基于one-fluid模型的波浪-浮體相互作用數(shù)值模擬研究

田昀艷，王收軍，陳松貴，王家偉，胡原野

(1.天津理工大學(xué) 機(jī)電工程國家級實驗教學(xué)示范中心，天津 300384；2.交通運輸部天津水運工程科學(xué)研究所，天津 300456)

在波浪與結(jié)構(gòu)相互作用的研究中，通常采用物理模型實驗和數(shù)值模擬相結(jié)合的方法。近年來，隨著高性能計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和數(shù)值離散方法的成熟，構(gòu)建數(shù)值波浪水槽并研究水波與結(jié)構(gòu)物的相互作用問題，已成為海岸和海洋工程領(lǐng)域不可缺少的研究方法。

在波浪力學(xué)領(lǐng)域，波浪與結(jié)構(gòu)相互作用的建模一直是通過基于勢流理論和粘性流理論的數(shù)值波浪水槽方法發(fā)展起來的。由于勢流理論是建立在不可壓縮和無粘流動假設(shè)的基礎(chǔ)上的，該方法不能模擬粘性效應(yīng)和破碎波。因此，在實際工程應(yīng)用中，Navier-Stokes方程被用于模擬波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用問題。Park J.C.和Uno Y[1]等人，在粘性三維數(shù)值波浪水槽中模擬了規(guī)則波、不規(guī)則波以及多向隨機(jī)波，并討論了在特定波浪作用條件下船舶的水動力特性；Hans Bihs[2]等人采用Level Set法追蹤自由表面，建造三維粘性數(shù)值波浪水槽，對波浪在傾斜海灘上傳播及破碎過程、垂直圓柱上的波浪力、孤立波與矩形橋臺之間的相互作用進(jìn)行了模擬；孫宏月等[3]基于緊致差值曲線方法建立了可壓縮兩相流數(shù)值波浪水槽模型，模擬了波浪對結(jié)構(gòu)物的沖擊過程；余陽等[4]基于OpenFOAM平臺，采用重疊網(wǎng)格技術(shù)建立了黏性數(shù)值波浪水池，驗證了重疊網(wǎng)格在二維和三維兩相流體區(qū)域中流體與結(jié)構(gòu)相互作用的準(zhǔn)確性和可靠性；張弈澤等[5]采用Flow3D軟件建立數(shù)學(xué)模型對越浪量進(jìn)行了模擬研究，對防浪墻頂高程的合理性進(jìn)行分析，并對不同形式的海堤護(hù)面結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值模擬研究；焦方騫等[6]基于OpenFOAM軟件建立了波浪與結(jié)構(gòu)物相互作用的三維數(shù)值波浪水槽，模擬了復(fù)合筒型基礎(chǔ)在不同波浪條件下的波浪載荷；Patankar[7]以歐拉方式將剛體看作流體，通過兩相流方法對剛體和流體耦合建模問題進(jìn)行簡化，剛體的慣性完全由流體求解器承擔(dān)，但是施加的剛性力是在離散水平上進(jìn)行的。上述基于NS方程對波浪與結(jié)構(gòu)相互作用的研究大多是基于兩相流的水平集函數(shù)，不能用于解決浸沒結(jié)構(gòu)多相多界面問題的演化。與上述大多數(shù)可用的浸入邊界方法不同，Yang[8]提出了一種模擬非線性粘性波浪產(chǎn)生全物理過程的one-fluid模型。通過提出一種基于線性最小二乘法求解剛體的運動約束，在連續(xù)介質(zhì)水平上明確表達(dá)了浸沒剛體的力,不需要諸如質(zhì)心、質(zhì)量和慣性動量之類的信息，只需要知道剛體的密度。這種方法將剛體與流體耦合問題重新表述為一個帶有附加剛體運動約束的三相浸入流動問題。該模型可以用于處理大密度比、多相流問題，已成功應(yīng)用于水下剛性板的顫振運動[9]以及波能轉(zhuǎn)換器(WEC)的數(shù)值研究[10]等。

鑒于以上背景，本文基于one-fluid方程建立了二維粘性數(shù)值波浪水槽，進(jìn)行了不規(guī)則波的模擬并且研究了浮式結(jié)構(gòu)在不規(guī)則波作用下的動力響應(yīng)。第一節(jié)介紹了one-fluid方程的數(shù)值求解過程以及自由表面的處理方法等；第二節(jié)對不規(guī)則波進(jìn)行了數(shù)值模擬，并研究了不規(guī)則波與浮式結(jié)構(gòu)之間的相互作用；第三節(jié)探討了不規(guī)則波作用，波高、周期、浮體寬度與波長的相對寬度以及浮體的相對吃水對浮式結(jié)構(gòu)物的垂蕩運動響應(yīng)的影響；第四節(jié)給出了相關(guān)的結(jié)論。

1 數(shù)學(xué)模型

圖1 流體與剛體相互作用問題的拉格朗日力學(xué)耦合與one-fluid框架的說明

1.1 控制方程

在one-fluid模型中，一個方程里同時考慮了多個不可壓縮相，包括空氣、水和結(jié)構(gòu)。與其它剛體-流體耦合問題處理方法不同之處在于它利用線性最小二乘法，提出了一種用于剛體運動約束的剛體投影算子。該算子在連續(xù)介質(zhì)水平上明確地表達(dá)了浸沒剛體的力，不需要諸如質(zhì)心、質(zhì)量和慣性動量之類的信息。該模型可以用于處理大密度比、多相流問題。傳統(tǒng)模型中，耦合力是通過轉(zhuǎn)矩tc和外力fc來實現(xiàn)的，而在one-fluid模型中，耦合是通過界面上的平衡牽引矢量來實現(xiàn)的。圖1說明了流體與剛體相互作用問題傳統(tǒng)解決方法和one-fluid模型之間的差異。

one-fluid模型中，一個方程中同時考慮了多個不可壓縮相，包括空氣、水和結(jié)構(gòu)。在整個區(qū)域Ω=Ωa∪Ωw∪Ωr(在沒有表面張力的情況下)三相系統(tǒng)的線性動量守恒方程和連續(xù)性方程用一個方程表示如下

(1)

式中：u是速度矢量(u，v)，ρ=ρrHr+ρwHw+ρaHa，其中下標(biāo)a、w、r分別表示空氣、水和剛體的相，H是不同相的Heaviside分布。式(1)中的體積力f定義在每個相位上表示如下

(2)

其中應(yīng)變率張量D(u)=(u+(u)T)/2，μ表示動力粘度系數(shù)。P(u)是剛性速度投影算子。

1.2 自由液面捕捉

one-fluid模型的表述依賴于連續(xù)體不同相之間界面的正確識別，可以通過在界面上引入合適的跳轉(zhuǎn)條件進(jìn)行。在采用浸沒邊界方法的情況下，可以通過界面的平滑正則化避免明確使用跳轉(zhuǎn)條件。水、空氣和結(jié)構(gòu)這三個不同的區(qū)域由三個Heaviside函數(shù)表示。通過三個Heaviside函數(shù)來描述界面的具體步驟如下：

忽略剛體，與兩相流問題類似，引入了水平集函數(shù)來識別空氣和水之間的界面。帶符號的距離函數(shù)φ給出了最接近界面的距離Γ，并且通過符號的變化來區(qū)分這兩個相位，因此滿足下式

Γ={x∈R2|φ(x,t)=0}

(3)

(4)

式中：phase1表示水；Γ表示自由液面；phase2表示空氣。當(dāng)界面Γ在外部生成的速度場u下移動時，將獲得水平集函數(shù)的對流方程如下

(5)

①引入剛性Heaviside函數(shù)Hr(x,t)=Hr(X,0)來識別剛體區(qū)域。其中：X表示拉格朗日坐標(biāo)；歐拉坐標(biāo)x=Ψ(X，t)；Ψ表示從X到x的映射；

②“剛體”、“水”、“空氣”所占據(jù)的區(qū)域定義如下

Ωrigid={x∈R2|Hr(x,t)=1}
Ωwater={x∈R2|Hφ(x,t)-Hr(x,t)=1}

(6)

Ωair={x∈R2|1-Hφ(x,t)-Hr(x,t)=1}

使用兩個Heaviside函數(shù)表示三相的圖示如圖2所示。

圖2 使用兩個Heaviside函數(shù)表示三相的圖示

1.3 Heaviside函數(shù)的求解

①平滑流體Heaviside函數(shù)：

Heaviside函數(shù)的演化遵循Ha(x,t)=H(φ(x,t))，其近似值可以表示如下

(7)

其中∈代表拖尾帶寬的參數(shù)。因此，在涂抹界面上，Heaviside函數(shù)的近似值從零變?yōu)橐唬瑥亩枋隽藦囊粋€相到另一個相的平滑過渡。

②平滑剛體Heaviside函數(shù)：

在初始時間t=0時，引入卷積程序來規(guī)定任意的Heaviside函數(shù)。

步驟1：給定笛卡爾網(wǎng)格，將值1賦給描述剛體的多邊形，該多邊形是非光滑離散的Heaviside函數(shù)Hr。

步驟3：將非平滑的Heaviside函數(shù)與光滑的Dirac Delta函數(shù)卷積得到平滑的Heaviside函數(shù)

(8)

圖3 邊界和松弛區(qū)示意圖

1.4 邊界條件

多相流數(shù)值水槽模型采用速度邊界入口法和松弛消波法來實現(xiàn)造波和消波功能，邊界和松弛區(qū)如圖3所示。模型左側(cè)為速度入口邊界條件，通過自定義函數(shù)給定入口邊界的速度和波面變化；計算域底部為滑移壁面邊界條件；水槽右端為封閉邊界條件。圖中松弛區(qū)Ⅰ的功能是協(xié)助波浪的產(chǎn)生以及吸收從結(jié)構(gòu)物反射回來的波浪；松弛區(qū)Ⅱ的功能是消除出口邊界的反射波。波浪在造波區(qū)和消波區(qū)的速度、波面以及壓力的計算公式見文獻(xiàn)[11],不規(guī)則波水質(zhì)點的波面方程、垂直速度與水平速度方程見文獻(xiàn)[12]。

1.5 多相流求解器求解過程

(1)通過卷積初始化流體速度u0、水平集方程φ和Heaviside函數(shù)H。

(2)開始非定常計算的時間步循環(huán)。

1)在不考慮粘性的情況下，通過one-fluid動量方程來計算中間速度場u*，ρ(u*-un/Δt)=RHSn，其中RHSn=-ρ(un)un+ρg，上標(biāo)n表示時間步長。

2)計算區(qū)域Ωr的剛性力fn：

①線性最小二乘法：通過最小化‖P(u*)-u*‖2來找到剛性速度場P(u*)；

②將剛體力更新為：fn=ρ[p(u*)-un/Δt]-RHSn。

3)計算粘性項：fn=μ·2μD(un)。

4)考慮粘性，通過one-fluid動量方程來計算中間速度場u**：ρ(u**-un/Δt)=RHSn+fn。

5)用Neumann邊界條件計算壓力以滿足不可壓縮約束條件：·(pn/ρ)=-·u**/Δt。

6)應(yīng)用速度校正：un+1=u**-Δt·pn/ρ。

7)計算水平集對流方程并重新初始化。

8)基于高階插值的剛性Heaviside函數(shù)對流化。

9)更新下一時間步的速度un+1和密度ρn+1。

2 數(shù)值水槽模型驗證

為了驗證數(shù)值水槽模型的有效性，本文對不規(guī)則波進(jìn)行了模擬，并研究了浮式結(jié)構(gòu)在不規(guī)則波作用下的動力響應(yīng)。

表1 不規(guī)則波模擬目標(biāo)參數(shù)

2.1 不規(guī)則波浪的數(shù)值模擬

為了驗證one-fluid模型的準(zhǔn)確性，應(yīng)用合田改進(jìn)后的JONSWAP譜對在交通運輸部天津水運工程科學(xué)研究所大比尺波浪水槽實驗室實測的不規(guī)則波數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析和數(shù)值再現(xiàn)。選擇了三組不同工況下浪高儀所記錄的波面數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析，模擬工況如表1所示。數(shù)值波浪水槽計算模型的設(shè)置與交通運輸部天津水運工程科學(xué)研究所的大比尺波浪水槽一致，如圖4所示。模型尺寸為450 m×12 m，消波段長60 m。計算網(wǎng)格尺寸為3 800×100，時間步長取0.02 s。在數(shù)值水槽距離造波邊界150 m處設(shè)置虛擬浪高儀G1來監(jiān)測波面變化。

圖4 數(shù)值波浪水槽示意圖

圖5給出了按JONSWAP譜進(jìn)行模擬得到的x=150 m處的不規(guī)則波面時歷曲線與實測不規(guī)則波面時歷曲線。對波浪時歷進(jìn)行統(tǒng)計分析可得有效波高及有效周期的計算值見表2，所得結(jié)果與實驗值吻合較好。還可以得出one-fluid模型對于波高為Hs=1.55 m和Hs=1.8 m的模擬結(jié)果要好于波高為Hs=1 m的，隨著波高和周期的增大，數(shù)值計算所得結(jié)果與實驗值的誤差越小。

5-a 工況a

表2 計算值和實驗值的比較

表3 計算所得波能譜和實驗所得波能譜的比較

圖6給出了波面經(jīng)過傅里葉變換之后得到的頻譜與目標(biāo)靶譜的對比圖。從圖中可以看出，得到的頻譜與目標(biāo)靶譜基本吻合。表3給出了由實驗所得的波能譜與one-fluid模型計算所得波能譜的值，可以看出one-fluid模型模擬的譜峰頻率與實驗所得的譜峰頻率兩者吻合較好，表明本文模擬的不規(guī)則波具有一定的準(zhǔn)確性。

6-a 工況a

2.2 預(yù)測不規(guī)則波與結(jié)構(gòu)物相互作用

為了驗證所建立的數(shù)學(xué)模型預(yù)測結(jié)構(gòu)與不規(guī)則波相互作用的準(zhǔn)確性，本文數(shù)值模擬了William等人[13]的案例。利用one-fluid模型的“剛體”流固耦合特性對浮體結(jié)構(gòu)進(jìn)行了建模。

本驗證計算所選取的數(shù)值水槽幾何尺寸、波浪參數(shù)、浮式結(jié)構(gòu)尺寸以及距水槽的初始位置等均參照William等人的數(shù)學(xué)模型設(shè)置。模擬過程中的波面數(shù)據(jù)來源于大西洋海能測試站點浮標(biāo)所記錄的三個不同時段的數(shù)據(jù)，時間分別為2010年12月17日10:30、2010年10月10日4:30、2011年2月9日17:00?？諝?、水和浮式方箱的密度分別取1.0 kg/m3、1 000 kg/m3和750 kg/m3。空氣和水的粘度分別為17.9×10-6Pa·s和1.0×10-3Pa·s。本文僅針對結(jié)構(gòu)物的垂蕩運動進(jìn)行研究分析。

圖7顯示了不規(guī)則波與結(jié)構(gòu)物之間在多個時間步長上的相互作用，包括波浪剖面和結(jié)構(gòu)物的動態(tài)響應(yīng)。

7-a t=120 s時

為了評估模型的準(zhǔn)確性，將數(shù)值波浪水槽的垂蕩運動動態(tài)響應(yīng)與結(jié)構(gòu)水動力分析得出的解析解以及William等人數(shù)值分析所得到的結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果如圖8所示?？梢钥闯觯罕疚臄?shù)值模擬得到的結(jié)果與William等人數(shù)模的結(jié)果在頻率和幅值方面吻合度都很高。而由one-fluid模型得到的結(jié)果與結(jié)構(gòu)物水動力分析得到的結(jié)果在頻率方面匹配的很好，但兩者的響應(yīng)幅度所得結(jié)果有所不同。這是由于數(shù)值模型從穩(wěn)定狀態(tài)開始，因此在模擬初始部分與水動力計算軟件AQWA得到的結(jié)果存在很大差異。這種差異可能是由于浮式結(jié)構(gòu)物的位置變化和傾斜情況的影響，從而導(dǎo)致整個運行過程中的潤濕面發(fā)生變化所造成的。在采用one-fluid耦合模型時，考慮了這一因素對浮體水動力荷載的影響，而由結(jié)構(gòu)水動力分析得到的解析解中忽略了這一影響。此外，結(jié)構(gòu)物本身壁面或波浪水槽的數(shù)值模型中存在粘性非線性影響，會導(dǎo)致阻尼力增加，然而AQWA是基于勢流理論的水動力計算軟件，在計算過程中不考慮流體粘性，結(jié)果有一定誤差，這可能導(dǎo)致one-fluid模型與解析解之間的差異。

8-a 2010年12月17日10:30

3 數(shù)值水槽模型應(yīng)用

入射波的周期、波高不同，波長也不同，對浮體的受力也不盡相同。結(jié)構(gòu)物在與波浪相互接觸時，不僅會受到波浪的沖擊載荷，而且由于波浪的形態(tài)變化，結(jié)構(gòu)物浮心位置也會隨之發(fā)生變化，因此結(jié)構(gòu)物在波浪中的運動響應(yīng)是由多種因素共同作用產(chǎn)生的。

表4 波高、周期的取值

本節(jié)探討了在不規(guī)則波作用下，波高、周期、相對寬度(浮箱寬度與波長的比值W/L)以及浮箱相對吃水對浮式方箱垂蕩動態(tài)響應(yīng)的影響。二維數(shù)值水槽模型長28 m，高1 m，其中水深0.6 m,消波段長5 m。水平方向網(wǎng)格為896個單元，垂向網(wǎng)格為32個單元，時間步長取0.015 s。數(shù)值模擬波要素的選取見表4～表6。

表5 相對寬度的取值

表6 浮箱相對吃水的取值

從圖9中可以看出，浮體的垂蕩值隨著波高的增大而增大。在不同的波高下，浮體的垂蕩曲線呈現(xiàn)出一定的周期性。當(dāng)波高Hs=0.07 m時，垂蕩峰值0.048 m；當(dāng)波高Hs=0.08 m時，垂蕩的峰值為0.056 m；當(dāng)波高Hs=0.1 m時，垂蕩的峰值為0.075 m。通過對比三種工況可以看出，隨著入射波高的增加，浮式方箱垂蕩運動響應(yīng)也增大。

從圖10中可以看出，在不同的周期下，浮體的垂蕩曲線也呈現(xiàn)出一定的周期性。運動大都在30 s后保持穩(wěn)定，周期Ts=0.91 s、1.1 s、1.28 s對應(yīng)的垂蕩峰值分別為0.086 m、0.075 4 m、0.06 m。從圖中可以觀察到，入射波周期Ts=0.91 s的情況下，浮體的垂蕩峰值最大，然后隨著入射波周期變長，運動響應(yīng)峰值減小。

從圖11中可以看出，浮箱的寬度與波長之比W/L=0.163 9、0.294、0.361 4所對應(yīng)的垂蕩峰值分別為0.078 m、0.058 4 m、0.056 m?？梢钥闯鱿鄬挾萕/L=0.163 9時浮體垂蕩動態(tài)響應(yīng)最大，垂蕩運動響應(yīng)隨著相對寬度的增加逐漸減小。

從圖12中可以看出，浮體的吃水深度h=0.1 m、0.12 m、0.14 m時，對應(yīng)的垂蕩的峰值分別為0.117 m、0.095 m、0.082 m?？梢钥闯龀运疃萮=0.1 m時浮體垂蕩運動響應(yīng)最大，隨著浮體吃水深度的增大，垂蕩運動響應(yīng)峰值減小。

圖9 不同波高下,高a=0.18 m,寬b=0.3 m的浮式方箱垂蕩運動響應(yīng)曲線

圖10 不同周期下,高a=0.18 m,寬b=0.3 m的浮式方箱垂蕩運動響應(yīng)曲線

圖11 不同相對寬度下,高a=0.18 m,寬b=0.3 m的浮箱垂蕩運動響應(yīng)曲線

圖12 不同吃水深度下，高a=0.2 m，寬b=0.3 m的浮式方箱垂蕩運動響應(yīng)曲線

4 結(jié)論

(1)本文使用one-fluid數(shù)學(xué)模型建立了二維粘性數(shù)值波浪水槽。通過對濾波后的實測波與one-fluid模型輸出值在時域和頻域的比較，發(fā)現(xiàn)它們在頻率方面吻合的非常好。

(2)將數(shù)值波浪水槽模型得到的結(jié)構(gòu)垂蕩運動動力響應(yīng)與結(jié)構(gòu)水動力分析得到的解析解以及william的數(shù)值研究結(jié)果進(jìn)行了比較，結(jié)果表明三種結(jié)果吻合度較高，特別是在頻率方面吻合度很高。

(3)研究了不同波高、周期以及浮式結(jié)構(gòu)物的大小對不規(guī)則波作用下結(jié)構(gòu)物垂蕩動態(tài)響應(yīng)的影響。結(jié)果表明隨著波高的增加，浮式方箱垂蕩運動響應(yīng)也增大；隨著入射波周期變長，運動響應(yīng)峰值減??；隨著浮體相對寬度和相對吃水增大，垂蕩運動響應(yīng)峰值減小。

(4)與現(xiàn)有方法不同的是，one-fluid模型是從剛體的分布拉格朗日乘子法出發(fā)，剛體被建模為流體相，并通過類似于空氣和水的廣義方程求解，剛體的空間速度是通過線性最小二乘投影來計算的。結(jié)果表明，浸入式one-fluid公式是適合于模擬波浪-浮體相互作用問題的，而且不需要明確地引入運動學(xué)和動力學(xué)邊界條件。