加權(quán)雙線性Hardy算子在加冪權(quán)Lp空間中的最佳常數(shù)

肖甫育

(上海大學理學院數(shù)學系, 上海 200444)

1 引言

1920 年, 英國數(shù)學家Hardy 在研究雙重Hilbert 級數(shù)的收斂時, 建立了經(jīng)典Hardy算子, 見文獻[1].經(jīng)典的一維Hardy 算子的定義為其中1

1984 年,Carton-Lebrun 和Fosset 在文獻[3]中首先定義了如下的加權(quán)Hardy 算子: 設(shè)ω:[0,1]→[0,∞)是一個函數(shù),f是Rn上的復值可測函數(shù)當ω(t)≡1 及n=1 時,Hω是經(jīng)典的一維 Hardy 算子H.2001 年, Xiao 在文獻 [4]中得到了加權(quán)Hardy 算子在Lp(Rn)空間中的最佳常數(shù).

定理 A[4]設(shè)p ∈[1,∞],ω:[0,1]→[0,∞)一個函數(shù), 則Hω在Lp(Rn)上有界當且僅當同時, Xiao 在文獻 [4]中研究了加權(quán)Hardy 算子的共軛算子, 加權(quán)算子, 其定義如下.設(shè)ω:[0,1]→[0,∞)是一個函數(shù),f是Rn上的復值可測函數(shù).加權(quán)算子的定義為當ω(t)≡1 及n=1 時,Vω是經(jīng)典的算子.加權(quán) Hardy 算子Hω和加權(quán) Cesro 算子Vω是一對共軛算子, 即

其中f ∈Lp(Rn),g ∈Lq(Rn), 1

受多線性算子理論的影響, 2015 年, 傅等在文獻[5]中將加權(quán)Hardy 算子推廣到多線性情形.設(shè)ω:[0,1]×···× [0,1]→[0,∞)是一個可積函數(shù),f1,···,fm是 Rn上的復值可測函數(shù), 加權(quán)多線性Hardy 算子定義為

當m=2 時,稱為加權(quán)雙線性Hardy 算子.傅等在文獻[5]得到了加權(quán)多線性Hardy 算子在Lp(Rn)空間中的有界性和最佳常數(shù).由于m ≥3 和m= 2 的情形并沒有本質(zhì)不同,為此僅敘述雙線性的結(jié)果.

定理B[5]令1

眾所周知, 加冪權(quán)Lp空間(記為Lp(Rn,|x|αdx)) 是一類重要的函數(shù)空間.那么加權(quán)雙線性Hardy 算子和加權(quán)雙線性算子在加冪權(quán)Lp空間中的有界性以及最佳常數(shù)是否可以得到呢? 其最佳常數(shù)與底空間的維數(shù)n、冪權(quán)指標α存在何種關(guān)系? 研究結(jié)果將回答這些問題.

2 主要結(jié)果

定理 1令 1≤p<∞, 1

注在定理1 中, 若取α1=α2=α=0, 則可以得到定理B.

證假設(shè)(2.1)成立.由Minkowski 不等式有

注意α=α1+α2, 利用Hlder 不等式(1/p=1/p1+1/p2)和變量替換yi=tix,i=1,2, 得

必要性為了得到合適的下界, 需要選取特殊的函數(shù).對于充分小的∈(0,1), 取

經(jīng)過簡單的計算得

其中|Sn?1|表示n維單位球面的面積, 有

借助簡單的計算, 得到

綜上所證, 定理1 得證.

定理 2令 1≤p<∞, 1

證定理2 的證明類似于定理1 的證明.假設(shè)(2.2)成立.由Minkowski 不等式有

必要性對充分小的∈(0,1), 取為定理1 中如(2.2)所表示的函數(shù), 則

定理2 得證.

下面首先給出兩個常見的算子.設(shè)0<β< 1,f是[0,+∞) 上一個局部可積函數(shù),則 Riemann-Liouville 分數(shù)積分算子Rβ的定義為若p>1,β>0,則不等式(見文獻[2, 定理3.29])

成立, 其中 Γ(1?1/p)/(Γ(1+β ?1/p))是最佳常數(shù).

設(shè)0<β<1,f是[0,+∞)上一個局部可積函數(shù), 則Weyl 分數(shù)積分算子Wβ的定義為

若p>1,β>0,則不等式(見文獻[2, 定理3.29])

成立, 其中Γ(1/p)/Γ(β+1/p)是最佳常數(shù).

Weyl 算子Wβ和 Riemann-Liouville 算子Rβ是一對共軛算子, 見文獻 [7].即

其中f,g都是[0,+∞)上非負函數(shù).

由定理1 可得推論1.

推論 1若 1≤p<∞,1

(2) 令n=1, 0

由定理2,可得推論2.

推論 2若 1≤p<∞,1

(3) 令n= 1, 0≤t1,t2< 1, 0<β1,β2< 1, 取令ω(t1,t2)=ω(t1)ω(t2), 有

其中算子Rβi的定義如下

由定理1,可得推論3.

其中算子Wβi的定義為

由定理2,可得推論4.