啁啾脈沖放大激光系統(tǒng)中展寬器色散的解析算法*

王楠 阮雙琛

1) (深圳大學(xué)物理與光電工程學(xué)院,深圳 518060)

2) (深圳大學(xué),深圳市激光工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,深圳 518060)

3) (中國科學(xué)院物理研究所,光物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

4) (深圳技術(shù)大學(xué),深圳 518118)

時(shí)域色散精密控制是超短激光產(chǎn)生及其應(yīng)用中的關(guān)鍵技術(shù)之一,它通過控制各波長的光程產(chǎn)生相對延遲從而改變脈沖寬度.展寬器是啁啾脈沖放大激光系統(tǒng)中對激光脈沖展寬的裝置,基于光線追跡法研究光線在展寬器中的傳輸路徑,可計(jì)算飛秒脈沖中各波長的光程,進(jìn)而計(jì)算脈沖展寬量并應(yīng)用于系統(tǒng)設(shè)計(jì).由于展寬器的光程表達(dá)式復(fù)雜,直接對其求導(dǎo)獲得色散表達(dá)式較困難,目前只能采用數(shù)值導(dǎo)數(shù)獲得近似解,這在計(jì)算過程中會引入誤差,不利于激光系統(tǒng)精確設(shè)計(jì)和優(yōu)化.本文介紹了一種易實(shí)現(xiàn)的求解展寬器色散的解析算法,通過歸納展寬器光程表達(dá)式特點(diǎn),引入四個基元函數(shù),將光程表達(dá)式分解和反復(fù)代換,可得到高階色散的精確解析值.本文首先對Martinez型展寬器重新光線追跡,獲得與Offner型展寬器一致的相位表達(dá)式,其次通過解析算法獲得了兩種展寬器的精確高階色散值,最后將解析算法與數(shù)值算法的結(jié)果進(jìn)行了比較.該解析算法對于啁啾脈沖放大系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計(jì)具有實(shí)用價(jià)值.

1 引 言

飛秒激光啁啾脈沖放大(CPA)是結(jié)合激光脈沖寬度操控與激光能量放大以實(shí)現(xiàn)超快超強(qiáng)激光輸出的技術(shù).基于這種技術(shù),目前已經(jīng)可以獲得峰值功率 10 PW以上[1]的超強(qiáng)激光脈沖 (1 PW=1015W),為強(qiáng)激光與物質(zhì)相互作用的研究提供了強(qiáng)大的技術(shù)工具.峰值功率為太瓦量級的啁啾脈沖放大激光系統(tǒng)相比前者可以實(shí)現(xiàn)較高的脈沖重復(fù)頻率,在先進(jìn)工業(yè)制造和生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域具有優(yōu)異的應(yīng)用價(jià)值.如在激光加工領(lǐng)域,飛秒激光加工相比于傳統(tǒng)的機(jī)械加工具有非接觸的優(yōu)點(diǎn),相比于長脈沖激光加工可以直接將介質(zhì)等離子體化實(shí)現(xiàn)高精度的冷加工;在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域,飛秒激光可進(jìn)行多光子成像獲得比傳統(tǒng)光學(xué)成像更深的穿透深度、超衍射極限的空間分辨率及更低的背景熒光噪聲[2],也可以用于外科手術(shù)和靶向治療.當(dāng)前的超快激光啁啾脈沖放大技術(shù)正向著產(chǎn)生更高的功率密度、更潔凈的激光脈沖和以新激光材料為基礎(chǔ)打造更低造價(jià)的新型激光系統(tǒng)等方向發(fā)展,這些都需要可靠的光學(xué)理論模型作為支撐.本文在理論上提出了一種超快激光啁啾脈沖放大系統(tǒng)中展寬器色散的解析計(jì)算方法,對于精確計(jì)算展寬器色散、優(yōu)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和設(shè)計(jì)新型激光系統(tǒng)具有實(shí)用價(jià)值.

超快激光啁啾脈沖放大的原理是:在飛秒激光的種子光進(jìn)入光放大器前,先對激光脈沖進(jìn)行時(shí)域展寬,再將展寬后的啁啾脈沖導(dǎo)入光放大器進(jìn)行能量放大,最終對脈沖寬度進(jìn)行壓縮.這種方法可以避免直接將飛秒脈沖進(jìn)行能量放大造成的光學(xué)器件損傷,因而能獲得更高的脈沖能量和相對優(yōu)良的空間和時(shí)域光束質(zhì)量.啁啾脈沖放大技術(shù)的關(guān)鍵步驟之一就是激光脈沖的展寬和壓縮,是通過控制飛秒脈沖的時(shí)域色散來實(shí)現(xiàn)的.利用色散裝置使脈沖中不同波長的光通過的光程不同,可以實(shí)現(xiàn)光脈沖寬度的變化.不過這一過程引入的高階色散與激光放大器里的高階材料色散不能完全抵消會導(dǎo)致脈沖出現(xiàn)邊峰,使得脈沖畸變或不夠潔凈,影響其后續(xù)應(yīng)用,因而精確分析啁啾脈沖放大系統(tǒng)展寬和壓縮器提供的高階色散值對于優(yōu)化系統(tǒng)就非常重要,這時(shí)需要對脈沖色散裝置進(jìn)行光線追跡,分析光脈沖的相位及其各階色散.

常用的脈沖展寬壓縮裝置有棱鏡對、光柵對、棱柵對、塊材料、光纖、Offner型、Martinez型或Barty型展寬器等介質(zhì)或光學(xué)系統(tǒng)結(jié)構(gòu).對于塊材料和光纖等固體介質(zhì),可以直接使用相位表達(dá)式Φ=KL代入材料折射率方程并對光頻率ω求導(dǎo)進(jìn)行色散分析[3],由于可以較方便地獲得色散的解析表達(dá)式,本文不再敘述過程.對于復(fù)雜的展寬壓縮光學(xué)系統(tǒng),則需要進(jìn)行光線追跡進(jìn)行光程計(jì)算.早在1969年,Treacy[4]就使用光線追跡對平行光柵對的相位和各階色散進(jìn)行了詳細(xì)分析;之后Fork等[5]、Martinez等[6]和張留洋等[7]對棱鏡對的色散進(jìn)行了計(jì)算;Kane和Squier[8]、Durfee 等[9]、郭淑艷等[10]、徐婷婷等[11]、蘇娟等[12]和Bucht等[13]對棱柵對的色散進(jìn)行了研究;Cheriaux等[14]、Zhang 等[15]、蔣捷等[16]、Wang 等[17]、田金榮等[18]對Offner型展寬器進(jìn)行了光線追跡與計(jì)算;Martinez[19]、Zhang 等[20]、王勇等[21]、宋晏蓉等[22]和Su等[23]對Martinez型展寬器進(jìn)行了計(jì)算分析;孫大睿等[24]、Backus等[25]、Zhang 等[26]對啁啾脈沖放大系統(tǒng)的色散優(yōu)化給出了建議;除此之外,研究人員也分析了有限的光束寬度、光柵失諧、光柵拼接、非匹配光柵、曲面光柵、光譜寬度、面型平整度和球差等因素對展寬器或壓縮器中脈沖的影響,在這些方面有較多的文獻(xiàn)報(bào)道,本文不再展開介紹.這些針對色散裝置的研究為啁啾脈沖放大激光系統(tǒng)設(shè)計(jì)提供了很好的理論支持.然而,對于以上的展寬壓縮光學(xué)系統(tǒng)裝置,由于相位表達(dá)式復(fù)雜,難以直接推導(dǎo)出高階解析導(dǎo)數(shù)表達(dá)式,目前主要是通過設(shè)定自變量步長計(jì)算函數(shù)值再進(jìn)行差商來進(jìn)行數(shù)值求導(dǎo)的方法,而這樣會給系統(tǒng)引入誤差,不利于系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化,尤其是高階數(shù)值導(dǎo)數(shù)值的誤差會逐級累積增大;另外步長越大,使得偏離誤差越大,而步長越小,計(jì)算量增大,還會引入振蕩誤差,也難以快速、精確地獲得色散值,不利于展寬器參數(shù)設(shè)計(jì)和色散的精密控制.本文提出了一種解析算法,并對Offner和Martinez型展寬器的各階色散進(jìn)行了解析計(jì)算,也對數(shù)值算法和解析算法的結(jié)果進(jìn)行了比較.這種算法對于棱鏡對、棱柵對等具有復(fù)雜相位表達(dá)式的解析導(dǎo)數(shù)求解也具有普遍適用性,對于優(yōu)化設(shè)計(jì)展寬器和精確補(bǔ)償色散具有實(shí)用意義.

2 Offner型展寬器和 Martinez 型展寬器的相位表達(dá)式

Offner展寬器和Martinez展寬器是啁啾脈沖放大激光系統(tǒng)中最常用的兩種展寬器.由于以前的研究人員針對展寬器的光線追跡過程各有描述,有的為了簡化計(jì)算也會使用近似,從而使得色散計(jì)算過程和獲得的展寬器相位表達(dá)式在表述和精度上都存在差異.為了便于計(jì)算和比較,本文首先對兩種展寬器的相位表達(dá)式進(jìn)行統(tǒng)一.

Offner型展寬器的結(jié)構(gòu)和光路如圖1所示,本文直接使用文獻(xiàn)中的光線追跡結(jié)果作為進(jìn)行計(jì)算的相位Φ表達(dá)式[18]:

其中 ΦLo是總光程引入的相位,ΦGo是光柵衍射相位修正因子,ABo,BCo,CDo,DEo,EFo,EAo是展寬器中各段光路的表達(dá)式,與文獻(xiàn)[18]表述相同,引用如下:

式中的各角度如下所示,其中θ0為光柵與OO'的夾角,是個初始設(shè)定值,可以決定衍射光束在凹面鏡上的位置,此處設(shè)定為激光中心波長λ0在衍射后位于凹面鏡的中心,以最大程度地利用凹面鏡實(shí)際使用面積.θ1—θ5分別為光線與水平線、凹面鏡法線、凸面鏡法線、凹面鏡法線、光柵法線和光柵的夾角.

圖1 Offner型展寬器的結(jié)構(gòu)與光路圖Fig.1.Scheme of Offner stretcher.

對Martinez型展寬器進(jìn)行光線追跡可以得到相位Φ的表達(dá)式[19?22],為了統(tǒng)一描述和追跡方法,本文對Martinez型展寬器重新進(jìn)行光線追跡并獲得與Offner型展寬器一致的相位表達(dá)式為:

式中的各參數(shù)代表的意義與上述Offner型展寬器中的參數(shù)意義相同,具體的值由下面過程給出.用于追跡的Martinez型展寬器結(jié)構(gòu)及光路如圖2所示,其中的紅色實(shí)線為傳輸光,深黃色的虛線為光柵,黑色的實(shí)線曲線和直線分別為凹面反射鏡和平面反射鏡,黑色的虛線曲線為凹面鏡相對于平面鏡的鏡像,其余黑色虛線直線為輔助線.光線從從A點(diǎn)入射到光柵,經(jīng)凹面鏡B點(diǎn)、平面鏡C、凹面鏡D和光柵E點(diǎn)后出射;θ0為光柵與OO'的夾角,選取為此時(shí)激光中心波長λ0的衍射光線為AO';θ1—θ6分別為光線與水平線、凹面鏡法線、平面鏡法線、凹面鏡法線、光柵法線和光柵的夾角;圖中凹面鏡圓心位于O點(diǎn),圓半徑為R;平面鏡位于R/2處;光柵凹面鏡間距 O'A 為 L.BD'延長線交OO'于 A'點(diǎn);DE'延長線交 OO'于 G 點(diǎn);AF⊥EF.由幾何關(guān)系和正弦定理,可得各段光路的光程表達(dá)式為:

式中的角度值為:

圖2 Martinez 型展寬器的結(jié)構(gòu)與光路圖Fig.2.Scheme of Martinez Stretcher.

至此,完成了對兩種展寬器的相位表達(dá)式的統(tǒng)一,并給出了對應(yīng)項(xiàng)的參數(shù),由于展寬器結(jié)構(gòu)上的差異,總的相位表達(dá)式雖然相同,但具體的參數(shù)會有不同.通過表達(dá)式也可以看出,直接計(jì)算獲得光通過兩種展寬器后的相位Φ關(guān)于光頻率ω的各階解析導(dǎo)數(shù)是比較困難的.

3 解析算法

通過分解各段光程表達(dá)式并循環(huán)代換的方式來獲得解析計(jì)算結(jié)果.觀察相位式中的各段光路表達(dá)式可以發(fā)現(xiàn),所有式子都由四個初等函數(shù)構(gòu)成,即 y=sin(x),y=arcsin(x),y=A/B,y=A+B.為了求解解析解,只需求解這四個初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后把所有表達(dá)式依次代入這4個函數(shù)即可.以 y=sin(x)為例,參數(shù) x,y 都是光波長 λ 或頻率ω的導(dǎo)數(shù),該初等函數(shù)的一階到四階導(dǎo)數(shù)使用簡單的求導(dǎo)規(guī)則就可以獲得:

那么只要輸入?yún)?shù)x的各階導(dǎo)數(shù)值,代入(3)式就可以獲得參數(shù)y=sin(x)的各階解析導(dǎo)數(shù)值.同樣的道理,可得 y=arcsin(x),y=A/B,y=A+B這三個初等函數(shù)的解析導(dǎo)數(shù)表達(dá)式(見附錄).只要已知輸入?yún)?shù)x或A與B的導(dǎo)數(shù)值,就可以獲得這三個初等函數(shù)的對應(yīng)的解析值.使用軟件編程,將以上表達(dá)式創(chuàng)建4個自定義函數(shù),保存為函數(shù)文件后,對于各段光路反復(fù)調(diào)用這4個函數(shù)就能完成相位的求解.

以求解Martinez型展寬器的 θ1為例,為了最終求解相位關(guān)于角頻率的導(dǎo)數(shù),將追跡波長λ變換為角頻率 ω,得式中的是光柵與對稱軸的夾角,是光線在光柵上的入射角,d 是光柵常數(shù),c 是光速,2和π 是常數(shù),各階導(dǎo)數(shù)為0;角頻率ω是自變量,其一階導(dǎo)數(shù)為1,高階導(dǎo)數(shù)為0.所以參照上述初等函數(shù)發(fā)現(xiàn),其中此處各階導(dǎo)數(shù)為 0,B=ω,一階導(dǎo)數(shù)為 1,各階導(dǎo)數(shù)為 0,代入到A/B的解析導(dǎo)數(shù)式中,可得的各階解析導(dǎo)數(shù)值,再代入 A+B的解析導(dǎo)數(shù)式中求得的各階導(dǎo)數(shù)值,繼續(xù)代入arcsin(x)的解析導(dǎo)數(shù)表達(dá)式中求得的各階導(dǎo)數(shù)值,再代入A+B的解析表達(dá)式中求解得到的各階解析導(dǎo)數(shù)值,這樣就獲得了 θ1的各階解析導(dǎo)數(shù)值.使用同樣的方法,依次得到 θ2—θ6、光程ABM至EFM以及最終的相位Φ的各階解析導(dǎo)數(shù)值.雖然該過程需要把表達(dá)式分解成很多項(xiàng)依次代換,但是使用程序設(shè)計(jì)很容易實(shí)現(xiàn),所以代換過程的程序的編寫和運(yùn)算都非常快,并且計(jì)算結(jié)果是解析值,比通常的數(shù)值運(yùn)算更為精確.

4 計(jì)算結(jié)果

基于上述算法,對Offner型展寬器和Martinez型展寬器進(jìn)行了編程計(jì)算.使用的兩種展寬器的計(jì)算參數(shù)如表1所列.

表1 用于計(jì)算的 Offner型與 Martinez 型展寬器參數(shù)Table 1.Structural parameters of Offner and Martinez stretchers.

采用這個參數(shù)時(shí),計(jì)算可得對于800 nm激光波長,兩種展寬器產(chǎn)生的二階色散都為1.6378×106fs2.使用高斯成像公式可得,Offner型展寬器的 等效光柵對間距為2(R-L)cosθ0,Martinez型展寬器的為2(R/2-L)cosθ0,此處兩種展寬器參數(shù)對應(yīng)的等效光柵對間距值都為332.407 mm.

使用該解析方法對兩種展寬器進(jìn)行色散計(jì)算,結(jié)果如圖3所示.紅線給出的是Offner型展寬器的一階到四階色散,其中圖3(a)為群延遲,圖3(b)為群延遲色散或二階色散,圖3(c)和圖3(d)分別為三階色散和四階色散.同理,圖3(a)—圖3(d)的藍(lán)線分別給出的是Martinez型展寬器的一階到四階色散圖.可見采用該參數(shù)時(shí),兩種展寬器提供的色散大概是相同的,而Offner型展寬器在光譜邊帶處提供更大的色散量.

接下來對兩種展寬器的解析算法與數(shù)值算法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較.使用差商數(shù)值算法并選擇數(shù)值計(jì)算步長分別為0.1和5.0 nm,此時(shí)獲得的兩種展寬器的二階色散值與解析色散值由圖4給出,其中圖4(a),(c)為 Offner型展寬器的結(jié)果,圖4(b),(d)為 Martinez 型展寬器的結(jié)果.從圖4(a),(b)中可以看出,隨著步長數(shù)值的增大,二階色散值的數(shù)值計(jì)算誤差也相對于解析計(jì)算值增大,所以數(shù)值計(jì)算的步長不宜過大.圖4(c),(d)為兩種展寬器的四階色散值,其中紅色點(diǎn)線的0.1 nm步長的值表現(xiàn)出顯著振蕩,這是由于步長過小使得數(shù)值導(dǎo)數(shù)的分母過小,引入了數(shù)值差分誤差,因而數(shù)值計(jì)算的步長也不宜過小.本文通過多次模擬發(fā)現(xiàn),采用數(shù)值差商計(jì)算展寬器色散過程中,為避免數(shù)值導(dǎo)數(shù)差分誤差和累積誤差過大,僅進(jìn)行二階色散的計(jì)算時(shí),最佳步長可以選為0.0006 nm左右,若進(jìn)行四階色散的計(jì)算,最佳步長在0.3 nm左右.通過對比數(shù)值求解與解析計(jì)算結(jié)果,可以發(fā)現(xiàn)本文的解析算法計(jì)算可以避免數(shù)值計(jì)算的兩種誤差問題,尤其在進(jìn)行高階色散的計(jì)算時(shí)表現(xiàn)出更好的實(shí)用性.

圖3 Offner型與 Martinez 型展寬器 700?900 nm 的解析計(jì)算色散曲線 (a) GD;(b) GDD;(c) TOD;(d) FODFig.3.Analytical dispersion results of Offner and Martinez stretcher:(a) GD;(b) GDD;(c) TOD;(d) FOD.

圖4 (a) Offner型展寬器的二階色散值;(b) Martinez 型展寬器的二階色散值;(c) Offner型展寬器的四階色散值;(d) Martinez型展寬器的四階色散值.圖中藍(lán)色實(shí)線為解析計(jì)算值,紅色點(diǎn)線是步長為0.1 nm的數(shù)值計(jì)算值,黑色虛線是步長為5 nm的數(shù)值計(jì)算值Fig.4.(a) GDD of Offner stretcher;(b) GDD of Martinez stretcher;(c) FOD of Offner stretcher;(d) FOD of Martinez stretcher.Blue solid lines in the figure are analytical results;red dotted lines are numerical results with step of 0.1 nm;black dash lines are numerical results with step of 5 nm.

5 總 結(jié)

介紹了一種啁啾脈沖放大激光中展寬器色散的解析計(jì)算方法.基于光線追跡,本文首先給出了與Offner型展寬器光線追跡結(jié)果相統(tǒng)一的Martinez型展寬器追跡公式,進(jìn)而使用初等函數(shù)循環(huán)代換的方式獲得了兩種展寬器的解析計(jì)算結(jié)果,接下來本文對兩種展寬器的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與解析計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較,最終獲得了兩種展寬器一階到四階色散的解析計(jì)算結(jié)果.可以看出,該方法得到的解析計(jì)算結(jié)果更為精確,對于啁啾脈沖放大激光系統(tǒng)中的展寬器設(shè)計(jì)及色散優(yōu)化提供了實(shí)用的工具;另外本算法可以不依賴于特定程序設(shè)計(jì)語言的內(nèi)置函數(shù),可以較好地進(jìn)行推廣,能做成手機(jī)應(yīng)用程序或可視化應(yīng)用程序進(jìn)行使用.當(dāng)然,接下來研究的是綜合整個啁啾脈沖放大系統(tǒng)的色散進(jìn)行優(yōu)化,并結(jié)合色散測量裝置FROG或SPIDER進(jìn)行更為精確的色散控制,以期待獲得更好的色散補(bǔ)償結(jié)果.

感謝中國科學(xué)院物理研究所張偉博士在啁啾脈沖放大激光系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)參數(shù)方面的有益討論和技術(shù)支持.

附錄用于展寬器光線追跡解析算法的四個初等函數(shù)的四階導(dǎo)數(shù)式

y=sin(x)函數(shù)的一至四階全導(dǎo)數(shù):

y=arcsin(x)函數(shù)的一至四階全導(dǎo)數(shù):

y=A/B函數(shù)的一至四階全導(dǎo)數(shù):

y=A+B 函數(shù)的一至四階全導(dǎo)數(shù):