基于數(shù)學(xué)模型的木瓜濃縮汁流變學(xué)特性研究*

謝三都，陳惠卿，陳奎

（閩南科技學(xué)院，福建 泉州 362332）

濃縮果蔬汁的流變學(xué)特性主要是指果蔬汁的流體型態(tài)、流變參數(shù)與其溫度、濃度的變化規(guī)律[1]，其與濃縮果蔬汁的貯運(yùn)、食用品質(zhì)、后續(xù)加工所涉及的工藝設(shè)計(jì)、設(shè)備選型、能量消耗、產(chǎn)品質(zhì)量控制等有關(guān)，能幫助了解食品的組成、分子形態(tài)以及內(nèi)部結(jié)構(gòu)等特征[2-6]。目前，濃縮果蔬汁流變學(xué)特性的研究主要有慈姑濃縮汁[7]、黑豆酸奶[8]、金柑濃縮汁[9]、海棠濃縮汁[10]、苦瓜復(fù)合飲料[11]、柚子濃縮汁[12]、青梅濃縮汁[13]、橄欖濃縮汁[14]、葡萄濃縮汁[15]、芒果渾汁[16]等，對(duì)這些果蔬的生產(chǎn)設(shè)計(jì)起到的積極的作用。到目前，未見(jiàn)木瓜濃縮汁流變學(xué)特性的研究性報(bào)道。

本文選用木瓜濃縮汁為研究對(duì)象，采用NDJ-5S數(shù)顯粘度計(jì)和MCR301高級(jí)流變儀，探討木瓜濃縮汁的濃縮終點(diǎn)，測(cè)定其流變學(xué)特性；并分別研究了溫度、濃度對(duì)木瓜濃縮汁粘度的影響，在此基礎(chǔ)上，分析了溫度與濃度對(duì)木瓜濃縮汁的綜合影響，以期豐富果蔬汁流變學(xué)領(lǐng)域及指導(dǎo)木瓜濃縮汁的生產(chǎn)實(shí)踐。

1 材料與方法

1.1 材料

木瓜濃縮汁：福建綠泉食品有限公司，可溶性固形物含量為32 °Brix。

1.2 儀器與設(shè)備

NDJ-5S數(shù)顯粘度計(jì)：邦西儀器科技（上海）有限公司；

Physica MCR301高級(jí)流變儀：奧地利安東帕公司；

SHB-III型循環(huán)水式多用真空泵：上海瑪尼儀器設(shè)備有限公司；

IKA RV10 V/V-C型旋轉(zhuǎn)蒸發(fā)器：艾卡（廣州）儀器設(shè)備有限公司；

WYA-2S數(shù)字阿貝折射儀：上海精科儀器有限公司。

1.3 試驗(yàn)方法

1.3.1 不同濃度木瓜濃縮汁的制備

以32 °Brix木瓜濃縮汁為基料，通過(guò)真空旋轉(zhuǎn)蒸發(fā)儀（真空度：0.85 MPa、溫度60 ℃、旋轉(zhuǎn)速度：120 r/min）進(jìn)行濃縮，獲得40、50、60、70 °Brix的木瓜濃縮汁，備用；將32 °Brix木瓜濃縮汁梯度稀釋為30、20 °Brix木瓜濃縮汁，備用。

1.3.2 木瓜汁濃縮終點(diǎn)的判斷

采用NDJ-5S數(shù)顯粘度計(jì)在室溫（25 ℃）下測(cè)定木瓜濃縮汁的粘度，研究木瓜濃縮汁濃度與粘度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，木瓜濃縮汁的濃度分別為20、30、40、50、60、70 °Brix，尋找木瓜濃縮汁粘度突增的躍變點(diǎn)，該躍變點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的濃度即為木瓜濃縮汁的濃縮終點(diǎn)。

1.3.3 木瓜濃縮汁的流變學(xué)特性

采用MCR301高級(jí)流變儀測(cè)定木瓜濃縮汁（60 °Brix）在溫度為25 ℃時(shí)的剪切應(yīng)力（τ，Pa）與剪切速率（γ，s-1）之間的關(guān)系曲線(xiàn)，根據(jù)流變學(xué)原理，通過(guò)回歸分析獲得木瓜濃縮汁的流變學(xué)特性參數(shù)，并判定其流變類(lèi)型。

1.3.4 溫度對(duì)木瓜濃縮汁粘度的影響

采用NDJ-5S數(shù)顯粘度計(jì)測(cè)定不同濃度（20、30、40、50、60 °Brix）的木瓜濃縮汁在溫度分別為20、30、40、50、60 ℃的粘度，繪制木瓜濃縮汁粘度與溫度的關(guān)系圖，通過(guò)回歸分析獲得反映溫度對(duì)木瓜濃縮汁粘度影響的數(shù)學(xué)模型。

1.3.5 濃度對(duì)木瓜濃縮汁粘度的影響

采用NDJ-5S數(shù)顯粘度計(jì)測(cè)定不同溫度（20、30、40、50、60 ℃）的木瓜濃縮汁濃度分別為20、30、40、50、60 °Brix時(shí)所對(duì)應(yīng)的粘度，繪制木瓜濃縮汁粘度與濃度的關(guān)系圖，通過(guò)回歸分析獲得反映溫度對(duì)木瓜濃縮汁粘度影響的數(shù)學(xué)模型。

1.3.6 溫度和濃度對(duì)木瓜濃縮汁粘度的綜合影響

為了更準(zhǔn)確預(yù)測(cè)木瓜濃縮汁在不同溫度和濃度時(shí)的粘度，研究并確定溫度和濃度對(duì)粘度綜合影響的數(shù)學(xué)模型。

2 結(jié)果與分析

2.1 木瓜汁濃縮終點(diǎn)的判斷

由圖1可知，當(dāng)木瓜濃縮汁的濃度從20 °Brix上升到60 °Brix時(shí)，其粘度相應(yīng)增加但增加較慢，由0.00343 Pa·s變?yōu)?.0391 Pa·s；但木瓜濃縮汁的濃度達(dá)到70 °Brix時(shí)，其粘度相應(yīng)達(dá)到0.336 Pa·s，顯著高于60 °Brix時(shí)木瓜濃縮汁的粘度（P＜0.01），即其粘度突變點(diǎn)為60 °Brix。因此，可選擇木瓜濃縮汁濃度為60 °Brix作為生產(chǎn)中的濃縮終點(diǎn)。

2.2 木瓜濃縮汁的流變學(xué)特性

一般情況下，濃縮果蔬汁的剪應(yīng)力（τ，Pa）與剪切速率（γ，s-1）之間的關(guān)系一般可表述為[17]：

式中：

τ為濃縮果蔬汁的剪應(yīng)力，Pa；

α為濃縮果蔬汁的粘度系數(shù)，Pa·s；

γ為濃縮果蔬汁的剪切速率，s-1；

n為木瓜濃縮汁的流變指數(shù)。

當(dāng)n=1時(shí)，流體為牛頓流體；當(dāng)n＜1時(shí)，流體為假塑性流體；當(dāng)n＞1時(shí)，流體為脹塑性流體。

由圖2可知，木瓜濃縮汁所受剪應(yīng)力隨著剪切速率增加而變大，但增大速率逐漸放緩，曲線(xiàn)的斜率即為粘度，且粘度逐漸變小，呈剪切稀化現(xiàn)象。

目前，全市主要有租賃、轉(zhuǎn)包、轉(zhuǎn)讓、入股、托管等五種土地流轉(zhuǎn)形式。從具體實(shí)踐看，90%以上采用的是租賃、轉(zhuǎn)包和轉(zhuǎn)讓這3種形式。租賃主要是大面積連片集中流轉(zhuǎn)，租金一般在每畝800-1000元，也有少數(shù)的超過(guò)1000元或低于800元的。

采用Ostwald模型對(duì)圖2中曲線(xiàn)進(jìn)行回歸分析，得到回歸方程 τ= 0.0517·γ0.6843。其中，回歸系數(shù)α=0.0517 Pa·s，即為木瓜濃縮汁的粘度系數(shù)；木瓜濃縮汁的流變指數(shù)n=0.6843＜1，說(shuō)明木瓜濃縮汁（60 °Brix，25 ℃）為假塑性流體；相關(guān)性系數(shù)R2=0.9911，回歸方程能較好地表達(dá)木瓜濃縮汁剪切速率與剪應(yīng)力之間的關(guān)系。

2.3 溫度對(duì)木瓜濃縮汁粘度的影響

由圖3可知，增加木瓜濃縮汁的溫度，不同濃度的木瓜濃縮汁的粘度均呈下降趨勢(shì)，且濃度越高其粘度下降速率越大。

一般情況下，可用阿累尼烏斯方程[7]反應(yīng)濃縮果蔬汁的粘度與溫度之間的關(guān)系：

式中：

η為流體粘度，單位：Pa·s；

k為頻率因子，單位：Pa·s；

Ea為流體的活化能，單位：kJ/mol；

R為氣體常數(shù)，單位：8.314 J/（kg·K）；

將公式⑵兩邊取自然對(duì)數(shù)，得：

通過(guò)對(duì)圖4關(guān)系線(xiàn)的回歸分析，得到了不同濃度下溫度與粘度關(guān)系的回歸方程和k值和活化能Ea值，如表1所示。

由表1可看出，隨著木瓜濃縮汁濃度的上升，其活化能Ea相應(yīng)增大，說(shuō)明隨著木瓜濃縮汁中可溶性固形物含量的增加，流動(dòng)能耗增大，不利于濃縮汁的流動(dòng)，可通過(guò)升溫加以改善，提升其流動(dòng)性。由表1相關(guān)系數(shù)R2可知，R2＞0.9700，表明預(yù)測(cè)值與實(shí)際值比較一致，回歸方程有效性高。

表1 木瓜濃縮汁的阿累尼烏斯方程的參數(shù)和相關(guān)系數(shù)

2.4 濃度對(duì)木瓜濃縮汁粘度的影響

從圖5可以看出，增加木瓜濃縮汁濃度，其粘度相應(yīng)增加，在相同溫度下，木瓜濃縮汁的濃度越高，其粘度越高。由此可見(jiàn)，木瓜汁濃縮物中可溶性固形物的含量對(duì)粘度的影響較大，溫度越低，效果越明顯。

根據(jù)文獻(xiàn)[18]，濃縮果蔬汁反應(yīng)濃度與粘度之間關(guān)系的方程主要有以下2種：

式中，M和N均為常數(shù)；C為濃度。運(yùn)用公式⑷和⑸分別對(duì)圖5中的曲線(xiàn)進(jìn)行回歸分析，其相關(guān)系數(shù)分別為R12、R22，不同溫度相關(guān)系數(shù)見(jiàn)表2。由表2可知，不同溫度情況下，均有R12＞R22，說(shuō)明公式⑷比公式⑸更適合作為方程反應(yīng)不同溫度條件下木瓜濃縮汁的粘度與濃度之間關(guān)系。因此，圖5的測(cè)量值按式⑷進(jìn)行分析，結(jié)果見(jiàn)表3。

由表3可知，溫度升高，常數(shù)N減小，說(shuō)明溫度升高減緩了由于濃度增加所引起的粘度增加。因此，濃縮果蔬汁的實(shí)際生產(chǎn)中，宜事先判斷其粘度突變點(diǎn)防止因濃度增加引起粘度上升明顯而不利于生產(chǎn)操作。其中，R12＞0.8800，說(shuō)明預(yù)測(cè)值與實(shí)際值吻合度較好。

2.5 溫度、濃度對(duì)木瓜濃縮汁粘度的綜合影響

近年來(lái)，隨著果蔬濃縮汁流變學(xué)特性研究的深入，預(yù)測(cè)木瓜濃縮汁溫度和濃度對(duì)其粘度影響的主要數(shù)學(xué)模型[19]：

式中：

C為木瓜濃縮汁濃度，單位：°Brix；

K1、K2、K3為常數(shù)。

表2 不同模型表達(dá)濃度對(duì)木瓜濃縮汁粘度關(guān)系的比較

表3 濃度對(duì)木瓜濃縮汁粘度的影響

表4 溫度和濃度對(duì)木瓜濃縮汁粘度的綜合影響

利用數(shù)據(jù)處理軟件Matlab R2014a對(duì)式⑹進(jìn)行多元非線(xiàn)性回歸分析的結(jié)果如表4所示。由表4可以看出，由式⑹回歸擬合得到的相關(guān)系數(shù)R2=0.9682，說(shuō)明數(shù)學(xué)模型η=6.276×10-5·EXP（9136/RT+0.00974·C+4.528×10-4·C2）能預(yù)測(cè)木瓜濃縮汁的粘度與溫度和濃度之間的關(guān)系，其T∈（20 ℃，60 ℃），C∈（20 °Brix，60 °Brix）。

3 結(jié)論

一般情況下，果蔬汁濃度高其粘度則大，反之則小。果蔬汁濃縮有利其貯存與運(yùn)輸，但果蔬汁濃縮時(shí)其濃度不宜太高，濃度太高導(dǎo)致其粘度過(guò)大，其流動(dòng)性能會(huì)變差反而對(duì)貯藏與運(yùn)輸不利，木瓜濃縮汁的濃縮終點(diǎn)為60 °Brix。

木瓜濃縮汁在溫度為25 ℃、濃度為60 °Brix時(shí)，木瓜濃縮汁為假塑性流體，其流變學(xué)特性曲線(xiàn)為 τ=0.0517·γ0.6843，相關(guān)性系數(shù)R2=0.9911。

數(shù)學(xué)模型：η=M·EXP（N·C） 反映了木瓜濃縮汁的濃度與粘度之間的關(guān)系，不同濃度時(shí)其相應(yīng)的回歸方程如下：

數(shù)學(xué)模型：η=6.276×10-5·EXP（9136/RT+0.00974·C+4.528×10-4·C2），R2=0.9682，該數(shù)學(xué)模型適用范圍為：溫度20～60 ℃、濃度30～55 °Brix，反映了溫度和濃度對(duì)木瓜濃縮汁粘度的綜合影響。