淺談高三數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透數(shù)學(xué)思想

王勇

摘 ?要：數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，是要讓學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是指學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)該達(dá)成的有特定意義的綜合性能力，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能，具體綜合性、整體性和持久性，反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，是數(shù)學(xué)思想方法在具體學(xué)習(xí)領(lǐng)域的表現(xiàn)。如果能自覺(jué)滲透數(shù)學(xué)思想，加強(qiáng)個(gè)人數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，就會(huì)在復(fù)習(xí)中高屋建瓴，對(duì)整體復(fù)習(xí)起到引領(lǐng)和導(dǎo)向作用。本文將從函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，化歸和轉(zhuǎn)化思想四方面論述。

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決的數(shù)學(xué)思想。方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)建方程，通過(guò)解方程或者方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析，轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決的數(shù)學(xué)思想。

（一）.方程思想就是將所求的量（或與所求的量相關(guān)的量）設(shè)成未知數(shù)，用它表示問(wèn)題中的其他各量，根據(jù)題中的已知條件列出方程（組），通過(guò)解方程（組）或?qū)Ψ匠蹋ńM）進(jìn)行研究，使問(wèn)題得到解決.

（二）.方程思想與函數(shù)思想密切相關(guān)：方程f（x）=0的解就是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo);函數(shù)y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0，通過(guò)方程進(jìn)行研究，方程f（x）=a有解，當(dāng)且僅當(dāng)a屬于函數(shù)f（x）的值域.函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要.

（三）可用函數(shù)與方程思想解決的相關(guān)問(wèn)題.

1.函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：

（1）借助有關(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題;

（2）在研究問(wèn)題中通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)，把研究的問(wèn)題化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的目的.

2.方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個(gè)方面：

（1）解方程或解不等式;（2）帶參變數(shù)的方程或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識(shí)的應(yīng)用;（3）需要轉(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關(guān)系等;（4）構(gòu)造方程或不等式求解問(wèn)題.

（四）規(guī)律方法

1在解決值的大小比較問(wèn)題時(shí)，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性或圖象解決是一種重要思想方法.

2在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，一種重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題.同時(shí)要注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題更明朗化，一般地，已知存在范圍的量為變量，而待求范圍的量為參數(shù).

3在解決不等式證明問(wèn)題時(shí)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)方法解題是近幾年各省市高考的一個(gè)熱點(diǎn).用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決不等式問(wèn)題時(shí)，一般都要先根據(jù)欲證的不等式構(gòu)造函數(shù)，然后借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性情況，再結(jié)合在一些特殊點(diǎn)處的函數(shù)值得到欲證的不等式。

二、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想

數(shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的思想，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用包括以下兩方面：（1）“以形助數(shù)”，把某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀化，生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。（2）“以數(shù)定形”，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確。

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：（1）是借助形的生動(dòng)性和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì);（2）是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì).

規(guī)律方法

如果參數(shù)、代數(shù)式的結(jié)構(gòu)蘊(yùn)含著明顯的幾何特征，一般考慮用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解題，即所謂的幾何法求解，比較常見(jiàn)的對(duì)應(yīng)有：

（1） 中 表示直線的斜率， 表示直線在 軸上的截距.

（2） 表示坐標(biāo)平面上兩點(diǎn) 連線的斜率.

（3） 表示坐標(biāo)平面上兩點(diǎn) 之間的距離.

（4）導(dǎo)函數(shù) 表示曲線在點(diǎn) 處切線的斜率.

只要具有一定的觀察能力，再掌握常見(jiàn)的數(shù)與形的對(duì)應(yīng)類型，就一定能得心應(yīng)手地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法.

三、分類討論的思想

分類討論的思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解（或分割）成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，通過(guò)對(duì)基礎(chǔ)性問(wèn)題的解答來(lái)實(shí)現(xiàn)解決原問(wèn)題的思想策略，對(duì)問(wèn)題實(shí)行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于增加一個(gè)已知條件，實(shí)現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問(wèn)題（或綜合性問(wèn)題），優(yōu)化解題思路，降低問(wèn)題難度。

1.由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：有的概念本身是分類的，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等.

2.由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、函數(shù)的單調(diào)性等.

3.由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求引起的分類討論：如除法運(yùn)算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對(duì)數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域等.

4.由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形類型、位置需要分類，如角的終邊所在的象限;點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等.

5.由參數(shù)的變化引起的分類討論：某些含有參數(shù)的問(wèn)題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會(huì)導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法.

6.由實(shí)際意義引起的討論：此類問(wèn)題在應(yīng)用題中，特別是在解決排列、組合中的計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí)常用.

四、化歸與轉(zhuǎn)化的思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化、進(jìn)而解決問(wèn)題的一種方法。一般總是將復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，將難解的問(wèn)題通過(guò)變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問(wèn)題，將未解決的問(wèn)題通過(guò)變化轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題。

1、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常遇到一些問(wèn)題直接求解較為困難，通過(guò)觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過(guò)程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)新問(wèn)題（相對(duì)來(lái)說(shuō)，是自己較熟悉的問(wèn)題），通過(guò)新問(wèn)題的求解，達(dá)到解決原問(wèn)題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”.

2、化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法應(yīng)用的主要方向

化歸與轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.除極簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決都是通過(guò)轉(zhuǎn)化為已知的問(wèn)題實(shí)現(xiàn)的.從這個(gè)意義上講，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過(guò)程.化歸與轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本思想，解題的過(guò)程實(shí)際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過(guò)程.數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化，新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，高次向低次的轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn).

3、等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化

轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化之分.等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價(jià)性;在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價(jià)性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)之中，首先需要學(xué)生有一定的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)知識(shí)。很多數(shù)學(xué)原理是在舊知識(shí)的基礎(chǔ)之上推導(dǎo)出來(lái)的。

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