、法向接觸力、摩擦力以及滾阻力偶的廣義力.上式中各項的具體表達(dá)式如下所示

該方程為非線性常微分方程組，可通過數(shù)值仿真分析該系統(tǒng)的動力學(xué)特性.

2 數(shù)值仿真

2.1 算例1 LuGre 摩擦模型參數(shù)的選取

LuGre 摩擦模型能夠描述諸多的摩擦特性，且具有較好的連續(xù)性，目前對于不同材質(zhì)的物體，該模型中的一些參數(shù)不易查找，如σ0和σ1.本文通過數(shù)值仿真結(jié)果的對比來確定相關(guān)參數(shù).為了便于對比，本算例圓弧足被動行走器的參數(shù)和運(yùn)動的初始條件與文獻(xiàn)[22]中的相同.

被動行走器參數(shù)[22]：m1=m2=1.0 kg，J1=J2=9.6×10?3kg·m2，l1=l2=0.4 m，c1=c2=0.1 m，r1=r2=0.08 m，γ=0.02 rad，g=9.8 m/s2.

接觸力參數(shù)[22]：K=1.0×106N/m1.5，χ=5.0×107N·s/m2.5，μ=0.40，μ0=0.50，vs=1.0×10?4m/s，σ2=0 s/m，ζs=0 m.

初始條件[22]：xH=0.0 m，yH=0.395 0 m，θ1=0.165 5 rad，θ2=?0.247 9 rad，=0.4971 m/s，=0.048 6 m/s，=?1.256 5 rad/s，=0.005 2 rad/s，z1=0 m，z2=0 m.

取不同的σ0,σ1值進(jìn)行仿真，將數(shù)值結(jié)果與文獻(xiàn)[22]中采用庫倫干摩擦?xí)r的數(shù)值結(jié)果比較.數(shù)值結(jié)果表明：當(dāng)σ0=1.0×106m?1，σ1=時，兩者的數(shù)值結(jié)果吻合得很好，如圖4 所示.

圖4(a)為圓弧足被動行走器的腿1 與y軸夾角θ1的相圖，圖4(b)為圖4(a)中局部區(qū)域D1 的放大圖.虛(紅)線為LuGre 摩擦模型的數(shù)值結(jié)果，實(藍(lán))線為庫倫干摩擦模型的數(shù)值結(jié)果，二者的差異很小.說明在該參數(shù)條件下LuGre 摩擦模型用于描述被動行走器支撐足與地面間的摩擦是可行的.

圖4 θ1的相圖Fig.4 Phase diagram of θ1

圖4 θ1的相圖(續(xù))Fig.4 Phase diagram of θ1(continued)

2.2 算例2 被動行走器的黏滯與滑移現(xiàn)象

在適當(dāng)參數(shù)條件下，被動行走器在行走過程中會發(fā)生黏滯與滑移現(xiàn)象.本文中算例的仿真參數(shù)及初始條件如下，未列出的參數(shù)和算例1 相同.

系統(tǒng)參數(shù)：μ=0.15，μ0=0.20.

初始條件為：xH=0.0 m，yH=0.399 1 m，θ1=0.032 9 rad，θ2=0.017 0 rad，=0.236 2 m/s，=0.006 0 m/s，=?0.590 9 rad/s，=2.386 2 rad/s，z1=0 m，z2=0 m.

通過數(shù)值仿真，圖5(a)給出了圓弧足被動行走 器的腿1、腿2 與y軸夾角θ1，θ2的相圖；圖5(b)為vr，F(xiàn)N，F(xiàn)s的時間 歷程圖，圖5(c)為圖5(b)中局部區(qū)域D 的放大圖.在圖5(c)中標(biāo)注為slip 的區(qū)間，支撐足與地面接觸時發(fā)生打滑；在圖5(c)中標(biāo)注為stick 的區(qū)間，支撐足與地面間無滑動，為黏滯狀態(tài)；在圖5(c)中標(biāo)注為no contact 的區(qū)間，表示腿部處于非接觸擺動狀態(tài).

圖5 被動行走器的黏滯與滑移現(xiàn)象Fig.5 Stick-slip phenomenon of passive walker

可以看出，LuGre 摩擦模型可以很好地描述被動行走器的支撐足與地面間的滑動摩擦力和靜摩擦力.

2.3 算例3 動摩擦系數(shù)對被動行走器步態(tài)的影響

文獻(xiàn)[16-20]中指出：斜面傾角的變化會導(dǎo)致2-連桿被動行走器的產(chǎn)生倍周期分岔或混沌運(yùn)動.文獻(xiàn)[23]中在研究圓弧足被動行走器時也發(fā)現(xiàn)了這些現(xiàn)象，同時他們還研究了擺動腿質(zhì)心位置、圓弧足半徑、圓弧足與地面間的接觸剛度和接觸阻尼等參數(shù)等對被動行走器動力學(xué)特性的影響，如髖關(guān)節(jié)H點沿斜面的平均速度V、行走一步所用的時間T、步幅A(兩腿間的最大夾角)，以及作用于支撐足上的最大法向接觸力Fmax等.

在下面的算例中，將通過數(shù)值仿真分析圓弧足與地面間的摩擦系數(shù)和滾阻系數(shù)對被動行走器動力學(xué)特性(如：V，T，A和Fmax)的影響.

本算例分析圓弧足與地面間的摩擦系數(shù)對被動行走器動力學(xué)特性的影響.仿真所用的參數(shù)及初始條件如下，未列出參數(shù)和算例1 相同.

系統(tǒng)參數(shù)：J1=J2=6×10?3kg·m2，γ=0.11 rad，ζs=0 m.

初始條件：xH=0.0 m，yH=0.373 7 m，θ1=0.389 3 rad，θ2=?0.410 9 rad，=0.236 2 m/s，=0.316 2 m/s，=?2.114 1 rad/s，=?0.647 1 rad/s，z1=0 m，z2=0 m.

通過數(shù)值仿真發(fā)現(xiàn)，當(dāng)μ <0.352 時，被動行走器會打滑摔倒，難以持續(xù)行走；當(dāng)摩擦系數(shù)較大時，被動行走器的行走特征幾乎不變.在此，通過數(shù)值仿真詳細(xì)分析動摩擦系數(shù)μ∈[0.35,0.40]對被動行走器動力學(xué)特性V,T,A,Fmax的影響.仿真時間歷程為200 s，取后50 s (穩(wěn)態(tài)解)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，數(shù)值結(jié)果如圖6 所示.

圖6(a)～圖6(d)分別給出了被動行走器動力學(xué)特性V,T,A,Fmax受動摩擦系數(shù)的影響.從圖中可以看出，動摩擦系數(shù)的變化對這4個量的影響很小，速度在0.75 m/s 附近，周期約0.85 s，腿部擺動幅度約1.125 rad.

圖6 V,T,A,Fmax與μ的關(guān)系Fig.6 Relationship between V,T,A,Fmaxandμ

摩擦系數(shù)對行走器步態(tài)的V,T,A,Fmax的影響很小.但進(jìn)一步的仿真結(jié)果表明：當(dāng)摩擦系數(shù)逐步變小時，被動行走器的動力學(xué)特性會發(fā)生一項更顯著的變化(分岔現(xiàn)象).

取圓弧足與地面接觸瞬時作為映射截面，圖7(a)和圖7(b)分別給出了被動行走器雙腿與y軸的夾角及其角速度隨動摩擦系數(shù)變化的分岔圖.其中在PD-1、PD-2 所標(biāo)注的參數(shù)下，被動行走器的運(yùn)動發(fā)生倍周期分岔.在PD-1 點處其運(yùn)動從周期-1 步態(tài)變?yōu)橹芷?2 步態(tài)，在PD-2 點處其運(yùn)動從周期-2 步態(tài)變?yōu)橹芷?4 步態(tài).

圖7 動摩擦系數(shù)μ導(dǎo)致的倍周期分岔現(xiàn)象Fig.7 Period-doubling bifurcation caused by the dynamic friction coefficientμ

通過數(shù)值仿真，圖8 給出了動摩擦系數(shù)μ分別為0.38，0.36 和0.354 時被動行走器髖關(guān)節(jié)縱坐標(biāo)yH的相圖.可以看出：當(dāng)μ=0.38 時，被動行走器具有無滑動的周期-1 步態(tài)，如圖8(a)所示；當(dāng)μ=0.36 時，該被動行走器具有單腿有滑動的周期-2 步態(tài)，如圖8(b)所示；當(dāng)μ=0.354 時，該被動行走器具有單腿有滑動的周期-4 步態(tài)，如圖8(c)所示.其中圖8(b)與圖8(c)中紅色線框區(qū)域為發(fā)生打滑區(qū)域.這是由于當(dāng)摩擦系數(shù)減小，圓弧足與斜面間的接觸點無法提供足夠的摩擦力，發(fā)生打滑，導(dǎo)致了腿1、腿2的運(yùn)動不一致，存在“大小步”現(xiàn)象.

圖8 髖關(guān)節(jié)H 點縱坐標(biāo)yH 的相圖Fig.8 Phase diagram of yH

2.4 算例4 滾阻系數(shù)對被動行走器步態(tài)的影響

本算例分析圓弧足與地面間的滾阻系數(shù)對被動行走器動力學(xué)特性的影響，部分仿真參數(shù)如下，未列出的參數(shù)同算例1 中對應(yīng)參數(shù).

系統(tǒng)參數(shù)：J1=J2=9.6×10?3kg·m2，γ=0.02 rad，μ=0.40，μ0=0.50.

初始條件：xH=0.0 m，yH=0.395 0 m，θ1=0.165 5 rad，θ2=?0.247 9 rad，=0.497 1 m/s，=0.048 6 m/s，=?1.256 5 rad/s，=0.005 2 rad/s，z1=0 m，z2=0 m.

在本算例中，圓弧足與地面間的滾阻系數(shù)的取值范圍為ζ∈[0.0 mm,5.0 mm].設(shè)定仿真時間200 s，取后50 s(穩(wěn)態(tài)解)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析.分析結(jié)果如圖9 所示.

圖9(a)給出了髖關(guān)節(jié)H點沿斜面的平均速度V隨滾阻系數(shù)的變化曲線，V隨滾阻系數(shù)的增大而減小；圖9(b)給出了每行走一步所用的時間T隨滾阻系數(shù)的變化曲線，T隨滾阻系數(shù)的增大而增大；圖9(c)給出了步幅A隨滾阻系數(shù)的變化曲線，A隨滾阻系數(shù)的增大而減??；圖9(d)給出了足地間的最大法向接觸力Fmax隨滾阻系數(shù)的變化曲線，F(xiàn)max隨滾阻系數(shù)的增大而減小.

圖9 不同滾阻系數(shù)下的步態(tài)特征: V,T,A,FmaxFig.9 Gait characteristics under different rolling resistance coefficients:V,T,A,Fmax

不同于摩擦系數(shù)，滾阻系數(shù)對行走器的步態(tài)特征(V,T,A,Fmax)的影響很大.下面比較不同滾阻系數(shù)下被動行走器的運(yùn)動狀態(tài).

圖10(a)和圖10(b)分別給出了滾阻系數(shù)ζ為0.0 mm,3.0 mm，5.0 mm 時被動行走器髖關(guān)節(jié)縱坐標(biāo)yH的相圖以及雙腿擺動角度θ1,θ2的相圖.從圖中可以看出，雖然滾阻系數(shù)改變了，被動行走器仍以周期-1 的步態(tài)行走.只是隨著滾阻系數(shù)的增大，雙腿擺動角的幅值和角速度幅值都逐漸減小.

圖10 不同滾阻系數(shù)下的(yH,)與(θ,)相圖Fig.10 Phase diagram(yH,)and(θ,)under different rolling resistance coefficients

3 結(jié)論

本文首先采用擴(kuò)展的赫茲接觸模型、LuGre 摩擦模型以及滾阻模型描述圓弧足與地面的接觸力，然后通過第二類Lagrange 方程得到了被動行走器的動力學(xué)方程，最后通過數(shù)值仿真分析了摩擦系數(shù)和滾阻系數(shù)對被動行走器的運(yùn)動特性的影響.本文研究結(jié)果表明：

(1)與庫倫干摩擦模型相比，采用LuGre 摩擦模型描述足地間的摩擦，可降低判斷stick-slip 運(yùn)動狀態(tài)的計算成本，易于編程計算，但該模型的某些參數(shù)不易獲取.

(2)當(dāng)足地間的摩擦系數(shù)較大時，足地接觸時無相對滑動，被動行走器的動力學(xué)特性不會隨摩擦系數(shù)的改變而改變，但當(dāng)摩擦系數(shù)較小時，足地間存在stick-slip 切換，摩擦系數(shù)的變化對髖關(guān)節(jié)H點沿斜面的平均速度V、每行進(jìn)一步所需的時間T、行進(jìn)步幅A，以及足地間的最大法向接觸力Fmax的影響很?。坏珪淖兤洳綉B(tài)類型，隨著摩擦系數(shù)的不斷減小，其行走步態(tài)會由周期-1 步態(tài)變化為周期-2 步態(tài)、由周期-2 步態(tài)變化為周期-4 步態(tài)，當(dāng)摩擦系數(shù)減小到一定程度時，會產(chǎn)生混沌運(yùn)動或摔倒.

(3)滾阻系數(shù)對被動行走器某些動力學(xué)特性(V，T，A，F(xiàn)max)的影響較大，但在足地間無滑動的情況下，不會改變其行走步態(tài)，無倍周期分岔現(xiàn)象.

后續(xù)有必要對含膝關(guān)節(jié)的被動行走器(或欠驅(qū)動行走器)進(jìn)行研究.研究膝關(guān)節(jié)、髖關(guān)節(jié)處的非光滑因素對雙足行走過程的影響，為雙足機(jī)器人的設(shè)計和精度提高等提供有價值的指導(dǎo)意見.