例談小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中的數(shù)學(xué)化思想

錢張培 劉效麗 李娜

摘 要：數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容是由數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想組成的，將數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系是教師上課時都會采用的一種教學(xué)方法。但在此過程中，數(shù)學(xué)課堂還是需要回歸它的本質(zhì)。通過對數(shù)學(xué)化思想的解讀，結(jié)合教學(xué)案例分析數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中不可缺少的數(shù)學(xué)化過程，讓學(xué)生在課堂上領(lǐng)會到數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：水平數(shù)學(xué)化; 垂直數(shù)學(xué)化

中圖分類號：G623.5? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? 文章編號：1006-3315（2020）1-063-002

新課程改革提倡關(guān)注學(xué)生的生活經(jīng)驗，將數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系越來越受到關(guān)注，但數(shù)學(xué)教育生活化只是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的初級階段?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中對數(shù)學(xué)的定義是：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！蓖瑫r在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的設(shè)計中指出，充分考慮數(shù)學(xué)本身的特點，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實質(zhì);在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗，使學(xué)生體驗從實際背景抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。1想要達(dá)到這些目標(biāo)，在數(shù)學(xué)課堂中只聯(lián)系生活是肯定不夠的，還需要讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)化，讓數(shù)學(xué)教育走向數(shù)學(xué)化。

1.“數(shù)學(xué)化”思想含義

“數(shù)學(xué)化”思想是由荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾首次提出，并把它作為數(shù)學(xué)教學(xué)的主要原則之一。他認(rèn)為用數(shù)學(xué)方法將實際材料組織起來，這在今天就叫做數(shù)學(xué)化。數(shù)學(xué)化是一個過程，只要現(xiàn)實世界在一系列因素的影響下不斷變化、延伸和深化，這個過程就會繼續(xù)下去。數(shù)學(xué)化的過程是一個漸進(jìn)的過程，逐漸抽象化、形式化到現(xiàn)實世界的場景中。學(xué)生應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化，自然先在最低層次，對非數(shù)學(xué)的內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)化，使之合乎數(shù)學(xué)精確性要求以保證數(shù)學(xué)的應(yīng)用。接著還應(yīng)進(jìn)行到下一層次，至少能對數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行局部組織。2

1.1水平數(shù)學(xué)化

在弗賴登塔爾的觀點中，把生活世界引向符號世界，把一個實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這個過程就是水平數(shù)學(xué)化。在以水平數(shù)學(xué)化為主的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，主要運(yùn)用“歸納推理”的思想來解決問題。學(xué)生需要經(jīng)歷從具體直觀的實例到抽象概括數(shù)學(xué)知識的過程，在此過程中，他們需要應(yīng)用相關(guān)的思維方法去分析、比較和總結(jié)上述實例的共同特點或本質(zhì)屬性;也就是說，通過這樣的數(shù)學(xué)化的途徑來進(jìn)行數(shù)學(xué)的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生把生活經(jīng)驗上升到數(shù)學(xué)知識，就能使他們不僅能了解、理解、掌握這些知識，而且能夠進(jìn)行應(yīng)用。3

例如，教師在教授“字母表示數(shù)”這節(jié)課時，可以利用撲克牌中的J、Q、K、A這幾張牌引入，讓學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想，在撲克牌中這幾個字母分別表示哪幾個數(shù)，由此引入新課“用字母表示數(shù)”。

1.2垂直數(shù)學(xué)化

在數(shù)學(xué)符號世界里，數(shù)學(xué)符號產(chǎn)生、變化和使用，而且是機(jī)械地、全方位地，這就是垂直數(shù)學(xué)化。在符號世界里，學(xué)生所經(jīng)歷的則是有關(guān)數(shù)學(xué)的抽象。它既可以是對數(shù)學(xué)知識本身進(jìn)行深化，也可以是對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分類、整理等以此形成系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識體系。在以垂直數(shù)學(xué)化為主的數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，主要運(yùn)用“類比推理”的思想去解決問題。通過已有的知識、方法，把握新舊知識的異同，分析比較，構(gòu)建新舊知識之間的橋梁，通過同化或順應(yīng)的方法來豐富、發(fā)展學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

例如，在教授“乘法分配律”時，教師可以先通過兩個算式“3×6”和“3×5+3×1”，讓學(xué)生觀察這兩個等式有什么特點是否相等？若相等可以改寫成哪種算式，從而推出3×（5+1）=3×5+3×1，由此展開教學(xué)。

水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化不能簡單地理解為從具體到一般或從一般到具體。如果“具體”指的是現(xiàn)實生活，從現(xiàn)實生活中抽象出數(shù)學(xué)符號，那么這個過程就是水平數(shù)學(xué)化;如果“具體”指的是數(shù)學(xué)模型，那么無論是歸納或是演繹，這個過程都是垂直數(shù)學(xué)化。4因此水平數(shù)學(xué)化和垂直數(shù)學(xué)化之間并沒有明確的界限，同時這也與學(xué)習(xí)者有關(guān)，個人的經(jīng)歷或常識都有可能會影響其數(shù)學(xué)化，并不只局限于數(shù)學(xué)領(lǐng)域知識的運(yùn)用。

2.教學(xué)案例——三角形內(nèi)角和

2.1教學(xué)片斷

師：三角形內(nèi)角和都是180度嗎？我們先來研究直角三角形，有什么辦法可以來驗證？

生：測量三角形的角。

師：同學(xué)們現(xiàn)在就用你們心中的想法來驗證一下，直角三角形的內(nèi)角和是否等于180度？（同學(xué)們動手進(jìn)行操作）

師：量完了嗎？同學(xué)們說說得到了什么結(jié)論？

生：一個角90度，另外兩個角分別是53度和38度，加起來是181度。

生：一個角是90度，另外兩個角分別是25度和65度，這個三角形內(nèi)角和是180度。

師：有的同學(xué)量完得到180度，有的同學(xué)量完不是180度。老師提供一個方法，我這有一個直角三角形，180度是一個平角，我可以先畫一個平角，然后把角撕下來再拼一下。（請學(xué)生上來進(jìn)行操作）

師：拼完之后你發(fā)現(xiàn)什么了？

生：三個角拼在一起和平角重合了，說明這個三角形內(nèi)角和是180度。

師：剛才我們采用了量的方法又采用了拼的方法。我再提供一個方法，這有三個任意的直角三角形，先看右邊的這個三角形，看我怎么做的？

生：兩個完全一樣的直角三角形拼成了一個長方形。

師：長方形內(nèi)角和是多少，能借助它來研究三角形內(nèi)角和嗎？（同學(xué)們進(jìn)行討論）

生：長方形四個角都是90度，它的內(nèi)角和就是360度，其中一個直角三角形的內(nèi)角和就是180度。

師：那我們就可以得出結(jié)論了，直角三角形內(nèi)角和是180度。

2.2片斷評析

教師在教學(xué)過程中，通過幾個特殊的三角形內(nèi)角和是180度提出問題，鼓勵學(xué)生能夠從生活中很常見的理所當(dāng)然的事情中提出值得探索的數(shù)學(xué)問題，通過數(shù)學(xué)的現(xiàn)實性來實現(xiàn)數(shù)學(xué)化。教師之后再從簡單的直角三角形入手進(jìn)行研究，讓學(xué)生自己進(jìn)行動手操作探索，通過量、拼等方法，將直角三角形內(nèi)角和的問題轉(zhuǎn)化成了研究平角和長方形，這是因為學(xué)生先前已經(jīng)學(xué)過平角是180度、長方形內(nèi)角和是360度這幾個知識點。其本質(zhì)就是讓學(xué)生把自己已有的知識經(jīng)驗，轉(zhuǎn)化為新的數(shù)學(xué)知識。

在此教學(xué)過程中，教師設(shè)計了三種相對簡單、不同的數(shù)學(xué)活動，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考和總結(jié)數(shù)學(xué)定理，以促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展。在這個過程中，學(xué)生們首先從動手操作開始，然后進(jìn)行歸納，最后得出數(shù)學(xué)定理。這個簡單的教學(xué)過程讓學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)歷了從實踐到概念和方法的不斷發(fā)展，它也可以視為是深度垂直數(shù)學(xué)化的結(jié)果，這是數(shù)學(xué)活動的理想目標(biāo)。

3.“數(shù)學(xué)化”課堂教學(xué)策略

《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在總目標(biāo)中就明確指出通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方式進(jìn)行思考。數(shù)學(xué)是抽象的，這就需要通過“形象直觀”來幫助學(xué)生理解，但課堂最終還是需要回歸到抽象的數(shù)學(xué)上?？梢姅?shù)學(xué)教學(xué)在聯(lián)系生活、創(chuàng)設(shè)情境的同時，不能脫離數(shù)學(xué)本身，兩者不能厚此薄彼。

3.1創(chuàng)設(shè)情境抽象出數(shù)學(xué)問題

小學(xué)生的智力發(fā)展還未完善，因此數(shù)學(xué)化的學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)從最低的層次開始，即首先對非數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)化，與小學(xué)生的實際情況相符合。小學(xué)生的思維很活躍，但同時最主要的一個問題就是他們的思考都是建立在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)之上。因此，教師可以在學(xué)生開始學(xué)習(xí)時為學(xué)生創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)學(xué)生的思考。

在“字母表示數(shù)”的教學(xué)中，教師利用“撲克牌”引入課題，將枯燥的數(shù)學(xué)內(nèi)容變得有意思起來，也更容易讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識其實離生活并不遙遠(yuǎn)。在教學(xué)中，教師可以將教學(xué)內(nèi)容與生動的學(xué)習(xí)內(nèi)容相聯(lián)系，不論是呈現(xiàn)學(xué)生周圍的生活素材，還是呈現(xiàn)有關(guān)數(shù)學(xué)本身的素材，都要能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，作為開啟學(xué)生數(shù)學(xué)思維的墊腳石。但同時需要注意，不能為了“情境”而造出一個與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容無關(guān)的情境。它必須結(jié)合數(shù)學(xué)知識，突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)，使學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)源于生活但又高于生活。

3.2將數(shù)學(xué)問題與情境剝離

一節(jié)好的數(shù)學(xué)課真正打動人心的，應(yīng)該是數(shù)學(xué)本身的魅力和力量。張奠宙教授曾說：“數(shù)學(xué)教育自然是以‘?dāng)?shù)學(xué)內(nèi)容為核心，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的優(yōu)劣，自然應(yīng)該以學(xué)生是否能學(xué)好‘?dāng)?shù)學(xué)為依歸?！?一節(jié)數(shù)學(xué)課堂少不了情境的設(shè)置，但在這之后課堂還是需要回歸到數(shù)學(xué)本身。

在“乘法分配律”的教學(xué)中，課堂可以直接圍繞數(shù)學(xué)問題展開，通過對多個數(shù)學(xué)算式的研究，探索其中的運(yùn)算規(guī)律，揭示運(yùn)算規(guī)律的本質(zhì)。目前，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂并不缺乏情境創(chuàng)設(shè)，而是缺乏從情境到數(shù)學(xué)問題研究時的數(shù)學(xué)化。把數(shù)學(xué)問題從生活中抽象出來，為數(shù)學(xué)教學(xué)創(chuàng)造了一個良好的起點，學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的一個重要過程是對數(shù)學(xué)知識的觀察、整理、辨析和聯(lián)系，這在數(shù)學(xué)活動中應(yīng)得到充分的開展。教師隨著課堂的深入，不能再一味地與生活生硬的聯(lián)系，可以直接運(yùn)用數(shù)學(xué)符號讓學(xué)生進(jìn)行思考。

3.3回歸實踐中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程是學(xué)生生活、工作、學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)回到實踐是實現(xiàn)這一目標(biāo)必不可少的過程。學(xué)生從物質(zhì)對象到符號思維的數(shù)學(xué)化過程只是認(rèn)知過程的一個方面;另一方面，更重要的是讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)符號的含義。因為只有當(dāng)抽象的知識回歸現(xiàn)實，數(shù)學(xué)才能實現(xiàn)自己的意義。不斷尋求數(shù)學(xué)符號本身的意義，才有可能激發(fā)學(xué)生認(rèn)知動機(jī)，提高學(xué)生的認(rèn)知水平。教師在數(shù)學(xué)課堂中不僅要讓學(xué)生學(xué)會從自己周圍的生活中提出數(shù)學(xué)問題，而且要結(jié)合現(xiàn)實生活中的實際問題，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)的思維方法對其進(jìn)行分析和解答，使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)的價值。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，提高學(xué)生的實踐和應(yīng)用能力，讓學(xué)生真正認(rèn)識到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是為了更好地生活。

小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對促進(jìn)學(xué)生智力發(fā)展具有積極作用，數(shù)學(xué)知識本身在這一過程中尤為重要。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注重運(yùn)用科學(xué)的教學(xué)方法和理念，增加學(xué)生的數(shù)學(xué)知識，將“數(shù)學(xué)化”最大化作為數(shù)學(xué)課堂的主要目標(biāo)，使學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上的學(xué)習(xí)更具針對性，體會到數(shù)學(xué)思考的樂趣，享受數(shù)學(xué)思維的每一分鐘，實質(zhì)性的提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。

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