概念、模型、樣例三位一體

盧艷嫻

【摘要】乘法分配律由于其變化形式的多樣，學(xué)生對其意義內(nèi)涵不易理解，更難以靈活運(yùn)用。本文以人教版四年級下冊《乘法分配律》為例，闡述筆者通過閱讀概念、建構(gòu)模型、分析樣例的課堂教學(xué)實(shí)踐，豐富學(xué)生對乘法分配律的認(rèn)識，提高應(yīng)用能力。

【關(guān)鍵詞】閱讀概念;建構(gòu)模型;分析樣例

有人說，數(shù)學(xué)只不過是“公式化”的東西而已，但其實(shí)我們簡單地把數(shù)學(xué)研究的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)變化、空間信息等概念機(jī)械地套用公式來教學(xué)，忽視知識本身的內(nèi)涵，學(xué)生脫離了問題情境，被動地接受知識，當(dāng)遇到變化的題型練習(xí)時就無所適從。筆者認(rèn)為，要克服這個鴻溝還是有可能的，如果知道學(xué)習(xí)對象的背景，則有可能掌握其實(shí)質(zhì)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，幫助學(xué)生把抽象的數(shù)學(xué)知識模型化，化繁為簡，抑制恐懼心理，從而使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣，獲得成功。

一、教學(xué)思考

（一）課標(biāo)的指引

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)、智力發(fā)展水平和教師業(yè)務(wù)能力素質(zhì)等，用最優(yōu)化的組合方法，把學(xué)科的基本原理、概念知識以及它們之間內(nèi)在的本質(zhì)結(jié)構(gòu)關(guān)系傳授給學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力識和創(chuàng)新意，真正發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中的主人翁地位?！边@就提醒了我們一線的數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中，只有有效地把數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法整合教學(xué)，才能真正做到“授之以漁”。

思考：能否把數(shù)學(xué)的一些概念和原理在學(xué)生頭腦中建構(gòu)模型，幫助學(xué)生增強(qiáng)數(shù)感，發(fā)展模型思維，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力？

（二）教材的啟示

我們現(xiàn)階段使用的修訂版教材，無論從教學(xué)素材的選擇還是教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式上，都很好地體現(xiàn)了“以學(xué)生發(fā)展為本”的教學(xué)理念。怎樣高效地實(shí)踐數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中的理念，教材中也作出了適度的提示，很好地引領(lǐng)我們走進(jìn)新課程。例如，修訂版四年級數(shù)學(xué)下冊《乘法運(yùn)算定律》（如圖一），教材中沒有直接出示乘法分配律的概念表述，而是以小學(xué)生植樹的生活情景提出問題，在解決問題的過程中通過及時的點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生思考，然后總結(jié)特征，歸納定義。

思考：教材中創(chuàng)新的直觀樣例，是否可以讓學(xué)生通過觀察、思考、分析、自主探索等數(shù)學(xué)活動，促進(jìn)理解，提高自己的認(rèn)知水平？

（三）學(xué)生的困惑

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的大部分知識是建立在計(jì)算的基礎(chǔ)之上，在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，即便是優(yōu)生，他們在做“計(jì)算下面各題，怎樣簡便就怎樣算”此類題目時，往往得分率都不高;還有一些學(xué)生勤奮好學(xué)，平時大量地練習(xí)計(jì)算，但每當(dāng)測試時計(jì)算題也都失分嚴(yán)重。長此以往，他們雖然會努力去傾聽老師的講解卻難以理解其中的技巧，以致心灰意冷。以下是學(xué)生常見的部分錯例（如圖二）：

思考：嘗試在計(jì)算教學(xué)中通過分析樣例，幫助學(xué)生建構(gòu)運(yùn)算定律的模型，是否有助于提升學(xué)生計(jì)算的正確率？

（四）問題提出

通過上述的分析，那么究竟怎樣才能使學(xué)生有效地獲得數(shù)學(xué)知識？我認(rèn)為可以從“數(shù)學(xué)概念”“模型教學(xué)”“樣例形式”三個維度去思考：1.要注重?cái)?shù)學(xué)概念的教學(xué)，概念所反映的對象特有的本質(zhì)屬性，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)學(xué)科知識的邏輯基礎(chǔ)，理解數(shù)學(xué)概念是提高學(xué)生解題能力的思維前提;2.要把數(shù)學(xué)研究的對象或問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)關(guān)系，即建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生理解其本質(zhì)特征和變化規(guī)律;3.針對理解能力薄弱的學(xué)生，要以直觀的樣例形式呈現(xiàn)知識，簡化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生內(nèi)化知識，同時思維能力也得以發(fā)展。

二、建模策略

為了探索有效的構(gòu)建運(yùn)算定律與簡便運(yùn)算的策略，筆者以變化形式多，學(xué)生最難以掌握的乘法分配律教學(xué)為例，嘗試圍繞“閱讀概念、建構(gòu)模型、分析樣例”三個方面談一談如何強(qiáng)化學(xué)生的簡算意識，增強(qiáng)數(shù)感，豐富學(xué)生應(yīng)用運(yùn)算定律和簡便運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，提高計(jì)算的準(zhǔn)確率。

（一）閱讀概念——理解規(guī)律的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)的概念是學(xué)生需要掌握的基礎(chǔ)知識，是學(xué)生解題的依據(jù)，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)重要的地位。一些學(xué)生之所以覺得“乘法分配律”很難學(xué)懂，概念不清往往是最直接的原因。有效的數(shù)學(xué)閱讀可以提高學(xué)生的審題能力、分析問題能力、發(fā)展思維能力。指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀，能夠從概念中提煉出有用的文字信息，通過理解數(shù)學(xué)對象的特有本質(zhì)屬性，幫助學(xué)生提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。因此在教學(xué)中，只有在學(xué)生反復(fù)研讀概念，對乘法分配律的內(nèi)涵有了較為理性的認(rèn)識后，方能正確靈活地應(yīng)用，從而進(jìn)行簡便運(yùn)算。乘法分配律的概念表述如下：（如圖三）

學(xué)生對乘法分配律的認(rèn)識，是一個不斷深化的過程。但相比之下，當(dāng)整數(shù)乘法分配律推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)時，教材的描述顯得較為簡單。（如圖四）

對于中高年級的小學(xué)生來說，他們憑借著已有的知識經(jīng)驗(yàn)，就會把這些題目看成簡單的數(shù)學(xué)等式，這些學(xué)生的認(rèn)知是片面的，只看到數(shù)學(xué)知識的外部聯(lián)系，忽略了數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)涵意義——概念。

因此，在教學(xué)這部分內(nèi)容時，我是先讓學(xué)生回顧乘法分配律的概念表述，然后用字母表示乘法分配律，接著舉例說明，總結(jié)出整數(shù)乘法分配律對于小數(shù)、分?jǐn)?shù)的乘法分配律同樣適用。最后著重強(qiáng)調(diào)乘法分配律的兩種應(yīng)用模式：在分析“兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘”理解分配的含義時，利用學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)，想象成分配實(shí)物到每個人手中，必須是每個人都拿到同樣的實(shí)物;在分析“與這個數(shù)分別相乘，再相加”時，學(xué)生的理解是從每人手中收取同樣的實(shí)物，讓學(xué)生感受生活中也存在這樣的合理性，然后再代入數(shù)字進(jìn)行驗(yàn)證。學(xué)生通過對概念的反復(fù)閱讀、口述，不僅增強(qiáng)了口頭表達(dá)能力，而且進(jìn)一步理解了乘法分配律的內(nèi)涵。

（二）建構(gòu)模型——理解規(guī)律的運(yùn)算

乘法分配律是簡便運(yùn)算中不可或缺的形式之一，很多學(xué)生在運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算時不能做到正確運(yùn)算，究其原因，是學(xué)生沒有真正理解運(yùn)算規(guī)律，沒有在心中建構(gòu)相應(yīng)的模型。我覺得可以多角度分析，幫助學(xué)生理解乘法分配律的算理，很好地突破這一難點(diǎn)。

1.從乘法的意義中感悟規(guī)律

乘法分配律的表達(dá)形式變化多端，部分學(xué)生在解題時都不會靈活處理，他們憑著頭腦中模糊的印象亂套公式，只要能湊整就都認(rèn)為成功了。然而教學(xué)乘法分配律不能架設(shè)空中樓閣，應(yīng)注意結(jié)合學(xué)生已有的知識內(nèi)容，解題經(jīng)驗(yàn)，找到知識的聯(lián)系處，經(jīng)過一定的過渡，順利地幫助學(xué)生建構(gòu)新的知識結(jié)構(gòu)。此時我們必須想到乘法分配律的知識結(jié)構(gòu)——乘法的意義。如下圖（如圖五）

以乘法的意義為依據(jù)，學(xué)生不但能從形式上更好地把握乘法分配律，還能從內(nèi)涵上加以理解，從而達(dá)到正確運(yùn)算的效果。例如：

乘法意義的模型建構(gòu)：（a±b）× c? =? a ×c ± b × c

利用乘法的意義分析算式的原理：（a±b）個 c 等于 a 個c 加上或減去 b 個 c 。學(xué)生在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，通過比較、分析、綜合運(yùn)用乘法的意義，逐步把握乘法分配律的本質(zhì)屬性，思維模式更趨深入，而不是單純地依靠記憶，只有這樣才能在運(yùn)算中熟練運(yùn)用，減少失誤。

2.從情景教學(xué)中掌握規(guī)律

信手翻閱教科書，我們可以看到的都是學(xué)生喜聞樂見的生活情景。例如修訂版四年級下冊的《乘法分配律》一課，教材提供了學(xué)生植樹的生活情景，題中問“一共有多少名同學(xué)參加了這次植樹活動？”在引導(dǎo)學(xué)生解決問題時，通過分析得出不同的計(jì)算方法，通過對比得出計(jì)算結(jié)果相等，通過舉例驗(yàn)證得出乘法分配律的意義。這樣的設(shè)計(jì)，力求體現(xiàn)“創(chuàng)設(shè)問題情境——建構(gòu)數(shù)學(xué)模型——解釋、應(yīng)用與拓展規(guī)律”的模式，讓學(xué)生經(jīng)歷探索數(shù)學(xué)知識的全過程。

乘法分配律的內(nèi)涵形式是多種多樣的，所以可以從不同的角度出發(fā)，創(chuàng)設(shè)多方面的情景反映其形式，幫助學(xué)生掌握規(guī)律。（如圖六）

常見的算法有以下的兩種形式：

①先算1套運(yùn)動服的單價(jià)，再算60套運(yùn)動服的總價(jià)：

列式：（75+45）×60

= 120 × 60

= 7200（元）

②先分別算60件上衣和60條褲子的價(jià)錢，再算運(yùn)動服的總價(jià)：

列式：75×60+45×60

= 4500 + 2700

= 7200（元）

生活情景的模型建構(gòu)：（75+45）×60 = 75×60+45×60

用字母表示： （a+b）×c? =? a×c+b×c

就題目本身的特點(diǎn)而言，學(xué)生不難理解，我們借助具體的生活情境去體會乘法分配律的形式，在教學(xué)中淡化算法技巧的講授，著力引導(dǎo)學(xué)生將乘法分配律的運(yùn)算規(guī)律應(yīng)用于解決生活中的實(shí)際問題，同時注意解決問題策略的多樣化。嘗試多渠道創(chuàng)設(shè)生活情景，從形式上把握乘法分配律的規(guī)律，勾勒出乘法分配律的模型，讓學(xué)生篩選，找出最佳的計(jì)算方案，為學(xué)生正確運(yùn)用乘法分配律提供保障。

3.從數(shù)形結(jié)合思想中應(yīng)用規(guī)律

數(shù)形結(jié)合的思想就是根據(jù)問題提供的數(shù)學(xué)信息與規(guī)律結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使精確刻劃的數(shù)量關(guān)系與直觀形象的空間形式巧妙、和諧地結(jié)合在一起。幾何圖形的計(jì)算也應(yīng)用了乘法分配律的規(guī)律，例如（圖七）：

此題求“做這個畫框需要多長的木條？”實(shí)際上是求長方形的周長，可以這樣解題：

①（長+寬）×2? ?列式：（+）×2

② 長×2+寬×2? ?列式：×2+×2

數(shù)形思想的模型建構(gòu)：（長+寬）×2 = 長×2+寬×2

（+）×2 = ×2+×2

用字母表示：（a+b）×c = a×c+b×c

根據(jù)幾何圖形的特征，教材展示的兩種解題方法是應(yīng)用了乘法分配律的表達(dá)形式。學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識去解決問題的過程中，數(shù)學(xué)思想和方法是隱性的，常常藏匿于一些看似淺顯的數(shù)學(xué)知識里面。讓學(xué)生感悟和掌握數(shù)學(xué)思想和方法，是《標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中提出的重要目標(biāo)任務(wù)。為此，教材在內(nèi)容的選擇與編排上處處都讓學(xué)生領(lǐng)略最為基本的數(shù)學(xué)思想和方法，引導(dǎo)學(xué)生有條理地思考，以簡捷地獲取探索數(shù)學(xué)知識、解決問題的基本方法，提升數(shù)學(xué)能力。

（三）分析樣例——提高規(guī)律的實(shí)效

所謂“樣例教學(xué)”是指讓學(xué)生借助教材中提煉出的示范性材料，（下轉(zhuǎn)第18版）（上接第17版）獲得解決問題的規(guī)則、圖式或方法的一種教學(xué)方式。數(shù)學(xué)樣例是實(shí)際問題的形式化，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中認(rèn)知技能獲取的有效手段。在實(shí)際教學(xué)中，經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)學(xué)生傾向于通過考察一個或幾個有解題步驟的例題來完成練習(xí)，解決問題。然而相對于小學(xué)生所學(xué)的其他簡便運(yùn)算方法，乘法分配律是比較難以理解和掌握的，除了因?yàn)槌朔ǚ峙渎伤闶街泻袃杉夁\(yùn)算以外，它具有的典型常規(guī)題型與非典型的變形題型，學(xué)生難以把握規(guī)律，即使是對乘法分配律的公式表達(dá)熟記于心，在應(yīng)用時也難免出錯。因此，在學(xué)生學(xué)習(xí)乘法分配律的典型錯例中提供樣例，有助于學(xué)生進(jìn)一步解決練習(xí)題，并能起到規(guī)范解題格式的作用。

例如：修訂版六年級上冊第9頁的習(xí)題：87×

六年級學(xué)生雖然已具有一定的知識經(jīng)驗(yàn)，但對于最初接觸到分?jǐn)?shù)乘法分配律的他們來說，這無疑是一道難題。此時我直接引導(dǎo)，圍繞教材中“為了計(jì)算簡便，可以先約分再乘?！边@句話（修訂版六年級上冊第5頁的提示）進(jìn)行引導(dǎo)，學(xué)生會想到從分母86入手簡算。

像上題，是乘法分配律的變式題，需要將一個數(shù)拆分成兩個數(shù)的和，再分別與另一個數(shù)相乘。這樣的習(xí)題學(xué)生在四、五年級學(xué)習(xí)的整數(shù)與小數(shù)乘法分配律中并不少見，他們頭腦中早已建構(gòu)了規(guī)律的表象，在這里了又及時提供習(xí)題的樣例，相信學(xué)生以后解決問題時也就得心應(yīng)手。

樣例2：對比習(xí)題

此類習(xí)題，學(xué)生容易發(fā)生錯誤，借助乘法的意義設(shè)計(jì)樣例，不但可以從內(nèi)涵上幫助學(xué)生進(jìn)一步掌握乘法分配律的形式，也可以依據(jù)乘法的意義來糾正錯誤。

樣例3：延伸習(xí)題

此類題中呈現(xiàn)的形式，體現(xiàn)了乘法分配律是加、減法與乘、除法之間的紐帶，它并不是單一的運(yùn)算關(guān)系，部分學(xué)生由于忽視對概念的理解并運(yùn)用，做題時都沒達(dá)到最佳的效果。給學(xué)生提供參考的樣例，幫助學(xué)生理解和掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容，鞏固所學(xué)知識，提高學(xué)習(xí)效率。然而，數(shù)學(xué)課程教學(xué)是“以學(xué)生的發(fā)展為本”的，因此，要為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和提升其思維品質(zhì)服務(wù)。閱讀概念幫助學(xué)生理解乘法分配律的本質(zhì)內(nèi)涵，建構(gòu)模型讓學(xué)生理解乘法分配律多變的表達(dá)形式，分析樣例培養(yǎng)學(xué)生掌握帶規(guī)律性知識的能力。這樣從多方面的策略中讓學(xué)生感悟乘法分配律的規(guī)律，真正做到“怎樣簡便就怎樣算”。

總之，我通過“閱讀概念→建構(gòu)模型→分析樣例”三個教學(xué)策略，幫助學(xué)生建構(gòu)乘法分配律，從而更好地掌握、運(yùn)用乘法分配律。

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