Volterra級(jí)數(shù)模型的非線性壓縮測(cè)量辨識(shí)算法*

邱 棚，姚旭日，李鳴謙，翟光杰

(1. 中國(guó)科學(xué)院國(guó)家空間科學(xué)中心， 北京 100190； 2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049)

一直以來，關(guān)于非線性系統(tǒng)的研究吸引了來自各個(gè)領(lǐng)域?qū)W者的關(guān)注。特別是在工程領(lǐng)域中，理想的線性系統(tǒng)是幾乎不存在的，大部分需要面對(duì)的都是非線性系統(tǒng)。一般認(rèn)為，輸出與輸入不成比例的系統(tǒng)均是非線性的，如失真、自激振蕩、分叉、混沌等。本文重點(diǎn)研究弱非線性系統(tǒng)，比如功率放大器[1]、揚(yáng)聲器[2]、生物過程[3]均屬此類。對(duì)于此類非線性系統(tǒng)，其模型是很難通過理論推導(dǎo)得到的。因而，需要通過對(duì)輸入輸出信號(hào)的辨識(shí)得到系統(tǒng)模型。

在系統(tǒng)辨識(shí)中，首要考慮的問題是如何表示非線性系統(tǒng)。到目前為止，還沒有一個(gè)通用的非線性系統(tǒng)表示方法。非線性系統(tǒng)的模型可以從以下幾個(gè)方式來獲得：獲得系統(tǒng)的頻域等價(jià)模型；將非線性環(huán)節(jié)表示為多個(gè)線性環(huán)節(jié)的卷積；將非線性系統(tǒng)展開為線性形式，再利用線性的辨識(shí)方法獲得非線性系統(tǒng)的近似等。本文采用后一種方法，利用多項(xiàng)式展開的方法來表示非線性對(duì)象。根據(jù)泰勒公式可知，如果系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)足夠平滑并且沒有歷史記憶，那么就可將系統(tǒng)的輸出表示為輸入信號(hào)的多項(xiàng)式展開。但是，如果系統(tǒng)是有記憶的，就需要用Volterra級(jí)數(shù)來描述[4]。本文選用p階、記憶長(zhǎng)度為L(zhǎng)的Volterra核作為基礎(chǔ)，并利用多項(xiàng)式回歸的方法得到核的參數(shù)，從而使得展開項(xiàng)的和盡可能地接近原函數(shù)。近年來，Volterra級(jí)數(shù)以及其他多項(xiàng)式展開的方式在人臉識(shí)別[5]、語音識(shí)別[6]、文字識(shí)別[7]等非線性問題上都取得了成功。

系統(tǒng)辨識(shí)的第二個(gè)問題是如何準(zhǔn)確估計(jì)出模型中的參數(shù)。鑒于Volterra級(jí)數(shù)中的未知參數(shù)可以表示為輸入輸出的線性組合，經(jīng)典的最小二乘(Least-Square，LS)方法就可辨識(shí)得到[8]。但是，此方法會(huì)碰到“維數(shù)災(zāi)難”的問題，即待辨識(shí)的參數(shù)數(shù)量將隨著模型階數(shù)的增加而呈指數(shù)增長(zhǎng)。對(duì)于LS方法而言，就需要遠(yuǎn)大于Θ(Lp)次的數(shù)據(jù)，辨識(shí)結(jié)果才能收斂。這不僅增加了辨識(shí)的成本，還會(huì)增大計(jì)算復(fù)雜度。一個(gè)可能的方法是，將該問題視為核回歸問題[9-10]。然而，Volterra級(jí)數(shù)的高階參數(shù)是稀疏度的，也就是說待辨識(shí)參數(shù)中只有個(gè)別位置是非零的。不過，多項(xiàng)式的階數(shù)、記憶長(zhǎng)度以及非零項(xiàng)的位置和個(gè)數(shù)都是未知的，所以無法在辨識(shí)之前選定合適的數(shù)值。此外，在實(shí)際系統(tǒng)中，核回歸的方法由于輸入輸出數(shù)據(jù)存在誤差將導(dǎo)致過擬合，使得辨識(shí)結(jié)果變差?？紤]到參數(shù)的稀疏性，有學(xué)者提出采用稀疏估計(jì)器來解決過擬合的問題，典型的如非負(fù)參數(shù)推斷(Non-Negative Garrote, NNG)[11]和遞歸最小二乘(Recursive Least Squares,RLS)估計(jì)器。文獻(xiàn)[18]給出了針對(duì)稀疏Volterra級(jí)數(shù)的EM-RLS算法，對(duì)參數(shù)的期望和分布進(jìn)行計(jì)算，從而得到準(zhǔn)確的辨識(shí)結(jié)果。另一個(gè)常見的稀疏估計(jì)器叫作最小絕對(duì)收縮和選擇算子(Least-Absolute Shrinkage and Selection Operator, LASSO)[13]。文獻(xiàn)[14]基于該算法，提出了針對(duì)Volterra級(jí)數(shù)的wLASSO(weight LASSO)估計(jì)器，并取得了良好的效果，而且wLASSO的性能已經(jīng)在文獻(xiàn)[15]之中分析過了。除了利用稀疏性解決“維數(shù)災(zāi)難”問題的方法以外，還有利用核的對(duì)稱性以減少待辨識(shí)參數(shù)的個(gè)數(shù)[8]。另外，還可以利用正交三角分解的方法來減少辨識(shí)計(jì)算量[16]。

近年來，Donoho[17]、Candès等[18]提出的壓縮感知理論是處理信號(hào)稀疏性的一種高效方法。根據(jù)采樣定理可知，對(duì)任何信號(hào)的測(cè)量都要求采樣頻率是信號(hào)帶寬的2倍以上。然而，壓縮感知理論指出，對(duì)稀疏信號(hào)的測(cè)量需要關(guān)注的是稀疏度，而不是信號(hào)帶寬。該定理目前已經(jīng)被大量應(yīng)用于有關(guān)成像的各個(gè)領(lǐng)域中，如高速流顯微鏡成像[19]、核磁共振成像[20]、合成孔徑雷達(dá)[21]、毫米波雷達(dá)信號(hào)處理[22]等。Volterra級(jí)數(shù)中的一階核可以視為一維的信號(hào)，其二階核也可視為二維的信號(hào)。依此類推，級(jí)數(shù)的各階核參數(shù)均可以視作高維信號(hào)，而且這些信號(hào)均是極度稀疏的。因而，利用壓縮感知理論，可以極大地提高測(cè)量的效率。

1 多項(xiàng)式級(jí)數(shù)展開

本節(jié)主要介紹非線性系統(tǒng)的Volterra級(jí)數(shù)展開方式。假設(shè)一個(gè)離散非線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出可表示為：

y(n)=f(x(n),x(n-1),…,x(n-l))

(1)

其中，x(n)代表系統(tǒng)在時(shí)刻n的輸入，而f(x)則是一個(gè)非線性函數(shù)。上式表示，系統(tǒng)的輸出與當(dāng)前時(shí)刻之前的所有時(shí)刻都相關(guān)，即系統(tǒng)是有無限記憶的。但是，對(duì)于大部分系統(tǒng)而言，系統(tǒng)的響應(yīng)都會(huì)隨著時(shí)間的推移而衰減。所以，在此假設(shè)系統(tǒng)的記憶是有限且合理的，也就是系統(tǒng)的輸出只與前L個(gè)時(shí)刻的輸入有關(guān)。本文只考慮由死區(qū)、飽和、諧波等導(dǎo)致的信號(hào)失真等弱非線性系統(tǒng)。理論上，Volterra級(jí)數(shù)是一個(gè)無窮級(jí)數(shù)，而本文允許展開級(jí)數(shù)與原系統(tǒng)存在截?cái)嗾`差，所以系統(tǒng)的輸出就可以利用P階的Volterra級(jí)數(shù)來表示：

(2)

式中：v(n)包含截?cái)嗾`差以及測(cè)量噪聲，而且該噪聲是一個(gè)零均值并且獨(dú)立于輸入信號(hào)的白噪聲；Hp[Χ1(n)]表示第p階的Volterra核，其具體形式如下:

(3)

式中，L代表Volterra級(jí)數(shù)的記憶長(zhǎng)度，而且各階核的記憶長(zhǎng)度是一致的。針對(duì)Volterra級(jí)數(shù)展開的收斂域以及使用范圍已經(jīng)被廣泛研究，可以參考文獻(xiàn)[8]。本文的目的是利用系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，以辨識(shí)得到可以準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的各階核參數(shù)hp(k1,…,kp)。

2 非線性壓縮測(cè)量辨識(shí)

非線性壓縮測(cè)量辨識(shí)算法將壓縮感知理論引入對(duì)非線性系統(tǒng)的辨識(shí)之中，并利用測(cè)量的方法對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行觀測(cè)。在測(cè)量的框架下，首先要確定被測(cè)信號(hào)的形式。在系統(tǒng)辨識(shí)中，被測(cè)信號(hào)包含了系統(tǒng)的全部特征，每一個(gè)信號(hào)都可以唯一地表示一個(gè)系統(tǒng)。對(duì)于線性系統(tǒng)來說，可以選擇系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)序列來表示，該信號(hào)包含了線性系統(tǒng)的全部動(dòng)態(tài)和靜態(tài)特征。那么，對(duì)于非線性系統(tǒng)來說，是否存在一個(gè)信號(hào)是可以唯一地表達(dá)系統(tǒng)的呢？本文采用Volterra級(jí)數(shù)的各階核來表示。另外，在測(cè)量的角度下，可以認(rèn)為表示系統(tǒng)的信號(hào)是客觀存在的，只不過需要特殊的觀測(cè)方法才能夠得到，或者是需要通過間接的方法來對(duì)其測(cè)量。本文的重點(diǎn)在于介紹測(cè)量在辨識(shí)非線性系統(tǒng)中的思想，因而只考慮二階Volterra級(jí)數(shù)的辨識(shí)問題，而更高階系統(tǒng)可以依此推廣。由于忽略了高階核，所以測(cè)量結(jié)果與原信號(hào)存在一定偏差，而這個(gè)偏差從測(cè)量的角度來看，是由于測(cè)量工具的局限性導(dǎo)致的。這就如同用米尺去測(cè)量毫米級(jí)的物體一般，一定會(huì)存在誤差。

假設(shè)非線性系統(tǒng)展開為二階Volterra級(jí)數(shù)，該系統(tǒng)輸出可以表示為：

(4)

根據(jù)上文對(duì)Volterra級(jí)數(shù)的介紹可知，一個(gè)非線性系統(tǒng)的輸出可以寫為多維卷積的形式。對(duì)于一階Volterra核，可以將一維卷積改寫為向量相乘的形式，即：

(5)

(6)

根據(jù)式(2)可知，二階Volterra核的輸出可以寫為線性二次型的形式，即：

(7)

(8)

此時(shí)，將一階核和二階核先后排列成一個(gè)一維列向量，那么非線性系統(tǒng)輸出可以表示為：

Y=Y(0)+Y(1)+Y(2)=[U(0),U(1),U(2)][Hc,H1,H2]T

(9)

式中，U(0)是一個(gè)M×1的常數(shù)向量，Hc是一個(gè)1×1 的常數(shù)向量。H=[Hc,H1,H2]T是待測(cè)量信號(hào)，該信號(hào)長(zhǎng)度N=L2+L。不過，由于二階核是關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱的，因此可以將相同項(xiàng)合并，即信號(hào)長(zhǎng)度縮減為N=(L2+3L+2)/2；U=[U(0),U(1),U(2)]是測(cè)量矩陣，該矩陣中的每一行都是一個(gè)測(cè)量向量，用于對(duì)信號(hào)H進(jìn)行一次觀測(cè)。因而，矩陣U的性質(zhì)直接決定了測(cè)量的準(zhǔn)確性。壓縮感知理論給出了準(zhǔn)確測(cè)量的要求，即只有當(dāng)測(cè)量矩陣滿足有限等距約束(Restricted Isometry Property, RIP)性質(zhì)時(shí)，才能保證測(cè)量是無損的。學(xué)者已經(jīng)證明一般常見的獨(dú)立同分布的隨機(jī)矩陣都滿足RIP性質(zhì)。不過，對(duì)于本文中使用的復(fù)雜隨機(jī)矩陣，要想得到RIP性質(zhì)的充要條件是十分困難的。因而，可以通過證明得到滿足RIP性質(zhì)的充分條件來得到對(duì)測(cè)量矩陣的要求。文獻(xiàn)[23]中給出了當(dāng)輸入信號(hào)是符合均勻分布的隨機(jī)信號(hào)時(shí)的定理如下：

該引理表明，當(dāng)利用符合均勻分布的測(cè)量矩陣對(duì)信號(hào)進(jìn)行測(cè)量時(shí)，如果測(cè)量數(shù)是與S2lgN在同階大小時(shí)，恢復(fù)算法是有極大的概率從觀測(cè)值中重建出被測(cè)信號(hào)的。不過，此處只是給出了均勻分布的測(cè)量準(zhǔn)則，而且該準(zhǔn)則只是給出了一個(gè)相對(duì)寬泛的下限。此外，如果系統(tǒng)輸入選取的是其他隨機(jī)分布，就需要重新推導(dǎo)RIP定理。因而，本文嘗試間接地給出測(cè)量矩陣需要滿足的性質(zhì)。根據(jù)RIP定理的定義可知，RIP性質(zhì)描述的是從測(cè)量矩陣中任意抽取任意列組成的子矩陣能否完整地保存原信號(hào)的能量，即不對(duì)原信號(hào)過分放大也不過分衰減。因而，測(cè)量矩陣的子矩陣滿足RIP性質(zhì)是一個(gè)必要條件。利用圓盤定理來解釋，可以認(rèn)為RIP性質(zhì)要求測(cè)量矩陣的Grammian矩陣R=UTU的特征值在[1-δS,1+δS]范圍內(nèi)。概括來說，要想保證測(cè)量是準(zhǔn)確，就需要滿足以下三個(gè)條件：

②E[Ri,i]=1,i=1,…,N；

③E[Ri,j]=1,i,j=1,…,N,i≠j。

其中

(10)

3 仿真

本節(jié)將測(cè)試非線性測(cè)量辨識(shí)算法在實(shí)際非線性系統(tǒng)中的辨識(shí)結(jié)果與真實(shí)系統(tǒng)的接近程度。從測(cè)量的角度來看，對(duì)測(cè)量結(jié)果影響最大的三個(gè)因素就是測(cè)量值的個(gè)數(shù)、測(cè)量噪聲以及測(cè)量向量的形式。因而，本文將測(cè)試這些參數(shù)對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。

本文選用一個(gè)常見的非線性系統(tǒng)，即Wiener-Hammerstein模型作為辨識(shí)對(duì)象。該模型是由一個(gè)線性環(huán)節(jié)、一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和另一個(gè)線性環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，如圖1所示。

圖1 Simulink模型Fig.1 Simulink model

(11)

(12)

圖2呈現(xiàn)了兩種辨識(shí)算法在兩種測(cè)量數(shù)下的辨識(shí)結(jié)果。其中，一階核在圖2(a)中采用了折線來表示，而二階核則采用了三維柱狀圖來表示。本文定義辨識(shí)過程中采集到的系統(tǒng)輸出個(gè)數(shù)為測(cè)量數(shù)M，又定義測(cè)量數(shù)M與信號(hào)長(zhǎng)度N的比率為測(cè)量比率(Measurement Ratio，MR)。圖2(a)是在MR為40%的情況下的辨識(shí)結(jié)果，圖中上半部分展現(xiàn)的是Volterra級(jí)數(shù)一階核的測(cè)量結(jié)果和原信號(hào)，圖2(a)下半部分展現(xiàn)的是二階核的測(cè)量結(jié)果以及原信號(hào)。其中，藍(lán)色代表原信號(hào)，黃色代表RLS的辨識(shí)結(jié)果，紅色代表非線性CMI的辨識(shí)結(jié)果。圖2(b)是在MR為60%的情況下的辨識(shí)結(jié)果，圖2(b)中定義同上。從這兩個(gè)圖中可以看到，本文提出的算法相比RLS算法辨識(shí)到的一階核和二階核的準(zhǔn)確性有很大程度的提高。由于原信號(hào)是稀疏的，也就是只有靠近原點(diǎn)附近的項(xiàng)是非零的，非線性CMI方法的測(cè)量結(jié)果基本符合了這一特點(diǎn)，而RLS算法卻將原信號(hào)能量散布在了各項(xiàng)上。而且，隨著測(cè)量率的提高，可以明顯地看到非線性CMI方法的測(cè)量準(zhǔn)確性有了進(jìn)一步的提高。

(a) MR=40%

(b) MR=60%圖2 NCMI和RLS辨識(shí)得到的Volterra核Fig.2 Volterra core identified by NCMI and RLS

本文仿真了測(cè)量率從10%到200%的所有情況，并將測(cè)試結(jié)果繪制在圖3中。從圖中可以看到，當(dāng)測(cè)量率達(dá)到66%時(shí)，非線性CMI的擬合程度已經(jīng)達(dá)到94.13%，而遞推最小二乘算法的測(cè)量率達(dá)到177%時(shí)，其平均擬合程度才達(dá)到同樣水平。另外，當(dāng)測(cè)量數(shù)大小接近于信號(hào)長(zhǎng)度時(shí)，RLS法出現(xiàn)了較大的偏差。這主要是由于觀測(cè)存在誤差，而當(dāng)測(cè)量矩陣接近方陣時(shí)，RLS算法的解空間越來越小，直到被壓縮到唯一解。此時(shí)，所有觀測(cè)噪聲都被納入系統(tǒng)模型之中，所以其偏差也就很大了。雖然，RLS算法隨著測(cè)量數(shù)的繼續(xù)增多，其結(jié)果的準(zhǔn)確性也繼續(xù)提高，不過最終也只能達(dá)到與非線性CMI方法同樣的精度。也就是說，在該條件下，非線性CMI方法只需要90次測(cè)量就可以得到原信號(hào)，相比RLS能夠節(jié)約大概150次測(cè)量值。

(a) 平均擬合程度與測(cè)量比率的關(guān)系(a) AFR of identification results under different MR

(b) 均方誤差與測(cè)量比率的關(guān)系(b) MSE of Identification results under different MR圖3 測(cè)量比率對(duì)NCMI和RLS的辨識(shí)影響Fig.3 Influence of NCMI and RLS identification results by MR

非線性CMI的測(cè)量結(jié)果在測(cè)量數(shù)達(dá)到90個(gè)時(shí)，就達(dá)到了最佳的測(cè)量結(jié)果。那么，如何確定這個(gè)數(shù)量，從而避免測(cè)量的浪費(fèi)呢？在此，定義使得測(cè)量結(jié)果達(dá)到最佳的最小所需測(cè)量數(shù)為最小測(cè)量數(shù)。根據(jù)定理可知，最小測(cè)量數(shù)應(yīng)該與稀疏度和信號(hào)長(zhǎng)度有關(guān)，而稀疏度的影響遠(yuǎn)超過信號(hào)長(zhǎng)度。因此，本文假設(shè)Volterra核的記憶長(zhǎng)度為30，階數(shù)為2，即信號(hào)總長(zhǎng)度N為496。其中，非零項(xiàng)隨機(jī)地分布在整個(gè)信號(hào)上。圖4展示了針對(duì)不同稀疏度信號(hào)的最小測(cè)量數(shù)。根據(jù)定理可知，最小測(cè)量數(shù)應(yīng)該與稀疏度的二次方成比例。但是，在線性系統(tǒng)中，該數(shù)值與稀疏度呈線性關(guān)系。因而，本文利用直線和拋物線分別對(duì)結(jié)果進(jìn)行擬合，并且計(jì)算了兩種方法擬合結(jié)果與實(shí)際值的接近程度。其中，拋物線的平均接近程度為89.3%，而直線擬合的平均接近程度為77.9%。由此可見，最小測(cè)量數(shù)與稀疏度的二次方是同階的。換句話說，非線性CMI方法在測(cè)量過程中對(duì)信號(hào)的非零項(xiàng)個(gè)數(shù)更敏感。

圖4 稀疏度對(duì)最小測(cè)量數(shù)的影響Fig.4 Influence of sparsity on minimum measurement number

在測(cè)量中，噪聲是不可避免的，因而在包含測(cè)量噪聲的條件下能否穩(wěn)定地測(cè)量是至關(guān)重要的。對(duì)于測(cè)量算法來說，測(cè)量噪聲的絕對(duì)大小是沒有意義的，相對(duì)大小才是最重要的。因此，本文采用信噪比(Signal Noise Rate，SNR)作為指標(biāo)，以測(cè)試噪聲對(duì)算法的影響。圖5展現(xiàn)了兩種算法在不同噪聲大小下的辨識(shí)準(zhǔn)確度?？梢钥吹剑蔷€性CMI方法對(duì)噪聲具有一定的魯棒性，及時(shí)噪聲達(dá)到5 dB時(shí)，信號(hào)的平均擬合程度還能保持在69.3%的水平。

圖5 測(cè)量噪聲對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響Fig.5 Influence of measurement noise on identification results

除了測(cè)量數(shù)和測(cè)量噪聲以外，還有一個(gè)重要因素直接影響測(cè)量結(jié)果，那就是測(cè)量向量的形式。這是因?yàn)闇y(cè)量向量的形式直接決定了每次測(cè)量的方式以及測(cè)量獲得的信息多少，或者說壓縮感知正是憑借著精心設(shè)計(jì)的測(cè)量向量，從而實(shí)現(xiàn)高效采樣。由前文可知，選用的輸入信號(hào)是隨機(jī)地從一個(gè)高斯分布中取出的。由于一階核的測(cè)量向量是系統(tǒng)的輸入序列，因而一階核的測(cè)量向量是服從高斯分布的。對(duì)于二階核來說，可將核參數(shù)分為兩類，其中一類是兩個(gè)不同時(shí)刻的輸入序列相乘。由于兩個(gè)服從高斯分布的隨機(jī)變量相乘后仍然服從高斯分布，所以第一類的測(cè)量向量仍然服從高斯分布。第二類是兩個(gè)相同時(shí)刻的輸入序列相乘，因而觀測(cè)對(duì)角線信號(hào)的測(cè)量向量就不再服從高斯分布，而是服從卡方分布。圖6比較了這兩種分布對(duì)同一信號(hào)的測(cè)量結(jié)果?？梢钥闯?，雖然兩個(gè)分布的最佳測(cè)量結(jié)果是一致的，但是高斯分布比卡方分布的最小測(cè)量數(shù)要少得多。這主要是因?yàn)榭ǚ椒植嫉母黜?xiàng)均是非負(fù)的，也就是服從該分布的測(cè)量空間減少了一半，那么肯定就需要更多的觀測(cè)才能達(dá)到同樣的效果。

圖6 測(cè)量向量的分布對(duì)測(cè)量準(zhǔn)確性的影響Fig.6 Influence of measurement vector distribution on accuracy

既然，Volterra二階核對(duì)角線元素的測(cè)量服從卡方分布，那么是否可以通過修改測(cè)量向量，從而提高測(cè)量效率呢？為了解決非負(fù)的問題，一個(gè)直接的方法是，將測(cè)量向量的各項(xiàng)減去常數(shù)，使得其均值為零。另外，如果某一列在測(cè)量中所占比例過大，那么也會(huì)影響到其他項(xiàng)的測(cè)量。因而，再對(duì)整個(gè)測(cè)量矩陣的每列分別做歸一化。相應(yīng)地，在獲得測(cè)量結(jié)果后，要將這些修改復(fù)原才能得到原信號(hào)。圖7展示了沒有歸一化測(cè)量向量之前的測(cè)量結(jié)果，以及歸一化測(cè)量向量之后的測(cè)量結(jié)果。從圖中可以明顯地看到，在對(duì)測(cè)量向量進(jìn)行歸一化后，最小測(cè)量數(shù)只需要120次測(cè)量，而此時(shí)信號(hào)的稀疏度為20。也就是說，這個(gè)最小測(cè)量數(shù)遠(yuǎn)比定理中要求的S2lgN要小得多。由此可見，通過修改測(cè)量向量的形式從而減少觀測(cè)次數(shù)是可行的。

圖7 歸一化對(duì)測(cè)量準(zhǔn)確性的影響Fig.7 Influence of normalization on accuracy

4 結(jié)論

本文的重要貢獻(xiàn)在于將壓縮測(cè)量算法的思想從線性領(lǐng)域推廣到非線性領(lǐng)域之中，即用測(cè)量的視角觀察非線性系統(tǒng)的辨識(shí)問題。首先，仿真也證明了本文提出的測(cè)量方法在沒有噪聲的情況下是可以無損地獲取系統(tǒng)模型，即使在有噪聲的條件下，也可以保證穩(wěn)定的測(cè)量結(jié)果。其次，在測(cè)量的視角下，辨識(shí)算法更關(guān)注于信號(hào)本身的信息量或者說信號(hào)的稀疏度，而對(duì)信號(hào)長(zhǎng)度不敏感。這就給解決“維數(shù)災(zāi)難”問題指出了一條新的道路。隨后，本文在仿真中詳細(xì)分析了影響辨識(shí)結(jié)果的三個(gè)重要因素，即測(cè)量向量、測(cè)量數(shù)和測(cè)量噪聲。特別是，本文提出了一種測(cè)量向量均值歸零的方法，進(jìn)一步縮減了最小測(cè)量數(shù)。這也就說明，通過設(shè)計(jì)合理的測(cè)量向量，是有可能進(jìn)一步提高測(cè)量效率，使得測(cè)量數(shù)控制在稀疏度的常數(shù)倍范圍內(nèi)。在同等測(cè)量次數(shù)下，利用本文提出的方法可以獲得更多的信息，即辨識(shí)模型的記憶長(zhǎng)度和階數(shù)規(guī)模都可以更大。當(dāng)然，這兩個(gè)參數(shù)越大，Volterra模型可近似的非線性系統(tǒng)也就越復(fù)雜。

本文還簡(jiǎn)述了Volterra級(jí)數(shù)的物理含義。隨后，本文將Volterra級(jí)數(shù)重新排列為符合壓縮感知測(cè)量的形式，而且將原有測(cè)量矩陣重新排列為多個(gè)循環(huán)矩陣相連。這種方法不僅給RIP的證明提供了一個(gè)基礎(chǔ)，還簡(jiǎn)化了辨識(shí)算法的程序設(shè)計(jì)。本文只是針對(duì)二階以內(nèi)的Volterra級(jí)數(shù)模型進(jìn)行了仿真，不過，根據(jù)本文的方法可以推廣到更高階核的辨識(shí)上，該方向也將是未來的研究重點(diǎn)。此外，本文使用的是高斯分布組成的隨機(jī)測(cè)量向量，隨后將繼續(xù)探索其他形式的測(cè)量向量，爭(zhēng)取進(jìn)一步地縮減最小測(cè)量數(shù)，提高測(cè)量效率。另外，本文提出的方法不僅可以用于Volterra級(jí)數(shù)，還可以用于其他非線性核的線性組合表示的模型辨識(shí)問題之中。