統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例考點(diǎn)整合及考向舉例

李琳

要點(diǎn)一、隨機(jī)抽樣

（一）要點(diǎn)整合

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

（1）定義：一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本（n≤N），如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.這樣抽取的樣本，叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.

（2）常用方法：抽簽法和隨機(jī)數(shù)法.

2.分層抽樣

（1）在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣.

（2）分層抽樣的應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣.

3.系統(tǒng)抽樣

（1）定義：當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)較多時(shí)，可以將總體分成均衡的幾部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需的樣本，這種抽樣的方法叫做系統(tǒng)抽樣.

（2）系統(tǒng)抽樣的步驟：假設(shè)要從容量為N的總體中抽取容量為n的樣本.

①先將總體的N個(gè)個(gè)體編號(hào);

②確定分段間隔k，對(duì)編號(hào)進(jìn)行分段.當(dāng)Nn（n是樣本容量）是整數(shù)時(shí)，取k=Nn;

當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，可先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從總體中剔除幾個(gè)個(gè)體，使剩下的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除，然后再按系統(tǒng)抽樣進(jìn)行.這時(shí)在整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的可能性仍然相等.

③在第1段用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣確定第一個(gè)個(gè)體編號(hào)l（l≤k）;

④按照一定的規(guī)則抽取樣本.通常是將l加上間隔k得到第2個(gè)個(gè)體編號(hào)l+k，再加k得到第3個(gè)個(gè)體編號(hào)l+2k，依次進(jìn)行下去，直到獲取整個(gè)樣本.

（二）常用結(jié)論

（1）不論哪種抽樣方法，總體中的每一個(gè)個(gè)體入樣的概率都是相同的.

（2）系統(tǒng)抽樣一般也稱為等距抽樣，入樣個(gè)體的編號(hào)相差分段間隔k的整數(shù)倍.

（3）分層抽樣是按比例抽樣，每一層入樣的個(gè)體數(shù)為該層的個(gè)體數(shù)乘抽樣比.

（4）三種抽樣方法的特點(diǎn)、聯(lián)系及適用范圍

類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)聯(lián)系適用范圍

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

系統(tǒng)抽樣

分層抽樣①抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性相等;

②每次抽出個(gè)體后不再將它放回，即不放回抽樣

從總體中逐個(gè)抽取總體個(gè)數(shù)較少

將總體均分成幾部分，按預(yù)先定出的規(guī)則在各部分中抽取在起始部分取樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣總體個(gè)數(shù)較多

將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取各層抽樣時(shí)，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成

（三）考向舉例

1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

例1?下列抽取樣本的方式屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的個(gè)數(shù)有（??）個(gè).

①?gòu)臒o(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本;

②盒子里共有80個(gè)零件，從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn).在抽樣操作時(shí)，從中任意拿出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里;

③用抽簽方法從10件產(chǎn)品中選取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn);

④某班有56名同學(xué)，指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參加學(xué)校組織的籃球賽.

解析：①不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)楸怀槿颖镜目傮w的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，而不是有限的;②不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)樗怯蟹呕爻闃?③明顯為簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣;④不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，因?yàn)椴皇堑瓤赡艹闃?答案：1個(gè)

點(diǎn)撥：應(yīng)用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣應(yīng)注意的問題

（1）一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧?，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否方便;二是號(hào)簽是否易攪勻.一般地，當(dāng)總體容量和樣本容量都較小時(shí)可用抽簽法.

（2）在使用隨機(jī)數(shù)法時(shí)，如遇到三位數(shù)或四位數(shù)，可從選擇的隨機(jī)數(shù)表中的某行某列的數(shù)字計(jì)起，每三個(gè)或四個(gè)作為一個(gè)單位，自左向右選取，有超過總體號(hào)碼或出現(xiàn)重復(fù)號(hào)碼的數(shù)字舍去.

2.系統(tǒng)抽樣

例2?（2019年高考全國(guó)Ⅰ卷文數(shù)）某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1，2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn).若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是______號(hào)學(xué)生.

________________________

A.8號(hào)學(xué)生?B.200號(hào)學(xué)生

C.616號(hào)學(xué)生?D.815號(hào)學(xué)生

解析：由已知將1000名學(xué)生分成100個(gè)組，每組10名學(xué)生，用系統(tǒng)抽樣，46號(hào)學(xué)生被抽到，所以第一組抽到6號(hào)，且每組抽到的學(xué)生號(hào)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，公差d=10，所以an=6+10n（n∈N），若8=6+10n，解得n=15，不合題意;若200=6+10n，解得n=19.4，不合題意;若616=6+10n，則n=61，符合題意;若815=6+10n，則n=80.9，不合題意.故選C.

點(diǎn)撥：系統(tǒng)抽樣中所抽取編號(hào)的特點(diǎn)

系統(tǒng)抽樣又稱等距抽樣，所以依次抽取的樣本對(duì)應(yīng)的號(hào)碼就是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)就是第1組所抽取樣本的號(hào)碼，公差為間隔數(shù)，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式就可以確定每一組內(nèi)所要抽取的樣本號(hào)碼.

提醒：系統(tǒng)抽樣時(shí)，如果總體中的個(gè)數(shù)不能被樣本容量整除時(shí)，可以先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從總體中剔除幾個(gè)個(gè)體，然后再按系統(tǒng)抽樣進(jìn)行.

3.分層抽樣

例3?（2018年高考全國(guó)卷Ⅲ文）某公司有大量客戶，且不同齡段客戶對(duì)其服務(wù)的評(píng)價(jià)有較大差異.為了解客戶的評(píng)價(jià)，該公司準(zhǔn)備進(jìn)行抽樣調(diào)查，可供選擇的抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣，則最合適的抽樣方法是______.

解析：由題可知滿足分層抽樣特點(diǎn).由于從不同齡段客戶中抽取，故采用分層抽樣，故答案為：分層抽樣.

點(diǎn)撥：分層抽樣問題的類型及解題思路

（1）求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算.

（2）已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之求解：根據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算.

（3）分層抽樣的計(jì)算應(yīng)根據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比=樣本容量總體容量=各層樣本數(shù)量各層個(gè)體數(shù)量”.

要點(diǎn)二、用樣本估計(jì)總體

（一）知識(shí)整合

1.頻率分布直方圖

（1）縱軸表示頻率組距，即小長(zhǎng)方形的高=頻率組距;

（2）小長(zhǎng)方形的面積=組距×頻率組距=頻率;

（3）各個(gè)小方形的面積總和等于1.

2.頻率分布表的畫法

第一步：求極差，決定組數(shù)和組距，組距=極差組數(shù);

第二步：分組，通常對(duì)組內(nèi)數(shù)值所在區(qū)間取左閉右開區(qū)間，最后一組取閉區(qū)間;

第三步：登記頻數(shù)，計(jì)算頻率，列出頻率分布表.

3.莖葉圖

莖葉圖是統(tǒng)計(jì)中用來(lái)表示數(shù)據(jù)的一種圖，

莖是指中間的一列數(shù)，葉就是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù).

4.中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的定義

（1）中位數(shù)

將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

（2）眾數(shù)

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

（3）平均數(shù)

一組數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)即為這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)x=1n（x1+x2+…+xn）.

5.樣本的數(shù)字特征

如果有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，那么這n個(gè)數(shù)的

（1）平均數(shù)x=1n（x1+x2+…+xn）.

（2）標(biāo)準(zhǔn)差s=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2].

（3）方差s2=1n[（x1-x）2+（x2-x）2+…+（xn-x）2].

（二）常用結(jié)論

1.頻率分布直方圖中的常見結(jié)論

（1）眾數(shù)的估計(jì)值為最高矩形的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo).

（2）平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.

（3）中位數(shù)的估計(jì)值的左邊和右邊的小矩形的面積和是相等的.

2.平均數(shù)、方差的公式推廣

（1）若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為x，則mx1+a，mx2+a，mx3+a，…，mxn+a的平均數(shù)是mx+a.

（2）若數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為s2，則數(shù)據(jù)ax1+b，ax2+b，…，axn+b的方差為a2s2.

（三）考向舉例

1.莖葉圖

例4?（2017年高考山東高考）如圖所示的記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產(chǎn)量數(shù)據(jù)（單位：件）.若這兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為（??）

A.3，5???B.5，5???C.3，7???D.5，7

解析：由兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等可得65=60+y，解得y=5，又它們的平均值相等，

所以15×[56+62+65+74+（70+x）]=15×（59+61+67+65+78），解得x=3.答案：A

點(diǎn)撥：莖葉圖的應(yīng)用

（1）莖葉圖通常用來(lái)記錄兩位數(shù)的數(shù)據(jù)，可以用來(lái)分析單組數(shù)據(jù)，也可以用來(lái)比較兩組數(shù)據(jù).通過莖葉圖可以確定數(shù)據(jù)的中位數(shù)，數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖，數(shù)據(jù)是否關(guān)于該莖對(duì)稱，數(shù)據(jù)分布是否均勻等.

（2）給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，比較數(shù)字特征時(shí)，“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小.

2.頻率分布直方圖

例5?（2018年新課標(biāo)Ⅰ卷文）某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)（單位：m3）和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)，得到頻數(shù)分布表如下：

未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表

頻數(shù)151310165

（1）在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

（2）估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于0.35m3的概率;

（3）估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計(jì)算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表.）

解析：（1）根據(jù)題中所給的使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表，算出落在相應(yīng)區(qū)間上的頻率，借助于直方圖中長(zhǎng)方形的面積表示的就是落在相應(yīng)區(qū)間上的頻率，從而確定出對(duì)應(yīng)矩形的高，從而得到直方圖;（2）結(jié)合直方圖，算出日用水量小于0.35的矩形的面積總和，即為所求的頻率;（3）根據(jù)組中值乘以相應(yīng)的頻率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能節(jié)約用水多少m3，從而求得結(jié)果.

（1）

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，該家庭使用節(jié)水龍頭后50天日用水量小于0.35m3的頻率為

0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，

所成角的正弦值;

（2）若點(diǎn)M，N分別在AB，PC上，且MN⊥平面PCD，試確定點(diǎn)M，N的位置.

解：（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直.

以{AB，AD，AP}為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則

B（1，0，0），C（1，2，0），

D（0，2，0），P（0，0，2）.

從而PB=（1，0，-2），

PC=（1，2，-2），

PD=（0，2，-2）.

設(shè)平面PCD的法向量n=（x，y，z），

則n·PC=0，n·PD=0，即x+2y-2z=0，2y-2z=0，

不妨取y=1，則x=0，z=1.

所以平面PCD的一個(gè)法向量為n=（0，1，1）.

設(shè)直線PB與平面PCD所成角為θ，所以

sinθ=|cos〈PB，n〉|=|PB·n|PB|·|n||=105，

即直線PB與平面PCD所成角的正弦值為105.

（2）設(shè)M（a，0，0），則MA=（-a，0，0），

設(shè)PN=λPC，則PN=（λ，2λ，-2λ），

而AP=（0，0，2），

所以MN=MA+AP+PN=（λ-a，2λ，2-2λ）.

由（1）知，平面PCD的一個(gè)法向量為n=（0，1，1），

因?yàn)镸N⊥平面PCD，所以MN∥n.

所以λ-a=0，2λ=2-2λ，解得，λ=12，a=12.

所以M為AB的中點(diǎn)，N為PC的中點(diǎn).

評(píng)注：這類問題的基本特征是：針對(duì)一個(gè)結(jié)論，條件未知需探索，或條件增刪需確定，或條件正誤需判斷.解決這類問題的基本策略是：執(zhí)果索因，先尋找結(jié)論成立的必要條件，再通過檢驗(yàn)或認(rèn)證找到結(jié)論成立的充分條件.在“執(zhí)果索因”的過程中，常常會(huì)犯的一個(gè)錯(cuò)誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當(dāng)作充分條件，應(yīng)引起注意.

（作者：石鵬，如皋市石莊中學(xué)）