被均勻流緩慢調(diào)制的有限水深毛細重力波1)

李少峰 宋金寶

(浙江大學海洋學院，浙江舟山 316000)

引言

海洋中的波動現(xiàn)象十分豐富.如：海洋表面的波浪、海嘯、潮汐和風暴潮等，這些不同尺度海洋波動的生成和演變通常與重力、地球的自轉(zhuǎn)及月亮和太陽的引力等有關(guān).Larraza 和Putterman[1]對水槽中表面重力波進行了理論研究，用多重尺度法幾乎是直接給出了水波振幅所滿足的立方非線 性Schr?dinger 方 程(non-linear Schr?dinger equation,NLSE)及其孤立波解，但是缺乏嚴密的推導和論證，也沒有考慮表面張力的影響.Djordjevic 和Redekopp[2]考慮到表面張力的作用，導出了有限水深中二維毛細重力波振幅所滿足的NLSE，對其解進行了穩(wěn)定性劃分，揭示了短毛細重力波和長重力波的共振條件.多重尺度分析是一種處理水波問題的常用方法，可研究不同尺度下波浪的演化，大量學者[3-5]使用這種方法進行水波的研究.也有些學者，如王本仁和魏榮爵[6]曾使用變分法研究水波.不管使用何種方法，諸多學者發(fā)展了毛細重力波的動力機制.周顯初等[7-8]解釋了毛細重力孤立波橫向諧振中波峰尖、波谷平的原因.顏家壬等[9]研究了兩層流體中的毛細重力孤立波.Takuji 等[10]分析了短毛細重力波和長重力波的非線性相互作用，指出了在共振情況下短波和長波之間可以相互轉(zhuǎn)化能量，此時短波的群速度和長波的相速度相匹配.Dias 等[11]詳細地討論了上述短波和長波之間的演變過程、分叉及穩(wěn)定性.Parau 等[12]研究了三維毛細重力波，并與Vanden Broeck 等[13]給出的二維情況作了詳細的對比，指出二維和三維有較好的相似性.Kang 等[14]給出了有限水深下，伴有恒定渦度(代表流的剪切性)存在的周期性孤立毛細重力波.Wahlen 等[15-17]使用分叉理論嚴密地證明了在伴有非恒定渦度條件下周期性毛細波和毛細重力波的存在性.Martin 等[18-19]指出在伴有分段渦度分布的條件下，三波相互作用是可能的，然而調(diào)制不穩(wěn)定性是和四波共振作用相一致的.Tiron 等[20]數(shù)值計算了毛細重力波之間的相互共振作用.

上述文獻雖然均沒有考慮到均勻流對波的作用，但對本文關(guān)注的波流相互作用研究有重要的指導意義.早期，李家春等[21]考慮深水中二維Stokes波邊帶不穩(wěn)定性，通過實驗觀察發(fā)現(xiàn)邊帶不穩(wěn)定增長率定性地和理論相一致，且微風會提高增長率，而強風卻會抑制.Sedletsky[22]分析了水深對高階Stocks 波調(diào)制不穩(wěn)定性的影響，指出水深加深時非線性作用加強，小波數(shù)情形下調(diào)制不穩(wěn)定會重新穩(wěn)定.近來，廖波等[23]、李少峰等[24]研究了被線性剪切流緩慢調(diào)制的有限水深重力波，這里的剪切流是由均勻流和流的剪切組成的，其中流的剪切刻畫了渦度.同時他們展示了剪切流對重力波穩(wěn)定性區(qū)域劃分的影響，發(fā)現(xiàn)了順流增強調(diào)制不穩(wěn)定，而逆流減弱它.Hsu 等[25]分析了被渦度緩慢調(diào)制的有限水深毛細重力波，他們指出毛細重力波穩(wěn)定性區(qū)域劃分被渦度有效地改變.另外，還有些學者[26-32]研究了不同物理背景下的波流相互作用，如徐祥德等[33]詳細介紹了大氣中大尺度波流相互作用及波動傳播模態(tài)；徐俊麗等[34]分析了高頻波對定常Ekman 流解的影響；楊衡等[35]、魏艷等[36]、程永舟等[37-38]討論了波流和結(jié)構(gòu)物的相互作用.

在本文中，基于文獻[2]的研究成果及結(jié)合文獻[23-25]的分析方法，考慮均勻流對毛細重力波的調(diào)制作用.在第一節(jié)，將使用多重尺度法推導被均勻流調(diào)制的二維毛細重力波振幅在有限水深中所滿足的NLSE.在第二節(jié)，通過使用NLSE，分析被均勻流調(diào)制的毛細重力波的不穩(wěn)定性.第三節(jié)是本文的主要結(jié)論.由于毛細重力波與流的相互作用可以有效地改變海表粗糙度和海洋上層流場結(jié)構(gòu)，所以這對海面風場、海表壓強、海氣通量交換等有重要意義.另外，了解海表面的這些短波動力機制，對衛(wèi)星遙感的精確測量和海氣耦合模式的改進等也有重要意義.

1 方程的推導

1.1 控制方程與邊界條件

假設流體運動是無黏的、不可壓的和無旋的.如圖1 所示，考慮均勻流作用下二維毛細重力水波在有限水深中的傳播，坐標原點o位于靜止水面處，x方向是水波的傳播方向，y方向垂直向上與重力方向相反，z垂直紙面向外.這里，把與波動方向一致的均勻流稱為順流，反之稱為逆流.故二維水波基本方程組[39-42]可表述為

圖1 二維毛細重力水波在均勻流作用下的傳播.ζ(x,t)是自由面波動，c 是波速度Fig.1 Schematic of the Eulerian framework for two-dimensional propagating capillary-gravity waves with a uniform fl w.ζ(x,t)is the free surface elevation and c is the wave velocity

其中，φ 是速度勢函數(shù)，U是均勻流為常數(shù)，h為流體的深度，ζ 為自由面起伏，g是重力加速度，a為流體表面張力系數(shù)，ρ 為流體的密度，?為二維Laplace 算子.其中下標表示對相應變量求導.式(2)是自由面上的運動學邊界條件，式(3)是自由面上的動力學邊界條件，式(4)是底邊界條件.

1.2 非線性Schr?dinger 方程

引入下列多重尺度[2]

其中，波陡ε=kA是度量非線性程度的小參數(shù)，k是載波波數(shù)，A是振幅，cg是群速度.把式(5)代入式(1)～式(4)中，得到新的方程組

其中式(4)沒有變化.對φ 在y=0 附近按ζ 冪次Taylor 展開，進行線性化處理上邊界條件(7)和(8).假設方程組(4)，(6)～(8)有如下的漸近解

其中，ω 是角頻率，n是諧波數(shù)，φ?n和ζ?n分別表示φn和ζn的共軛.然后把φn和ζn關(guān)于ε 小級數(shù)展開

這里j是階數(shù)，假設φ00=ζ00=0.將式(9)和式(10)代入式(4)，式(6)～式(8)中，得到了前三階攝動問題的方程組.

(1)εe1(表示一階一次諧波項)：確定了頻散關(guān)系

(2)ε2e1：確立了行波的群速度

其中，μ=kh是劃分淺水和深水的無量綱參量，一般認為μ>π 屬于深水，μ<0.1π 是淺水，介于二者之間是有限水深.同時ζ01=0

其中，D是待確定的慢變量函數(shù).

(3)ε2e2：獲得了φ22及ζ22的表達式

(4)ε3e0：得到一個由短波調(diào)制產(chǎn)生的平均流動勢φ10的長波方程

它描述以波速U±(gh)1/2向左右傳播的長波所伴隨的參數(shù)變化.同時

(5)ε3e1：經(jīng)過繁瑣的計算，由于頻散關(guān)系，B和Dη被消除了，最終得到了描述波形包絡演化的NLSE

式中

它說明在N=σ2/(3-σ2)處毛細重力波發(fā)生分叉，是一種Wilton 漣漪現(xiàn)象，在深水情形下，σ=1，N=1/2.另一處是

有量綱形式是

它反映了長重力波與短毛細重力波發(fā)生共振，此時短波的群速度與長波的相速度相一致.同樣地可以得到自由面ζ 的振幅a所滿足的方程

同時有必要考慮在深水情形下NLSE 系數(shù)的變化，即μ→∞時

2 穩(wěn)定性分析

顯然式(26)有如下的Stokes 波解

其中a0是初始振幅，考慮在振幅和相位上有小擾動的解

將上式代入式(26)中，線性化Stokes 波解，有

分開上述方程實部和虛部，產(chǎn)生一個關(guān)于小擾動的常系數(shù)線性方程組

它有如下的解

其中，L和Γ 分別是擾動波數(shù)和擾動角頻率，將式(32)代入方程組(31)中，式(31)有非零解的充要條件是

無量綱不穩(wěn)定最大增長率是

如圖2(a)所示，5 條曲線將(N,μ)平面劃分為6 個區(qū)域，其中“S”表示Stokes 波解是調(diào)制穩(wěn)定的，而“U”表示Stokes 波解是調(diào)制不穩(wěn)定的，但是均勻流不影響這個區(qū)域的劃分.曲線1 和曲線5 表示非線性系數(shù)，曲線1 與μ軸的交點為熟悉的μ=1.363，表示在不考慮表面張力時，μ<1.363，重力波是穩(wěn)定的；μ >1.363，它是不穩(wěn)定的.曲線2 表示耗散系數(shù)，即相速度達到最小值且和群速度相一致.曲線3 和4 是的奇異處，分別表示毛細重力波分叉及長波和短波共振.由式(27)知，曲線2 和3 的漸近線分別是N=2/31/2-1，N=1/2,如圖2(b)所示，它們之間毛細重力波是穩(wěn)定的；長短波共振曲線4 有漸近線

圖2 Stokes毛細重力波穩(wěn)定區(qū)域劃分Fig.2 Stability diagram for Stokes capillary-gravity waves

曲線5 有漸近線

值得注意的是，毛細重力波在曲線4 和5 漸近線之間是穩(wěn)定的，但當μ1 時，即深水時，它們在μ軸上的截斷3/4 和35/4 可以被忽略，這兩條邊界線重合在一起(斜率相同)，它們之間穩(wěn)定區(qū)域消失，這也解釋了長短波共振在深水中消失的原因[2,25].

2.1 不穩(wěn)定最大增長率

如圖3 所示，知N大致上被劃分為4 個部分:[0,0.15]，(0.15,0.5)，[0.5,1.1]，(1.1,+∞)，其中(0.15,0.5)是穩(wěn)定區(qū)域.我們來分析不穩(wěn)定最大增長率隨水深的變化趨勢.如圖3(a)所示，N=0時，實線與μ軸的交點為μ=1.363，隨著N增大，交點μ值變小，體現(xiàn)了調(diào)制不穩(wěn)定的重新穩(wěn)定；且隨著μ變大而變大，逐漸趨于一個常值，亦隨著N增大而增大.但在N∈[0.5,1.1]中，如圖3(b)所示，隨著μ變大而變小，且N越大下降的趨勢越快，在深水時達到常值.曲線4 及曲線5 將N∈(1.1,+∞)不穩(wěn)定區(qū)域隔開，所以隨μ變化被分為兩部分，如圖3(c)、圖3(d)所示，在μ前半段，隨μ增大而逐漸減小到0，隨N增大，每條曲線向右邊的N=+∞靠近；在μ后半段，亦隨μ增大而減小，但趨于一個常值，且隨著N增大，曲線向右移動，遠離N=+∞.

圖3 =0 時，無量綱最大增長率隨水深μ的變化Fig.3 Dimensionless maximum growth rateas a function of dimensionless water depthμfor=0

如圖4(a)所示，在N前半段，隨N增大先減小后增大，且隨著水深增大，變化范圍變大，逐漸向右偏移；但在N后半段，如圖4(b)所示，隨N增大而增大，隨水深增大而減小且向右偏移.

圖4 =0 時，無量綱最大增長率隨N 的變化Fig.4 Dimensionless maximum growth rateas a function of N for=0 at differentμ

圖5 無量綱最大增長率的變化Fig.5 Dimensionless maximum growth rate

圖5 無量綱最大增長率的變化(續(xù))Fig.5 Dimensionless maximum growth rate(continued)

2.2 不穩(wěn)定增長率

圖6 =0 時，無量綱增長率隨無量綱擾動波數(shù)的變化Fig.6 Dimensionless growth rate as a function of dimensionless perturbation wave number for =0 at different N

圖6 =0 時，無量綱增長率隨無量綱擾動波數(shù)的變化(續(xù))Fig.6 Dimensionless growth rateas a function of dimensionless perturbation wave numberfor=0 at different N (continued)

如圖7 所示，與圖5 有類似的結(jié)果，順流使無量綱不穩(wěn)定增長率變小，逆流使之變大，且相差的倍數(shù)都是1-.

3 結(jié)論

圖7 無量綱增長率隨無量綱擾動波數(shù)的變化Fig.7 Dimensionless growth rate as a function of dimensionless perturbation wave number at different

該文分析了均勻流對毛細重力波的調(diào)制作用.從水波基本方程出發(fā)，考慮了均勻流的作用，使用多重尺度分析方法導出了毛細重力波振幅所滿足的NLSE.通過毛細重力波調(diào)制穩(wěn)定性分析，知NLSE 中頻散系數(shù)α 和非線性系數(shù)γ 同號時，毛細重力波是調(diào)制穩(wěn)定的；α 與γ 異號時，它是調(diào)制不穩(wěn)定的，此時會有鐘型孤立波的產(chǎn)生.而α 和γ 的大小是與均勻流、水深和表面張力有關(guān)的.通過對α 與γ 符號的判斷，知α=0 和γ=0 及它們的奇異處5 條曲線將(N,μ)平面劃分為6 個區(qū)域，從左到右，穩(wěn)定和不穩(wěn)定依次交換；在深水時，N軸被劃分為3 個穩(wěn)定和不穩(wěn)定依次交替的片段，即N∈[0,0.15]∪(0.5,+∞)時，毛細重力波是調(diào)制不穩(wěn)定的；但N∈(0.15,0.5]時，它是調(diào)制穩(wěn)定的.均勻流對這些區(qū)域的劃分沒有影響.同時也得到了微擾動的頻散關(guān)系，給出了毛細重力波不穩(wěn)定的增長率及最大增長率隨水深、表面張力及擾動波數(shù)的變化趨勢.指出了順流會減小增長率及最大增長率，逆流會增加它們.

海洋上界面過程直接影響和調(diào)控著海氣邊界層結(jié)構(gòu)與海氣相互作用，特別是發(fā)生在海氣界面的海洋表面波動在海氣相互作用中發(fā)揮著重要作用.當風吹過海面時，會在海面產(chǎn)生切應力，這種摩擦應力會使海面形成毛細重力波和重力波，它們與海流的相互作用會有效地改變海表粗糙度和海洋上層流場結(jié)構(gòu)，進而影響海氣界面動量、熱量及水汽的交換.盡管風浪頻譜的主要能量集中于譜峰頻率附近，但譜的高頻率部分對研究海-氣相互作用和海面的反射性能等有重要意義.本文建立了一個關(guān)于均勻流與毛細重力高頻波相互作用的簡單模型，來刻畫實際海洋中復雜的海流與高頻波的相互作用.了解海表這些短波動力機制，對衛(wèi)星遙感的精確測量、海氣相互作用的深入研究及海氣耦合模式的改進等有重要意義.