基于車道等飽和度的交叉口車道功能優(yōu)化模型

聶 磊，馬萬經(jīng)

（同濟(jì)大學(xué)道路與交通工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海201804）

車道功能劃分是根據(jù)交叉口進(jìn)口車道車流模式將車道與交通流進(jìn)行匹配［1］。車道功能劃分是交通設(shè)計(jì)的重要內(nèi)容，其合理性直接關(guān)系到交叉口空間資源利用和運(yùn)行效率［2-5］。

車道功能分專用車道和合用車道兩種。其中，合用車道是交叉口車道功能設(shè)置的常用形式，常規(guī)合用（共享）車道是指直行、左轉(zhuǎn)及右轉(zhuǎn)三者之間共用或合用一條車道，包括直行左轉(zhuǎn)合用車道、直行右轉(zhuǎn)合用車道、直行與左右轉(zhuǎn)合用車道及左右轉(zhuǎn)合用車道等［6］。以往許多研究更多關(guān)注獨(dú)立的左轉(zhuǎn)、直行和右轉(zhuǎn)車道功能［7-10］，對合用車道功能布置研究較少，往往側(cè)重于研究合用車道通行能力、飽和流量等［11-12］。另外，許多研究［13-15］將合用車道構(gòu)成車道組，作為一個(gè)整體進(jìn)行研究，忽略不同合用車道功能會導(dǎo)致車道流量不均衡分布，車道飽和度無法做到均衡，影響交叉口通行效率，甚至得出錯(cuò)誤結(jié)論。

傳統(tǒng)的交叉口機(jī)動車道功能劃分［7，16-17］主要考慮道路幾何條件、交通流量情況，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)提出左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)車道設(shè)置條件，或提出某一試算方案，缺乏理論和模型的指導(dǎo)。

Wong等［18-20］建立了基于車道的邏輯變量反映每個(gè)車道是否能夠允許通行到各出口方向，每個(gè)進(jìn)口車道功能變量數(shù)等于交叉口進(jìn)口數(shù)乘以進(jìn)口車道數(shù)，變量數(shù)較多，而且變量與進(jìn)口車道數(shù)量直接相關(guān)，模型通用性不夠。白玉［7］和王京元等［8］以流向的車道數(shù)建立了車道功能矩陣，更適用于獨(dú)立功能車道布置，但對合用車道的表達(dá)不很直觀。張鵬等［9］、馬萬經(jīng)等［10］提出基于 Ring-Barrier［15］相位的車道功能向量模型，但車道功能模型做了簡化，沒有考慮直右、直左右、左右等合用車道，應(yīng)用受限。趙靖等［2-4，21］提出了動態(tài)車道及出口道左轉(zhuǎn)的車道功能優(yōu)化模型，但沒有考慮出口道的優(yōu)化。

基于以上分析，本文建立基于車道等飽和度的交叉口車道功能優(yōu)化模型，模型以交叉口流量、各進(jìn)出口和路段車道數(shù)為輸入，以進(jìn)口流量比最小和進(jìn)口流量比方差最小為目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)建約束條件保證各車道功能齊備、流量與車道功能匹配、合用車道均衡飽和度、進(jìn)出口道車道數(shù)平衡。然后，通過LU分解和枚舉算法，能夠一次生成所有可行的車道功能劃分方案并進(jìn)行優(yōu)化。最后，實(shí)例驗(yàn)證表明，交叉口車道功能優(yōu)化模型有效。

1 車道功能優(yōu)化模型

1.1 模型輸入

（1）交叉口流量：Qi，j，i，j∈ {1，2，3，…，N}，i，j代表方向或進(jìn)口序號，南進(jìn)口為1，序號順時(shí)針增加，N為交叉口進(jìn)口數(shù)。

（2）交叉口第i個(gè)進(jìn)出口總車道數(shù)：Li。

（3）交叉口第i個(gè)進(jìn)口路段車道數(shù)：Bi。

1.2 模型變量

δi，k為第i個(gè)進(jìn)口第k種車道功能的車道數(shù)，k={0，1，2，…，7}，共計(jì)N×8個(gè)變量，若N=4，則有32個(gè)整數(shù)變量。8種車道功能中k=0代表出口道，k=1～7分別代表左轉(zhuǎn)（掉頭或左轉(zhuǎn)掉頭）、直左車道、直行車道、直左右車道、左右車道、直右車道、右轉(zhuǎn)車道，如圖1所示。

1.3 模型約束

1.3.1 進(jìn)出口道數(shù)量約束

第i個(gè)進(jìn)口的進(jìn)口道車道數(shù)和出口車道數(shù)之和等于總車道數(shù)，第i個(gè)進(jìn)口第k種車道功能的車道數(shù)大于等于0，出口道數(shù)不小于路段基本車道數(shù)，不大于出口車道數(shù)+1。

1.3.2 合用車道約束

合用車道的數(shù)量至多一條，否則進(jìn)口內(nèi)部車道就將產(chǎn)生沖突。若有直左右車道，則直行、直左、左右、直右車道數(shù)量均為0，否則將產(chǎn)生沖突。

若δi，4=1，則δi，2= δi，3= δi，5= δi，6=0，即

若δi，5=1，則δi，2= δi，3= δi，4= δi，6=0，即

1.3.3 車道功能模式

進(jìn)口車道數(shù)：Mi=Li-δi，0，根據(jù)車道功能不同，進(jìn)口車道功能一般可以分為4種模式，模式I為獨(dú)立的左轉(zhuǎn)、直行和右轉(zhuǎn)車道，進(jìn)口道為3組獨(dú)立的車流（車道組）；模式II為具有直左合用車道，沒有直右合用車道；模式III為有直右合用車道，沒有直左合用車道；模式IV為有直左右合用車道或同時(shí)具有直右和直左車道，整個(gè)進(jìn)口道為一個(gè)車道。

模式I的方案組合數(shù)可以表達(dá)為左轉(zhuǎn)車道數(shù)分別為1，2，3，…，Mi條情況下的直行和右轉(zhuǎn)專用車道功能方案組合數(shù)之和。同理，模式II的組合數(shù)可以表達(dá)為直左合用車道在左側(cè)開始第1車道、第2車道、…、第Mi車道情況下同時(shí)有直行和右轉(zhuǎn)專用車道方案和全部為右轉(zhuǎn)專用車道方案組合數(shù)之和。模式III和模式II類似，組合數(shù)相同。模式IV-1的組合數(shù)為Mi。模式IV-2的組合數(shù)可以表達(dá)為直行車道數(shù)為0、1、2、…、Mi－2條情況下同時(shí)有左轉(zhuǎn)右轉(zhuǎn)專用車道方案、只有左轉(zhuǎn)和只有右轉(zhuǎn)的方案組合數(shù)之和。4種模式的組合數(shù)和模型表達(dá)如表1所示。

進(jìn)口車道功能組合數(shù)量隨著進(jìn)口車道數(shù)呈現(xiàn)拋物線增長。若出口道數(shù)也是可變的，則進(jìn)口道車道功能組合將成倍增加。如圖2所示。

1.3.4 流量與車道功能匹配

若某個(gè)流向流量大于0，則必須有該流向的車道功能。同理，若某個(gè)流向流量等于0，則禁止該流向的車道功能。

表1 進(jìn)口道車道模式Tab.1 Approach lane function pattern

圖2 進(jìn)口車道數(shù)與車道功能組合關(guān)系Fig.2 Approach lane count and lane function count

式（7）、（8）中：Qi，(i+1)modN為左轉(zhuǎn)流量；Qi，(i+2)modN為直行流量；Qi，(i+3)modN為右轉(zhuǎn)流量。mod運(yùn)算為除法運(yùn)算后的余數(shù)。

1.3.5 車道組流量等飽和度

對于模式Ⅰ，左轉(zhuǎn)、直行和右轉(zhuǎn)都是獨(dú)立車道，各流向的車道流量都是平均分配，每種車道功能的每個(gè)車道的流量比和飽和度都是相同的。而對于模式Ⅱ～Ⅳ，合用車道與多個(gè)車道共同構(gòu)成車道組，如果按照車道組整體進(jìn)行優(yōu)化，默認(rèn)車道組內(nèi)所有車道流量均衡分配，完全共享，按等飽和度原則分配車道流量是偏樂觀和理想的。有些車道功能方案設(shè)置了合用車道，但實(shí)際車道流量無法完全共享做到等飽和度，所以采用將車道作為優(yōu)化對象更符合實(shí)際。對于存在直行左轉(zhuǎn)合用車道的模式Ⅱ和直行右轉(zhuǎn)合用車道的模式Ⅲ，同樣存在上述問題。如果這些方案合用車道流量不均衡，無法做到等飽和度或等流量比，從本質(zhì)上來講應(yīng)轉(zhuǎn)化為模式Ⅰ，所以，這些不合理的車道功能方案應(yīng)予以舍棄。

（1）模式Ⅱ

直行和左轉(zhuǎn)合用車道構(gòu)成一個(gè)車道組，根據(jù)排隊(duì)理論，車道組內(nèi)部車道的飽和度相同，由于車道組在信號控制中是共用一個(gè)信號燈組，綠燈時(shí)間也相同，所以車道組內(nèi)部車道的流量比也應(yīng)相同。即

式中：qxi，2和qxi，3為i進(jìn)口直左合用車道中的左轉(zhuǎn)和直行流量；Si，1=1 650 pcu.h-1、Si，2=1 800 pcu.h－1和Si，3=1 550 pcu.h－1分別為左轉(zhuǎn)、直行和右轉(zhuǎn)飽和流量［13］；θ為左轉(zhuǎn)流量對直行流量折算系數(shù)θi=Si，2/Si，1，有

若滿足約束（10），則左轉(zhuǎn)和直行合用車道流量為 (Qi，(i+1)modN+Qi，(i+2)modN)/(δi，1+δi，3)，右轉(zhuǎn)單車道流量為Qi，(i+3)modN/δi，7，否則無法做到車道組內(nèi)車道等飽和度，在這種條件下采用合用車道模式不合理，車道功能應(yīng)該調(diào)整為模式Ⅰ。

（2）模式Ⅲ

等飽和約束條件為

式 中 ：φ=Si，2/Si，3為 右 轉(zhuǎn) 流 量 對 直 行 流 量 折 算系數(shù)。

若滿足約束（11），則左轉(zhuǎn)流量為Qi，(i+1)mod4/δi，1，直行和右轉(zhuǎn)合用車道流量為 (Qi，(i+2)mod4+Qi，(i+3)mod4)/，否則車道布置不合理。

（3）模式Ⅳ-1

等飽和約束條件為

Si，0=min(Si，SL，Si，SR)，Si，SL為直行左轉(zhuǎn)合用車道飽和流量，Si，SR為直行右轉(zhuǎn)合用車道飽和流量。

（4）模式IV-2

等飽和約束條件，分為8種情況。

情況1，δi，1＞ 0且δi，3＞ 0且δi，7＞ 0為保證進(jìn)口各車道的流量守恒和車道等飽和度，可表達(dá)為如下方程組：

化簡后可表達(dá)為矩陣形式為

即

同理可以得到情況2～8的約束，如下。

情況2，δi,1=0且δi,3＞ 0且δi,7＞ 0 。

即

即

即

即

即

即

即

上述方程為線性方程組，可以采用LU分解法求解。如果矩陣A的秩和增廣矩陣［A B］的秩相同，且都是7，則線性方程組有唯一解；若其秩相等但小于7，則線性方程組有無窮解；如果矩陣A的秩與增廣矩陣［A B］的秩不相同，則無解。只有當(dāng)解X的所有元素都不小于0，才是可行解。

因上述模型是線性方程組，若交叉口流量同比例增長，則各車道的流量也同比例增加，流量比也是同比例增加。

1.3.6 交叉口進(jìn)出口道車道平衡

一般情況下，出口道車道數(shù)要大于等于左側(cè)右轉(zhuǎn)車道、對向直行車道和右側(cè)左轉(zhuǎn)車道的車道數(shù)。

左側(cè)右轉(zhuǎn)車道，滿足

對向直行車道，滿足

右側(cè)左轉(zhuǎn)車道，滿足

1.3.7 左轉(zhuǎn)專用車道約束

根據(jù)HCM2000手冊，有

該約束選擇性使用，若車道數(shù)較多，則開啟，可大幅度減少計(jì)算量；若車道數(shù)不多，建議可不采用該約束，盡量得到全局最優(yōu)解。

1.4 目標(biāo)函數(shù)

流量比是可以充分反映交叉口時(shí)空資源的重要參數(shù)，對于模式Ⅱ、Ⅳ-1和Ⅳ-2，相位方案一般選擇單口放行，可選擇進(jìn)口流量比最小為目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化進(jìn)口車道功能方案。

式中：l為進(jìn)口車道序號

對于模式Ⅱ，直左車道和直行車道流量比相同，對于Ⅳ-1和Ⅳ-2整個(gè)進(jìn)口各車道流量比相同。

對于模式Ⅰ和Ⅲ，可采用的相位方案較多，嚴(yán)格意義上需要結(jié)合相位和信號配時(shí)進(jìn)行交叉口整體優(yōu)化，本文予以簡化，以進(jìn)口車道的流量比方差最小為優(yōu)化目標(biāo)。

1.5 模型算法

由于單個(gè)進(jìn)口車道數(shù)一般不超過10條，其所有車道功能方案有限，所以可以采用枚舉法進(jìn)行求解。

1.5.1 生成進(jìn)口所有可能車道功能方案

根據(jù)輸入和約束（1）～（6），生成各進(jìn)口道的可能車道功能。

1.5.2 篩選滿足流量匹配、出口車道約束方案

根據(jù)約束（7）～（8）、（21）～（23），篩選滿足流量匹配和出口車道約束的所有方案。

1.5.3 篩選滿足車道等飽和約束的方案

（1）選擇某一個(gè)車道功能方案。

（2）根據(jù)車道方案的模式，采用車道等飽和度約束，判斷是否選入備選方案。

①若為模式Ⅰ，選為備選方案，返回（1）。

②若為模式Ⅱ，滿足約束（9）～（10），選為備選方案，否則返回（1）。

③若為模式Ⅲ，滿足約束（11），選為備選方案，否則返回（1）。

④若模式為Ⅳ-1，滿足約束（12），選為備選方案，否則，返回（1）。

⑤若模式為Ⅳ-2，根據(jù)8種情況和約束（13）～（20），采用LU分解法求解各車道分配流量，若流量均為為非負(fù)，則選為備選方案，否則返回（1）。

（3）所有車道功能方案枚舉結(jié)束，生成所有等飽和的車道功能可行方案。

1.5.4 針對不同車道功能模式，選擇不同目標(biāo)函數(shù)

（1）將模式為Ⅱ、Ⅳ-1和Ⅳ-2的方案歸并為集合F24，模式Ⅰ和Ⅲ為一個(gè)集合F13。

（2）計(jì)算方案集合F24進(jìn)口各車道流量比，各車道流量比的最大值作為進(jìn)口流量比。

（3）集合F24流量比最小值對應(yīng)的方案為模式Ⅱ、Ⅳ-1和Ⅳ-2對應(yīng)的最優(yōu)方案。

（4）計(jì)算方案集合F13進(jìn)口車道流量比方差，并選出最小值對應(yīng)的方案為模式Ⅰ和Ⅲ對應(yīng)過的最優(yōu)方案。

2 模型驗(yàn)證與分析

2.1 交叉口基本參數(shù)

本文以張家港的人民路－長安路四叉十字路口為案例，如圖3所示。各路口均是進(jìn)口4條車道，出口3條車道。信號相位為對稱放行4相位。

交叉口高峰小時(shí)流量見表2。

圖3 交叉口交通設(shè)計(jì)圖Fig.3 Layout of intersection and signal groups

2.2 車道功能方案優(yōu)化

2.2.1 車道功能生成

以南進(jìn)口為例，4條車道，根據(jù)公式計(jì)算，總共25種可能的車道功能布置方案，具體如表3所示。

表2 交叉口流量表Tab.2 Traffic demand

經(jīng)出口道和合用車道等飽和約束驗(yàn)算，3個(gè)方案不滿足出口車道約束，13個(gè)方案不滿足等飽和約束，9個(gè)方案是可行方案，其中模式Ⅰ有3個(gè)，模式Ⅱ有3個(gè)，模式Ⅲ有3個(gè)，流量比（按照左轉(zhuǎn)、直行、右轉(zhuǎn)的順序）和目標(biāo)函數(shù)值如表4所示。

表3 南進(jìn)口所有車道功能方案表Tab.3 All lane function of southern arm

由表4可知，方案1～3屬于模式Ⅱ，根據(jù)式（25）可得方案3為最優(yōu)；方案4～9屬于模式Ⅰ和Ⅲ，根據(jù)式（26）可得方案7為最優(yōu)。同理，分別計(jì)算另外三個(gè)進(jìn)口最優(yōu)車道布置方案，綜合得到交叉口推薦方案如表5所示。

2.2.2 交叉口車道功能優(yōu)化

每個(gè)進(jìn)口有2個(gè)方案，4個(gè)進(jìn)口組合有16個(gè)方案，但考慮到進(jìn)口選擇模式Ⅳ和Ⅴ，則對向進(jìn)口選擇模式Ⅳ和Ⅴ更優(yōu)，東西進(jìn)口只能采用E1-W1和E2-W2，方案減少為8組，按照單口放行及Dural-Ring相位方案，以交叉口關(guān)鍵流量比最小為目標(biāo)，計(jì)算結(jié)果如圖5。

2.2.3 結(jié)果分析

8組方案，交叉口最小流量比之和為0.888～1.051，模式Ⅳ整體合用車道的E2-W2方案普遍優(yōu)于專用左轉(zhuǎn)的E1-W1方案。因S2方案為模式Ⅱ而不是模式Ⅳ，其結(jié)果均劣于S1。

根據(jù)圖4的原車道功能方案，其關(guān)鍵流量比之和為1.062，最優(yōu)方案的關(guān)鍵流量比之和為0.888，減少了16.4%，效益提升明顯。

表4 南進(jìn)口車道功能可行方案Tab.4 Feasible lane function of southern arm

表5 交叉口各進(jìn)口最優(yōu)車道功能方案表Tab.5 Optimal Lane function of all arms

圖5 交叉口關(guān)鍵流量比Fig.5 Critical flow factor of intersection

經(jīng)優(yōu)化，交叉口最優(yōu)車道功能方案為S1-N2-E2-W2，車道功能布置如圖6所示。

經(jīng)計(jì)算驗(yàn)證，交叉口流量按等比例增加或減小，其最優(yōu)車道功能方案保持不變，流量比呈現(xiàn)等比例線形調(diào)整。如圖7所示。

圖6 交叉口最優(yōu)車道功能布置Fig.6 Optimal lane allocation plan of intersection

圖7 交叉口流量與關(guān)鍵流量比的變化Fig.7 Flow and versus critical flow factor at intersection

3 結(jié)論

（1）本文建立了交叉口車道功能優(yōu)化模型，模型考慮進(jìn)出口道車道平衡、車道功能不沖突、車道等飽和度等約束，目標(biāo)函數(shù)根據(jù)不同車道模式采用進(jìn)口流量比最小和進(jìn)口流量比方差最小。

（2）經(jīng)實(shí)例驗(yàn)證，交叉口車道功能優(yōu)化模型簡單有效，能夠給出每個(gè)進(jìn)口推薦備選車道功能方案。模型可以較大程度降低交叉口關(guān)鍵流量比之和，提高交叉口交通設(shè)計(jì)的效率和精度。

（3）以整個(gè)交叉口關(guān)鍵流量比最小為目標(biāo)，模式4因車道整體合用其流量比最小，效率更高更具優(yōu)勢，但其相位方案只能單口放行，對行人和非機(jī)動車通行不利。因此，下階段還需將行人、非機(jī)動車通行因素納入模型一并考慮。