讓“數(shù)感”在“數(shù)量關(guān)系”的建構(gòu)中發(fā)展

蔡榮花

[摘 要]數(shù)感主要是關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果、估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)有利于數(shù)感的建立與發(fā)展。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要注重?cái)?shù)量關(guān)系的具象呈現(xiàn)，強(qiáng)化數(shù)量關(guān)系的提煉，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感，才能提升學(xué)生解決問題的能力。而數(shù)感的建立需要一個(gè)循序漸進(jìn)過程，需要教師在課堂中創(chuàng)設(shè)具體的生活情境，從具象到抽象，從運(yùn)算到模型，從模型到應(yīng)用，“學(xué)用結(jié)合”提高學(xué)生對(duì)數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系的敏銳感，才能增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，發(fā)展更為良好的數(shù)感品質(zhì)。

[關(guān)建詞]具象;構(gòu)建;提煉;建模;應(yīng)用

什么是數(shù)感？《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2011版》指出：數(shù)感主要是關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中數(shù)量關(guān)系。新課標(biāo)這樣的修訂充實(shí)了數(shù)感中“數(shù)與數(shù)量”表述，補(bǔ)充了對(duì)數(shù)量關(guān)系的描述?？梢?，學(xué)生建構(gòu)了基本和常用的數(shù)量關(guān)系利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)感，而數(shù)感的增強(qiáng)有助于學(xué)生理解與表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系，有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要注重?cái)?shù)量關(guān)系的具象呈現(xiàn)，強(qiáng)化數(shù)量關(guān)系的提煉，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)感，才能提升學(xué)生解決問題的能力。

一、具象數(shù)量關(guān)系的呈現(xiàn)，增強(qiáng)數(shù)感

無論是生活中還是數(shù)學(xué)問題中，數(shù)量之間關(guān)系都是抽象的、無形的。對(duì)于數(shù)感不強(qiáng)、分析與理解能力較弱的學(xué)生而言，數(shù)量關(guān)系的找尋與建構(gòu)是較難的，如何化無形于有形中，化抽象為具體呢？從直觀素材中提取數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)并結(jié)合加減乘除的運(yùn)算意義逐步呈現(xiàn)出一些基本的數(shù)量關(guān)系，能為構(gòu)建數(shù)量關(guān)系的模型打下基礎(chǔ)。

1.立足運(yùn)算意義的理解，感知數(shù)量關(guān)系模型

數(shù)量之間的關(guān)系是無形的，它存在于具體的情境與問題中，單純地讓小學(xué)生用語言對(duì)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行描述對(duì)小學(xué)生來說是比較困難的。但如果從小學(xué)低段開始教師就有意識(shí)地讓學(xué)生去感知，讓它具體化、形象化，使學(xué)生建立了初步的概念模型，能為后續(xù)學(xué)習(xí)具體的數(shù)量關(guān)系打下基礎(chǔ)，而低段學(xué)生感知數(shù)量關(guān)系一般是從運(yùn)算意義的理解與運(yùn)用入手。從一年級(jí)數(shù)的認(rèn)識(shí)到加減法初步認(rèn)識(shí)開始，教材就呈現(xiàn)了豐富、直觀的情境與貼近學(xué)生生活的事物、活動(dòng)，在大量學(xué)生感興趣的感觀畫面引領(lǐng)中，學(xué)生能體會(huì)到“把兩個(gè)數(shù)合并起來用加法計(jì)算”這是加法的意義，從“一個(gè)數(shù)中去掉其中的一部分，求另一部分的數(shù)量用減法計(jì)算”這是減法的意義?？蛇@樣意義的理解學(xué)生不能只停留在列式、計(jì)算的層面上，教師在教學(xué)時(shí)要從靜態(tài)畫面變成動(dòng)態(tài)生成再到靜態(tài)模型的形成，將運(yùn)算意義語言化、實(shí)質(zhì)化，才能使學(xué)生達(dá)到真正理解與運(yùn)用的效果。特別是一年級(jí)教學(xué)“一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多多少？或一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)少多少？”，學(xué)生對(duì)其中的運(yùn)算意義模糊不清，一味默背“有多字用加法，有少字用減法”，這樣的教學(xué)是無效的。

如下圖一年級(jí)下冊(cè)教材練習(xí)中這道題：

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大部分學(xué)生并不是建立了其中的數(shù)量關(guān)系而答題，一旦變式練習(xí)為“給希望小學(xué)捐書，我們一班捐了47本書，比二班捐的書少12本，二班捐了多少本書？”大部分學(xué)生便會(huì)出現(xiàn)47-12錯(cuò)誤思想，此時(shí)教師應(yīng)及時(shí)運(yùn)用多媒體信息手段圖例展示將具體的操作與抽象的數(shù)量關(guān)系對(duì)應(yīng)起來，讓學(xué)生明白“問題中一班捐書數(shù)量少，二班捐書數(shù)量多，求捐書更多的那一部分，對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是一班捐書本數(shù)+12本=二班捐書本數(shù)”。通過這類數(shù)學(xué)問題幫助學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建出“小數(shù)+相差數(shù)=大數(shù)”“大數(shù)-小數(shù)=相差數(shù)”“大數(shù)一相差數(shù)=小數(shù)”這樣運(yùn)算模型，從而提高學(xué)生解題的能力。

2.建立乘除法模型，支撐數(shù)量關(guān)系的構(gòu)建

在小學(xué)階段，第一學(xué)段中加減法的模型建立相對(duì)乘除法模型而言較容易理解與掌握。而乘法模型是小學(xué)階段最根本的一個(gè)模型，除法模型是難點(diǎn)，兩者較容易混淆，這兩個(gè)模型的建立為后續(xù)構(gòu)建“路程、速度和時(shí)間，總價(jià)、單價(jià)與數(shù)量，邊長、周長與面積、體積、底面積與高”等重要數(shù)量關(guān)系提供支撐。因此，在教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生充分體驗(yàn)學(xué)習(xí)的過程，通過實(shí)物與實(shí)景具象化的感悟才能形成抽象化的模型。例如，二年級(jí)下冊(cè)“除法的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)時(shí)，我讓學(xué)生帶上塑料小盤與白色、黑色圍棋子各20粒，在課上玩“過家家”游戲。先讓學(xué)生表演“平均分”，將20粒白色棋子平均分在5個(gè)小盤中，該怎么分？為什么這樣分？從而明白20÷5的運(yùn)算意義，建立平均分用除法計(jì)算的模型。接著表演“包含除”，每盤放入5顆黑色棋子，需要用幾個(gè)盤子呢？學(xué)生動(dòng)手放一放，擺一擺，感受20÷5的第二種意義“20里有幾個(gè)5”的包含除模型。兩次游戲都要讓學(xué)生用語言表述分的過程與結(jié)果。最后讓學(xué)生根據(jù)算式12÷4=3用黑白棋子擺一擺，擺出除法的兩種意義。如此實(shí)踐操作，讓學(xué)生明確除法的運(yùn)算意義，從具象中抽象出平均分與包含除的模型。為后續(xù)建立“被除數(shù)、除數(shù)與商”三者之間的數(shù)量關(guān)系模型奠定基礎(chǔ)。

3.情境數(shù)據(jù)引領(lǐng)，建立基本數(shù)量關(guān)系

基本數(shù)量關(guān)系的建立常常來自于具體的問題情境中，讓學(xué)生從生動(dòng)的情境中提取相關(guān)數(shù)據(jù)，分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，用相應(yīng)的運(yùn)算表達(dá)，抽象出“數(shù)學(xué)情境”中的數(shù)量關(guān)系，并將數(shù)量關(guān)系構(gòu)建與運(yùn)用過程有機(jī)結(jié)合起來，才能達(dá)到真正地理解與掌握，建立數(shù)感。例如，北師大版三年級(jí)上冊(cè)《路程、速度和時(shí)間》教學(xué)中，教材創(chuàng)設(shè)了猴子、小兔與松鼠競走比賽，誰走得快的實(shí)際情境，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)與理解“速度”這一概念，從而掌握路程、速度與時(shí)間三者之間的數(shù)量關(guān)系。課中，首先讓學(xué)生通過三個(gè)表格的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與運(yùn)算，明白路程相同，時(shí)間用得少走得快，時(shí)間相同路程走得多，走得快。當(dāng)時(shí)間與路程不同時(shí)，可算一算小動(dòng)物一分鐘分別能走多少米？從而建立速度的概念。并從280÷4，240÷3這兩個(gè)除法運(yùn)算中抽象出“路程÷時(shí)間=速度，這一基本數(shù)量關(guān)系。表格如下：

緊接著，讓學(xué)生通過拓展延伸思考下列問題：

①淘氣從學(xué)校去少年宮參加興趣小組活動(dòng)，每分走60米，走了10分鐘，從學(xué)校到少年宮有多少米？

②笑笑爸爸帶著一家人自駕旅行，從華陽村出發(fā)，每小時(shí)行駛70千米，到武夷山風(fēng)景區(qū)共行駛了140千米 ，行駛了多少時(shí)？

學(xué)生通過畫圖與計(jì)算，數(shù)形結(jié)合，在直觀的線段圖中得到了感性材料的支撐，完善了“路程÷速度=時(shí)間，速度×?xí)r間=路程”這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)。因此，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行解讀與分析，將數(shù)據(jù)抽象為數(shù)量關(guān)系是十分必要，否則數(shù)據(jù)一轉(zhuǎn)換，數(shù)量關(guān)系又模糊不清了。

再如下圖，北師大版三年級(jí)下冊(cè)教學(xué)乘除混合運(yùn)算，在解決問題時(shí)要求學(xué)生能畫出簡單的示意圖來表示題意，同時(shí)也要求學(xué)生能看懂示意圖?？稍诮虒W(xué)中，我常發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)圖中的數(shù)量關(guān)系弄不明白，乘除法用錯(cuò)。究其原因是學(xué)生對(duì)乘除法意義衍生的數(shù)量關(guān)系的含混 ，特別是乘除混合時(shí)，無法準(zhǔn)確判定是“求幾個(gè)幾的總和”，還是求將“總數(shù)平均分成若干份中的部分?jǐn)?shù)”。因此，利用圖中數(shù)據(jù)理解圖意，自編成生活中的數(shù)學(xué)問題，再將數(shù)據(jù)抽象為數(shù)量關(guān)系是十分必要。

“讓數(shù)據(jù)說話”，從數(shù)學(xué)問題中構(gòu)建基本數(shù)量關(guān)系，才能建立數(shù)感。

二、加強(qiáng)數(shù)量關(guān)系的提煉，提升數(shù)感

隨著課程改革的推進(jìn)，淡化數(shù)量關(guān)系以及無視數(shù)量關(guān)系教學(xué)的思想又得以轉(zhuǎn)變。在課堂實(shí)踐中，許多學(xué)生在問題解決中，思維局限，無從著筆，其原因之一是找不出問題中相等的數(shù)量關(guān)系，無法進(jìn)行推導(dǎo)與運(yùn)算。無論是哪個(gè)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)問題，數(shù)量之間的特定聯(lián)系構(gòu)成了不同的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生在主動(dòng)學(xué)習(xí)中經(jīng)歷滲透、感知、體驗(yàn)、積累、抽象與概括的過程，自主地將這些潛藏的數(shù)量關(guān)系提煉出來進(jìn)行理解與構(gòu)建，才能提升數(shù)感。例如，有這樣一道數(shù)學(xué)問題“為慶祝六一兒童節(jié)，老師讓笑笑去商店購買12米彩帶來裝飾教室，每米彩帶2.5元，笑笑至少要帶多少錢呢？如果裝飾教室需要15米彩帶，用這些錢去購買，你該與店主商定每米彩帶的價(jià)格是多少呢？”調(diào)查學(xué)生的作業(yè)，我發(fā)現(xiàn)數(shù)感不強(qiáng)的學(xué)生在第二個(gè)問題上出現(xiàn)錯(cuò)誤，用2.5×15=37.5（元）解決，這樣的結(jié)果出現(xiàn)，且不說每米彩帶37.5元這個(gè)價(jià)格的荒唐，學(xué)生竟沒有發(fā)覺，實(shí)在缺乏對(duì)數(shù)的敏感度。本題中三個(gè)數(shù)量“每米彩帶的價(jià)格，所需的彩帶米數(shù)，花費(fèi)的錢”，這三者之間的數(shù)量關(guān)系學(xué)生因?yàn)闆]有模型支撐，識(shí)別不敏銳，造成解題錯(cuò)誤這才是關(guān)鍵。如果學(xué)生對(duì)“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)，總價(jià)÷數(shù)量=單價(jià)，總價(jià)÷單價(jià)=數(shù)量”這些基本數(shù)量關(guān)系有了學(xué)習(xí)體驗(yàn)，建立了模型，在本題就能自主提煉出“每米彩帶的價(jià)格×所買的彩帶的米數(shù)=花費(fèi)的錢，花費(fèi)的錢÷需要的彩帶米數(shù)=每米彩帶的價(jià)格”這樣的數(shù)量關(guān)系，問題就能迎刃而解。而小學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)量關(guān)系教學(xué)涉及基本數(shù)量關(guān)系與常用數(shù)量關(guān)系，課中教師將它們用靈動(dòng)的方式反復(fù)提煉與運(yùn)用，是可以提升學(xué)生數(shù)與數(shù)量以及數(shù)量關(guān)系辨析的敏感度的。

在小學(xué)階段的數(shù)量關(guān)系教學(xué)中，教師從第一學(xué)段的簡單常用的基本數(shù)量關(guān)系到第二學(xué)段的復(fù)雜的復(fù)合數(shù)量關(guān)系的構(gòu)建，逐步遞進(jìn)，由于復(fù)合數(shù)量關(guān)系是學(xué)生理解與提煉的難點(diǎn)與核心，學(xué)生在掌握了基本的數(shù)量關(guān)系之后必需要學(xué)會(huì)建構(gòu)復(fù)合的數(shù)量關(guān)系模型，才能以模型化繁為簡，深入淺出地分析問題，解決問題。例如，北師大版小學(xué)六年級(jí)學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，學(xué)生常常要能用不同的方法解決生活中的這類數(shù)學(xué)問題：一套課桌椅共240元，一把椅子的價(jià)格是一張桌子價(jià)格的1/4，一張椅子與一張桌子各多少元？分析題意我們不難發(fā)現(xiàn)，此題中蘊(yùn)含兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，“一張課桌的價(jià)格+一把椅子的價(jià)格=一套課桌椅的價(jià)格”，這是加法模型，“一張桌子的價(jià)格×1/4=一把椅子的價(jià)格”，這是乘法模型，兩個(gè)數(shù)量關(guān)系結(jié)合在一起分析與運(yùn)用，才能列出方程解決問題，哪怕是用比的知識(shí)解決，學(xué)生也要從題意中提煉出這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系，才能明白，“一套桌椅價(jià)格共為5份，一張桌子價(jià)格占了4份，而一把椅子價(jià)格占了1份”這樣的比例分配。

可見，加強(qiáng)數(shù)量關(guān)系的提煉，讓學(xué)生將數(shù)學(xué)知識(shí)與生活緊密聯(lián)系，并能將解決問題從經(jīng)驗(yàn)式提升到數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用。無論是用等式、符號(hào)、語言還是圖形來表示各種數(shù)量關(guān)系，只要讓學(xué)生經(jīng)歷了抽象、體驗(yàn)、提煉、建模、運(yùn)用的全過程，豐富體驗(yàn)，積累經(jīng)驗(yàn)，就能提高數(shù)學(xué)思維能力，也就提升了數(shù)感。

三、拓寬數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用，發(fā)展數(shù)感

數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)問題的重要結(jié)構(gòu)之一，就好像人的骨架一樣支撐著人體，在各學(xué)段中抓住數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，解決多樣的生活中的數(shù)學(xué)問題，拓寬應(yīng)用，形成一定的解題策略，才能發(fā)展數(shù)感。

1.低年級(jí)將基本數(shù)量關(guān)系滲透于運(yùn)算意義中進(jìn)行拓展練習(xí)。如，“淘氣家有4口人，吃飯時(shí)飯桌上要擺放幾雙筷子，共有多少根呢？”學(xué)生會(huì)用”“2+2+2+2”來計(jì)算，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生理解這道算式表示為4個(gè)相同的2相加，可用乘法“2×4”計(jì)算更為簡便，并讓學(xué)生理解“每雙筷子2根×人數(shù)=筷子的總根數(shù)”這一數(shù)量關(guān)系，初步建立“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這一數(shù)量關(guān)系模型。

2.中年級(jí)以常用數(shù)量關(guān)系為主，在操作與演示中遷移應(yīng)用。如，在教學(xué)完《路程、時(shí)間與速度》這一課后，教材中有這樣一道生活中的數(shù)學(xué)問題：

王大叔從河西村到河?xùn)|村，每分鐘走60米。

（1） 出發(fā)十分鐘后，他大約在什么位置？

（2） 王大叔9：15出發(fā)，走完一半路程時(shí)是什么時(shí)間？

這道問題對(duì)于數(shù)感不強(qiáng)的學(xué)生而言，在數(shù)量關(guān)系的運(yùn)用上是有一定難度的。課上，教師可以以教室為場(chǎng)景，現(xiàn)場(chǎng)模擬表演，再畫線段圖表示，讓學(xué)生在親身體驗(yàn)與直觀示意中明白，要確定王大叔出發(fā)10分后的位置，運(yùn)用“速度×?xí)r間=路程”這一數(shù)量關(guān)系計(jì)算出王大叔10分鐘所走的路程。要確定王大叔9：15分出發(fā)，走完一半路程是幾時(shí)幾分？得運(yùn)用“路程÷速度=時(shí)間”這個(gè)數(shù)量關(guān)系先計(jì)算出王大叔走完一半路程用了多長時(shí)間。如此學(xué)習(xí)讓常用數(shù)量關(guān)系在生活問題解決中得以靈活應(yīng)用，得以鞏固延伸，久而久之，學(xué)生的數(shù)感也得以提升。

3.高年級(jí)可靈活運(yùn)用各種數(shù)量關(guān)系，在尋找等量關(guān)系中抽象思維與建模。如，六年級(jí)下冊(cè)“正比例與反比例”應(yīng)用中，判定“一輛車行駛一定路程，這輛車車輪的周長與車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)之間成什么關(guān)系”。學(xué)生以敏銳的數(shù)感反應(yīng)，找尋到“車輪轉(zhuǎn)動(dòng)一周的長度×車輪轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)=車輛行駛的路程”這一數(shù)量間的等量關(guān)系，從而判定這兩種數(shù)量成反比例關(guān)系。

可見，不同學(xué)段，不同領(lǐng)域教學(xué)中，教師要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用已建立的數(shù)量關(guān)系模型，拓寬解題策略，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展數(shù)感，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

總之，數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)有利于數(shù)感的建立與發(fā)展，而數(shù)感的建立需要一個(gè)循序漸進(jìn)過程，需要教師在課中創(chuàng)設(shè)具體的生活情境，從具象到抽象，從運(yùn)算到模型，從模型到應(yīng)用，“學(xué)用結(jié)合”提高學(xué)生對(duì)數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系的敏銳感，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，發(fā)展更為良好的數(shù)感品質(zhì)。

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（責(zé)任編輯 陳始雨）