基于遺傳算法的彈性地基加肋板肋梁無網(wǎng)格優(yōu)化分析1)

覃 霞 劉珊珊 諶亞菁 彭林欣,?,2)

?(廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院,南寧 530004)

?(廣西大學(xué)廣西防災(zāi)減災(zāi)與工程安全重點實驗室,工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室,南寧 530004)

引言

地基上加肋板是工程中一種常見的結(jié)構(gòu),如建筑物筏形基礎(chǔ)、混凝土剛性路面板、飛行跑道等.這類板殼結(jié)構(gòu)通常受均布、移動、集中等載荷作用,尤其是在不均勻載荷的長期影響下結(jié)構(gòu)易發(fā)生傾斜、變形、開裂等,造成嚴(yán)重的安全隱患和經(jīng)濟損失.因此在設(shè)計階段通過優(yōu)化肋梁布置來調(diào)整加肋板的局部剛度,有針對性地適應(yīng)載荷的局部不均勻性,可充分發(fā)揮彈性地基加肋板的力學(xué)性能,達(dá)到控制不均勻變形的目的.

目前,結(jié)構(gòu)優(yōu)化理論已被普遍應(yīng)用到宇航飛行、建筑結(jié)構(gòu)、造船機械等工程領(lǐng)域中[1-7].例如,喬遲等[1]利用有限元方法分析了大跨度加筋板架的尺寸優(yōu)化設(shè)計對結(jié)構(gòu)性能的影響;吳紅剛等[2]利用BIM技術(shù)分析了機場樁?錨?加筋組合結(jié)構(gòu)的優(yōu)化性能問題;陳爐云等[3]在遺傳算法的基礎(chǔ)上對復(fù)合材料板結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)?聲輻射鋪層幾何優(yōu)化問題進行了研究分析;李林遠(yuǎn)[4]主要采取約束隨機方向法和混合遺傳算法對矩形加肋板的肋條布局作優(yōu)化分析,以達(dá)到板中點撓度最小的目的;龔曙光等[5]以SCNIMLS 無網(wǎng)格法為基礎(chǔ),采用連續(xù)型統(tǒng)一設(shè)計靈敏度分析方法和伴隨變量法,結(jié)合約束變尺度序列二次規(guī)劃法,開展了板殼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計.

無網(wǎng)格方法[8]是近年來一種新的數(shù)值方法,文獻(xiàn)[9-12]主要論述了無網(wǎng)格法的研究進展,給出了無網(wǎng)格法在碰撞、動態(tài)裂紋擴展、金屬加工成型、流體力學(xué)以及其他領(lǐng)域中的應(yīng)用.無網(wǎng)格法主要有如下優(yōu)點[11]:容易構(gòu)造高階形函數(shù),提高精度且減少后處理工作量;能夠解決一些超大變形問題、裂紋擴展問題和高速沖擊問題等;不需要網(wǎng)格劃分且較易進行自適應(yīng)分析.近年來,國內(nèi)外學(xué)者在無網(wǎng)格方法的拓展創(chuàng)新性研究上不斷探索[13-33].例如,Liu等[23-24]在Glerkin 法的基礎(chǔ)上提出了多尺度重構(gòu)核質(zhì)點法(multi scale reproducing kernel particle method,MRKPM),主要應(yīng)用在結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)、CFD 以及聲學(xué)分析方面;彭林欣[29]采用了移動最小二乘無網(wǎng)格方法對矩形加肋板的彎曲問題進行計算分析.仿生學(xué)算法中的遺傳算法[34-35]作為一種優(yōu)化方法,是一個全局優(yōu)化能力強的算法,但是計算效率不高.近年來,這類適合并行計算的全局搜索方法一般與其他局部搜索能力強的算法結(jié)合起來形成混合算法[36-38],被應(yīng)用在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中.

由以上分析可知,多數(shù)研究都集中在平板或加肋板的彎曲、動力響應(yīng)等方面,而對于彈性地基加肋板肋條位置的優(yōu)化問題鮮見相關(guān)文獻(xiàn).本文則通過無網(wǎng)格伽遼金法并結(jié)合遺傳算法,根據(jù)實際需要(載荷情況等)優(yōu)化彈性地基加肋板的肋條位置,增大局部剛度,以減小局部變形.首先利用無網(wǎng)格的優(yōu)勢,基于一階剪切變形理論和移動最小二乘近似原理,建立了一個彈性地基加肋板的無網(wǎng)格模型計算彈性地基加肋板的彎曲問題,并實現(xiàn)肋條任意角度布置;其次將遺傳算法引入結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計中,針對肋條的布置進行位置優(yōu)化計算;最后以不同參數(shù)、載荷布置形式的彈性地基加肋板的肋條最佳布置位置進行分析求解,將本文解與ABAQUS 有限元解及文獻(xiàn)結(jié)果進行比較分析.研究表明,該方法能有效地分析彈性地基加肋板肋梁位置優(yōu)化問題,在肋條位置改變時,不需要重新劃分網(wǎng)格,具有一定的工程實際應(yīng)用價值.此外,本文方法將來還可以針對不同的地基參數(shù)(不均勻地基)對肋條位置進行優(yōu)化.

1 基于遺傳算法的彈性地基加肋板肋條無網(wǎng)格優(yōu)化列式

1.1 無網(wǎng)格力學(xué)模型

彈性地基加肋板如圖1 所示,假設(shè)其材質(zhì)均勻,彈性模量、泊松比、板厚、肋條高、肋條厚度、板寬及板長分別為E,μ,hp,hs,ts,W,L,并以彈簧模擬彈性地基(彈簧一端與加肋板節(jié)點連接,另一端固接).平板及肋條均用一系列點來離散,分別采用各自的坐標(biāo)系建立無網(wǎng)格力學(xué)模型(圖2),兩個坐標(biāo)系之間的關(guān)系如下

式中(x0,y0)為肋條坐標(biāo)系原點在平板整體坐標(biāo)系中的坐標(biāo).

圖1 彈性地基加肋板Fig.1 Ribbed plate on elastic foundation

圖2 無網(wǎng)格模型Fig.2 Meshfree model

1.2 平板及肋條的位移場

基于上述的無網(wǎng)格力學(xué)模型,記平板和肋條的節(jié)點總數(shù)分別為n和m,在各自的坐標(biāo)系中求出其位移場如下.

(1)形函數(shù)

由移動最小二乘近似[39]求出平板第I個節(jié)點的形函數(shù)

(2)平板位移場

平板節(jié)點自由度包括uop,vop,wp,φpx,φpy,其中uop,vop,wp分別表示節(jié)點沿x,y,z方向的平動位移,φpx,φpy分別表示節(jié)點繞y,x軸的轉(zhuǎn)角.基于一階剪切變形理論[40],將平板位移場表示為

式中,{u0pI(t),v0pI(t),wpI(t),φpxI(t),φpyI(t)}T=?pI為平板節(jié)點I的節(jié)點參數(shù),φpx,φpy,wp三者相互獨立,將式(3)寫成矩陣形式

(3)肋條位移場

以梁格模擬肋條,其節(jié)點自由度包括u0s,ws,φs,其中u0s和ws分別表示肋條節(jié)點沿肋條縱向軸線、方向的平動位移,φs表示節(jié)點繞肋條橫向軸線的轉(zhuǎn)角,同理可導(dǎo)出肋條位移場

式中,{u0sI(t),wsI(t),φsI(t)}T=?sI為肋條第I個節(jié)點的位移參數(shù),肋條形函數(shù)的計算方法與平板類似.將式(5)寫成矩陣形式

1.3 平板的勢能

由平板位移場可求出任意點(x,y)的線應(yīng)變及切應(yīng)變?yōu)?/p>

從而可求出平板的總勢能如下

1.4 肋條的勢能

由式(10)、式(11)可求出肋條的勢能為

其中,?s={?s1?s2...?sm}T,[Ks]IJ=分別為肋條截面厚度和面積.

1.5 彈性地基與加肋板的接觸勢能

假定彈性地基與加肋板緊密接觸則兩者的位移滿足連續(xù)條件,設(shè)基床反力系數(shù)ξ,則接觸力勢能可表示為

1.6 總勢能

將各勢能進行疊加可求出整個加肋板的勢能見式(14),其中k為肋條數(shù)量.

式中?p和?si分別代表平板、第i個肋條的位移,需通過兩者的位移協(xié)調(diào)來建立其關(guān)系式,如下.

1.7 平板與肋條的位移協(xié)調(diào)方程

如圖3 所示,肋條上的一節(jié)點S必能在板面上找到與其相應(yīng)的一點P(P點不一定是板節(jié)點),肋條節(jié)點與板節(jié)點之間的位移關(guān)系如下

圖3 位移協(xié)調(diào)示意圖Fig.3 Indication of displacement coordination

肋條上有m個節(jié)點,分別對應(yīng)板上不同的節(jié)點,故有m個類似式(15)～式(17)的關(guān)系式

根據(jù)一階剪切理論及移動最小二乘近似,由式(18)～式(20)可導(dǎo)出

其中,e=(hp+hs)/2 為同心肋條(肋條中軸線與與平板中面重合)時,e為零.由此可導(dǎo)出肋條節(jié)點參數(shù)與板節(jié)點參數(shù)的轉(zhuǎn)換方程

式中,Tsp為組裝而成的矩陣.

其中,R為3n×5n的矩陣,與角度θ 有關(guān),Tsp為3m×3n的矩陣,與Ts及Tp有關(guān),若肋條改變位置時只需重新計算矩陣Tp.因此,可以任意改變肋條位置,而不需要重新分布板的結(jié)點.記T=TspR,則式(24)可以寫成

因此,通過位移協(xié)調(diào)關(guān)系所導(dǎo)出的式(25)可將肋條的所有節(jié)點參數(shù)轉(zhuǎn)換成板的節(jié)點參數(shù),并實現(xiàn)肋條任意角度布置.

1.8 靜力彎曲控制方程

加肋板受分布載荷q(x,y)作用時外力所做的功為式(26),疊加載荷做的功及加肋板勢能,并通過2.7節(jié)所建立的轉(zhuǎn)換方程可導(dǎo)出總能量泛函為

由Hamilton 原理導(dǎo)出彎曲控制方程

此外,本文采用完全轉(zhuǎn)換法[41]處理本質(zhì)邊界條件,可求解彈性地基加肋板的靜力彎曲問題.

1.9 基于遺傳算法及改進混合遺傳算法的肋條位置優(yōu)化

基于遺傳算法(GA)[34]及改進混合遺傳算法(HGA)對肋條位置進行優(yōu)化,在特定載荷作用下控制彈性地基加肋板中點的撓度.本文的改進混合遺傳算法是在遺傳算法基礎(chǔ)上引入模擬退火算法[36],利用Metropolis 準(zhǔn)則對個體進行選擇操作,輔以最優(yōu)保存策略,并針對變異算子的特性采取自適應(yīng)變異概率作變異運算,效率相對較高.優(yōu)化運算的設(shè)計變量、目標(biāo)函數(shù)及約束條件如下.

(1)設(shè)計變量

本文僅對平行于x,y軸的肋條(分別記為x向和y向肋條)作平行移動來優(yōu)化肋條位置(圖4),設(shè)計變量為式(1)的x0,y0.此外,改變肋條傾角大小的優(yōu)化將另文考慮.

圖4 肋條位置優(yōu)化示意Fig.4 Optimization of rib position

(2)目標(biāo)函數(shù)及約束條件

以彈性地基上加肋板中點撓度(在工程中可根據(jù)實際需要選擇控制點)最小值作為目標(biāo)函數(shù)式(29),在優(yōu)化過程中肋條位置發(fā)生改變,但地基板節(jié)點分布不改變,故只需針對改變后肋條對應(yīng)的板結(jié)點重新計算轉(zhuǎn)換矩陣.

式中,x,y為設(shè)計變量,f(x,y)為目標(biāo)函數(shù),? 為可行域.

以板的長、寬范圍為約束條件

綜上所述,基于遺傳算法的彈性地基加肋板肋梁無網(wǎng)格優(yōu)化方法,可以優(yōu)化彈性地基加肋板肋條位置,控制計算域內(nèi)制定位置的撓度,以下通過算例作進一步的分析.

2 算例分析

以不同參數(shù)、載荷條件的彈性地基加肋板為例,通過C++編程計算分析靜力彎曲及肋條位置優(yōu)化問題,并將本文解與FEM 解(采用ABAQUS 建模分析)、現(xiàn)有文獻(xiàn)解進行對比.如圖5 所示,以下算例均采用矩形影響域:l1=λ×c1,l2=λ×c2,λ=4(肋條取λ=2).有限元模型的單元類型均為S4R,網(wǎng)格尺寸均為0.04 m×0.04 m.

圖5 影響域Fig.5 Influence domain

2.1 收斂性分析

采用不同離散方案分析本文方法的收斂性.一四邊固支彈性地基加肋板(圖6)E=17 MPa,μ=0.3,hs=0.1 m,hp和ts均為0.01 m,L=W=1 m,ξ=4.0×104N/m3,受均布載荷作用q=1 N/m2.計算彈性地基加肋板中點撓度,并與有限元進行對比,結(jié)果見表1 及圖7.研究表明,節(jié)點數(shù)增加到11×11 時本文結(jié)果趨于穩(wěn)定,認(rèn)為該離散方案使計算收斂.

圖6 彈性地基加肋板受均布力Fig.6 Ribbed plate on elastic foundation subjected to uniform loads nephogram

表1 彈性地基加肋板中點撓度(×10?5 m)Table 1 Midpoint deflection of ribbed plate on elastic foundation(×10?5 m)

圖7 收斂曲線Fig.7 Convergence curve

2.2 彈性地基加肋板彎曲分析

以矩形平板、垂直雙肋條板及斜向交叉肋條板為例,采用上述無網(wǎng)格方法對其進行彎曲分析,具體如下.

2.2.1 與現(xiàn)有文獻(xiàn)解對比

一四邊簡支平板E=210 GPa,μ=0.3,hp=0.01 m,W=L=1 m,受均布載荷q作用.現(xiàn)采用13×13 個均布節(jié)點對其進行離散計算撓度,并與文獻(xiàn)[42]、有限元解對比,結(jié)果見表2 及圖8.計算表明,本文解與現(xiàn)有文獻(xiàn)解、有限元解非常接近,相對誤差均在工程允許范圍內(nèi),有效驗證了本文方法的有效性.

2.2.2 垂直雙肋條板

一四邊固支均質(zhì)垂直雙肋條彈性地基加肋板如圖9 所示,兩個肋條參數(shù)一致,E=17 MPa,μ=0.3,hp和ts均為0.01 m,hs=0.1 m,W=L=1 m,ξ=4.0×104N/m3,均布載荷大小為1 N/m2.無網(wǎng)格模型采用13×13 個均布節(jié)點進行離散,板的撓度計算結(jié)果見表3,有限元位移云圖如圖10 所示,相應(yīng)的結(jié)果對比如圖11 所示.

表2 均布載荷作用下四邊簡支矩形板沿z 方向撓度值(10?4×Dw/qL4)Table 2 Deflection of plate on elastic foundation subjected to a uniform load with simple support(10?4×Dw/qL4)

圖8 本文方法與文獻(xiàn)[42]、FEM 的對比Fig.8 Comparison of the presented method with Ref.[42]and FEM

圖9 彈性地基加肋板受力示意Fig.9 Ribbed plate on elastic foundation subjected to uniform loads

結(jié)果表明,在求解彈性地基加肋板的彎曲問題時,本文解和有限元解的相對誤差都小于5%,充分證明了本文方法的有效性和準(zhǔn)確性.

表3 垂直肋條彈性地基加肋板撓度(×10?5 m)Table 3 Deflection of the vertical ribs stiffened plate on the elastic foundation(×10?5 m)

圖11 本文解與有FEM 的對比Fig.11 Comparison of the presented method with FEM

2.2.3 斜向交叉肋條板彎曲分析

在2.2.2 節(jié)算例的基礎(chǔ)上將肋條斜向交叉布置,兩肋條分別記為肋條I、肋條II(圖12),其余參數(shù)不變,改變肋條II 與x軸方向的夾角θ,分別取π/12,π/6,π/4,π/3,5π/12,采用有限元計算加肋板的最大撓度,并輸出其對應(yīng)點坐標(biāo),再采用本文方法計算該點的撓度,對比結(jié)果見表4 及圖13.研究表明,本文的無網(wǎng)格方法可以實現(xiàn)肋條在平板上按任意角度布置,且可在保持計算結(jié)果滿足所需精度的情況下保持地基板的離散方案不變,只要重新計算位移轉(zhuǎn)換矩陣Tp,省去了繁雜的網(wǎng)格重置工作,可見其在肋條位置重分布的結(jié)構(gòu)優(yōu)化計算方面具有很大的優(yōu)勢.

圖12 彈性地基交叉肋條板受均布力Fig.12 Cross ribbed plate on elastic foundation under uniform loads

表4 彈性地基交叉肋條板最大撓度(×10?5 m)Table 4 Maximum deflection of cross ribbed plate on elastic foundation(×10?5 m)

圖13 本文解與FEM 的對比Fig.13 Comparison of the presented method with FEM

2.3 基于遺傳算法及無網(wǎng)格法的彈性地基加肋板優(yōu)化分析

以單肋條板及垂直雙肋條板為例,在局部載荷作用下采用基于遺傳算法及無網(wǎng)格法優(yōu)化肋條位置,控制板中點撓度,具體如下.

2.3.1 本文優(yōu)化方法的有效性分析

以2.1 節(jié)垂直于板邊的單肋條彈性地基板為例,通過均勻載荷作用下的優(yōu)化結(jié)果來驗證本文方法的準(zhǔn)確性(圖14).顯然在均布載荷作用下肋條最優(yōu)位置為地基板中心對稱軸處,即(x0,y0)為(0.5,0).現(xiàn)采用本文所述的方法進行十次優(yōu)化分析:交叉概率Pc=0.4、變異概率Pm=0.05、遺傳終止迭代的次數(shù)定為20、種群數(shù)選為20(編號為1 至20,下同),結(jié)果見表5 和圖15.

圖14 單肋條彈性地基加肋板Fig.14 Single rib stiffened plate on the elastic foundation

表5 均布載荷下肋條位置優(yōu)化結(jié)果Table 5 Results of rib position optimization under uniform load

結(jié)果表明:所得結(jié)果的平均相對誤差在5%以內(nèi),驗證了本文方法在分析彈性地基加肋板肋條位置優(yōu)化問題上的準(zhǔn)確性和有效性.第8 次計算結(jié)果誤差相對較大(17.847 6%)的主要原因是:遺傳算法在迭代過程中,有時會出現(xiàn)陷入局部最優(yōu)解而忽略掉全局最優(yōu)解的情況.以下分別就第7 次(最優(yōu)計算結(jié)果)和第8 次的結(jié)果作詳細(xì)分析.

圖15 均布載荷作用下本文解與理論解的對比Fig.15 Comparison of the presented solution and the theoretical solution

(1)第7 次計算結(jié)果分析.第7 組數(shù)據(jù)迭代1次、5 次、10 次及15 次的種群分布情況如圖16～圖19 所示(虛線位置y0=0.5 m 是本算例最優(yōu)解),并以樣本方差式(31)模擬肋條的位置與最優(yōu)解之間的偏離程度

樣本的容量n為種群個體的數(shù)目,取20,隨機變量xi即為肋條的位置,為最優(yōu)解,本算例中0.5 m,迭代1 次、5 次、10 次及15 次的方差分別為0.098,0.049,0.029,0.020.此外,第7 組數(shù)據(jù)搜索解的過程如圖20 所示,每一代種群里中心點撓度的平均值變化曲線如圖21 所示.

圖16 迭代1 次Fig.16 The first generation

圖17 迭代5 次Fig.17 The fifth generation

圖18 迭代10 次Fig.18 The tenth generation

圖19 迭代15 次Fig.19 The fifteenth generation

由圖16～圖21 可知隨著迭代次數(shù)的增加,種群中的優(yōu)勢個體逐漸增多,個體逐步向最優(yōu)解靠近,板中心點撓度值亦逐漸降低,當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到一定值時結(jié)果收斂,證明了遺傳算法的有效性.比較第10 代和第15 代種群的分布發(fā)現(xiàn),在同一代種群或者相鄰的兩代種群之間有些個體是相同的(圖中紅色標(biāo)記),是由于遺傳算法每次迭代都是種群里適應(yīng)度高的個體參與到下一步運算的幾率較大,反之則小,從而引起部分個體重復(fù)出現(xiàn).此外,由第1 代分布圖可知初始種群在板的尺寸范圍內(nèi)隨機分布且分散,說明了遺傳算法在優(yōu)化過程中搜索的隨機性和全局尋優(yōu)性能.

圖20 第7 組結(jié)果的搜索模擬過程Fig.20 Optimization process of the seventh set of data

圖21 種群的撓度平均值變化趨勢Fig.21 The trend of the average deflection of the population

(2)第8 次計算結(jié)果分析.第8 組數(shù)據(jù)迭代1次、5 次、10 次及15 次的種群分布情況如圖22～圖25 所示,方差計算結(jié)果分別為0.068,0.046,0.032,0.020,數(shù)據(jù)搜索解的過程如圖26 所示.結(jié)果表明:隨著迭代次數(shù)的增加,群體的總體分布趨勢亦是逐漸向最優(yōu)解靠近,但最終收斂于一個局部最優(yōu)解,且在進化過程中出現(xiàn)了優(yōu)勢個體丟失的情況,例如第1 代出現(xiàn)了個體最優(yōu)點y=0.52 m(圖中紅色標(biāo)記),卻在第10 代丟失.這主要是由于傳統(tǒng)的遺傳體制和根據(jù)適應(yīng)度進行比例選擇的保留策略,會讓適應(yīng)度值大的優(yōu)勢個體在下一代進化選擇中得到相對較多的取樣,而某些適應(yīng)性較差的劣勢個體則被過早丟棄,隨著迭代代數(shù)的遞增,產(chǎn)生了局部最優(yōu)解.

以上研究表明:本文方法在優(yōu)化彈性地基加肋板肋條位置方面是有效的,另外在尋優(yōu)過程中可能出現(xiàn)收斂于局部最優(yōu)解的現(xiàn)象,可通過多次計算,對比所得結(jié)果找出最優(yōu)解可保證準(zhǔn)確性.

圖22 迭代1 次Fig.22 The first generation

圖23 迭代5 次Fig.23 The fifth generation

圖24 迭代10 次Fig.24 The tenth generation

2.3.2 局部載荷作用下單肋條的最佳擺放位置

圖25 迭代15 次Fig.25 The fifteenth generation

圖26 第8 組結(jié)果的搜索模擬過程Fig.26 Optimization process of the eighth set of data

圖27 受局部載荷的彈性地基加肋板Fig.27 Ribbed plate on elastic foundation under local loads

在算例2.3.1 的基礎(chǔ)上將均布載荷改成局部載荷(圖27),其余參數(shù)不變,進行10 次優(yōu)化計算,結(jié)果見表6,表明第4 次計算結(jié)果最優(yōu),控制點的位移最小(4.819 59×10?6m),且與第2、第7、第8 及第10 次的計算結(jié)果相對差值均很小,故選x0=0.44 m 為最優(yōu)解.第4 組迭代1 次、5 次、10 次以及15 次的種群分布情況圖28～31(虛線位置x0=0.44 m),其樣本方差分別為0.057,0.036,0.022,0.014.

表6 局部布載荷下肋條位置優(yōu)化結(jié)果Table 6 Results of rib position optimization under local load

圖28 迭代1 次Fig.28 The first generation

圖29 迭代5 次Fig.29 The fifth generation

結(jié)果表明:隨著迭代次數(shù)的遞增種群逐漸向最優(yōu)點靠近,撓度逐漸降低,最終可求出彈性地基加肋板在相應(yīng)載荷作用下肋條的最佳擺放位置.

2.3.3 垂直雙肋條彈性地基加肋板的肋條位置優(yōu)化分析

圖30 迭代10 次Fig.30 The tenth generation

圖31 迭代15 次Fig.31 The fifteenth generation

一四邊固支垂直雙肋條(記x向、y向肋條,下同)彈性地基板E=17 MPa,μ=0.3,hp=0.01 m,hs=0.1 m,ts=0.01 m,L=W=1 m,ξ=4.0×104N/m3(圖32).考慮局部載荷1 N/m2作用對x,y方向上的肋條位置進行優(yōu)化,此時優(yōu)化計算包含兩個設(shè)計變量,即x向肋條的y坐標(biāo)值及y向肋條的x坐標(biāo)值,10 次優(yōu)化計算結(jié)果見表7.

圖32 局部載荷下垂直雙肋條彈性地基板Fig.32 Vertical double ribbed plate on elastic foundation under local load

表7 局部布載荷下雙肋條位置優(yōu)化結(jié)果Table 7 Results of double ribs position optimization under local load

表明第2 次計算結(jié)果最優(yōu),彈性地基板中點的位移最小(3.824 15×10?6m),其與第1、第7 以及第10 次結(jié)果相對差值均很小,故選y向肋條x0=0.703 92 m、x向肋條在y0=0.449 56 m 為最優(yōu)解.第2 組迭代1次、5 次、10 次及15 次的種群分布如圖33～圖36 所示(虛線位置x0=0.703 92 m,y0=0.449 56 m),樣本方差見分別為0.143,0.101,0.082,0.074.

圖33 迭代1 次Fig.33 The first generation

圖34 迭代5 次Fig.34 The fifth generation

圖35 迭代10 次Fig.35 The tenth generation

圖36 迭代15 次Fig.36 The fifteenth generation

由種群分布圖及方差結(jié)果可看出:隨著迭代次數(shù)的遞增種群逐漸向最優(yōu)解靠近,最終求出局部載荷作用下肋條的最佳擺放位置,說明本文方法在包含多個變量的雙肋條板優(yōu)化方面亦是有效的.

2.4 改進混合遺傳算法算例分析

以受均布載荷作用的垂直雙肋條板為例,驗證改進后遺傳算法的有效性,再將改進后混合遺傳算法與傳統(tǒng)遺傳算法進行對比分析,最后基于改進后混合遺傳算法對線性面載荷作用下單肋條彈性地基加肋板的肋條位置作優(yōu)化分析.

2.4.1 改進混合遺傳算法的有效性分析

將算例2.3.3 中四邊固支彈性地基加肋板所受的局部載荷改成均布載荷,大小仍為1 N/m2,其余參數(shù)不變,顯然兩個肋條的最佳位置分別為地基板x和y向中心對稱軸處(x向肋條y0=0.5 m、y向肋條在x0=0.5 m).采用改進混合遺傳算法進行10 次優(yōu)化分析:遺種群數(shù)取20,利用Metropolis 準(zhǔn)則進行選擇操作,交叉概率Pc=0.4、并采用自適應(yīng)變異概率,起始溫度T0=100,衰減系數(shù)α=0.9,分別迭代1 次、2次、3 次,結(jié)果見表8～表10 和圖37.

表8 迭代一次的優(yōu)化結(jié)果Table 8 The results of one iteration

表9 迭代2 次的優(yōu)化結(jié)果Table 9 The results of two iterations

表10 迭代3 次的優(yōu)化結(jié)果Table 10 The results of three iterations

圖37 不同迭代次數(shù)的結(jié)果對比Fig.37 Comparison of the results with different iterations

結(jié)果表明,迭代1 次的結(jié)果波動相對較大,直至迭代3 次后計算結(jié)果穩(wěn)定,其相對誤差均小于0.1%.因此,采用改進混合遺傳算法對肋條位置進行優(yōu)化分析時,只進行3 次便可獲得穩(wěn)定的最優(yōu)解,大幅度提高了計算效率且穩(wěn)定性好.

2.4.2 改進混合遺傳算法與遺傳算法的對比分析

采用改進混合遺傳算法分別計算 2.3.2 節(jié)及2.3.3 節(jié)中的算例,迭代次數(shù)取3,結(jié)果見表11.結(jié)果表明:改進后混合遺傳算法與傳統(tǒng)遺傳算法計算結(jié)果相對誤差極小,且前者可在降低迭代運算次數(shù)的前提下保證計算精度,可見改進混合遺傳算法收斂速度相對較快.此外,在優(yōu)化計算中,傳統(tǒng)遺傳算法與改進混合遺產(chǎn)算法主要用來進行樣本選擇,再通過本文所建立的無網(wǎng)格模型進行計算,同時無網(wǎng)格模型優(yōu)勢在于可以任意改變肋條位置而不用重新分布板節(jié)點,在優(yōu)化肋條位置時可以減少離散板的計算量.因此,遺傳和混合算法同樣適用于斜向交叉或一般角度的肋條板的優(yōu)化分析.

表11 改進混合遺傳算法與遺傳算法的對比Table 11 Comparison between GA and HGA

2.4.3 線性面載荷作用下單肋條彈性地基加肋板的肋條位置優(yōu)化

一四邊固支彈性地基加肋板如圖38 所示,E=17 MPa,μ=0.3,hp=0.01 m,hs=0.1 m,ts=0.01 m,W=L=1 m,ξ=4.0×104N·m?3,線性面載荷最大處為1 N/m2.采用改進混合遺傳算法進行10 次優(yōu)化計算,結(jié)果見表12.

圖38 線性面載荷下彈性地基加肋板Fig.38 Ribbed plate on elastic foundation subjected to linear surface load

表12 線性面載荷下肋條位置優(yōu)化結(jié)果Table 12 Results of rib position optimization under linear surface load

從表12 可看出第7 次的優(yōu)化結(jié)果最佳(x0=0.520 182 m,控制點撓度為1.012 47×10?5m),其迭代1 次、3 次的種群分布如圖39、圖40 所示.結(jié)果再次驗證了改進混合遺傳收斂速度快,僅迭代3 次種群已向最優(yōu)解靠近.

圖39 迭代1 次Fig.39 The first generation

圖40 迭代3 次Fig.40 The third generation

3 結(jié)論

本文基于遺傳算法及一階剪切理論,提出了一種彈性地基上加肋板肋條位置優(yōu)化的無網(wǎng)格方法,通過不同的算例將本文解與有限元解及現(xiàn)有文獻(xiàn)解進行比較,主要結(jié)論如下:

(1)采用本文方法可有效求解彈性地基上加肋板(包括垂直布置肋條、斜向交叉布置肋條等)彎曲問題,結(jié)果易趨于穩(wěn)定、收斂較快,且與現(xiàn)有文獻(xiàn)解、有限元計算結(jié)果的相對誤差均在5%以內(nèi),其精度能滿足工程要求.

(2)基于遺傳算法與改進混合遺傳算法所提出的方法均可有效優(yōu)化彈性地基加肋板肋條位置,合理控制目標(biāo)點的撓度:在特定載荷作用下,隨著迭代次數(shù)的遞增種群逐步向最優(yōu)點靠近,最終可求出相應(yīng)載荷作用下肋條的最佳擺放位置.此外,在優(yōu)化計算中,傳統(tǒng)遺傳算法與改進混合遺產(chǎn)算法主要用來進行樣本選擇,再通過本文所建立的無網(wǎng)格模型進行計算,故兩者均適用于斜向交叉或一般角度的肋條板的優(yōu)化分析.相比之下,對于任意肋條布置方式,改進混合遺傳算法的計算效率更高,只進行了3 次迭代便可獲得穩(wěn)定的最優(yōu)解.

(3)由本文所建立的肋條與地基板之間的位移協(xié)調(diào)方程,完全基于分布在地基板上的離散點來給出問題的近似數(shù)值解,點與點之間沒有單元或其他的直接連接,即使在優(yōu)化過程中肋條位置不斷改變也不會導(dǎo)致筏板節(jié)點的重新分布.因此可以實現(xiàn)肋條在平板上按任意位置布置,且可在保證計算結(jié)果滿足所需精度的情況下保持地基板的離散方案不變,只要重新計算位移轉(zhuǎn)換矩陣Tp,省去了繁雜的網(wǎng)格重置工作,可見其在肋條位置重分布的結(jié)構(gòu)優(yōu)化計算方面具有很大的優(yōu)勢.

綜上所述,從工程的角度看,對于求解較為復(fù)雜的肋條布置、結(jié)構(gòu)優(yōu)化等問題,該方法具有一定的優(yōu)勢.