例談二次函數(shù)教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”思想的應(yīng)用

黃賢瓊

摘要：“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在初中函數(shù)教學(xué)中有著重要的作用。在二次函數(shù)教學(xué)中，滲透“數(shù)形結(jié)合”這種重要的數(shù)學(xué)思想，對于解決二次函數(shù)問題尤為重要?！皵?shù)形結(jié)合”的本質(zhì)是：利用幾何圖形的性質(zhì)反應(yīng)數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)，通過“以形助數(shù)”或者“以數(shù)解形”的方式來解決問題，起到事半功倍的效果。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)思想 二次函數(shù)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛;數(shù)無形時少直覺，形無數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系，切莫分離?！皵?shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在初中函數(shù)教學(xué)中有著重要的作用。二次函數(shù)是繼一次函數(shù)后，初中學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的一個難點(diǎn)，也是中考的一個熱點(diǎn)。那么在二次函數(shù)教學(xué)中，滲透“數(shù)形結(jié)合”這種重要的數(shù)學(xué)思想，對于解決二次函數(shù)問題尤為重要?！皵?shù)形結(jié)合”的本質(zhì)是：利用幾何圖形的性質(zhì)反應(yīng)數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)，通過“以形助數(shù)”或者“以數(shù)解形”的方式來解決問題，起到事半功倍的效果。筆者從以下幾個角度來闡述二次函數(shù)教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合思想”的應(yīng)用。

一、“以形助數(shù)”，充分利用二次圖像解決函數(shù)性質(zhì)

《二次函數(shù)》教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”的途徑是充分把握好二次函數(shù)圖像與性質(zhì)的關(guān)系?！耙孕沃鷶?shù)”是要根據(jù)問題的已知條件，解讀暗含的數(shù)據(jù)信息，準(zhǔn)確的畫出函數(shù)的圖像，然后直觀的形象的分析，利于找出解決問題的思路。

例如，已知二次函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，當(dāng)x=2時有最小值-1，求此二次函數(shù)的解析式。

解析：根據(jù)題目的已知條件，分析關(guān)鍵點(diǎn)，可以得到圖像的特征。二次函數(shù)的圖像是拋物線，我們畫出圖形，如下圖所示。根據(jù)圖形我們知道二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)為（1，0），頂點(diǎn)為（2，-1），對稱軸是x=2，利用拋物線的對稱性，我們可以得出二次函數(shù)與x軸的另一個交點(diǎn)為（3，0）。然后利用待定系數(shù)法，可以求解。

二、“以數(shù)解形”，解讀精確數(shù)據(jù)闡述函數(shù)的圖像與性質(zhì)

數(shù)學(xué)問題，都是圍繞著“數(shù)”與“形”來展開的，每一個幾何圖形都蘊(yùn)含著一定的數(shù)量關(guān)系。在二次函數(shù)相關(guān)的教學(xué)過程中，我們要充分利用圖像，將圖形信息轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，能夠有效的培養(yǎng)學(xué)生解決問題的思維能力。在解題時，有時把數(shù)轉(zhuǎn)化為形，以形直觀地表達(dá)數(shù)來解決，往往使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化。

例如：如圖是拋物線 的圖像，請盡可能多的說出一些結(jié)論。

解析：本題考查的是學(xué)生對幾何圖形的解讀，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)教學(xué)中，我們引導(dǎo)學(xué)生從圖像的特殊點(diǎn)來分析其性質(zhì)?？梢詮拈_口方向、對稱軸、與x軸的交點(diǎn)，最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)等相關(guān)知識點(diǎn)來分析。從圖像上看，此拋物線開口向下，說明a<0;對稱軸是x=-1;與x軸有兩交點(diǎn)（-3，0）和（1，0）;最高點(diǎn)是（-1，4）。

由此我們還可以得到y(tǒng)的最大值是4，進(jìn)一步可以根據(jù)二次函數(shù)的解析式的頂點(diǎn)式和兩根式和一般式，得出此拋物線的解析式為： 。

三、“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化，巧妙直觀的分析問題

在學(xué)習(xí)二次函數(shù)之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù)和反比例函數(shù)，已經(jīng)初步接觸過函數(shù)教學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”思想的應(yīng)用。因此，在二次函數(shù)教學(xué)中，應(yīng)該更積極引導(dǎo)學(xué)生掌握二次函數(shù)的拋物線圖像和性質(zhì)，有效地滲透“數(shù)形結(jié)合”思想。利用二次函數(shù)解析式及其拋物線圖像特征，“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化換，有機(jī)結(jié)合，可以大大開拓學(xué)生的解題思路，從而為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟一條重要途徑。

在教材教學(xué)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確把握二次函數(shù)中的“數(shù)”與“形”的關(guān)系，構(gòu)建知識體系，形成思維導(dǎo)圖，對于以后進(jìn)一步學(xué)習(xí)有著重要的作用。

四、“數(shù)”與“形”有機(jī)結(jié)合，抽象思維與形象思維和諧結(jié)合

數(shù)形結(jié)合思想是將抽象的數(shù)學(xué)語言和直觀的圖形結(jié)合起來，即有效的將抽象思維和形象思維結(jié)合起來?！皵?shù)”與“形”是既對立又統(tǒng)一的關(guān)系。通過形加深對數(shù)的理解，通過數(shù)加深對形的認(rèn)識，二次函數(shù)教學(xué)中所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合思想，這是幫助學(xué)生深入了解數(shù)形關(guān)系，并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題的契機(jī)。

“數(shù)形結(jié)合”思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中作為一種廣重要的教學(xué)方式，有著廣泛的應(yīng)用。二次函數(shù)教學(xué)中，靈活運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想，還需要學(xué)生準(zhǔn)確讀圖和繪制圖像。讓學(xué)生經(jīng)歷在二次函數(shù)中把已知的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖像特征的問題及把圖像特征的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題的探究過程，體會數(shù)與形的密切關(guān)系，從而提高學(xué)生分析問題解決問題的能力。教師在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中教會學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想方法，才能更有效的提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效率。