線性代數(shù)課程中“初等矩陣”的教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

摘? 要：線性代數(shù)作為高等學(xué)校理工科專業(yè)的公共基礎(chǔ)課，與高等數(shù)學(xué)相比，線性代數(shù)的內(nèi)容更加抽象，對學(xué)生的計(jì)算能力要求較高。目前在課堂教學(xué)中教師側(cè)重公式的推導(dǎo)、定理的證明，缺乏實(shí)用性。因此，教師應(yīng)結(jié)合背景知識(shí)及現(xiàn)代信息技術(shù)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)課程以及在經(jīng)濟(jì)工作中解決一些實(shí)際問題打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)? 基本初等矩陣? Matlab

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-098X（2020）10（b）-0185-03

Abstract： Linear algebra is a public basic course for science and engineering students in the institution of higher education， compared with advanced mathematics， its content is more abstract， which requires higher computing ability of students. At present， teachers mainly focus on the derivation of formulas and the proof of theorems， which is lack of practicability. Hence， teachers should combine background knowledge and modern information technology to stimulate students' interest in learning and cultivate their ability to analyze and solve problems， which lay a solid theoretical foundation for the follow-up courses and solving some practical problems in economic work.

Key Words： Linear algebra; Basic elementary matrix; Matlab

在日常辦公中，我們經(jīng)常將圖像進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、放縮等幾何變換，那么在計(jì)算機(jī)圖像處理中，它是如何實(shí)現(xiàn)圖像的幾何變換呢？圖像變換的理論基礎(chǔ)是什么呢？眾所周知，圖像在計(jì)算機(jī)中以像素矩陣存儲(chǔ)，對圖像做幾何變換，其實(shí)就是對圖像的坐標(biāo)進(jìn)行變換得到的。前面我們學(xué)習(xí)了矩陣的三種初等變換，它與三類初等矩陣一一對應(yīng)。那么對圖像做幾何變換，相當(dāng)于圖像矩陣乘上初等矩陣得到的。這就是我們今天要學(xué)習(xí)的初等矩陣及其幾何意義。

引入的設(shè)計(jì)意圖：通過圖像的幾何變換，讓學(xué)生從直觀上理解初等矩陣的幾何意義，將矩陣視為一種幾何變換，賦予矩陣一種直觀意義，將陌生轉(zhuǎn)化為熟悉，降低學(xué)生的理解難度。

1? 初等矩陣的定義

定義1：單位矩陣I經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。

首先指出被變換的對象是單位矩陣，方法是只經(jīng)過一次初等變換。

例1：判定下列矩陣是為初等矩陣？

例1 的設(shè)計(jì)意圖：例1是對初等矩陣概念的理解，初等矩陣是對單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的，矩陣A顯然是符合定義的。而矩陣B至少對單位矩陣經(jīng)過兩次初等變換得到，因此，矩陣B不是初等矩陣。由此題得到三種初等變換對應(yīng)著三類初等矩陣，為后續(xù)內(nèi)容作鋪墊，起到承上啟下的作用。

2? 三類初等矩陣

第一類初等矩陣：交換單位矩陣的兩行 （列），記為。

第二類初等矩陣： 將單位矩陣某行 （列） 乘上k 倍，記為。

第三類初等矩陣：將單位矩陣某行 （列） 的 k 倍加到另一行（列）上，記為。

例2：設(shè)方陣，若在方陣A的左邊乘上R23，那么會(huì)得到哪個(gè)矩陣？與矩陣A的關(guān)系是什么？

例2的設(shè)計(jì)意圖：根據(jù)矩陣的左行右列法，在方陣A的左邊乘上一個(gè)交換2、3兩行的初等矩陣，得到的新矩陣。通過特殊例子的引入，啟發(fā)學(xué)生猜想初等矩陣和初等變換的關(guān)系，并運(yùn)用分塊矩陣?yán)碚擈?yàn)證猜想的正確性，從而得到初等矩陣的作用：若A是一個(gè)m×n階矩陣，對A實(shí)施初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘上相應(yīng)的階的初等矩陣;對A實(shí)施初等列變換，相當(dāng)于在A的右邊乘上相應(yīng)的階的初等矩陣。

3? 初等矩陣的幾何意義

設(shè)計(jì)意圖：與教材相比較，教學(xué)過程中增加了幾何意義部分，通過（1）式可以得到，第一類初等矩陣的幾何意義是關(guān)于某一“標(biāo)準(zhǔn)軸”的對稱變換：通過（2）式可以得到，第二類初等矩陣的幾何意義是在某一坐標(biāo)軸方向的伸縮變換;通過（3）式可以得到，第二類初等矩陣的幾何意義是在某一坐標(biāo)軸方向的切變變換。

4? 初等矩陣在圖像幾何變換中的應(yīng)用

通過第3部分中對初等矩陣幾何意義的初探和理解，讓學(xué)生了解了圖像進(jìn)行幾何變換的理論基礎(chǔ)，使其變得直觀、易于理解。進(jìn)一步，探究如何運(yùn)用matlab軟件實(shí)現(xiàn)對圖像進(jìn)行幾何變換，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手解決問題能力。首先，初等矩陣的幾何意義表明：對圖像實(shí)施第一類型初等變換，可實(shí)現(xiàn)對圖像進(jìn)行轉(zhuǎn)置運(yùn)算（見圖1）。借助于Matlab軟件中projective2d函數(shù)可以很直觀地對圖像進(jìn)行幾何運(yùn)算。設(shè)置幾何變換矩陣為第一類型的初等變換矩陣[0 1 0; 1 0 0;0 0 1]，運(yùn)行程序如下：

接著，若對圖像實(shí)施第二種類型的初等變換，可實(shí)現(xiàn)對圖像進(jìn)行壓縮變換，只需要在（1）式中改變projective2d 定義的變換矩陣為第二類型的初等矩陣即可，即定義H_s=projective2d（[0.5 0 0; 0 1 0;0 0 1]），運(yùn)行程序可得（見圖2）。

進(jìn)一步，我們對圖像實(shí)施第三種類型的初等變換，可實(shí)現(xiàn)對圖像進(jìn)行切變，需要在（1）式中重新定義H_s=projective2d（[1 0.5 0; 0 1 0; 0 0 1]），運(yùn)行程序可得（見圖3）。

5? 結(jié)語

在本節(jié)的教學(xué)過程中，考慮到線性代數(shù)課程的抽象性特點(diǎn)，引入初等矩陣的幾何意義，有效地激發(fā)了學(xué)生的興趣。同時(shí)結(jié)合現(xiàn)代信息技術(shù)：matlab軟件等，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手解決問題的能力，讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的美。結(jié)合背景知識(shí)和信息技術(shù)的課堂教學(xué)模式，不僅能激發(fā)學(xué)生的興趣，而且能夠提高學(xué)生動(dòng)手解決問題的能力，因此，探索基于現(xiàn)代信息技術(shù)的課堂教學(xué)改革具有重要的意義，也是當(dāng)前大學(xué)數(shù)學(xué)該學(xué)改革亟待解決的問題。

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