高考概率統(tǒng)計(jì)題取材動(dòng)向

楊文金

查看近年來高考試卷，不難發(fā)現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)題也融入新課標(biāo)的教育理念，多角度、多視點(diǎn)地考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使學(xué)生的自主性和個(gè)性得以發(fā)揮.體現(xiàn)數(shù)學(xué)與社會(huì)、人與自然的和諧統(tǒng)一.許多試題體現(xiàn)了時(shí)代氣息，有創(chuàng)新特色.本文結(jié)合2019年高考題談?wù)劯呖几怕式y(tǒng)計(jì)題取材具體動(dòng)向.

一、關(guān)注學(xué)生的生活實(shí)際

這類題關(guān)注學(xué)生生活，試題中有大量生活背景，充分體現(xiàn)了“從生活走向數(shù)學(xué)，從數(shù)學(xué)走向生活”，符合新課標(biāo)“學(xué)習(xí)資源和實(shí)踐機(jī)會(huì)無所不在，無時(shí)不有”的理念.

例1?（2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為______.

分析：根據(jù)題意先求出閱讀過西游記的人數(shù)，進(jìn)而得解.

解：由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7.

點(diǎn)睛：本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.

例2?（2019年高考天津卷理數(shù)）設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為23.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.

（1）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

（2）設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.

分析：（1）由題意可知分布列為二項(xiàng)分布，結(jié)合二項(xiàng)分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二項(xiàng)分布的期望公式求解數(shù)學(xué)期望即可;

（2）由題意結(jié)合獨(dú)立事件概率公式計(jì)算可得滿足題意的概率值.

解：（1）因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率均為23，

故X～B（3，23），從面P（X=k）=Ck3（23）k（13）3-k（k=0，1，2，3）.

所以，隨機(jī)變量X的分布列為：

X0123

P1272949827

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望

E（X）=0×127+1×29+2×49+3×827=2627.

（2）設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為Y，則Y～B（3，23）.

且M={X=3，Y=1}∪{X=2，Y=0}.

由題意知事件{X=3，Y=1}與{X=2，Y=0}互斥，

且事件{X=3}與{Y=1}，事件{X=2}與{Y=0}均相互獨(dú)立，

從而由（1）知：

P（M）=P（{X=3，Y=1}∪{X=2，Y=0}）

=P（X=3，Y=1）+P（X=2，Y=0）

=P（X=3）P（Y=1）+P（X=2）P（Y=0）

=827×29+49×127=20243.

點(diǎn)睛：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力.

二、面向社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐

這類題突出在實(shí)踐應(yīng)用性上，注重社會(huì)現(xiàn)實(shí)，體現(xiàn)時(shí)代精神，試題選材體現(xiàn)社會(huì)熱點(diǎn)，關(guān)注當(dāng)前科技新發(fā)展.

例3?（2019年高考天津文）2019年，我國(guó)施行個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除辦法，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有72，108，120人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取25人調(diào)查專項(xiàng)附加扣除的享受情況.

（1）應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人？

（2）抽取的25人中，享受至少兩項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除的員工有6人，分別記為A，B，C，D，E，F(xiàn).享受情況如右表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪.

員工

項(xiàng)目ABCDEF

子女教育○○×○×○

繼續(xù)教育××○×○○

大病醫(yī)療×××○××

住房貸款利息○○××○○

住房租金××○×××

贍養(yǎng)老人○○×××○

（i）試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;

（ii）設(shè)M為事件“抽取的2人享受的專項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”，求事件M發(fā)生的概率.

分析：（1）根據(jù)題中所給的老、中、青員工人數(shù)，求得人數(shù)比，利用分層抽樣要求每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是相等的，結(jié)合樣本容量求得結(jié)果;

（2）（i）根據(jù)6人中隨機(jī)抽取2人，將所有的結(jié)果一一列出;

（ii）根據(jù)題意，找出滿足條件的基本事件，利用公式求得概率.

解：（1）由已知，老、中、青員工人數(shù)之比為6∶9∶10，

由于采取分層抽樣的方法從中抽取25位員工，

因此應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取6人，9人，10人.

（2）（i）從已知的6人中隨機(jī)抽取2人的所有可能結(jié)果為

{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，D}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，E}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共15種;

（ii）由表格知，符合題意的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F(xiàn)}，{B，D}，{B，E}，{B，F(xiàn)}，{C，E}，{C，F(xiàn)}，{D，F(xiàn)}，{E，F(xiàn)}，共11種，

所以，事件M發(fā)生的概率P（M）=1115.

點(diǎn)睛：本小題主要考查隨機(jī)抽樣、用列舉法計(jì)算隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)、古典概型及其概率計(jì)算公式等基本知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題的能力.

三、試題具有鮮明的時(shí)代特色

“使學(xué)生具有初步的創(chuàng)新精神”是新課程改革的核心理念之一，隨著新課程改革的實(shí)施，新課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的內(nèi)容的學(xué)習(xí)有了新的要求，考試的內(nèi)容也發(fā)生著變化，試題變得越來越新穎別致，具有鮮明的時(shí)代特色.

例4?（2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)）我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.97，有20個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.98，有10個(gè)車次的正點(diǎn)率為0.99，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點(diǎn)率的估計(jì)值為______.

分析：本題考查通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)進(jìn)行概率的估計(jì)，采取估算法，利用概率思想解題.

解：由題意得，經(jīng)停該高鐵站的列車正點(diǎn)數(shù)約為10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2，其中高鐵個(gè)數(shù)為10+20+10=40，所以該站所有高鐵平均正點(diǎn)率約為39.240=0.98.

點(diǎn)睛：本題考點(diǎn)為概率統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).側(cè)重統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的概率估算，難度不大.易忽視概率的估算值不是精確值而失誤，根據(jù)分類抽樣的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估算出正點(diǎn)列車數(shù)量與列車總數(shù)的比值.

例5?（2019年高考北京卷理數(shù)）改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

______支付金額__________________ （元）

支付方式______ （0，1000]（1000，2000]大于2000

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率;

（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

（3）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

分析：（1）由題意利用古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值;

（2）首先確定X可能的取值，然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學(xué)期望即可.

（3）由題意結(jié)合概率的定義給出結(jié)論即可.

解：（1）由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人，僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人.

故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100-30-25-5=40人.

所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率估計(jì)為40100=0.4.

（2）X的所有可能值為0，1，2.

解法一：記事件C為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”，事件D為“從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月的支付金額大于1000元”.

由題設(shè)知，事件C，D相互獨(dú)立，

且P（C）=9+330=0.4，P（D）=14+125=0.6.

所以P（X=2）=P（CD）=P（C）P（D）=0.24，

P（X=1）=P（C∪D）

=P（C）P（）+P（）P（D）

=0.4×（1-0.6）+（1-0.4）×0.6

=0.52，

P（X=0）=P（）=P（）P（）=0.24.

所以X的分布列為

X012

P0.240.520.24

故X的數(shù)學(xué)期望

E（X）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.

解法二：P（X=0）=1830×1025=0.24，

P（X=1）=9+330×1025+1830×14+125=0.52，

P（X=2）=9+330×14+125=0.24，

以下同解法一.

（3）記事件E為“從樣本僅使用A的學(xué)生中隨機(jī)抽查3人，他們本月的支付金額都大于2000元”.

假設(shè)樣本僅使用A的學(xué)生中，本月支付金額大于2000元的人數(shù)沒有變化，

則由上個(gè)月的樣本數(shù)據(jù)得P（E）=1C330=14060.

答案示例1：可以認(rèn)為有變化.

理由如下：

P（E）比較小，概率比較小的事件一般不容易發(fā)生.

一旦發(fā)生，就有理由認(rèn)為本月的支付金額大于2000元的人數(shù)發(fā)生了變化，所以可以認(rèn)為有變化.

答案示例2：無法確定有沒有變化.理由如下：

事件E是隨機(jī)事件，P（E）比較小，一般不容易發(fā)生，

但還是有可能發(fā)生的，所以無法確定有沒有變化.

點(diǎn)睛：本題以支付方式相關(guān)調(diào)查來設(shè)置問題，考查概率統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用，考查概率的定義和分布列的應(yīng)用，使同學(xué)們體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān).

四、圖表信息題型的大量使用

21世紀(jì)是信息化社會(huì)，作為一個(gè)公民應(yīng)學(xué)會(huì)搜索、整理和加工信息.表格、圖象和圖形是一種最直觀，最形象的數(shù)學(xué)語言，包含著豐富的信息資源，如何觀察、提煉這些信息，并利用這些信息來分析解決問題，這是考查數(shù)學(xué)能力的較好形式之一.

例6?（2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值;

（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.

分析：（1）由P（C）=0.70可解得a和b的值;

（2）根據(jù)公式求平均數(shù).

解：（1）由題得a+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35，由0.05+b+0.15=1-P（C）=1-0.70，解得b=0.10.

（2）由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為0.15×2+0.20×3+0.30×4+0.20×5+0.10×6+0.05×7=4.05，

乙離子殘留百分比的平均值為0.05×3+0.10×4+0.15×5+0.35×6+0.20×7+0.15×8=6.

點(diǎn)睛：本題考查頻率分布直方圖和平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.