基于Adaptive Lasso的股票指數(shù)跟蹤問題研究

侯紅衛(wèi)，謝 儀

(1.太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，太原 030024；2.中國人民銀行 烏魯木齊中心支行，烏魯木齊 830000)

投資者進(jìn)行股票投資最直接的動機是獲得理想回報，故而投資決策的目標(biāo)是收益的最大化。然而，收益和風(fēng)險是正相關(guān)的，股市的波動一方面帶來了投資收益，另一方面也帶來了很高的投資風(fēng)險，二者互相依存。我國的證券市場近年來一直處于高速發(fā)展過程中，但其系統(tǒng)性風(fēng)險依然很大，投資者一直在尋求能夠獲得穩(wěn)定收益的方法，尤其是當(dāng)指數(shù)化基金、股指期貨、ETF等衍生產(chǎn)品的不斷推出，指數(shù)化投資被越來越多的人所關(guān)注。指數(shù)跟蹤作為指數(shù)化投資的具體管理形式，可以有效地指導(dǎo)股指期現(xiàn)套利、指數(shù)投資產(chǎn)品的設(shè)計等[1]。

股票指數(shù)跟蹤，是指用一定方法構(gòu)建投資組合以復(fù)制和跟蹤某一市場指數(shù)為目標(biāo)，來獲得與之相同的市場平均收益。由于其分散化、被動式管理等優(yōu)點，不但可以充分消除系統(tǒng)風(fēng)險，還可以大大降低交易成本。因此，如何構(gòu)建一個合理的股票投資組合并使其擁有較小的跟蹤誤差便成了一個重要問題。股票指數(shù)跟蹤技術(shù)主要需要解決兩方面問題，一方面需要選取組合中的成分股，一方面需要確定成分股在組合中的權(quán)重。楊國梁等[2]將數(shù)學(xué)上處理高維變量選擇問題的Lasso方法運用于股票投資組合構(gòu)建中，取得了現(xiàn)有文獻(xiàn)最好的跟蹤效果。然而，Lasso方法本身確實存在一些缺陷。首先，若股票收益率存在嚴(yán)重共線性時，Lasso的選擇效果會被削弱，其次是Lasso方法并不具有Oracle性質(zhì)，而具備Oracle性質(zhì)可以使得系數(shù)向量更接近真實值，且估計具有漸進(jìn)相合性。ZOU[3]提出了Adaptive Lasso，該方法不但沿襲了Lasso方法的諸多優(yōu)點，而且能有效減少模型參數(shù)估計的有偏性，具有Oracle性質(zhì)。因此，將Adaptive Lasso方法運用于跟蹤指數(shù)的股票選擇中是一種很好的嘗試。

1 指數(shù)跟蹤方法

1.1 指數(shù)跟蹤基本方法

現(xiàn)有的指數(shù)跟蹤方法，按照原理不同，主要可以分完全復(fù)制法與不完全復(fù)制法兩類。完全復(fù)制法是指購買標(biāo)的指數(shù)中所有證券，并且各成分證券的權(quán)重完全復(fù)制標(biāo)的指數(shù)的權(quán)重。其優(yōu)點是能獲得與標(biāo)的指數(shù)相同的收益，擁有最小的跟蹤誤差，缺點是當(dāng)指數(shù)構(gòu)成變化時必須及時調(diào)整，從而產(chǎn)生非常高的交易成本。不完全復(fù)制法是指購買標(biāo)的指數(shù)中的部分證券，使得收益率偏差在可控范圍內(nèi)，行業(yè)抽樣配置法、市值占比法等都屬于不完全復(fù)制法。由于不完全復(fù)制法可達(dá)到用較少證券獲得較好跟蹤效果的優(yōu)勢，因此國內(nèi)外學(xué)者做了很多關(guān)于不完全復(fù)制法的研究。ROLL[4]基于Markowitz均值-方差模型，通過最小化指數(shù)跟蹤誤差與投資組合來確定成分證券的權(quán)重；ZORIN et al[5]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)運用于指數(shù)跟蹤方法也得到不錯的結(jié)果，Corielli與Marcellino基于動態(tài)因子模型研究也解決了構(gòu)建投資組合的問題。

1.2 Adaptive Lasso方法

1.2.1Adaptive Lasso簡介

Adaptive Lasso的形式為：

1.2.2Adaptive Lasso的算法實現(xiàn)

EFRON et al[6]提出的最小角回歸算法(least angle regression，LARS)有效解決了此模型的求解問題；FAN et al[7]提出的循環(huán)坐標(biāo)下降算法(cyclic coordinate descent，CCD)利用模型稀疏性的假定，算法簡單運行快速；他還提出LQA方法對目標(biāo)函數(shù)采用局部二次近似，然后采用Newton-Raphson迭代算法也可以十分便捷的得到計算結(jié)果。本文實證研究部分主要利用R軟件的lqa package，其采用的就是LQA算法。LQA算法的數(shù)學(xué)思想描述如下：

記Adaptive Lasso的懲罰函數(shù)為pλ(|βj|)，pλ(|βj|)=λwj|βj|.

那么Adaptive Lasso懲罰函數(shù)的二階Taylor近似展開函數(shù)為：

利用Newton-Raphson迭代算法，給可以出一個不含懲罰項的似然估計初始值β(0)，Adaptive Lasso就轉(zhuǎn)換成了下面的形式的迭代求解問題：

當(dāng)‖β(k)-β(k-1)‖<η時，算法終止，其中η可以取一個很小的正值。

2 Adaptive Lasso方法選擇股票及實證分析

Y=Xβ+ε.

2.1 樣本數(shù)據(jù)的選取

本文選擇的指數(shù)跟蹤對象為滬深300指數(shù)，選取了2015年8月3日—2017年10月28日，538個交易日的滬深300指數(shù)及各成分股的日收益率數(shù)據(jù)，其中2015年8月3日—2017年4月28日，共422個交易日為樣本內(nèi)區(qū)間，2017年5月5日—2017年10月28日，共116個交易日為樣本外區(qū)間，用以檢測跟蹤效果。數(shù)據(jù)來源為網(wǎng)易財經(jīng)。

2.2 Adaptive Lasso變量選擇結(jié)果分析

基于Adaptive Lasso的基本思想，在R軟件中運用LQA方法編程，便可同時實現(xiàn)股票的選擇與權(quán)重的估計。圖1-圖3為100只股票，50只股票，30只股票的篩選過程。

圖1 100只股票的篩選過程

圖2 50只股票的篩選過程

圖3 30只股票的篩選過程

由圖1-圖3可以看出，Adaptive Lasso可以得到稀疏模型，隨著參數(shù)的增大，一部分系數(shù)被壓縮為0，即沒有入選的股票所對應(yīng)的系數(shù)β=0，入選的股票所對應(yīng)的系數(shù)β>0，表1-表3為篩選出的股票名稱及其權(quán)重系數(shù)。

2.3跟蹤結(jié)果分析

為了對股票組合的跟蹤效果進(jìn)行評估，本文從相關(guān)系數(shù)、跟蹤誤差、最大正向誤差和最大負(fù)向誤差這4個方面驗證分析，并比較了樣本內(nèi)區(qū)間與樣本外區(qū)間的跟蹤效果，如表4、表5所示。

表1 Adaptive Lasso選出的30只股票及權(quán)重系數(shù)

表2 Adaptive Lasso選出的50只股票及權(quán)重系數(shù)

表3 Adptive Lasso選出的100只股票及權(quán)重系數(shù)

表4 樣本內(nèi)指數(shù)跟蹤效果

表5 樣本外指數(shù)跟蹤效果

結(jié)果顯示，采用Adaptive Lasso方法構(gòu)建股票組合，無論是30只、50只還是100只，都取得了非常好的跟蹤效果。由樣本內(nèi)與樣本外跟蹤結(jié)果可看出：1) 相關(guān)系數(shù)均保持在0.96以上，說明成分股與滬深300指數(shù)相關(guān)程度很高，即指數(shù)跟蹤的風(fēng)險很小。2) 跟蹤誤差均可以控制在0.4%之內(nèi)，指數(shù)擬合復(fù)制效果很好。3) 隨著成分股的數(shù)量增多，相關(guān)系數(shù)增大，跟蹤誤差及最大正向誤差和最大負(fù)向誤差減小，說明成分股越多跟蹤效果越好，這是顯然的。4) 從整體看來，樣本內(nèi)指數(shù)跟蹤效果要優(yōu)于樣本外指數(shù)跟蹤效果，雖然樣本外各指標(biāo)數(shù)據(jù)都有一定的下降，但是幅度并不大，預(yù)測能力也是較強的。

3 結(jié)論

在瞬息萬變的股票市場中，尋求一種性能良好的跟蹤方法對目標(biāo)指數(shù)進(jìn)行有效跟蹤，以此構(gòu)建最佳股票組合，對于所有投資者而言具有十分重要的意義。本文將處理高維數(shù)據(jù)變量選擇的Adaptive Lasso方法，運用于指數(shù)跟蹤，同時完成了股票投資組合中成分股的選取與權(quán)重系數(shù)的估計問題。在實證分析部分中，利用Adaptive Lasso方法選擇股票對滬深300指數(shù)進(jìn)行跟蹤，并從跟蹤誤差、相關(guān)系數(shù)等方面來衡量。通過比較可以看出，Adaptive Lasso方法可以達(dá)到比較理想的跟蹤效果，具有一定的實用性，這也為金融市場的股票組合投資選擇提供了一種新的方法。投資者進(jìn)行股票投資最直接的動機是獲得理想回報，故而投資決策的目標(biāo)是收益的最大化。然而，收益和風(fēng)險是正相關(guān)的，股市的波動一方面帶來了投資收益，另一方面也帶來了很高的投資風(fēng)險，二者互相依存。我國的證券市場近年來一直處于高速發(fā)展過程中，但其系統(tǒng)性風(fēng)險依然很大，投資者一直在尋求能夠獲得穩(wěn)定收益的方法，尤其是當(dāng)指數(shù)化基金、股指期貨、ETF等衍生產(chǎn)品的不斷推出，指數(shù)化投資被越來越多的人所關(guān)注。指數(shù)跟蹤作為指數(shù)化投資的具體管理形式，可以有效的指導(dǎo)股指期現(xiàn)套利、指數(shù)投資產(chǎn)品的設(shè)計等。