矩陣乘法交換律的幾點(diǎn)注記

張文兵

摘? 要：矩陣是線性代數(shù)的核心內(nèi)容之一，是線性代數(shù)后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。同時(shí)矩陣在工程上也有著重要應(yīng)用。在矩陣教學(xué)中，矩陣的四則運(yùn)算是第一個(gè)有關(guān)矩陣運(yùn)算的知識，而矩陣四則運(yùn)算中，又?jǐn)?shù)矩陣乘法最為抽象。本文首先從幾個(gè)簡單例子出發(fā)來闡述矩陣乘法滿足交換律的必要條件。隨后通過幾個(gè)關(guān)于正定矩陣乘積的例題來說明矩陣乘法交換律的重要應(yīng)用，從而加深初學(xué)者對于矩陣乘法交換律的理解。

關(guān)鍵詞：矩陣? 乘法交換律? 線性代數(shù)? 正定矩陣。

中圖分類號：O151? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2020）09（b）-0164-03

Abstract： Matrix is one of the core contents of linear algebra and the foundation of the subsequent study of linear algebra. At the same time， matrix also has important applications in engineering. In the matrix teaching， the four operations of the matrix are the first knowledge about the matrix operation， and in the four operations of the matrix， the multiplication of the number matrix is the most abstract. First， some simple examples are given to show the necessary condition of matrix multiplication. Then， we present some examples on positive matrix to show that the matrix multiplication is very important and has widely applications， so as to deepen the beginners understanding of commutative law of matrix multiplication.

Key Words： Matrix; Multiplication commutation law; Linear algebra; Positive definite matrix

在線性代數(shù)中，矩陣是最重要同時(shí)也是最基礎(chǔ)的一塊內(nèi)容，學(xué)好矩陣關(guān)系到能否學(xué)好線性代數(shù)這門課程。矩陣貫徹于整個(gè)線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中。矩陣是線性方程組求解、行列式計(jì)算以及二次型等重要知識的基礎(chǔ)[1-3]。同時(shí)矩陣在很多實(shí)際工程系統(tǒng)當(dāng)中也有著重要的應(yīng)用。矩陣的四則運(yùn)算是矩陣中最基本的內(nèi)容，因此，學(xué)好矩陣的四則運(yùn)算就非常重要。而矩陣的四則運(yùn)算中，乘法運(yùn)算最為抽象。本文通過分析幾類關(guān)于矩陣乘法的易錯(cuò)題型。從而讓學(xué)生對矩陣的乘法運(yùn)算有更加深刻的認(rèn)識，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

定義1[4]：矩陣乘法：設(shè)矩陣，矩陣的乘積定義為：

注1：在矩陣乘法運(yùn)算當(dāng)中，第一個(gè)矩陣的列等于第二個(gè)矩陣的行是兩個(gè)矩陣可以做乘法運(yùn)算的基本條件。因此在以后的學(xué)習(xí)中當(dāng)提到矩陣乘法時(shí)都默認(rèn)這個(gè)條件成立。

1? 主要結(jié)果

首先，回顧一下矩陣乘法的一些基本性質(zhì)。

性質(zhì)1[4]：A、B、C為合適維數(shù)的矩陣，k為常數(shù)，則下列性質(zhì)成立：

因此，矩陣的乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律和分配律?，F(xiàn)在驗(yàn)證矩陣的乘法是否滿足交換律。

注2：從上述三例很容易知道矩陣的乘法滿足交換律的一個(gè)重要前提是兩個(gè)矩陣是同階方陣。這很容易理解，然而在實(shí)際運(yùn)算中，很多初學(xué)者很容易忽略矩陣乘法交換律在某些關(guān)于矩陣多項(xiàng)式運(yùn)算中的作用。究其原因主要是大部分初學(xué)者關(guān)于多項(xiàng)式的乘法的一些性質(zhì)已經(jīng)熟記于心，很容易想當(dāng)然地以為矩陣乘法也滿足相應(yīng)性質(zhì)。接下來，筆者將通過幾個(gè)重要的例子來說明矩陣乘法交換律的重要性。

分析：造成上述錯(cuò)誤的主要原因就是想當(dāng)然地認(rèn)為矩陣的乘法和多項(xiàng)式乘法一樣滿足交換律，然而在矩陣乘法當(dāng)中，即使兩個(gè)矩陣是同階方陣也不一定滿足乘法交換律。由A、B的定義可以很容易得到，

例5：設(shè)A、B為同階正定矩陣，則也為正定矩陣。試說明上述結(jié)論是否成立？

錯(cuò)解：結(jié)論成立，理由如下：

證明：由A、B都是正定矩陣，那么很顯然的特征值都大于0，從而的所有特征值也大于0，那么 正定。

分析：上述證明看似正確，然而忽略了一個(gè)很重要的事實(shí)就是一個(gè)矩陣是正定矩陣的前提條件是這個(gè)矩陣必須是對稱的。比如令

顯然A、B都是正定矩陣。然而，通過計(jì)算可知：

通過計(jì)算可知的兩個(gè)特征值為0.3348和0.7452都大于0，然而由于不是對稱矩陣，所以不是正定矩陣。因此，將上述命題修改為設(shè)A、B為同階正定矩陣，且，則也為正定矩陣。結(jié)論成立。

設(shè)對稱矩陣表示為正定（半正定）矩陣，試判斷下面結(jié)論是否成立。

由上述幾例可以看出，矩陣的乘法運(yùn)算不同于多項(xiàng)式的乘法，很多多項(xiàng)式乘法中的性質(zhì)在矩陣乘法中都不成立，而其中起著關(guān)鍵作用的就是矩陣的乘法是否滿足交換律。因此，在以后的學(xué)習(xí)中當(dāng)涉及到矩陣乘法運(yùn)算時(shí)，一定要認(rèn)真檢查是否滿足交換律，不能想當(dāng)然地給出結(jié)論，否則很容易得出錯(cuò)誤的結(jié)果。

2? 結(jié)語

本文從幾個(gè)初學(xué)者容易算錯(cuò)的例子出發(fā)，詳細(xì)分析了矩陣乘法滿足交換律的前提條件，隨后分析了矩陣乘法交換律在矩陣不等式中的重要應(yīng)用。從而加深讀者對矩陣乘法交換律所滿足的條件的認(rèn)識。

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