梁在固有振動中的對偶關(guān)系1)

胡海巖

(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,飛行器動力學(xué)與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100081)

引言

梁是分析和設(shè)計(jì)工程結(jié)構(gòu)時常用的簡化模型，其結(jié)構(gòu)動力學(xué)分析已有數(shù)百年歷史，相對比較成熟.近年來，人們?nèi)找骊P(guān)注梁的動力學(xué)設(shè)計(jì).例如，提出變截面梁的“聲學(xué)黑洞”概念并利用其進(jìn)行減振設(shè)計(jì)[1-2]；對梁的截面和邊界進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化來獲得期望的動力學(xué)特性[3-4].在這些研究中，通常給定梁的動特性，求解梁的截面變化和邊界條件.對于這類結(jié)構(gòu)動力學(xué)反問題，其提法是否正確、求解能否成功，往往取決于對結(jié)構(gòu)動力學(xué)的理論認(rèn)知.

以約束設(shè)計(jì)為例，結(jié)構(gòu)動力學(xué)理論指出，對結(jié)構(gòu)施加約束將提升(至少不降低)其各階固有頻率，而結(jié)構(gòu)施加約束前后的固有頻率彼此相間[5].對于含靜不定約束的結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，工程界主要關(guān)注其彈性振動，通常認(rèn)為施加約束后的靜定結(jié)構(gòu)固有頻率提升.多年前，筆者曾在教材中指出等截面梁的一類固有振動現(xiàn)象，即略去剛體運(yùn)動后，自由-自由梁與固支-固支梁的固有頻率相同，而鉸支-自由梁與鉸支-固支梁的固有頻率相同[6].21 世紀(jì)以來，若干著作和教材也提及上述現(xiàn)象[7-8].雖然這些現(xiàn)象不違背上述結(jié)構(gòu)動力學(xué)的約束理論，但人們詫異為何將梁的自由邊界完全約束后不改變?nèi)魏螐椥哉駝拥墓逃蓄l率.這是某種巧合，還是這些梁之間具有某種內(nèi)在聯(lián)系？如果是內(nèi)在聯(lián)系，變截面梁之間是否也存在這種聯(lián)系？

20 世紀(jì)60 年代，Karnopp[9]基于對偶變分原理研究變截面梁的固有振動問題，將不同邊界條件下具有相同固有頻率的梁稱為對偶.此后，Ram和Elhay[10]將變截面梁的微分方程進(jìn)行有限差分，通過代數(shù)方法研究了梁的固有振動對偶問題.Wang 等[11]將材料力學(xué)中的共軛梁概念引入結(jié)構(gòu)動力學(xué)，研究了梁在靜定約束和靜不定約束下的類比問題，重點(diǎn)討論梁的振型節(jié)點(diǎn)規(guī)律.在結(jié)構(gòu)動力學(xué)研究中，人們還引入多種對偶概念并開展相關(guān)研究，包括彈性結(jié)構(gòu)與黏彈性結(jié)構(gòu)之間的對偶問題[12]、基于辛對偶的結(jié)構(gòu)振動分析[13]，但并未系統(tǒng)解決梁在固有振動中的對偶問題.

本文針對由線彈性均質(zhì)材料制成的Euler-Bernoulli 直梁(以下簡稱為梁)，將兩種梁具有相同固有頻率作為對偶，系統(tǒng)研究各種對偶關(guān)系.第1 節(jié)給定梁的截面變化和齊次邊界條件，確定其對偶梁的截面變化規(guī)律和齊次邊界條件.第2 節(jié)限定對偶梁具有相同的截面變化，確定梁的截面變化規(guī)律和齊次邊界條件.第3 節(jié)討論等截面梁的對偶問題，指出等截面梁會產(chǎn)生新的對偶.

1 不同截面變化梁的對偶

本節(jié)給定某種梁的截面變化和齊次邊界條件，尋求另一種具有不同截面變化的梁和對應(yīng)的齊次邊界條件，使兩種梁具有相同固有頻率，成為對偶.按照齊次邊界條件，對變截面梁的上述對偶進(jìn)行分類，并指出梁的鏡像、相似與上述對偶的關(guān)系.

1.1 位移描述與彎矩描述

首先，考察圖1 所示的變截面梁a.以梁的左端為原點(diǎn)，建立沿梁軸線的位置坐標(biāo)x∈[0,L]，其中L>0 為梁的長度.采用梁截面中線的橫向位移(以下簡稱位移)v(x,t)描述梁的自由振動，則有

其中，ρ >0 為梁的材料密度，E>0 為梁的材料彈性模量，A(x)>0 和I(x)>0 為梁的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)，它們均關(guān)于x∈[0,L]二階連續(xù)可微.

圖1 變截面梁示意圖Fig.1 A non-uniform beam

注意到式(1)中的方括號項(xiàng)是梁a在動態(tài)變形過程中產(chǎn)生的彎矩，將其記為

由此可將式(1)改寫為

將式(2)兩端對時間t求兩次偏導(dǎo)數(shù)并交換偏導(dǎo)數(shù)順序，利用式(3)得到

上式可改寫為由彎矩M(x,t)描述的梁a的動力學(xué)方程

其次，考慮相同材料的變截面梁b，其長度也為L>0，截面積函數(shù)為截面慣性矩函數(shù)為它們也關(guān)于x∈[0,L]二階連續(xù)可微.采用位移描述梁b的自由振動，則有

將式(6)中的方括號項(xiàng)定義為梁b的彎矩

類比于對梁a的分析過程，可得到由彎矩描述的梁b的動力學(xué)方程

現(xiàn)取梁b的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)為

將式(9)代入式(6)和式(8)，則式(6)與式(5)中的偏微分方程形式完全相同，式(8)與式(1)也如此.本文稱滿足式(9)的梁a和梁b具有異截面對偶(a dual of different cross-sections)的動力學(xué)方程；即梁a的位移動力學(xué)方程與梁b的彎矩動力學(xué)方程相同，梁b的位移動力學(xué)方程與梁a的彎矩動力學(xué)方程相同.

上述梁a和梁b是否具有相同固有頻率，還取決于它們的邊界條件是否對偶.現(xiàn)考察梁的齊次邊界條件，這包括常見的固支邊界、鉸支邊界、自由邊界，以及圖1 梁右端的滑支邊界.該滑支邊界限定梁端部的轉(zhuǎn)角和剪力均為零，而其自身可在水平面上自由滑動，釋放梁彎曲變形引起的軸向變形和軸向力，也屬于齊次邊界條件[9,11].記xB∈{0,L}為梁的端點(diǎn)坐標(biāo)，考察基于位移和基于彎矩描述的4 種齊次邊界，其結(jié)果如表1 所示.將表1 中由位移描述的邊界條件v(xB,t)=0 和vx(xB,t)=0 轉(zhuǎn)化為由彎矩描述時，用到動力學(xué)方程(3)，其推理如下

其中，將1/ρA(xB)代換為是為了得到與位移描述中剪力為零相對稱的表達(dá)式.

將表1 中的第2 列和第3 列作對比可見，由位移描述的自由邊界等價(jià)于由彎矩描述的固支邊界，由位移描述的滑支邊界等價(jià)于由彎矩描述的滑支邊界，由位移描述的鉸支邊界等價(jià)于由彎矩描述的鉸支邊界，由位移描述的固支邊界等價(jià)于由彎矩描述的自由邊界.本文稱具有上述等價(jià)關(guān)系的一對邊界為對偶邊界(a dual of boundaries).

表1 位移和彎矩對偶描述下的齊次邊界條件Table 1 Dual description of displacement and bending moment for homogeneous boundaries

1.2 異截面對偶梁及其分類

如果長度相同的梁a和梁b具有異截面對偶動力學(xué)方程，且滿足對偶邊界條件，則兩者的動力學(xué)方程邊值問題具有相同形式，故它們具有相同固有頻率，本文稱其為異截面對偶梁.將表1 的4 種邊界條件進(jìn)行組合，得到表2 所示的16 種邊界條件.根據(jù)上述異截面對偶梁概念，可得到如下結(jié)論：

(1)表2 的異截面對偶梁分為7 類，其中第2類、第3 類和第4 類還可細(xì)分為子類A和子類B.但若梁a和梁b的截面積函數(shù)、截面慣性矩函數(shù)關(guān)于截面x=L/2 對稱(以下簡稱為彼此鏡像)，則上述子類A和子類B屬于彼此鏡像，可不必區(qū)分.

(2)對于上述7 類異截面對偶梁，第1 類至第3 類中的對偶梁具有不同邊界，第4 類至第6 類中的對偶梁具有相同邊界，第7 類中對偶梁具有彼此鏡像邊界，分別用黑色、藍(lán)色和紅色字體來區(qū)別.

(3)在上述7 類異截面對偶梁中，每類包括兩種固有頻率完全相同的梁；它們彼此的位移振型與彎矩振型相同，進(jìn)而可簡化計(jì)算.例如，若已知梁a的第r階位移振型vr(x)，由式(2)得到其彎矩振型Mr(x)=EI(x)?2vr(x)/?x2，則梁b的第r階位移振型可取為=Mr(x)；反之，若已知梁b的第r階位移振型，由式(7)得到其彎矩振型，則梁a的第r階位移振型可取為

表2 具有齊次邊界條件的梁分類(F:自由,S:滑支,H:鉸支,C:固支)Table 2 Classificatio of beams with homogeneous boundaries(F:free,S:slipping,H:hinged,C:clamped)

1.3 平凡與非平凡對偶

除了上述異截面對偶，梁a和梁b在如下兩種情況下也具有相同固有頻率.

(1)鏡像：即梁a及其邊界條件與梁b及其邊界條件關(guān)于截面x=L/2 對稱.顯然，兩鏡像梁的固有頻率相同，而它們的位移振型彼此為鏡像.

(2)相似：即梁a具有截面積函數(shù)A(x)和截面慣性矩函數(shù)I(x)，梁b具有與梁a相同的邊界，且具有截面積函數(shù)βA(x)和截面慣性矩函數(shù)βI(x)，其中β >0 使梁b仍保持為Euler-Bernoulli 梁.根據(jù)變截面梁的位移動力學(xué)方程，系數(shù)β>0 不影響梁的固有振動，即兩相似梁具有相同的固有頻率和位移振型.在對偶研究中，將它們視為同一根梁.

鏡像和相似具有如下特點(diǎn)：一是它們屬于平凡情況，無需對偶分析即獲得梁的上述固有振動行為；二是兩根梁彼此鏡像或相似時，具有相同固有頻率，屬于引言所界定的對偶；三是根據(jù)1.2 節(jié)中異截面對偶梁的位移振型與彎矩振型關(guān)系，它們不屬于異截面對偶；四是對于兩根彼此鏡像或相似的梁，若其中之一與另一根梁構(gòu)成異截面對偶，則它們均與該梁構(gòu)成異截面對偶，即鏡像或相似可傳遞對偶信息.基于上述特點(diǎn)，本文將鏡像和相似作為平凡對偶(trivial dual)，而將異截面對偶作為非平凡對偶(non-trivial dual).

1.4 案例：截面積四次變化的梁

現(xiàn)通過案例展示如何基于異截面對偶條件分析梁的固有振動.考察變截面固支-固支梁a，其截面積函數(shù)為A(x)=A0(1+αx)4，A0>0，α>?1/L，截面慣性矩函數(shù)為I(x)=，rg>0 為截面回轉(zhuǎn)半徑.根據(jù)式(1)得到梁的位移動力學(xué)方程邊值問題

引入新的函數(shù)w(x,t)≡(1+αx)2v(x,t)，可將式(12)轉(zhuǎn)化為[14]

這是常見的等截面固支-固支梁的動力學(xué)方程邊值問題，其固有頻率和位移振型為[6-8]

變截面固支-固支梁a具有式(14a)給出的固有頻率，而其位移振型為

取變截面自由-自由梁b的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)分別為

根據(jù)異截面對偶關(guān)系，自由-自由梁b具有與固支-固支梁a相同的固有頻率，其位移振型可取為

該結(jié)果的正確性可通過將式(17)代入變截面自由-自由梁b的動力學(xué)邊值問題得以驗(yàn)證.圖2 是α=2/L時異截面對偶梁的前三階位移振型，此時梁a的截面積左小右大，故位移振型的幅值左高右低；而梁b的截面積變化相反，故位移振型的幅值左低右高.

圖2 α=2/L 時異截面對偶梁的最大位移歸一化振型(第一階：黑色，第二階：紅色，第三階：藍(lán)色)Fig.2 The normalized displacement mode shapes of a dual of beams of different cross-sections for α=2/L(the 1st order:black,the 2nd order:red,the 3rd order:blue)

2 相同截面變化梁的對偶

本節(jié)限定兩種變截面梁具有相同的截面變化，研究它們在什么條件下具有相同固有頻率.為直觀起見，先討論一個案例，再研究一般情況.

2.1 案例：截面積指數(shù)變化的梁

考察固支-固支梁a，設(shè)其具有高度不變、寬度隨指數(shù)變化的矩形截面，記截面積函數(shù)為A(x)=A0exp(αx)，A0>0，截面慣性矩函數(shù)為I(x)=其中rg>0 為截面回轉(zhuǎn)半徑.

再考察自由-自由梁b，取其截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)為

因此，自由-自由梁b與固支-固支梁a構(gòu)成異截面對偶梁.將梁b的鏡像記為梁c，梁c可傳遞梁b攜帶的對偶信息，故自由-自由梁c與固支-固支梁a構(gòu)成異截面對偶梁.注意到梁c的截面積和截面慣性矩分別為

再將自由-自由梁c的截面積和截面慣性矩乘以β，得到與梁c相似的自由-自由梁d，梁d與梁c具有相同固有頻率.從邏輯上看，固支-固支梁a與自由-自由梁d構(gòu)成異截面對偶梁，具有相同的固有頻率，兩者的位移振型是對偶的彎矩振型.然而，梁d與梁a具有相同的截面積和截面慣性矩.由于這是相同截面變化的梁在不同邊界條件下的對偶，故稱其為同截面對偶(dual of identical cross-sections).在后續(xù)研究中，可不再區(qū)分梁a和梁d.

為了進(jìn)一步理解梁的同截面對偶，求解變截面固支-固支梁a的固有振動，再通過同截面對偶獲得其在自由-自由邊界條件下的固有振動.將梁a的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)代入式(1)，消去A0exp(αx)>0，得到線性常系數(shù)偏微分方程

其中cL為梁的縱波波速.將分離變量解v(x,t)=v(x)sin(ωt)代入式(20)，得到常微分方程

其中κ 為波數(shù).式(21)的特征方程為

由于求解式(22)的解析解比較復(fù)雜，現(xiàn)研究α 為小參數(shù)時的情況，將式(22)的解近似表示為λ≈η0+η1α.將該表達(dá)式代入式(22)，比較α 的同次冪，得到η0∈{±iκ,±κ}，η1=?1/2，進(jìn)而得到近似特征值

此時，式(21)的解具有如下形式

對于固支-固支邊界梁a，將式(24)代入其邊界條件，得到

根據(jù)式(25)有非零解的充分必要條件，可得到與等截面固支-固支梁相同的特征方程.因此，變截面固支-固支梁a具有式(14a)給出的固有頻率，而根據(jù)式(24)可得到其位移振型

再考察與梁a對偶的自由-自由梁b，它滿足式(18).此時，梁b的固有頻率與梁a完全相同，而其位移振型等同于梁a的彎矩振型，可取為

將式(27)中的位置坐標(biāo)x代換為L-x或改變α 的正負(fù)號，可得到梁c的位移振型也就是梁d和梁a在自由-自由邊界條件下的位移振型.

圖3 給出α=1/2L時固支-固支梁和自由-自由梁的前三階位移振型.由于α >0，梁的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)均隨位置坐標(biāo)x遞增，故圖3 中梁的右端位移小于左端位移.

圖3 α=1/2L 時同截面對偶梁前三階最大位移歸一化振型(第一階：黑色，第二階：紅色，第三階：藍(lán)色)Fig.3 The normalized displacement mode shapes of a dual of beams with identical cross-sections(the 1st order:black,the 2nd order:red,the 3rd order:blue)

2.2 同截面對偶條件

現(xiàn)將第2.1 節(jié)的分析思路進(jìn)行推廣，得到梁的同截面對偶條件如下：存在常數(shù)β >0，使其截面積函數(shù)A(x)和慣性矩函數(shù)I(x)滿足

通過變量代換可知，式(28)中的兩個條件等價(jià).現(xiàn)選擇第一個條件進(jìn)行研究，將其改寫為

引入新變量y及兩個新函數(shù)

可將式(30)表示為

由式(31)和式(32)解出

因此，選擇光滑函數(shù)f(y),y∈[?L/2,L/2]，即可由式(33)得到滿足式(28)的截面積函數(shù)A(x)和截面慣性矩函數(shù)I(x).雖然式(33)限定了梁的截面變化，但因光滑函數(shù)f(y)的任意性，同截面對偶梁的設(shè)計(jì)空間非常大.以下討論兩種典型情況.

(1)f(y)為奇函數(shù)：此時，A(x)和I(x)均關(guān)于x=L/2 反對稱，且

此時，截面回轉(zhuǎn)半徑rg為常數(shù).不難驗(yàn)證，第2.1 節(jié)案例中梁的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)滿足式(33)和式(34)，故該案例構(gòu)成同截面對偶.

現(xiàn)以更復(fù)雜的奇函數(shù)f(y)=?α sin(πy/L)，α>0為例，討論同截面對偶關(guān)系.由式(33)得到容易驗(yàn)證，式(35)滿足式(28).設(shè)固支-固支梁a具有式(35)所給出的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)，圖4 依次給出固支-固支梁a，與梁a異截面對偶的自由-自由梁b，以及梁b的鏡像梁c的截面積對比.此時，梁c的截面積為?B(x)=A(x)/β，截面慣性矩為?J(x)=I(x)/β.將它們乘以β，得到與梁c相似的自由-自由梁d.由于梁d的截面積和截面慣性矩正是A(x)和I(x)，故梁d與梁a是同截面對偶.換言之，將梁a的固支-固支邊界改為自由-自由邊界后，兩者具有相同固有頻率.

圖4 固支-固支梁a，對偶的自由-自由梁b，梁b 的鏡像梁c 的截面積對比Fig.4 A comparison of cross-sectional areas among clamped-clamed beam a,free-free beam b in a dual,and beam c mirrored from beam b

(2)f(y)為偶函數(shù)：此時，A(x)和I(x)均關(guān)于x=L/2 對稱，而截面回轉(zhuǎn)半徑隨x變化

以偶函數(shù)f(y)=αy2,α>0 為例，由式(33)得到

不難驗(yàn)證，式(37)滿足式(28).設(shè)固支-固支梁a具有式(37)所給出的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)，圖5 依次給出固支-固支梁a，與梁a異截面對偶的自由-自由梁b，以及梁b的鏡像梁c的截面積對比.引入與梁c相似的自由-自由梁d，即得到固支-固支梁a的同截面對偶.

圖5 固支-固支梁a，對偶的自由-自由梁b，梁b 的鏡像梁c 的截面積對比Fig.5 A comparison of cross-sectional areas among clamped-clamed beam a,free-free beam b in a dual,and beam c mirrored from beam b

2.3 同截面對偶梁的分類

對于滿足式(28)的變截面梁，現(xiàn)根據(jù)表2 考察形成同截面對偶梁的邊界條件.第2.2 節(jié)已分析了自由-自由梁與固支-固支梁的同截面對偶.類比第2.2 節(jié)討論梁a、異截面對偶梁b及其鏡像梁c、與梁c相似的梁d之間的關(guān)系，可證明表2 中的第2 類至第4 類梁也屬于同截面對偶.以第2A 類的滑支-自由梁a為例，其異截面對偶是滑支-固支梁b，梁b的鏡像是固支-滑支梁c，而與梁c相似的固支-滑支梁d具有與梁a相同的截面積和截面慣性矩；因此，第2A 類的滑支-自由梁與第2B 類的固支-滑支梁屬于同截面對偶.采用相同方法可證明，第2A 類的滑支-固支梁與第2B 類的自由-滑支梁屬于同截面對偶；第3A 類的鉸支-自由梁與第3B 類的固支-鉸支梁屬于同截面對偶；第3A 類的鉸支-固支梁與第3B 類的自由-鉸支梁屬于同截面對偶；第4A 類的鉸支-滑支梁與第4B 類的滑支-鉸支梁屬于同截面對偶.

2.4 同截面非對偶梁

由于同截面對偶梁要滿足比異截面對偶梁更苛刻的截面條件，故表2 中同截面對偶梁類別比異截面對偶梁類別要少.以第7 類梁為例，考察固支-自由梁a，其異截面對偶是自由-固支梁b，而梁b的鏡像是固支-自由梁c，它與梁a具有相同截面變化和相同邊界條件.根據(jù)第1.3 節(jié)的討論，梁a與梁c相似，可視為同一根梁，屬于平凡對偶.換言之，固支-自由梁只能與其自身同截面對偶，其同類中的自由-固支梁也如此.此外，上述固支-自由梁a與自由-固支梁b的截面變化、邊界條件均滿足鏡像條件，故兩梁彼此鏡像，屬于平凡對偶.不難證明，表2 中的第5 類梁和第6 類梁均只能與自身同截面對偶，也屬于平凡對偶.

2.5 非同截面對偶梁

不滿足式(28)的變截面梁比比皆是.以第1.4節(jié)中截面積四次變化梁a為例，其截面慣性矩為I(x)=，但截面積函數(shù)A(x)不具有式(33)的形式，故該梁不具有同截面對偶.已有研究表明[14]，截面積四次變化梁在固支-固支邊界和自由-自由邊界下具有不同固有頻率.

3 等截面梁的對偶

3.1 變截面梁的退化結(jié)果

對于滿足A(x)≡A0>0 和I(x)≡的等截面梁a，記其縱波波速cL≡根據(jù)式(1)和式(5)，可將梁的位移動力學(xué)方程邊值問題和彎矩動力學(xué)方程邊值問題分別簡化為

上述兩式列出了所有可能邊界條件的集合，對具體問題應(yīng)根據(jù)表1 進(jìn)行組合.根據(jù)式(9)選擇梁b，可類似地得到其位移動力學(xué)方程邊值問題和彎矩動力學(xué)方程邊值問題

由于上述方程中不出現(xiàn)截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù)，可認(rèn)為梁a和梁b是完全相同的梁，只能通過不同的齊次邊界條件構(gòu)成同截面對偶.注意到式(38)與式(41)的邊界條件形式相同，式(39)和式(40)的邊界條件形式相同.因此，在位移描述和彎矩描述對偶的前提下，有如下結(jié)論：

(1)表2 中的前3 類等截面梁保持同截面對偶：第1 類是自由-自由梁與固支-固支梁對偶；第2 類是滑支-自由梁與固支-滑支梁對偶，或該對偶的鏡像；第3 類是鉸支-自由梁與固支-鉸支梁對偶，或該對偶的鏡像.這3 類對偶各有兩種梁，一種梁具有靜定約束，而另一種梁具有靜不定約束.

(2)對于等截面梁，表2 中第4 類的兩種梁、第7 類的兩種梁均屬于彼此鏡像，第5 類和第6 類的梁則各屬于一根梁；它們均屬于平凡對偶.

3.2 等截面梁的對偶拓展

在位移描述和彎矩描述下，滑支-滑支梁、鉸支-鉸支梁各屬于平凡對偶，彼此無對偶關(guān)系.但值得注意的是，鉸支-鉸支梁具有靜定約束，而滑支-滑支梁具有靜不定約束，這恰好是3.1 節(jié)中前3 類等截面梁對偶共有的基本特征.由此可猜想，在等截面前提下，這兩種梁可否在其他描述下構(gòu)成對偶？

根據(jù)式(38)，等截面滑支-滑支梁的位移動力學(xué)方程邊值問題為

將式(42)中的偏微分方程兩端對位置坐標(biāo)x求一次偏導(dǎo)數(shù)，并將結(jié)果替換為梁的轉(zhuǎn)角描述θ(x,t)≡vx(x,t)，得到等截面梁的轉(zhuǎn)角動力學(xué)方程邊值問題

注意到式(43)與位移描述的等截面鉸支-鉸支梁動力學(xué)方程邊值問題具有相同形式，故等截面滑支-滑支梁的轉(zhuǎn)角動力學(xué)與等截面鉸支-鉸支梁的位移動力學(xué)之間可形成同截面對偶.若不計(jì)滑支-滑支梁垂直于軸線的剛體運(yùn)動，這兩種梁的第r階固有振動頻率均為

根據(jù)等截面鉸支-鉸支梁的位移振型，可取等截面滑支-滑支梁的轉(zhuǎn)角振型為

將上式對x積分，得到不計(jì)剛體運(yùn)動時的等截面滑支-滑支梁的位移振型

3.3 剛體運(yùn)動

最后以等截面梁為例，證明在非平凡對偶的兩種梁中，必有一種梁具有剛體運(yùn)動.考察對偶中含靜定約束的梁，記其振動波數(shù)為κ >0.考察對偶梁的轉(zhuǎn)角和曲率，將其寫為分離變量形式

將式(47a)和(47b)分別關(guān)于位置坐標(biāo)x積分一次和兩次，得到

其中c5(t)，d5(t)和d6(t)是與剛體運(yùn)動相關(guān)的時間函數(shù).式(48a)對應(yīng)滑支-滑支梁、滑支-自由梁的位移動力學(xué)，c5(t)是垂直于梁軸線的剛體運(yùn)動；式(48b)對應(yīng)自由-自由梁的位移動力學(xué)，d6(t)+xd5(t)是平面內(nèi)的剛體運(yùn)動；若式(48b)中的d6(t)=0，則對應(yīng)鉸支-自由梁的位移動力學(xué)，xd5(t)是繞梁左端鉸的剛體轉(zhuǎn)動.這些梁缺少足夠的約束消除c5(t)，d5(t)和d6(t)，故必有剛體運(yùn)動.

上述過程先獲得梁在平衡位置附近的彈性振動，再積分獲得剛體運(yùn)動，形成兩者的線性疊加.因此，式(48)僅適用于描述在平衡位置附近作直線剛體運(yùn)動的滑支-滑支梁、滑支-自由梁，以及在平衡位置附近呈現(xiàn)低速剛體轉(zhuǎn)動的鉸支-自由梁、自由-自由梁.當(dāng)鉸支-自由梁、自由-自由梁的剛體轉(zhuǎn)動速度較高時，則必須采用柔體動力學(xué)方法，計(jì)入梁的剛體轉(zhuǎn)動與彈性振動的非線性耦合.

4 結(jié)論

(1)對于具有齊次邊界條件的變截面梁，引入與位移描述對偶的彎矩描述，可獲得不同截面變化下具有相同固有頻率的對偶梁，本文稱之為異截面對偶.研究表明，上述變截面梁可劃分為以下7 類異截面對偶，一是自由-自由梁與固支-固支梁，二是滑支-自由梁與滑支-固支梁(及其鏡像)，三是鉸支-自由梁與鉸支-固支梁(及其鏡像)，四是鉸支-滑支梁與鉸支-滑支梁(及其鏡像)，五是滑支-滑支梁與滑支-滑支梁，六是鉸支-鉸支梁與鉸支-鉸支梁，七是固支-自由梁與自由-固支梁.

(2)若上述對偶中的兩種梁具有相同截面變化，本文稱其為同截面對偶.研究表明，同截面對偶梁具有特定指數(shù)函數(shù)形式的截面積函數(shù)和截面慣性矩函數(shù).在此條件下，上述前4 類對偶梁成為同截面對偶；而后3 類對偶梁只能與其自身或鏡像構(gòu)成同截面對偶，屬于平凡對偶.

(3)若進(jìn)一步限定梁具有等截面，則前3 類對偶梁保持同截面對偶關(guān)系，第4 類對偶梁退化為彼此鏡像.此時，通過引入與位移描述對偶的轉(zhuǎn)角描述，可發(fā)現(xiàn)等截面梁的一種新對偶，即滑支-滑支梁與鉸支-鉸支梁對偶.等截面梁的這4 種對偶均具有如下特征，即一種梁具有靜定約束，而另一種梁具有靜不定約束.

表3 給出上述結(jié)論的完整歸納，在滿足表中第一行的對偶條件前提下，不同齊次邊界條件給出不同的對偶結(jié)果.其中，符號?代表非平凡對偶；符號代表平凡對偶；采用表2 的約定，以黑色字體表示對偶梁具有不同邊界，藍(lán)色字體表示對偶梁有相同邊界，紅色字體表示對偶梁有鏡像邊界.

上述結(jié)論不僅可提升對梁的固有振動特性認(rèn)知水平，而且可為梁的動力學(xué)設(shè)計(jì)提供截面變化規(guī)律和邊界條件選擇的理論依據(jù).

表3 梁的對偶條件及在齊次邊界條件下的分類(F:自由,S:滑支,H:鉸支,C:固支)Table 3 Classificatio of beams with homogeneous boundaries under dual Conditions(F:free,S:slipping,H:hinged,C:clamped)