三維光晶格在鐿原子光鐘中的應(yīng)用研究

張夢亞，譙 皓，彭成權(quán)，孫常越，齊啟超，周 敏，徐信業(yè)

(華東師范大學(xué)精密光譜科學(xué)與技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200062)

0 引言

自從1955年第一個(gè)連續(xù)的銫頻率標(biāo)準(zhǔn)問世以來，它一直發(fā)揮著時(shí)間頻率標(biāo)準(zhǔn)的作用[1]?，F(xiàn)在,一些新開發(fā)的銫噴泉頻率標(biāo)準(zhǔn)報(bào)道頻率不確定度為10-15。而隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，光鐘顯示出巨大的發(fā)展?jié)摿2]。光鐘的時(shí)鐘頻率高出微波鐘5個(gè)數(shù)量級，能達(dá)到更好的光鐘穩(wěn)定度，以及更低的光鐘不確定度[3]。

光鐘對物理學(xué)研究、計(jì)量科學(xué)研究和高科技研究均有非常大的推動(dòng)力，光鐘的關(guān)鍵技術(shù)在全球定位系統(tǒng)(Global Positioning System，GPS)[4]、高速通信和深空探測等研究領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價(jià)值。精確的光學(xué)原子鐘具有改變秒定義的潛力，可以在各種科學(xué)和技術(shù)應(yīng)用中提高測量精度和傳感器分辨率[5]。

并且在近年來，隨著飛秒激光頻率梳的發(fā)展，直接測量光學(xué)頻率已成為現(xiàn)實(shí)。光梳與窄線寬激光器相結(jié)合，使第一代基于中性原子的光學(xué)原子頻率標(biāo)準(zhǔn)和時(shí)鐘成為可能。為了追求更好的原子鐘已經(jīng)推動(dòng)了諸多研究領(lǐng)域的發(fā)展，例如提供了更好的量子態(tài)控制和量子科學(xué)的新見解。

現(xiàn)今使用的7個(gè)基本國際單位中，時(shí)間單位“秒”的測量精度是最高的[6]。時(shí)間和頻率是倒數(shù)的關(guān)系，頻率可由時(shí)間推導(dǎo)得出。光鐘的性能指標(biāo)可分為兩方面：穩(wěn)定度(Stability)和不確定度(Uncertainty)。死時(shí)間的存在限制了光鐘的穩(wěn)定度。除此之外，鐘探詢光頻移、環(huán)境因素如磁場和溫度變化等均會(huì)影響光鐘系統(tǒng)的穩(wěn)定度。國際上一般使用阿倫偏差(Allan Deviation)來評價(jià)光鐘的穩(wěn)定度[7]。

目前，本小組實(shí)驗(yàn)上鐿原子光鐘通過同步比對2臺(tái)光鐘，得到單臺(tái)光鐘的穩(wěn)定度為2.9×10-15/τ1/2，在經(jīng)過5000s時(shí)間的平均后，穩(wěn)定度優(yōu)于4×10-17。通過同步比對2臺(tái)光鐘研究系統(tǒng)頻移，得到了其中單臺(tái)光鐘的系統(tǒng)不確定度為10-16量級，與理論期望值還差2個(gè)數(shù)量級。

目前實(shí)驗(yàn)上所使用的一維光晶格光路比較簡單，實(shí)施起來比較容易。當(dāng)冷原子被囚禁在中心區(qū)域，受重力的影響，一般通過在z方向上外加一個(gè)磁場來抵消重力場的影響[8];此外，磁場還提供了一個(gè)量子化軸。但是，這種方案不可避免地存在原子間的碰撞問題[9]。通過三維光晶格，可以實(shí)現(xiàn)少數(shù)原子占據(jù)每個(gè)格點(diǎn)的布局，從而大大降低了原子間碰撞導(dǎo)致的光頻移[10]。2018年美國天體物理聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室(Joint Institute for Laboratory Astrophysics，JILA)小組鍶原子費(fèi)米簡并三維光晶格已達(dá)到低于10-18的系統(tǒng)頻移。

1 冷鐿原子光晶格鐘

1.1 冷鐿原子光鐘

光鐘由3個(gè)主要的部分構(gòu)成:第一部分是光學(xué)頻率標(biāo)準(zhǔn)，即囚禁在光晶格中的冷原子產(chǎn)生的光學(xué)躍遷頻率(圖1);第二部分是窄線寬超穩(wěn)激光光源，它的作用類似于能夠產(chǎn)生非常穩(wěn)定的周期信號的振蕩器;第三部分是光梳，它的作用類似于一個(gè)精度相當(dāng)高的光學(xué)齒輪，將光波頻率和可計(jì)數(shù)的微波頻率相連[11]。目前存在了兩種類型的光鐘[12]：單離子時(shí)鐘和光晶格鐘。在光晶格鐘中，數(shù)千個(gè)中性原子被捕獲在光學(xué)勢中[13]。光晶格鐘已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了非常低的系統(tǒng)不確定度[14]。

圖1 鐿原子用于光鐘的原子能級躍遷圖Fig.1 Energy level transition spectra of ytterbium atomic optical lattices

冷鐿原子光鐘實(shí)驗(yàn)裝置由真空系統(tǒng)、激光和探測系統(tǒng)等組成。激光系統(tǒng)中包含399nm一級冷卻光、556nm 二級冷卻光和極化光、759nm 晶格光、649nm & 770nm 泵浦光，以及578nm鐘探詢光和邊帶冷卻光等。其中本文主要討論晶格光759nm激光由一維方向變?yōu)槿S方向?qū)忡姴环€(wěn)定度性能的影響。

1.2 冷鐿原子光鐘的一維光晶格頻移

目前在實(shí)驗(yàn)上所用的759nm光晶格激光由Coherent相干公司的鈦寶石激光器提供，鈦寶石激光器輸出的激光功率為4.0W，實(shí)驗(yàn)上使用光纖送至真空腔內(nèi)，激光功率最大為1.1W(圖2)。

圖2 冷鐿原子759nm晶格光實(shí)驗(yàn)光路Fig.2 Experimental optical path of 759nm lattice light for cold ytterbium atom

光晶格由光學(xué)駐波形成，在實(shí)驗(yàn)中用一束來回對打并且聚焦的高斯光束構(gòu)成一維的光晶格[15]。但是這個(gè)一維光晶格光的引入會(huì)使原子能級發(fā)生移動(dòng)，光鐘產(chǎn)生頻移。因此首先需要對晶格光產(chǎn)生的光頻移進(jìn)行分析，進(jìn)而對該項(xiàng)頻移進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測量(圖3)[16]。

圖3 測量光晶格頻移Fig.3 Measurement of optical lattice frequency shift

實(shí)驗(yàn)中分別測量在#2 759進(jìn)腔功率為0.98W、0.8W和0.6W不同759頻差下的相對頻移量，以2臺(tái)759頻差為0的數(shù)據(jù)點(diǎn)(即fcavity2-fcavity1=0)作為零點(diǎn)處理，根據(jù)公式：δv=-αU-βU2對數(shù)據(jù)進(jìn)行二次函數(shù)擬合，其中β=-2.85×10-7Hz/Er2。

根據(jù)以上數(shù)據(jù)擬合得到極化率α，并對α進(jìn)行線性擬合α=kx+b，結(jié)果如圖4所示。

圖4 光晶格數(shù)據(jù)擬合Fig.4 Optical lattice data fitting

擬合數(shù)據(jù)得到斜率k=1.39219×105Hz/(Er·MHz)，那么可以得到：α=1.39219×10-5×Δv+8.41255×10-5，因此可得到當(dāng)α=0時(shí)的失諧量Δv=-6.043MHz，實(shí)驗(yàn)中通過光梳測量#1 759的頻率fcomb=394798659.999924MHz。

fcavity1=fcomb-80MHz=394798579.999924MHz，

計(jì)算得到魔術(shù)波長為

fmagic=fcavity1+Δv=394798573.956924MHz

在晶格光勢阱深度為428Er的情況下,對應(yīng)的頻移量為：δv=-αU-βU2=0.08595Hz，得到光晶格頻移的不確定度為1.65×10-16。

2 三維光晶格的理論依據(jù)

2.1 標(biāo)量、矢量、張量光頻移和魔術(shù)波長

三維(3D)光晶格的實(shí)現(xiàn)可以大大減小光晶格頻移。然而與一維光晶格相比，在三維晶格中，晶格的光偏振不能在空間上均勻，特別是對于具有非零角動(dòng)量的費(fèi)米子同位素來說[17]。

激光頻率和激光功率并不是一直恒定不變的，由于激光頻率的測量誤差，導(dǎo)致激光頻率偏離魔術(shù)頻率從而產(chǎn)生光頻移[18]。相應(yīng)地，雖然鐘探詢光功率很低，但是現(xiàn)階段由其光功率起伏引起的頻移以及頻率不確定度不能忽略。

電偶極近似下，可以得到實(shí)際鐘躍遷頻率為

v(λL,eL)=v0+vac≈v0-ΔαE1(λL,eL)E2/2h+

O(E4)

(1)

其中，λL為晶格光波長，eL為激光偏振方向,ΔαE1(λL,eL)=αe(λL,eL)-αg(λL,eL)。

如果只考慮電偶極作用，并忽略高階項(xiàng)的影響,通過調(diào)節(jié)晶格光波長λL和激光偏振方向eL，使得上下能級移動(dòng)相同。當(dāng)激光波長偏離魔術(shù)波長時(shí)，晶格光頻移主要是一階光頻移起到主導(dǎo)作用；但是當(dāng)光晶格光在最佳波長位置時(shí)，二階光頻移(超極化率變化)將影響光鐘的頻率不確定度[19]。

在魔術(shù)波長的囚禁勢中，光強(qiáng)引起的光頻移近似為Δv=-Δω·I，而Δω=0時(shí)，則原子躍遷頻移和光強(qiáng)無關(guān)。對應(yīng)到某躍遷譜線的頻移可寫成

(2)

其中，ωL是晶格光對應(yīng)的角頻率。|ζFmF〉是一個(gè)超精細(xì)結(jié)構(gòu)能態(tài)，ζ表示主量子數(shù)，則對應(yīng)的原子動(dòng)態(tài)極化率可表示為

(3)

2.2 Mott絕緣態(tài)和原子相互作用

在三維光晶格中，3個(gè)相互垂直的駐波激光束形成三維光晶格。原子的運(yùn)動(dòng)由它們在相鄰晶格位點(diǎn)之間的隧穿速率決定。

在討論Mott絕緣態(tài)之前,首先引入了玻色-哈伯德模型,它是討論超流態(tài)-Mott絕緣態(tài)量子相變的出發(fā)點(diǎn)。對于稀薄的堿金屬氣體,可只考慮2個(gè)原子間的s波散射,原子間的相互作用勢U(r)是短程相互作用,遠(yuǎn)小于晶格常數(shù),可近似用一個(gè)δ勢來代替

(4)

其中，as表示s波散射長度,m表示單個(gè)玻色原子的質(zhì)量。對于單原子系統(tǒng)能量本征態(tài)是Bloch波函數(shù),適當(dāng)疊加的Bloch波可以構(gòu)成一套Wannier波函數(shù)集w(r-ri),利用玻色-哈伯德模型表示哈密頓量

(5)

εi描述了對不同的格點(diǎn)處的能階,在本文中考慮它是一個(gè)常量的情況。隧穿矩陣元J是在格點(diǎn)i和格點(diǎn)j之間的躍遷矩陣元

(6)

粒子間相互作用由格點(diǎn)相互作用能U來描述

(7)

其中，相互作用勢U和隧穿矩陣元J都由生成光晶格的激光控制,U隨阱深Vlat的增加而增加。格點(diǎn)能可表示為

(8)

隧穿矩陣元可表示為

(9)

晶格中每個(gè)格點(diǎn)只有一個(gè)粒子,粒子之間的排斥使粒子從一個(gè)格點(diǎn)躍遷到另外一個(gè)格點(diǎn)受到抑制。在Mott絕緣態(tài),存在一個(gè)能隙△,當(dāng)隧穿矩陣元J≤U時(shí)，能隙等于格點(diǎn)相互作用能U。

由于2個(gè)原子間的格點(diǎn)排斥相互作用,一個(gè)格點(diǎn)上填充2個(gè)原子的態(tài)的能量要比原來填充一個(gè)原子的態(tài)的能級大U,因而要產(chǎn)生激發(fā)就需要能量U。所以在Mott絕緣態(tài)下,原子在格點(diǎn)之間的躍遷就被抑制了。

當(dāng)格點(diǎn)之間的能量差等于U時(shí)就會(huì)出現(xiàn)隧穿。對于光晶格中的冷原子,當(dāng)原子間相互作用排斥勢U足夠大以致使得能隙△>0成立時(shí),則表明能譜中存在能隙，從而意味著Mott絕緣態(tài)的存在;反之當(dāng)隧穿矩陣元J增加時(shí),能隙寬度△減少,最終2個(gè)能帶在激發(fā)能譜中疊加,能隙消失,表明超流相的存在。根據(jù)以上分析,得到了超流相到Mott絕緣相轉(zhuǎn)變的條件為能隙Δ=0。

3 三維光晶格在鐿原子光鐘中的應(yīng)用研究

3.1 應(yīng)用于鐿原子的三維光晶格理論方案

對于費(fèi)米子光晶格鐘，本小組選用171Yb原子，它具有最簡單的費(fèi)米子結(jié)構(gòu)，是研究費(fèi)米原子光晶格鐘的理想原子。

3.2 鐿原子三維光晶格的構(gòu)造

考慮到要構(gòu)造鐿原子三維光晶格光鐘，目前討論了其實(shí)施的一般步驟。首先，可將鐿原子通過399nm MOT(磁光阱)冷卻，然后裝載到由三束759nm激光交叉形成的光偶極阱(Crossed Optical Dipole Trap，XODT)囚禁勢中。光偶極囚禁勢由聚焦的水平光和近豎直光形成，水平光為橢圓形，在水平和豎直方向選擇合適的束腰大小。豎直方向的束腰較小，束縛較強(qiáng)，可以抵抗重力勢；垂直方向和重力勢有個(gè)很小的夾角，為高斯光束，為了減小ac Stark頻移，此光為圓偏振。

在MOT光關(guān)閉之后，溫度為幾μK的大量原子被裝載到光偶極囚禁勢中。在MOT囚禁之后，通過短時(shí)間內(nèi)指數(shù)減小囚禁深度進(jìn)行蒸發(fā)冷卻，通過改變參數(shù)，蒸發(fā)冷卻后的原子數(shù)目約為104～105，溫度在幾十nK。最后，把費(fèi)米簡并氣體絕熱地裝載到三維光晶格中，由于光晶格勢阱深度的增加，可以有效地抑制隧穿效應(yīng)，同時(shí)壓縮多原子格點(diǎn)。

由于光晶格中原子溫度很低，可以通過飛行時(shí)間法測量多物質(zhì)波干涉圖像來驗(yàn)證。當(dāng)緩慢增加晶格光勢阱阱深時(shí)，可以通過絕熱冷卻進(jìn)一步降低原子溫度；還可以通過研究超流態(tài)到Mott絕緣態(tài)的量子相變，實(shí)現(xiàn)一個(gè)晶格格點(diǎn)一個(gè)原子，從而抑制了光晶格中原子的碰撞頻移。

量子相變的一個(gè)重要特征是達(dá)到臨界點(diǎn)時(shí)激發(fā)光譜的變化。當(dāng)系統(tǒng)從超流態(tài)越過臨界點(diǎn)進(jìn)入 Mott-絕緣態(tài)時(shí)，會(huì)表現(xiàn)出絕緣特性。在三維光晶格中，Mott絕緣態(tài)下將雙自旋簡并費(fèi)米氣體加載到三維光晶格的基帶中，其中雙重占據(jù)位置的原子數(shù)量被抑制。在這種實(shí)驗(yàn)條件下，原子數(shù)密度增大，原子間相互作用大大減弱，光頻移的不確定度降低。

表1所示為本實(shí)驗(yàn)小組鐿原子光鐘各項(xiàng)頻移值以及相應(yīng)的不確定度。從表1中可以看出，晶格光頻移引起的光頻移的不確定度較大，目前限制光鐘不確定度的主要因素正是晶格光頻移。

表1 鐿原子光鐘評估表Tab.1 Ytterbium atomic optical clock evaluation form

三維光晶格在鐿原子光鐘中的應(yīng)用研究主要是為了減小晶格光頻移引起的不確定度。在三維光晶格內(nèi)，簡并費(fèi)米氣體中原子占據(jù)Mott絕緣態(tài)，阻止了多個(gè)原子占據(jù)光晶格中同一位置。這種單原子占據(jù)的特性逐漸降低了晶格中單個(gè)原子的相互作用。而且根據(jù)三維光晶格理論計(jì)算可知，若能實(shí)現(xiàn)鐿原子三維光晶格，隨著原子相互作用的逐漸變?nèi)?，可以增加光鐘中的原子密度，從而使光鐘的穩(wěn)定性增強(qiáng)，光晶格頻移不確定度降低至10-18量級，這對于光鐘系統(tǒng)不確定度的提高有著至關(guān)重要的作用。

4 應(yīng)用展望

隨著光鐘技術(shù)不斷向前推進(jìn)，新的技術(shù)也推動(dòng)整個(gè)領(lǐng)域蓬勃向前發(fā)展。冷鐿原子光晶格光鐘有著非常巨大的發(fā)展前景，三維光晶格這項(xiàng)工作為降低光鐘不確定度，提高光鐘性能開辟了新的可能性。

本文針對三維光晶格在鐿原子光鐘中的應(yīng)用研究問題，分析討論了鐿原子光鐘三維光晶格的原理和結(jié)構(gòu)，為實(shí)現(xiàn)三維光晶格所需要克服的困難提出了新的理論方案。下一步工作可以從以下幾個(gè)方面入手：

1)三維光晶格在鐿原子真空腔上的光路設(shè)計(jì)；

2)鐿原子Mott絕緣態(tài)的實(shí)現(xiàn)；

3)實(shí)現(xiàn)冷鐿原子光鐘三維光晶格，測量鐿原子光鐘光頻移的穩(wěn)定度和不確定度。