一類線性化多項(xiàng)式的核

金 永, 姜敬敬

(中國(guó)民航大學(xué) 理學(xué)院, 天津 300300)

1 引言與預(yù)備知識(shí)

設(shè)p為素?cái)?shù),m為正整數(shù),Fpm表示含有pm個(gè)元素的有限域.具有下列形式的多項(xiàng)式稱為Fpm到Fp的跡函數(shù)[1]:

Tr(x)=x+xp+xp2+…+xpm-1.

這里的跡函數(shù)實(shí)質(zhì)上是文獻(xiàn)[1]中的絕對(duì)跡函數(shù).若將上述素?cái)?shù)p換成素?cái)?shù)冪, 即為一般意義下的跡函數(shù).一般地, 具有如下形式的多項(xiàng)式:

稱為Fpm上的線性化多項(xiàng)式.

有限域上跡函數(shù)的概念具有重要意義, 可直接用于定義線性碼[2-3].此外, 有限域上的指數(shù)和在編碼理論中應(yīng)用廣泛[4-8].

本文考慮的跡函數(shù)均指絕對(duì)跡函數(shù), 如果已知有限域的子集與跡函數(shù)的核的交集中元素的個(gè)數(shù), 則將對(duì)刻畫對(duì)應(yīng)線性碼的參數(shù)以及簡(jiǎn)化指數(shù)和的計(jì)算有益[1].本文考慮下列問(wèn)題: 對(duì)于給定的非負(fù)整數(shù)s(≤m), 給出一些線性化多項(xiàng)式L, 使其滿足dim(ker(L)∩ker(Tr))=s.本文考慮最基本的情形:s=0, 即

ker(L)∩ker(Tr)={0}.

文獻(xiàn)[9]基于跡函數(shù)給出了線性化多項(xiàng)式核的維數(shù)描述.本文從另一角度, 不借助跡函數(shù), 給出滿足要求的線性化多項(xiàng)式.設(shè)

L(x)=xpk+ak-1xpk-1+…+a1xp+a0x(k≤m-1),N=ker(L),L0(x)=xp-x.

定義LN如下:

LN(x)=L°L0(x)=xpk+1+(ak-1-1)xpk+(ak-2-ak-1)xpk-1+…+(a0-a1)xp-a0x.

因此LN也是線性化多項(xiàng)式且LN(1)=0.下面記

LN(x)=xpk+1+bkxpk+…+b1xp+b0x,

設(shè)l(x)=xk+1+bkxk+…+b1x+b0為L(zhǎng)N的相伴多項(xiàng)式[1].設(shè)C為l(x)的友矩陣, 以下也稱C為L(zhǎng)N的友矩陣.設(shè)σ為Fpm的Frobenius自同構(gòu), 即σ(a)=ap,a∈Fpm.Cσi表示將C的每個(gè)元素用自同構(gòu)xpi作用后得到的矩陣.令A(yù)為

A=CCσCσ2…Cσm-1,

利用文獻(xiàn)[10]中定理5將本文的問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為考慮矩陣A-I的秩.

設(shè)b0≠0,LN(x)∈Fp[x], 則C可逆且A=Cm.此時(shí), 為了考慮ker(LN)只需考慮rank(Cm-I).但此時(shí)的C為線性遞歸序列的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣, 完全刻畫rank(Cm-I)很困難[1].本文考慮ord(C)|(m-2)的情形, 通過(guò)分析矩陣C+I的秩, 給出其可逆的充要條件, 基于此給出一類滿足ker(L)∩ker(Tr)=0的線性化多項(xiàng)式L, 并給出L的計(jì)算方法.

2 主要結(jié)果

設(shè)

LN(x)=xpk+1+bkxpk+…+b1xp+b0x∈Fp[x],LN(1)=0.

記l(x)=xk+1+bkxk+bk-1xk-1+…+b1x+b0為L(zhǎng)N(x)的相伴多項(xiàng)式[1].設(shè)C為L(zhǎng)N的友矩陣.易知l(x)是C的特征多項(xiàng)式, 即l(x)=det(xI-C), 其中I表示k+1階單位矩陣.若f(x)為多項(xiàng)式, 則用ord(f(x))表示其階, 即滿足f(x)|(xd-1)的最小正整數(shù).

引理1[1]設(shè)b0≠0, 則ord(l(x))=ord(C), 其中ord(C)指C在一般線性群GLk+1(Fp)中的階.

由定義知線性化多項(xiàng)式LN、 矩陣C以及l(fā)(x)之間相互決定.一般地,xm-1的分解依賴于具體的p和m.定義p關(guān)于m的階為滿足pt≡1(modm)的最小正整數(shù)t.記xm-1在Fpt中的全體根為E(m).

由ord的定義可得下列兩個(gè)引理:

引理4設(shè)f(x)為m-2次首一多項(xiàng)式,m≥5, 則ord(f(x))=m當(dāng)且僅當(dāng)f(x)|(xm-1).

引理5設(shè)b0≠0且ord(C)=r.若r|(m-s), 則rank(Cm-I)=rank(Cs-I).

引理6rank(C-I)=k.

證明: 因C-I有一個(gè)k階非零子式, 故rank(C-I)≥k.又因l(1)=LN(1)=0, 故det(C-I)=0.于是rank(C-I)=k.

證明: 注意到C+I有一個(gè)k階的非零子式, 故rank(C+I)≥k.再注意到l(1)=LN(1)=0.當(dāng)p=2時(shí), 總有det(C+I)=0, 故rank(C+I)=k.當(dāng)p≠2時(shí), rank(C+I)=k當(dāng)且僅當(dāng)det(C+I)=0, 當(dāng)且僅當(dāng)l(-1)=0.因l(1)=0, 故l(-1)=0等價(jià)于l(1)-l(-1)=0, 即

2(b1+b3+b5+…)+(1-(-1)k+1)=0.

(1)

證明：只需注意到C2-I=(C+I)(C-I), 再利用引理6和引理7可得結(jié)論.

引理8dim(ker(L)∩ker(Tr))=dim(ker(LN))-1.

證明: 由于LN(x)=L°L0(x),L0的像集恰好為跡函數(shù)Tr的核，所以易知ker(LN)中元素個(gè)數(shù)與ker(L)∩ker(Tr)中元素個(gè)數(shù)為p個(gè)對(duì)應(yīng)1個(gè)，進(jìn)而可得所證結(jié)論.

引理9[9]ker(LN)=k+1-rank(A-I).

定理1設(shè)L(x)=xpk+ak-1xpk-1+…+a1xp+a0x是Fpm上的線性化多項(xiàng)式,N=ker(L).假設(shè)LN(x)=xpk+1+bkxpk+…+b1xp+b0x∈Fp[x].若b0≠0,p≠2, ord(C)|(m-2), 則dim(ker(LN))≤2.進(jìn)一步, dim(N∩ker(Tr))≤1.特別地, 當(dāng)C+I可逆時(shí), dim(ker(LN))=1, 此時(shí)有N∩ker(Tr)={0}.

證明：由引理9知

dim(ker(LN))=k+1-rank(Cm-I).

當(dāng)b0≠0且ord(C)|(m-2)時(shí),Cm-I=C2-I=(C+I)(C-I).由引理6和引理7知, rank(C+I)≥k, rank(C-I)=k.故

rank(Cm-I)=rank((C+I)(C-I))≥rank(C+I)+rank(C-I)-(k+1)≥k-1.

所以dim(ker(LN))≤(k+1)-(k-1)=2.而當(dāng)C+I可逆時(shí), 顯然有

rank(C2-I)=rank((C+I)(C-I))=rank(C-I).

從而有dim(ker(LN))=1.進(jìn)而由引理8可得N∩ker(Tr)={0}.

證明：由引理8及定理1可得結(jié)論.

步驟1)計(jì)算s=gcd(p-1,m),s′=gcd(p2-1,m);

步驟2)求出xm-2-1的一個(gè)不能被x-1整除的、 首一的二次因子h(x);

例1設(shè)p=5,m=18,xm-2-1=x16-1.則5關(guān)于16的階為4,

求x16-1在F5[x]中的因子(x-2)(x-4).計(jì)算

此時(shí)

b1+b3+b5+…+b13=4≠0,

故其相伴線性化多項(xiàng)式

L(x)=xp13+2xp12+xp9+2xp8+xp5+2xp4+xp+2x

滿足ker(L)∩ker(Tr)={0}.