立足“HPM”，彰顯數(shù)學(xué)文化

周作雄

【摘要】“HPM”以其豐富的數(shù)學(xué)概念、思想、方法，深邃的人文底蘊(yùn)，成為課程資源開發(fā)的重要載體。立足“HPM”M，對(duì)數(shù)系教學(xué)做出優(yōu)化和改進(jìn)，其目的在于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、發(fā)展其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，建構(gòu)其正確的數(shù)學(xué)觀的同時(shí)提升質(zhì)量、彰顯數(shù)學(xué)文化。

【關(guān)鍵詞】HPM;數(shù)系教學(xué);數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)文化

在《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》中，對(duì)核心素養(yǎng)進(jìn)行了明確界定，核心素養(yǎng)系學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力。在教育部最新頒發(fā)的課程標(biāo)準(zhǔn)中，就把如何發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)作為貫穿課程標(biāo)準(zhǔn)的主線，高中新課程實(shí)施中要將它將全面實(shí)施并展開。在《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，提出了6個(gè)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析，教師如何在自身課程實(shí)施中實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并以此為目標(biāo)，成為當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)研究一個(gè)熱點(diǎn)問題。

學(xué)科核心素養(yǎng)的提出，其目的在于將以知識(shí)為中心教學(xué)目標(biāo)向能力為核心教學(xué)目標(biāo)轉(zhuǎn)型，所以我們的教學(xué)不應(yīng)當(dāng)只是一種單純的知識(shí)教學(xué)，還應(yīng)該是一種以發(fā)展學(xué)生能力為主導(dǎo)的教學(xué)，這其中，數(shù)學(xué)文化就起著十分重要的作用。在這個(gè)教育背景下，我們的教學(xué)就應(yīng)當(dāng)將知識(shí)教學(xué)與文化教學(xué)進(jìn)行緊密的結(jié)合。在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，必須考慮加入數(shù)學(xué)的相關(guān)文化，因?yàn)樗缪葜粋€(gè)不可或缺的角色。其實(shí)，在2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，已經(jīng)明確了數(shù)學(xué)文化具有的價(jià)值，“數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)姆从硵?shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)對(duì)推動(dòng)社會(huì)發(fā)展的作用，數(shù)學(xué)的社會(huì)需求，社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的推動(dòng)作用，數(shù)學(xué)的思想體系，數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀?！?/p>

一、“HPM”：教學(xué)融入數(shù)學(xué)文化的載體

“HPM”是History and Pedagogy of Mathematics 縮寫，中譯為數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育?！癏PM”有兩方面的含義：其一是指在國際數(shù)學(xué)教育會(huì)議上專門討論數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)教育融合的研究團(tuán)隊(duì);其二是指這個(gè)團(tuán)隊(duì)的研究對(duì)象“數(shù)學(xué)史如何與數(shù)學(xué)教育融合在一起，共同促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展?！薄癏PM”的功能有宏觀與微觀之分。宏觀上：①貫通數(shù)學(xué)的歷史，把握數(shù)學(xué)發(fā)展的脈絡(luò)，加深對(duì)數(shù)學(xué)概念、方法、思想的理解;②整合數(shù)學(xué)學(xué)科，理清數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)系，體會(huì)數(shù)學(xué)創(chuàng)造過程;③把數(shù)學(xué)從課內(nèi)導(dǎo)向課外，形成對(duì)文化的歷史認(rèn)同感;④傳承數(shù)學(xué)史的文化，給予數(shù)學(xué)以人文的一面。微觀上：①增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī);②幫助學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀;③有助于學(xué)生保持對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。其中汪曉勤教授將其總結(jié)為：“HPM”不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)精神，啟發(fā)學(xué)生的人格成長，預(yù)見學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，指導(dǎo)并豐富教師的課堂教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解和對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的認(rèn)識(shí)，構(gòu)建數(shù)學(xué)與人文之間的橋梁。

作為數(shù)學(xué)老師，我們應(yīng)該如何將數(shù)學(xué)文化元素融入教學(xué)呢？喻平教授給出了他的建議，他認(rèn)為數(shù)學(xué)老師首先在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)就要思考這樣三個(gè)問題：①為什么我們要研究這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)？②我們應(yīng)該如何去研究這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)？③這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)它有什么樣的意義與價(jià)值？思考完這三個(gè)問題后，數(shù)學(xué)文化的味道馬上就出來了。第一，為什么我們要研究這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)？這個(gè)問題必然與我們的數(shù)學(xué)史相關(guān)聯(lián)，我們就會(huì)去數(shù)學(xué)史中去尋求我們的答案。尋找這個(gè)問題的起源，同時(shí)從社會(huì)需求以及數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展需求兩個(gè)方面去思考，從而揭示陳香的數(shù)學(xué)文化。第二，我們應(yīng)該如何去研究這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)？這與我們的數(shù)學(xué)思想方法相關(guān)，數(shù)學(xué)思想方法是我們數(shù)學(xué)文化中的精髓，通過揭示其中的思想方法，來宣揚(yáng)科學(xué)家的理性精神、求實(shí)態(tài)度，由此彰顯深邃的數(shù)學(xué)文化。第三，這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)它有什么樣的意義與價(jià)值？我們老師就會(huì)去思考這個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)有什么社會(huì)價(jià)值、文化價(jià)值以及科學(xué)價(jià)值、以及有什么美學(xué)的價(jià)值？或者是有什么思維訓(xùn)練的價(jià)值，等等，由此便可以散發(fā)濃郁的數(shù)學(xué)文化來了。顯然，思考前面兩個(gè)問題就與HPM產(chǎn)生必然聯(lián)系，因此，“HPM”中教學(xué)融入數(shù)學(xué)文化的一個(gè)重要載體。

二、數(shù)系發(fā)展：寫實(shí)記錄數(shù)學(xué)文化的跡印

在中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容中，數(shù)的擴(kuò)充如圖1所示。這是一個(gè)簡單的圖示，其實(shí)是經(jīng)歷了一個(gè)漫長的歷史過程形成的，里面充滿了許多故事，留下了濃墨重彩的數(shù)學(xué)文化跡印。

負(fù)數(shù)產(chǎn)生的歷史。我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，最早提出了正負(fù)數(shù)加減法的法則，三國時(shí)期的學(xué)者劉徽（公元225-公元295）對(duì)《九章算術(shù)》作了詳細(xì)的注解，并最先給出了正負(fù)數(shù)的定義。東漢末年時(shí)期的劉烘（公元206年）、宋代的楊輝（1261年）也著書提到了正負(fù)數(shù)的加減法則，元代時(shí)期的朱世杰）不但給出了正負(fù)數(shù)同號(hào)異號(hào)的加減法則，同時(shí)還給出了正負(fù)數(shù)的乘除法則，所以它在前人的基礎(chǔ)上又前進(jìn)了一步。但是，負(fù)數(shù)在國外被認(rèn)可和被接受，比我國要晚很多。在印度，數(shù)學(xué)家婆羅摩笈（Brahmagupta，公元前598-公元前668）多于公元628年才認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)可以是二次方程的根，歐洲是在14世紀(jì)，當(dāng)時(shí)在數(shù)學(xué)方面最有成就的法國數(shù)學(xué)家丘凱（ChuQuet）還把負(fù)數(shù)當(dāng)成是荒謬的數(shù)，不給予理會(huì)它。一直到十七世紀(jì)，荷蘭有出現(xiàn)了一個(gè)叫日拉爾的數(shù)學(xué)家，他最先開始認(rèn)識(shí)并使用負(fù)數(shù)來解決幾何問題。

無理數(shù)的故事。一群畢達(dá)哥拉斯的門徒地海上泛舟，其中一位學(xué)者看著遼闊的海面興奮地說：“畢達(dá)哥拉斯先生的理論是多么的正確??！你們看這大海的波浪一層又一層，波峰浪谷，就好像偶數(shù)和奇數(shù)相間一樣，所以我們的世界就是數(shù)字的秩序?！薄笆堑?，是的。”這時(shí)一個(gè)正在搖槳的大個(gè)子插進(jìn)來說：“就說這小船和大海吧。用小船去丈量這海水，肯定會(huì)得出一個(gè)精確的數(shù)。一切事物之間都是可以用數(shù)字互相表示的?！?/p>

這時(shí)船尾的一個(gè)名叫希帕索斯的學(xué)者突然提問了，他說：“我看不一定，要是量到最后，不是整數(shù)呢？”有人說：“那就是小數(shù)?！毕Ｅ了魉菇又賳枺骸耙沁@個(gè)小數(shù)，它除不盡，也不能循環(huán)，怎么辦？”有人馬上回答“這是不可能的事，世界上的所有的東西，都應(yīng)該可以用數(shù)字，把它直接準(zhǔn)確地表達(dá)出來的?！边@時(shí)，希帕索斯瞥了一眼，然后說道：“世界上一切事物不一定都可以用我們現(xiàn)在知道的數(shù)來表示吧，就拿直角三角形來說，假如它是一個(gè)等腰直角三角形，我們就無法用一個(gè)已知數(shù)來表示斜邊。”這時(shí)候，一個(gè)劃船男人一聽這話就不開心了，并且大叫呵斥道：“不可能，畢達(dá)哥拉斯的話放置四海皆是正確的。”于是，希帕索斯伸出自己的雙手，用手的兩個(gè)虎口比作一個(gè)等腰直角三角形，然后說道：“如果大拇指直邊和食指直邊都是3，那么等腰直角三角形的斜邊是多少？我已經(jīng)算過很多遍，所有的已知等腰直角三角形，它的斜邊都不能用一個(gè)整數(shù)表示出來?！彼倪@話像一聲晴天霹靂，全船的全員聽到后都憤怒了，然后大聲地罵道：“你敢不認(rèn)可畢達(dá)哥拉斯先生的理論，想破壞我們的信仰！敢不相信我們的世界是由數(shù)字組成?！毕Ｅ了魉惯@個(gè)時(shí)候表現(xiàn)得十分的冷靜，并說道：“這是我的新發(fā)現(xiàn)，我應(yīng)該被獎(jiǎng)賞，而不是在這里被你們侮辱。你們可以去證實(shí)，看我說的是否正確？”然而當(dāng)時(shí)船上所有的人，他們根本聽不進(jìn)去他的解釋，對(duì)他大聲吼道：“你就是個(gè)叛逆！我們學(xué)院沒有你這樣的學(xué)生?！边@時(shí)開始有人起哄，說道：“打死他！批死他！”一個(gè)壯漢沖上來，就是一拳。希帕索斯口吐鮮血說道：“你們無視科學(xué)，你們這群土匪、強(qiáng)盜、莽夫！”這時(shí)，人群中又有人喊道：“我們要捍衛(wèi)我們學(xué)派的信仰，它永遠(yuǎn)對(duì)的?！比缓笥钟幸粋€(gè)人高馬大的人也沖過來，奮力將他抱起，說道：“癡人說夢，去海里好好地清醒一下吧！”說著就把我們主人公扔進(jìn)了海里。洶涌的海水很快將他給淹沒了，然后他就再也沒有回來了。一位這么有思想、有才華的數(shù)學(xué)家就這樣被一群無知的信徒給殺害了。

在這次事過去很多年以后，不少畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員也慢慢發(fā)現(xiàn)，不但等腰直角三角形的斜邊，而且我們的圓，還有那個(gè)數(shù)字3.14159265358979……更是永遠(yuǎn)也無法用整數(shù)來精確表示的。慢慢地，信徒們開始后悔了，后悔殺死希帕索斯的魯莽行動(dòng)。最后人們也漸漸明白，除了我們所認(rèn)識(shí)的有理數(shù)之外，還有一些無限的不循環(huán)的小數(shù)，它確實(shí)是一種的數(shù)，是新發(fā)現(xiàn)的一類數(shù)，它的名字就叫做“無理數(shù)”。

由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)史上第一次數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)。1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金（Julius William Richard deakin，1831-1916）從連續(xù)性的范圍出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義我們的無理數(shù)，并把無理數(shù)和有理數(shù)擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，有了實(shí)數(shù)理論的科學(xué)基礎(chǔ)，無理數(shù)由此也結(jié)束了，它“無理”的時(shí)代，它的結(jié)束，也標(biāo)志著數(shù)學(xué)史上持續(xù)2000多年的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)得到解決。

虛數(shù)的故事。虛數(shù)誕生于歐洲文藝復(fù)興時(shí)期的三次方程求解。我們知道，二次方程可有簡單變換，得到通解公式，當(dāng)判別式為負(fù)值時(shí)無解。到了14世紀(jì)，數(shù)學(xué)家開始探索三次方程的求解，這個(gè)過程耗費(fèi)了幾代數(shù)學(xué)家的心血，直到16世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家西皮奧內(nèi)·德爾·費(fèi)羅（Scipione del Ferro，1465-1526年），首次得到了標(biāo)準(zhǔn)形式三次方程的通解，但費(fèi)羅并未把他的解法公布出來，而是帶進(jìn)了墳?zāi)?。另一位?shù)學(xué)家塔塔里亞（Nicolo Tartaglia，1499-1557年），在1535年得到了同樣的通解公式，和他的前輩費(fèi)羅一樣，豐塔納也秘密保守他的發(fā)現(xiàn)。另外一位數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾（1501-1576年）聽說了塔塔里亞知道三次方程的求解，于是卡爾達(dá)諾就去請(qǐng)求告訴他關(guān)于三次方程的相關(guān)解法，塔塔里亞在卡爾達(dá)諾多次的請(qǐng)求下，告訴了他三次方程的求解公式，但并未傳授三次方程公式的推倒過程。

方程的求根公式為：

卡爾達(dá)諾守著他的承諾，保守三次方程的求解秘密，直到他聽說了費(fèi)羅的故事，才得知原來塔塔里亞，并非第一位得到三次方解的人，這時(shí)卡爾達(dá)諾認(rèn)為他對(duì)塔塔里亞的承諾已經(jīng)沒有意義。1545年，卡爾達(dá)諾出版了他的數(shù)學(xué)名作《大衍術(shù)》，在書中他給出了塔塔里亞的求解公式，并發(fā)表了三次方程的解法，他在書中做了一個(gè)重要的突破，把這一解法推廣到了三次方程的一般解。

然后虛數(shù)i，就隱藏在這個(gè)看似復(fù)雜的公式當(dāng)中，這個(gè)公式蘊(yùn)涵了一個(gè)新數(shù)學(xué)領(lǐng)域的誕生，她需要一位超級(jí)天才去發(fā)現(xiàn)。從卡爾達(dá)諾的《大衍術(shù)》開始，200多年時(shí)間中，人們不斷遇到負(fù)數(shù)的開方問題，但采用不以敢承認(rèn)和回避的態(tài)度，于是虛數(shù)一直披著神秘莫測的外衣，到了1797年，威賽爾給出了虛數(shù)的圖像表示，后來高斯在平面直角系中就建立了點(diǎn)與復(fù)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并提出用數(shù)偶（a，b）來表示a+bi，這樣才確立了復(fù)數(shù)的合理地位。

這些故事展現(xiàn)了數(shù)學(xué)真理發(fā)現(xiàn)的艱辛歷程，反映了人類文明推進(jìn)的艱難，同時(shí)，更加彰顯了科學(xué)家不屈不撓探求真理的執(zhí)著和為科學(xué)獻(xiàn)身的精神。數(shù)系的發(fā)展史蘊(yùn)含豐富的文化元素、厚重的文化積淀，如果不挖掘這種以內(nèi)隱形式潛藏于知識(shí)深層的課程資源于教學(xué)之中，無疑是一種莫大的浪費(fèi)、資源的流失。

三、文化融入：數(shù)系教學(xué)的不同形式

HPM融入教學(xué)的方法有許多，其中就包括：介紹歷史上數(shù)學(xué)家的故事;運(yùn)用數(shù)學(xué)史引入新概念;講授“數(shù)學(xué)史”課;利用相關(guān)歷史史料的教材設(shè)計(jì)來布置課堂練習(xí)和課后作業(yè);舉辦數(shù)學(xué)歷史主題的班會(huì);借鑒歷史發(fā)展，設(shè)計(jì)話題式的教學(xué);以及探索過去數(shù)學(xué)史上的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤、另類觀點(diǎn)來幫助今天的學(xué)習(xí)者理解并解決他們的困難等等。汪曉勤教授把“HPM”融入到課堂教學(xué)的方式歸納為四種方式（如圖2所示）：

①附加式：講解數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)家軼事與生平;②復(fù)制式：將數(shù)學(xué)家的解題方法直接呈現(xiàn);③順應(yīng)式：根據(jù)歷史史實(shí)，合理改編數(shù)學(xué)素材;④重構(gòu)式：重構(gòu)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過程。

（1）以順應(yīng)式的方式將“HPM”融入負(fù)數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.情景設(shè)計(jì)

師：同學(xué)們能用以前學(xué)過的知識(shí)來解決下列問題嗎？

（1）小夢買練習(xí)冊(cè)一共花了4.5元錢，現(xiàn)在她有了5元錢，她還剩多少元？

（2）若小夢手上只有4元錢，她能買到想要的練習(xí)冊(cè)嗎？為什么？

生：用小夢手中的錢減去本子的價(jià)格得：5-4.5=0.5。

師：那么第二問該怎么解答？（引導(dǎo)學(xué)生第二個(gè)問題也用手中的錢數(shù)減去本子的價(jià)格）

生：老師，我只會(huì)列出式子，不能得出答案：4-4.5=？

師：其他同學(xué)是不是也是這樣的答案，不夠減？

（設(shè)計(jì)意圖：從具體生活情境引入，引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象出數(shù)學(xué)問題，并通過構(gòu)造無法計(jì)算，不能減的認(rèn)知沖突，激發(fā)起學(xué)生的求知欲，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算等素養(yǎng)）

2.數(shù)學(xué)相關(guān)歷史介紹

師：大家現(xiàn)在還不怎么會(huì)做，其實(shí)是很正常的，老師可以理解，因?yàn)樵谖覀儦v史上，有許多的數(shù)學(xué)家也都曾經(jīng)被這個(gè)所問題困擾呢！如代數(shù)學(xué)鼻祖丟番圖，他在其《算術(shù)》中稱4x+20=4方程是沒有意義的。同樣，斐波拉契在《花朵》中稱方程x+36=33是沒有根據(jù)的。如何解決困惑呢？我國古代杰出的數(shù)學(xué)家劉徽給出了區(qū)分的方法。他用正算赤，（下轉(zhuǎn)第23版）? ? ? ? ? ? ?（上接第22版）負(fù)算黑來表示。所以我們也可以借用前人的方法，用紅黑顏色的數(shù)來加以區(qū)別。

我們不妨以較大的數(shù)減去較小的數(shù)的結(jié)果來表示運(yùn)算結(jié)果，只是為了區(qū)分，我們用黑色來表示，即把這個(gè)結(jié)果用黑色的數(shù)來表示區(qū)別。因此，4-4.5=0.5。

師：那么，以下的式子結(jié)果等于什么？0-2=？0-4=？0-6=？

生：我是模仿了上面的方法，得2，4，6。

師：我們知道，加法和減法互為逆運(yùn)算，那么下面運(yùn)算結(jié)果是多少？2+2=？4+4=？5+5=？

生：很快得出結(jié)果：0。

師：那么，以下式子結(jié)果等于什么呢？0-2=？0-4=？0-5=？

生：我的答案是：2，4，5[師]完全正確。

師：我們把這里的這種特殊的黑數(shù)稱為負(fù)數(shù)。而我們?cè)瓉淼臄?shù)除了0以外的數(shù)，稱為正數(shù)。負(fù)數(shù)的表示是在相應(yīng)的正數(shù)前面加符號(hào)“-”，例如上面的2，4，6，我們可以表示為：-2，-4，-6。

（設(shè)計(jì)意圖：這種引入是建立在小學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)之上的，更能引起他們的興趣，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維，同時(shí)有利于打造濃濃的數(shù)學(xué)人文課堂，對(duì)于培養(yǎng)小學(xué)生的創(chuàng)新精神和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)起著舉足輕重的作用）

3.課后引入

老師可以將有關(guān)負(fù)數(shù)的發(fā)展歷史史料提供給學(xué)生，讓學(xué)生對(duì)于負(fù)數(shù)有更深的了解。

（設(shè)計(jì)意圖：將有關(guān)負(fù)數(shù)的發(fā)展歷史作為史料提供給學(xué)生，進(jìn)一步破除他們對(duì)負(fù)數(shù)的困惑和恐懼感，以及指導(dǎo)學(xué)生探究學(xué)習(xí)，彰顯數(shù)學(xué)的文化魅力，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為學(xué)生們獲得知識(shí)、形成方法、感悟價(jià)值、提升素養(yǎng)的生命歷程）

（二）以附加式的方式將HPM融入無理數(shù)的教學(xué)設(shè)計(jì)

1.視頻引入

讓學(xué)生觀看《科學(xué)世界》中視頻，通過視頻中，人類如何尋找地球外的生命，以及發(fā)射“勾股定理圖”來作為與外星文化取得聯(lián)系的信號(hào)，來提出本節(jié)課需要探究的問題：為什么勾股定理圖可以作為與“外星人”聯(lián)系的信號(hào)？

（本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖：巧妙地視頻引入，激發(fā)學(xué)生的對(duì)勾股定理的興趣，以及思考勾股定理有何魅力，可作為外星文明溝通的橋梁）

2.插入故事

師：同學(xué)們，現(xiàn)在老師給大家介紹一下畢達(dá)哥拉斯的故事。（插入前面“無理數(shù)的故事”）

（本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖：巧妙得借助無理數(shù)的故事，將學(xué)生帶入了無理數(shù)的世界。通過數(shù)學(xué)史再現(xiàn)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的動(dòng)人歷程，以及體會(huì)數(shù)學(xué)家為數(shù)學(xué)真理而奮斗甚至獻(xiàn)身的崇高精神）

3.動(dòng)手實(shí)踐

師：請(qǐng)學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的紙和剪刀，動(dòng)手剪一剪，拼一拼，設(shè)法得到一個(gè)經(jīng)典的畢達(dá)哥拉斯的勾股圖（如圖3所示）。思考這樣一個(gè)問題：在直角三角形中，若兩條直角邊長為a，b，斜邊為c，則有a2+b2=c2。若a=1，b=2，則c2=12+22，即c2=5，則c是有理數(shù)嗎？

師：有理數(shù)包括什么？

生：整數(shù)和分?jǐn)?shù)。

師：c2=5是整數(shù)？是分?jǐn)?shù)？

生：22=4，32=9，所以c應(yīng)該是在2和3之間，故c不是整數(shù)。

生：分?jǐn)?shù)不可能，兩個(gè)相同的分?jǐn)?shù)相乘都為分?jǐn)?shù)，所以c不可能是分?jǐn)?shù)。

師：回答得很好。我們把上述c2=5中，c既不是整數(shù)，又不是分?jǐn)?shù)的數(shù)稱之為無理數(shù)。

（本環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力的同時(shí)，促進(jìn)其對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派成就有深入的了解，從而給學(xué)生普及更多的人文味的數(shù)學(xué)）

4.課后引入

選做題：以小組為單位的形式，讓他們?nèi)ゲ殚喴约笆占療o理數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)史料，作為數(shù)學(xué)知識(shí)分享會(huì)或者班級(jí)數(shù)學(xué)角的宣傳資料。

（設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在查閱無理數(shù)的數(shù)學(xué)史料過程中，對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生一定的熟悉和相應(yīng)的認(rèn)知，從而擴(kuò)大他們?cè)诖朔矫娴牧私?、增加他們的知識(shí)面，讓初中階段的學(xué)生了解到數(shù)學(xué)學(xué)科中的每一個(gè)知識(shí)都不是簡單地產(chǎn)生的，從而激發(fā)初中階段的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)未來領(lǐng)域的好奇心。）

（三）以復(fù)制式的方式將“HPM”融入復(fù)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)

1.問題引入

師：意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾曾經(jīng)困惑于這樣一個(gè)問題：求同學(xué)們是否可以幫其求解？

生：

生：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以此方程無解。

師：兩位同學(xué)的回答都很棒，但都不是正確答案。那么此方程的答案究竟是怎樣呢？老師先保持一下它的神秘感。

（設(shè)計(jì)意圖：通過引入意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾在對(duì)“求的問題，在實(shí)數(shù)域上無解的過程來引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，同時(shí)讓學(xué)生初步感知虛數(shù)的存在。）

師：接下來，我們?cè)賮砜匆幌碌聡鴶?shù)學(xué)家萊布尼茨所困惑的問題：求解方程：，還是有請(qǐng)同學(xué)們幫他求解一下。

生：，再將其代入得.令，所以此方程無解。

師：回答的非常不錯(cuò)，值得表揚(yáng)。但是很遺憾，沒有回答正確。此方程真的無解嗎？

（設(shè)計(jì)意圖：通過再引入萊布尼茨對(duì)的解題困惑，再次激起學(xué)生認(rèn)知沖突。同時(shí)讓學(xué)生們?nèi)ジ惺芴摂?shù)和實(shí)數(shù)之間是存在某種聯(lián)系的，從而為學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)造動(dòng)機(jī)）

2.數(shù)學(xué)相關(guān)歷史引入

師：我們來看看虛數(shù)引入的歷史，插入前面“虛數(shù)故事”。

（設(shè)計(jì)意圖：復(fù)制式教學(xué)可以促進(jìn)學(xué)生的理解，在數(shù)學(xué)與歷史之間架設(shè)一座橋梁，使得學(xué)生可以發(fā)展其思維和想象，培養(yǎng)其文化素養(yǎng)。其次，讓學(xué)生體會(huì)歷史相似性，了解前人對(duì)虛數(shù)的發(fā)現(xiàn)過程并不是一帆風(fēng)順的，并告誡他們?cè)谝院蟮膶W(xué)習(xí)過程中不要輕言放棄）

3.課后引入

選做題：以四人一組的形式，讓他們?nèi)ゲ殚啅?fù)數(shù)相關(guān)的發(fā)展史料，下節(jié)課圍繞學(xué)生收集內(nèi)容進(jìn)行進(jìn)一步的展開討論以及延伸，最后可收集優(yōu)秀學(xué)生的資料，指導(dǎo)其發(fā)表相關(guān)虛數(shù)論文。

（設(shè)計(jì)意圖：高中階段的學(xué)生團(tuán)結(jié)、協(xié)助能力已經(jīng)具備，讓他們討論、整理以及發(fā)表數(shù)學(xué)史小論文，不僅可以完善其對(duì)數(shù)系認(rèn)識(shí)的整體框架，還可以添補(bǔ)其數(shù)學(xué)文化歷程。這一做法有效的激發(fā)起了學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)文化的探究的熱情以及為數(shù)學(xué)發(fā)展奮斗終身的志向）

數(shù)系的發(fā)展史蘊(yùn)含豐富的文化元素、厚重的文化積淀，充分挖掘其價(jià)值，恰如其分地切入，不僅可以契合學(xué)生學(xué)習(xí)認(rèn)知、激發(fā)求知欲、增強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的提升以及數(shù)學(xué)觀的建立，而且對(duì)于彰顯中國數(shù)學(xué)歷史文化、培養(yǎng)民族自豪感、以及發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)都有同工之妙。

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[5]陳天宇.HPM視角下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)例析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)， 2017（21）：3-5.

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[7]汪曉勤.HPM的若干研究與展望[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊， 2012（02）：1-5.