固定支承式懸浮隧道在列車荷載下的豎向動力響應(yīng)研究

何任飛，袁勇，賀維國，張金偉

固定支承式懸浮隧道在列車荷載下的豎向動力響應(yīng)研究

何任飛1，袁勇1，賀維國2，張金偉2

(1. 同濟大學 土木工程學院，上海 200092；2. 中鐵第六勘察設(shè)計院集團有限公司，天津 300308)

為了研究列車荷載下固定支撐式懸浮隧道的動力響應(yīng)問題，以一擬建鐵路隧道工程為背景，將水中隧道簡化為兩端簡支的歐拉-伯努利梁，列車荷載簡化為一系列移動集中力，建立列車荷載下隧道管體振動微分方程，并通過振型疊加法和隱式數(shù)值積分方法求解。以模態(tài)分析和時程分析為基礎(chǔ)，探討荷載列速度、水體對動力響應(yīng)的影響。研究結(jié)果表明：移動荷載列通過懸浮隧道時，管體跨中位移放大系數(shù)在共振速度處出現(xiàn)了極大值。數(shù)據(jù)對比表明，水體慣性力相當于增加了隧道管體的附加質(zhì)量，使其自振頻率有所減小，進而減小了荷載列的共振速度，但水體會放大隧道管體共振時的位移響應(yīng)。

懸浮隧道；固定支承式；列車荷載；動力響應(yīng)；振型疊加法

懸浮隧道，又稱“阿基米德橋”，是一種用于跨越海峽、海灣、湖泊以及其他水體較深、跨度較大的水域的新型隧道結(jié)構(gòu)形式。相較于傳統(tǒng)橋梁和沉管隧道，懸浮隧道坡度小，建造成本低，受天氣和海底環(huán)境影響小，不影響水面通航，并能保留水域自然景觀[1-3]，因此，近20年來，學術(shù)界和工業(yè)界對其給予了廣泛的關(guān)注。懸浮隧道主要由浮于水中的隧道管體和錨固系統(tǒng)組成。根據(jù)錨固方式的不同分為錨索式懸浮隧道、浮筒式懸浮隧道和固定支撐式懸浮隧道[3]。錨索式懸浮隧道結(jié)構(gòu)形式靈活，即使在水深變化大的水域依然施工方便，因此成為目前國內(nèi)外學者研究懸浮隧道的重點。而相比于錨索式懸浮隧道，固定支撐式懸浮隧道以橋墩作為管體的錨固系統(tǒng)。這種懸浮隧道結(jié)構(gòu)類似“水下橋梁”，其橋墩能夠為管體提供剛度較大的約束，從而增大了隧道的穩(wěn)定性，使得結(jié)構(gòu)更加安全適用。因此，在浙江舟山桃花島-魯家峙擬建隧道工程中，便擬采用固定支撐式懸浮隧道的結(jié)構(gòu)形式。根據(jù)設(shè)計，隧道內(nèi)將通行輪軌列車，并將預(yù)留遠期磁懸浮列車的試驗條件。在運營過程中，懸浮隧道受到的靜力荷載有：自重、靜水壓力、浮力和附屬設(shè)備自重等；動力荷載則包括水動力、車輛荷載、地震荷載和沉船荷載等[2, 4]。分析時，應(yīng)當將各荷載進行解耦逐一研究。其中車輛荷載將持續(xù)地引起隧道結(jié)構(gòu)的振動，是最為重要的動力荷載之一，因此本文著重對列車荷載引起的懸浮隧道動力響應(yīng)進行研究。懸浮隧道的環(huán)境介質(zhì)為水體，既非橋梁所處的空氣，也非傳統(tǒng)隧道所處的巖土體，這勢必對結(jié)構(gòu)的力學性態(tài)產(chǎn)生影響。對于懸浮隧道在車輛荷載下的動力響應(yīng)，國內(nèi)外的研究并不多。項貽強等[5]將汽車荷載簡化為移動集中力，將懸浮隧道等效為彈性地基梁結(jié)構(gòu)，對懸浮隧道在移動荷載作用下的振動微分控制方程進行數(shù)值求解。Tariverdilo等[6]利用二維和三維結(jié)構(gòu)模型，對懸浮隧道在移動荷載下的振動問題進行分析，發(fā)現(xiàn)流體與結(jié)構(gòu)的相互作用放大了隧道的撓度。ZHANG等[7]研究了懸浮隧道在單個移動載荷下的運動學問題，并討論錨索剛度、移動荷載和移動速度的影響。然而這些模型忽略了懸浮隧道和移動車輛的耦合作用，并且只討論了靜水環(huán)境下的動力響應(yīng)問題。LIN等[8]利用振型疊加法和有限單元法，考慮流體經(jīng)過隧道時引起的渦激升力，對流體-車輛-隧道耦合系統(tǒng)中隧道管體的位移和內(nèi)力響應(yīng)進行計算。本文以舟山擬建懸浮隧道工程為背景，基于一系列合理假定建立了計算簡圖和懸浮隧道管體振動微分方程，通過振型疊加法和隱式數(shù)值積分方法求解得到固定支撐式懸浮隧道在列車荷載下的動力響應(yīng)，在模態(tài)分析和時程分析的基礎(chǔ)上，研究荷載列速度和水體對動力響應(yīng)的影響規(guī)律。

1 計算模型

1.1 模型假定

固定支撐式懸浮隧道及其上方由列車車輛軸重組成的荷載排列如圖1所示，為便于探索一般性原理且便于推導(dǎo)，可以做如下合理假定與簡化：

1) 由于隧道管體跨徑較長，遠大于其截面直徑，且其兩端擱置在橋墩上，可以將隧道管體簡化為兩端簡支的歐拉-伯努利梁，兩端的橋墩簡化為簡支支座；

2) 假定列車荷載為大小、間距相同、速度不變的一系列移動集中力。荷載列間距為每節(jié)車輛的長度，每個荷載的大小為每節(jié)車輛的重量[9]；

3) 假定隧道管體材料、截面等參數(shù)處處相同。

據(jù)此可以建立如圖2所示的計算簡圖。

圖1 列車編組示意圖

圖2 懸浮隧道計算簡圖

1.2 基本運動方程

根據(jù)結(jié)構(gòu)動力學理論中直梁彎曲有阻尼受迫振動的基本微分方程，可以給出在該力學模型中的懸浮隧道管體振動微分方程：

式中()為管體在靜力平衡基礎(chǔ)上的豎向動力位移，，和分別是管體的線密度，阻尼系數(shù)和抗彎剛度。f是列車荷載，f是流體荷載。

f可以表達為：

管體在靜水中振動時所受到的流體荷載f可以采用Morison公式進行計算：

式中：ρ為水體密度；為管體直徑；C為拖曳力系數(shù)，取為0.7；C為拖曳力系數(shù)，取為1.0[4]。式(3)的Morison公式是以繞流理論為基礎(chǔ)的半理論半經(jīng)驗公式，其將流體荷載分成兩項，第1項為流體拖曳力，第2項為流體慣性力。其中流體拖曳力是按照真實黏性流體的定常均勻水流繞過某柱體時對柱體的作用力分析得到的，與結(jié)構(gòu)和流體的相對速度的平方成正比，而慣性力是根據(jù)理想流體有勢非定常流理論分析得到的，與結(jié)構(gòu)和流體的相對加速度成正比[9]。目前，Morison公式在海洋工程中已被廣泛采用。

在該計算模型中，隧道管體兩端簡支，其振動響應(yīng)可以用振型疊加法來表示，即：

將式(2)~式(4)代入式(1)中，再根據(jù)Galerkin法，可以將微分方程轉(zhuǎn)化為線性方程組?？梢缘玫剑?/p>

(=1, 2, 3，…) (5)

其中：

2 數(shù)值算例

到目前為止，世界上還沒有一座已經(jīng)建成的懸浮隧道，因此在本研究中，根據(jù)浙江舟山擬建懸浮隧道段的初步設(shè)計方案，確定對式(5)，(6)中所涉及到的相關(guān)參數(shù)，如表1所示。懸浮隧道截面如圖3所示。

表1 懸浮隧道基本參數(shù)

圖3 懸浮隧道截面示意圖

另外，式(4)中用振型疊加法將管體振動響應(yīng)表達為各階振動的疊加，但簡支梁在實際受迫振動的分析中，往往只需取前幾階就可以達到較高的精度要求。計算結(jié)果表明用前3階計算得到的結(jié)果和用前5階基本相同，即取前5階振動已經(jīng)可以滿足精度的要求。因此在后續(xù)分析中取管體前5階振動進行計算。

3 計算結(jié)果與分析

3.1 模態(tài)分析

對于簡支梁的無阻尼自由振動的自振頻率，結(jié)構(gòu)動力學中已有明確的計算公式，即：

對于表1中設(shè)計參數(shù)，用上述公式計算得到的管體前5階自振頻率為：2.59，10.38，23.35，41.52和64.87 Hz。然而，懸浮隧道所處的環(huán)境介質(zhì)是水體，其在水中自振頻率相較于無水的情形將發(fā)生變化。令式(5)中=0，得到管體在水中自由振動方 程為：

(a)1時程曲線；(b)2時程曲線；(c)3時程曲線；(d)4時程曲線；(e)5時程曲線

圖4y(=1, 2, 3, 4, 5)時程曲線

Fig. 4 Time history curves ofy(=1, 2, 3, 4, 5)

表2 yn時程曲線擬合結(jié)果

由表2可以看出，擬合結(jié)果的殘差平方和都很小，因此擬合效果很好。和無水情形下的無阻尼自振頻率計算結(jié)果相比，可以發(fā)現(xiàn)：由于管體在水中振動時受到水體慣性力作用，相當于增加了一部分附加質(zhì)量，因此自振頻率有所減小。另外，管體自身阻尼和水體阻尼力作用也使得自振頻率略微減小，但阻尼比對頻率的影響相比于附加質(zhì)量的影響很小，可以忽略不計。

3.2 時程響應(yīng)分析

按照我國規(guī)范和習慣，鐵路可以根據(jù)設(shè)計時速分為普速鐵路(低于160 km/h)，快速鐵路(160~ 250 km/h)和高速鐵路(250~350 km/h)。以這3種鐵路速度等級和上海磁懸浮列車時速為依據(jù)，分別取荷載列速度為100，200，300和431 km/h進行管體跨中位移和加速度時程響應(yīng)的計算，計算結(jié)果如圖5和圖6所示。由圖5得，隨著荷載依次進入管體，形成一種周期性的激勵，跨中位移先由0向下增大，后在負方向的某一位置附近往復(fù)振動，當荷載離開管體，跨中位移逐步回到0位置，并出現(xiàn)了正方向的位移。因此在隧道運營使用的過程中，應(yīng)當考慮到列車荷載下管體往復(fù)振動所導(dǎo)致的混凝土開裂、鋼殼疲勞等問題。由于結(jié)構(gòu)和水體阻尼的存在，后續(xù)自由振動的振幅隨著時間而逐漸衰減。而跨中加速度在振動過程中始終在0附近上下波動，當荷載列離開管體時加速度逐漸衰減。

3.3 荷載列速度的影響

計算結(jié)果表明，不同移動速度下管體位移響應(yīng)顯然將有所不同。為了研究管體位移響應(yīng)與荷載列速度的關(guān)系，定義管體上跨中位移放大系數(shù)(DAF)如下：

式中：Rmax為當荷載列以一定速度通過管體時，管體跨中位移時程響應(yīng)最大值，Rmax為荷載列以靜載作用于管體不同位置時，管體跨中撓度的最大值。位移放大系數(shù)可以直觀反映移動荷載列的動力效應(yīng)。圖7給出了管體跨中位移放大系數(shù)和荷載列速度的關(guān)系。

(a)=100 km/h；(b)=200 km/h；

(c)=300 km/h；(d)=431 km/h

圖5 不同荷載列速度下管體跨中位移響應(yīng)

Fig. 5 Displacement response at the mid-span of the tunnel tube with different load velocities

可以看出，當荷載列速度很小時，跨中位移放大系數(shù)接近于1，動力效應(yīng)不明顯。隨著速度的增大，隧道跨中位移放大系數(shù)并非單調(diào)增大，而是出現(xiàn)上下波動，在一些速度點出現(xiàn)了極大值。在本算例中，極大值點是32，38，56，78和174 km/h。簡支梁在等間距移動荷載列作用下的動力響應(yīng)包含2類共振[10]：第1類是由移動荷載列的周期性加載引起的共振，第2類是移動荷載列的加載速率引起的共振。本算例中，發(fā)生第2類共振所需的列車速度很大，遠高于目前列車的運行速度，因此不進行討論。而根據(jù)荷載列經(jīng)過簡支梁的第1類共振速度的表達式br=3.6bnv/(式中：bn為橋梁第階自振頻率；v為荷載列間距；為正整數(shù)乘子)，代入前文中管體自振頻率計算結(jié)果，所求得的第1類共振速度為31.9，39.8，53.1，79.7和159.3 km/h。數(shù)值計算和公式計算得到的結(jié)果基本一致。在懸浮隧道設(shè)計中，應(yīng)考慮使得列車車速避開此類共振速度，從而減小隧道管體的位移響應(yīng)。另外在本算例中，當荷載列速度260 km/h時，跨中位移放大系數(shù)隨著荷載列速度的增大而增大，因此還應(yīng)當避免列車速度過大導(dǎo)致位移響應(yīng)過大。

(a) v=100 km/h；(b) v=200 km/h；

3.4 水體的影響

懸浮隧道和傳統(tǒng)橋梁及海底隧道的不同便在于其所處環(huán)境介質(zhì)為水體。水體對隧道在列車荷載下的動力響應(yīng)必將產(chǎn)生影響。圖8給出了水中和無水情形下跨中位移放大系數(shù)與荷載列速度的關(guān)系。由圖8可知，當荷載列速度較小時，水體對跨中位移響應(yīng)的影響也較小，無論是水中還是無水情形跨中位移放大系數(shù)都接近1.0。隨著荷載列速度的增大，由于水體減小了管體的自振頻率，根據(jù)荷載列經(jīng)過簡支梁的第1類共振速度的表達式，荷載列的共振速度將有所減小。但水體會放大管體共振時的位移響應(yīng)。

圖7 跨中位移放大系數(shù)和荷載列速度的關(guān)系

圖8 水中和無水情形下跨中位移放大系數(shù)與荷載列速度的關(guān)系

4 結(jié)論

1) 在荷載列的周期性激勵下，跨中位移時程曲線開始先由0向下增大，后在負方向的某一位置附近往復(fù)振動，當荷載離開管體，跨中位移逐步回到0位置，并出現(xiàn)正方向位移。由于阻尼的存在，后續(xù)自由振動的振幅隨著時間而逐漸衰減。

2) 荷載列速度很小時，跨中位移放大系數(shù)接近于1，動力效應(yīng)不明顯。隨著速度的增大，隧道跨中最大位移響應(yīng)在共振速度處出現(xiàn)了極大值。在懸浮隧道設(shè)計中，應(yīng)考慮使得列車車速避開共振速度且避免車速過大，從而減小隧道管體的動力響應(yīng)。

3) 由于管體在水中振動時受到水體慣性力作用，相當于增加了一部分附加質(zhì)量，因此自振頻率有所減小，進而使得荷載列共振速度減小。但水體將會放大管體共振時的位移響應(yīng)。

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Dynamic response analysis of submerged floating tunnel supported on columns under train load

HE Renfei1, YUAN Yong1, HE Weiguo2, ZHANG Jinwei2

(1. College of Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China; 2. China Railway Liuyuan Group Co., Ltd, Tianjin 300308, China)

In order to study the dynamic response of submerged floating tunnel (SFT) supported on columns under train load, in the context of a planned tunnel project, the tunnel tube was simplified as a simply supported Euler-Bernoulli beam, and the train load was simplified as a series of moving concentrated forces. The differential equation for the vibration of the tunnel tube under train load was deduced. Mode superposition method and implicit numerical integration method were adopted to solve the equations. Based on modal analysis and time-history analysis, the effects of load velocity and water body on dynamic response were discussed. The results show that the maximum of displacement amplification factor at the mid-span appears at the resonance velocity when moving loads pass through the SFT. Data comparison indicates that the inertial force of water body provides the additional mass for the tunnel tube. So the natural frequency of the tube decreases and the resonance speed of the moving loads is reduced. However, the displacement response when resonance occurs will be amplified by the water body.

submerged floating tunnel; supported on columns; train load; dynamic response; mode superposition method

10.19713/j.cnki.43-1423/u. T20190225

U451.3

A

1672 - 7029(2020)01 - 0167 - 07

2019-03-26

國家自然科學基金資助項目(51478343)

袁勇(1963-)，男，云南景東人，教授，博士，從事地下結(jié)構(gòu)動力問題研究；E-mail：yuany@#edu.com

(編輯 陽麗霞)