考慮溫度影響的改進西原流變模型及一維固結(jié)解

陳 航，劉干斌，郭 華，周 曄，吳章儼

(寧波大學巖土工程研究所，浙江 寧波 315211)

在核廢料處理、地熱開采、熱力管線埋設(shè)、公共交通系統(tǒng)等諸多工程建設(shè)領(lǐng)域，溫度對土體力學性質(zhì)的影響受到越來越多的關(guān)注[1]。此外，大量工程也表明，軟黏土具有顯著的流變性[2]。因此國內(nèi)外學者開展了諸多軟黏土的流變試驗、流變模型研究。例如郭華等[3-4]基于四元件流變模型，即是由一個彈性模量為E0的彈簧、一個黏滯系數(shù)為η0的黏壺和一個Kelvin體串聯(lián)而成，考慮溫度影響，建立了寧波軟黏土流變固結(jié)模型，并在廣義Merchant三元件模型基礎(chǔ)上，引入溫度膨脹系數(shù)，建立了飽和土體三元件熱流變模型。楊超等[5]通過分別加載和分級加載2種方式進行了一維固結(jié)流變試驗，研究了上海海相軟土一維固結(jié)流變特性和計算模型。

由于西原模型能較好地模擬巖土的流變特征，近年來許多學者對西原模型進行了改進，例如郤保平等[6]從熱力耦合作用下花崗巖的流變機制研究出發(fā)，建立熱力耦合作用下花崗巖的流變模型。左建平等[7]作了熱力耦合作用下巖石流變模型的本構(gòu)研究，并基于西原流變模型得出熱力耦合作用下西原模型的蠕變方程、卸載方程和松弛方程。張旭東[8]為探究軟巖隧道圍巖變形的蠕變時效性，采用非定常黏滯體對西原模型進行修正，分析了圍巖黏彈性和塑性階段隧道圍巖變形過程，推導得到了隧道圍巖黏彈塑性解。曹瑞瑯等[9]將Hoek-Brown強度準則引入到西原流變本構(gòu)模型，得到了支護條件下Hoek-Brown準則西原模型的圓形隧洞黏彈塑性解。鄧宗偉等[10]基于土體流變特性，對西原模型低應(yīng)力分量進行改進，即用Schiffman模型代替Merchant模型，得到瞬時加載下的改進西原模型一維固結(jié)解析解。齊亞靜等[11]通過在西原模型上串聯(lián)一個帶應(yīng)變觸發(fā)的非線性黏壺，提出改進的西原模型，推導巖石在恒應(yīng)力情況下的三維蠕變本構(gòu)方程。閻巖等[12]在蠕變模型中考慮蠕變參數(shù)隨應(yīng)力、時間等因素而變化是解決非線性蠕變問題的方法之一。付騰飛等[13]在西原模型的基礎(chǔ)上，引入Kachanow損傷理論及時間損傷閾值，建立了一種同時描述3個階段的非線性損傷蠕變方程式。

本文考慮土體的黏彈塑性變形特性，引入膨脹系數(shù)，建立熱力耦合的西原模型，推導了土體熱流變固結(jié)方程，并求得了瞬時加載條件下一維熱固結(jié)方程的解析解。

1 改進西原流變模型

1.1 西原模型

西原流變模型是1個Merchant模型串聯(lián)1個Bingham體，如圖1所示。Merchant模型由1個Hooke體和Kelvin體組成，即由1個黏滯系數(shù)為η1(T)的黏壺和1個彈性模量為E1并聯(lián)后再串聯(lián)1個彈性模量為E0的彈簧；Bingham體則由1個屈服應(yīng)力為σs的塑性元件和1個黏滯系數(shù)為η2(T)的黏壺并聯(lián)而成。西原模型將彈性體、黏性體、塑性體串聯(lián)起來，能夠描述土體黏彈塑性特性。

圖1 西原流變模型Fig.1 The Nishihara rheological model

1.2 考慮溫度影響的西原模型

假設(shè)飽和軟黏土的有效應(yīng)力為σ′，則西原模型的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系如下：

(1)

式中：σ′——有效應(yīng)力；

σ0，σ1，σ2——Hooke體、Kelvin體和Bingham體的受到的應(yīng)力；

ε——總應(yīng)變；

ε1，ε2，ε3——Hooke體、Kelvin體和Bingham體的應(yīng)變。

在熱力耦合作用下西原模型中各元件的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：

(2)

式中：ΔT——任意溫度差，ΔT=T-T0，其中T0為初始溫度；

E0，α0——第一個彈性元件的彈性模量和熱膨脹系數(shù)；

E1，α1，σ1E，ε1E——Kelvin體中彈性元件的彈性模量、熱膨脹系數(shù)、承受的應(yīng)力和應(yīng)變；

η1(T)，σs1n，ε1n——Kelvin體中黏性元件的黏滯系數(shù)、承受的應(yīng)力、應(yīng)變，η1(T)是與溫度有關(guān)的常數(shù)；

η2(T)，σ2n，ε2n——Bingham體中黏性元件的黏滯系數(shù)、承受的應(yīng)力、應(yīng)變，η2(T)是與溫度有關(guān)的常數(shù)；

σ2p，ε2p，σs——Bingham體中塑性元件承受的應(yīng)力、應(yīng)變和屈服極限。

當塑性元件承受的應(yīng)力σ2p小于其極限屈服應(yīng)力σs時，Bingham體中的塑性元件不發(fā)生作用，因此西原模型可簡化為三元件模型；當塑性體承受的應(yīng)力σ2p大于其極限屈服應(yīng)力時，塑性元件承擔的應(yīng)力為σs。

若考慮土體的塑性變形時，基于上述模型可得土體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：

(3)

(4)

(5)

假設(shè)溫度增量隨時間線性變化，即ΔT=kt，其中k表示為溫度隨時間線性變化系數(shù)，k為常數(shù)，式(3)、式(4)可表示為：

(6)

(7)

對式(5)和式(7)進行積分求解，可分別求得ε1、ε2：

(8)

(9)

式中：c1，c2——系數(shù)。

由式(8)和式(9)可以得到考慮熱力耦合的西原模型的總應(yīng)變?yōu)椋?/p>

(10)

當t=0，即熱力耦合西原模型中塑性元件不發(fā)生作用，且c1=c2=0時，模型只有彈性變形，考慮熱力耦合西原模型式(10)可以退化為：

(11)

當c1=c2=0時考慮塑性變形的熱力耦合西原模型的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系可表示為：

(12)

若忽略溫度影響，則式(12)退化為如下形式：

(13)

綜上，式(13)即為考慮熱力耦合作用的廣義一維西原流變模型本構(gòu)方程。

2 熱力耦合流變固結(jié)問題

2.1 問題的描述

考慮單層地基的一維固結(jié)問題，如圖2所示，假設(shè)軟黏土表面排水，底面不排水，土體表面作用隨時間變化的連續(xù)均布荷載為q(t)，瞬時加載下荷載簡化為q0，kv是豎向滲透系數(shù)，軟黏土層厚度為H，其他E0，η1(T)，E1，η2(T)，σs為流變模型參數(shù)。

圖2 單層地基固結(jié)問題Fig.2 Consolidation problem of a single layer

假設(shè)土體飽和且土顆粒和孔隙水均不可壓縮，則單位時間內(nèi)排出的水量和土骨架的壓縮量相等，可得：

(14)

式中：kv——土體豎向滲透系數(shù)；

γw——土中水的重度。

根據(jù)土體有效應(yīng)力原理：

σ′=q(t)-u

(15)

式中：q(t)——作用在土體上隨時間變化的荷載；

u——孔隙水壓力。

聯(lián)立式(12)、式(14)和式(15)，得到飽和軟黏土熱力耦合作用下的黏彈塑性一維流變固結(jié)方程：

(16)

2.2 方程求解

考慮瞬時加載，q(t)=q0，則控制方程式(16)可表示為：

(17)

求解條件為：

邊界條件：單面排水：u(0,t)=0，uz(H,t)=0；

初始條件：u(z,0)=q0

為求解式(17)，可設(shè)孔壓u的表達式為：

(18)

式中：Tn(t)——時間t的一次函數(shù)。

將式(18)代入式(17)，可得：

(19)

對式(19)進行Laplace變換，可得：

(20)

由初始條件，可知：

(21)

將式(21)代入式(20)，可得：

(22)

對式(22)進行Laplace逆變換，得：

(23)

其中：

將式(23)代入式(18)，則孔壓u的表達式可表示為：

(D2-D3)ex2t]

(24)

(D2+D3)ex1t+(D2-D3)ex2t]

(25)

在式(25)中用H/2代替H可以得到雙面排水情況下即頂面和底面均排水時的孔壓表達式。同理，也可以得到雙面排水情況下的固結(jié)度表達式。

3 試驗驗證及結(jié)果分析

3.1 試驗驗證

為驗證模型及理論結(jié)果的正確性，與尹鐵鋒等[14]熱固結(jié)試驗結(jié)果進行對比分析。在50，100，200 kPa圍壓和30，45，60，75 ℃條件下進行了12次溫控等壓固結(jié)試驗，試驗中待孔壓穩(wěn)定后將溫度升至預定值，待孔壓再次穩(wěn)定后進行排水固結(jié)，期間測得孔壓試驗值，結(jié)果如圖3所示。

圖3 不同溫度下孔壓試驗和計算結(jié)果對比Fig.3 Pore pressure results for test and theory at different temperatures

為了與熱固結(jié)試驗結(jié)果進行對比，參考郭華等[4]、謝新宇等[15]、鄧岳保等[16]有關(guān)寧波軟土的流變研究結(jié)果，考慮溫度影響改進西原流變模型的參數(shù)取值如下：kv=5.779×10-10m/s、E0=1.5×104kPa、E1=6 000 kPa、α0=1.5×10-5/℃、α1=2×10-5/℃；20 ℃下的黏滯系數(shù)η1=6.818×107kPa·s、η2=8×107kPa·s；H=0.08 m。根據(jù)鄧宗偉等[10]取土體的屈服極限，即應(yīng)力閾值σs=50 kPa。

當固結(jié)壓力不大時，黏滯系數(shù)主要受溫度影響[17]，張鴻雁等[18]研究表明，黏滯系數(shù)與溫度的作用關(guān)系如下：

(26)

式中：ηT——不同溫度下的黏滯系數(shù)；

ηR——常溫時的黏滯系數(shù)。

由式(26)可以計算得到不同溫度下的黏滯系數(shù)η1，η2，結(jié)果如表1。假設(shè)溫度線性變化上升時間為105s，則當初始溫度T0為20 ℃時，系數(shù)k的結(jié)果如表1所示。

表1 不同溫度下的黏滯系數(shù)和系數(shù)k

利用Matlab編程，計算得到不同溫度和固結(jié)壓力下的孔壓，結(jié)果亦列于圖3中。試驗和理論計算結(jié)果均表明：在固結(jié)壓力一定時，隨著溫度的升高，不同時刻的孔壓有明顯的減小，說明溫度可以影響到土體的排水效果，其原因主要系溫度升高，使得飽和土中水的黏滯系數(shù)減小，滲透系數(shù)增大，孔隙水加速排出，土體固結(jié)速率增大。此外，試驗采用三軸試樣，體積較小，利于排水，試驗得到的孔壓消散速度大于理論計算值。

3.2 溫度對固結(jié)度的影響

由于溫度對土體的孔壓消散有較大的影響，為更直觀地反映溫度對土體固結(jié)速度的影響，對不同溫度和壓力作用下的固結(jié)度進行計算，結(jié)果如圖4和圖5所示。從圖4中可以看出，隨著溫度的增加，土體中的孔壓消散越快，土體固結(jié)越快；加溫和加載初期，土體的固結(jié)速率較快，隨后逐漸減小。由圖5可以看出，不同壓力作用下，土體平均固結(jié)度基本相同，平均固結(jié)度不受固結(jié)壓力的影響。

圖4 溫度對固結(jié)度的影響(100 kPa)Fig.4 Effect of temperatures on degree of consolidation (100 kPa)

圖5 地表壓力對固結(jié)度的影響(60 ℃)Fig.5 Effect of surface pressures on pore pressure (60 ℃)

3.3 流變模型參數(shù)的影響

(1)彈性模量

為分析彈性模量對土體固結(jié)特性的影響，取E0和E1值如表2所示。當彈性模量增大時，飽和土的孔隙水會加速排出，孔壓消散速率大、固結(jié)速度加快(圖6)。

表2 E0、E1取值

圖6 彈性模量對孔壓和固結(jié)度的影響(60 ℃,100 kPa)Fig.6 Effect of elastic modulus on pore pressure and degree of consolidation (60 ℃, 100 kPa)

(2)膨脹系數(shù)

土顆粒的膨脹作用由彈簧的膨脹系數(shù)來描述，為分析膨脹系數(shù)對土體熱固結(jié)的影響，選擇3組膨脹系數(shù)(表3)，計算結(jié)果如圖7所示?？梢钥闯?，膨脹系數(shù)對土體孔壓消散和固結(jié)度影響很小，說明土顆粒受溫度影響而產(chǎn)生的熱膨脹對于土體熱固結(jié)孔壓消散的作用非常小，可忽略不計。

(3)黏滯系數(shù)

為了分析Kelvin體中黏壺和塑性元件中黏壺的黏滯系數(shù)對土體固結(jié)速度的影響，對η1和η2分別取值，如表4所示，計算得到不同黏滯系數(shù)時的孔壓和平均固結(jié)度結(jié)果如圖8所示，可以看出黏滯系數(shù)越小，孔壓消散越快，土體固結(jié)越快。

表3 不同α0和α1值

表4 不同η1和η2值

4 結(jié)論

從黏彈塑性角度出發(fā)，在西原模型基礎(chǔ)上，考慮膨脹系數(shù)和黏滯系數(shù)的溫度影響，建立了考慮熱力耦合的改進西原模型，求解了一維熱固結(jié)方程，主要結(jié)論如下：

(1) 溫度升高可導致黏滯系數(shù)減小，滲透系數(shù)增大，孔隙水消散速率加快，土體固結(jié)加快。

圖7 膨脹系數(shù)對孔壓和固結(jié)度的影響(60 ℃,100 kPa)Fig.7 Effect of the expansion coefficient on pore pressure and degree of consolidation (60 ℃, 100 kPa)

圖8 黏滯系數(shù)對孔壓和固結(jié)度的影響(60 ℃,100 kPa)Fig.8 Effect of the viscosity coefficient on pore pressure and degree of consolidation (60 ℃,100 kPa)

(2)改進西原模型的彈性模量越大，孔壓消散速率大，土體固結(jié)越快。土顆粒受溫度影響而產(chǎn)生的熱膨脹對于土體熱固結(jié)孔壓消散的作用非常小。黏滯系數(shù)越小，孔壓消散越快，土體固結(jié)越快。

(3) 試驗結(jié)果與考慮土體的黏彈塑性的熱力耦合改進西原模型計算結(jié)果吻合，改進西原模型可以較好地描述土體的熱力耦合特性。